Чем отличаются позиционные системы счисления от непозиционных кратко

Обновлено: 27.06.2024

Система счисления - это метод записи числа при помощи указанного набора специальных знаков (цифр).

даёт представление множества чисел (целых и/или вещественных);

даёт каждому числу уникальное представление (либо, хотя бы, стандартное представление);

отображает алгебраическую и арифметическую структуру числа.

Запись числа в некоторой системе счисления называется кодом числа.

Отдельная позиция в отображении числа называется разряд, значит, номер позиции - номер разряда.

Количество разрядов в записи числа называют разрядностью и совпадает с его длиной.

Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. Позиционные системы счисления делятся

на однородные и смешанные.

Непозиционная система счисления — древнейшая, здесь все цифры числа имеют величину, которая не

зависит от позиции (разряда).

Т.е., если есть 5 палочек, значит число соответственно равно 5, так как каждой палочке, вне зависимости

от её места в строке, соответствует только 1 предмет.

Позиционная система счисления — значение каждой цифры зависит от позиции (разряда) этой цифры в числе.

Например, стандартная 10-я система счисления является позиционной. Допустим дано число 453.

Цифра 4 означает число сотен и соответствует числу 400, 5 — кол-во десятков и соответствует значению

50, а 3 — единицы и значению 3. Легко заметить, что с увеличением разряда увеличивается значение.

Таким образом, заданное число запишем в виде суммы 400+50+3=453.

Однородная система — для каждого разряда (позиции) числа набор допустимых символов (цифр)

одинаковый. Как пример снова используем 10-ю систему. Если записывать число в однородной 10-й системе,

то можно использовать в каждом разряде только одну цифру в интервале 0 - 9, т.о., допускается число 450

(1-й разряд — 0, 2-й — 5, 3-й — 4), а 4F5 — нет, так как символ F не входит в набор цифр от 0 до 9.

Смешанная система — в каждом разряде (позиции) числа набор допустимых символов (цифр) может

отличаться от наборов в других разрядах. Хороший пример — система измерения времени. В разряде

В непозиционных системах счисления вес цифры не зависим от позиции, которую она занимает в

числе. К примеру, в римской системе счисления в числе XXXII (32) вес цифры X в каждой позиции

Цифрами в римской системе служат: I(1), V(5), X(10), L(50), C(100), D(500), M(1000).

Размер числа в римской системе счисления определяют как сумму либо разность цифр в числе. Когда

меньшая цифра стоит слева от большей – она вычитается, когда справа – прибавляется.

Самая первая система счисления — единичная (непозиционная).

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее позиции в

последовательности цифр, которые изображают число.

Каждая позиционная система характеризуется своим основанием.

Основание позиционной системы счисления – это количество разных знаков либо символов, которые

используются для изображения цифр в этой системе.

Основанием принимают всякое натуральное число - 2, 3, 4, 16 и т.д. То есть, существует безграничное

множество позиционных систем.

Перевод систем счисления. Числа можно перевести из одной системы счисления в другую.

Таблица соответствия цифр в различных системах счисления.

Главное отличие этих двух систем счисления в том, что в позиционной системе, количественное значение чисел зависит от позиции в числе, а в непозиционных расположение чисел никак не влияет на их значение.

Возьмем число, например 1024 и разберем его в десятичной системе:

1024 имеет 1 тысячу + 0 сотен + 2 десятка + 4 единицы. Получается, что именно расположение чисел в числе играет роль в их значении.

А если представить данное число в виде например Римских или древних Египетских чисел, то получится, что как бы мы не ставили значки ( древних Египетских чисел) или числа римских значений, то число все равно будет одинаковым.

Здесь, ребята, вы найдете то, что не найдете в учебнике!

Позиционные и непозиционные системы счисления

Система счисления – это совокупность символов, используемых для изображения чисел.
Система счисления включает в себя: алфавит, т. е. набор символов для записи чисел, способ записи чисел, способ чтения чисел. Они делятся на два класса: позиционные и непозиционные

Позиционные системы счисления – это системы, в которых величина цифры определяется ее положением (позицией) в числе.
Позиция цифр называется разрядом числа. Позиционные системы счисления различают по их основаниям, где основание – это число цифр, используемых в системах счисления.
Например: двоичная система счисления (А2 ), восьмеричная система счисления (А8) т.д.
Непозиционные системы счисления – это системы, в которых величина цифры не определяется ее положением (позицией) в числе.
Например: римская система счисления (II, V, XII)

Введение

Потребность в счете возникла у людей с давних времен. Ученые археологи нашли много записей времен пещерного человека, с помощью которых они обозначали количество убитых животных, добытых шкур и собранного урожая. Так в 1937 году в Моравии была найдена кость с 55 зарубками. По мнению ученых они обозначали количество бизонов добытых вождем племени.

С развитием технологий, счет находил применение во всех областях социальной жизни человечества – астрономии, налогообложении и промышленности. Сейчас вычисления активно используются в информатике для представления информации в электронно-вычислительных машинах. В этой статье вы узнаете, что такое система исчисления, изучите основные определения, которые помогут вам лучше разобраться в теме, выясните, что такое позиционные и непозиционные системы исчисления и чем они отличаются.

Основные положения

Для того чтобы разобраться что такое системы исчисления ниже приведены главные понятия, которые вам предстоит понять и запомнить. Без них вы просто не сможете двигаться дальше. Итак…

Число – абстрактная мера измерения количества чего-либо.

Цифры — знаки, с помощью которых мы представляем число.

Системой исчисления – называется совокупность правил записи чисел, с помощью набора цифровых знаков.

Алфавит (он же код) – набор знаков, используемых для записи числа.

После того как вы разобрались в том, что здесь написано можно перейти к следующему пункту.

Классификация

Системы исчисления можно разделить на три вида – позиционные, непозиционные и смешанные.

Позиционные

Изобретение данного вида исчисления приписывают древним шумерам. Здесь значение цифры зависит от того, какую позицию она занимает в числе . В качестве примера возьмем число девятнадцать. После перестановки знаков местами получится девяносто один.

Примеры позиционных систем счислений и их использование в математике и информатике:

Десятичная – все вы её прекрасно знаете и изучали с первого класса. В качестве алфавита здесь используются цифры от 0 до 9.
Двоичная – счисление введенное в семнадцатом веке великим математиком Вильгельмом Лейбницем. В данный момент нашло широкое применение в персональных компьютерах и цифровой технике. Состоит всего из двух знаков 0 и 1.
Третичная – состоит из 0, 1 и 2 либо латинских букв A, B, C. На данный момент нигде не применяется. Однако в 1959 году Московским университетом на её основе был выпущен малый компьютер “Сетунь”.
Восьмеричная – счисление, широко применяющееся в высокоуровневых языках программирования (например, Java и Python) и разработке цифровой аппаратуры. Свою популярность заслужила из-за легкого перевода в цифровой (двоичный) код. Состоит из цифр от 0 до 7.
Двенадцатеричная – распространена на территории Индии и Тибета. Счисление построено на пальце-фаланговом методе счета, при котором большим пальцем считают фаланги той же руки. Попробуйте сами посчитать фаланги, и вы убедитесь, что их действительно 12. Постепенно полностью заменяется десятичной.
Шестнадцатеричная – счисление используется в низкоуровневых языках программирования (язык Assembler’а) в информатике. Также в 16-ом виде представляются символы в стандарте Юникода. В её алфавит входят числа от 0 до 9 и латинские буквы A, B, C, D, E и F.

Непозиционные

Здесь позиция цифр значения не имеет, а количественный эквивалент числа определяется начертанием цифры .

Примеры непозиционных нумераций

Римская – состоит из латинских букв I,X,L,D и M. Нумерация построена с помощью сложения и вычитания. Здесь договорились, что для сложения после большей цифры надо ставить меньшую, а для того чтобы отнять, меньшую цифру ставят перед большей. Например, XI – 11, а IX – 9. – непозиционная нумерация, где цифры представлялись иероглифами.

Смешанные

Этот материал в школьную программу не входит и его достаточно сложно объяснить школьникам, но я все-таки попробую. В смешанной системе исчисления числа с основанием P можно представить числами с основанием Q. Также здесь должно выполняться неравенство Q

Что такое основание

После того как мы разобрали классификацию, можно рассказать про такое понятие как основание.

Основание – количество знаков, которые используются для отображения символов в данной системе счисления.

В математике и информатике записывается так:

Заключение

На этом всё, теперь вы знакомы с таки понятием как система исчисления в информатике. Знаете, какие они бывают (позиционные и непозиционные), на какие группы делятся, ознакомлены с основными положениями и знаете что такое основание. После освоения этого материала можете смело приступать к другим темам – таким как перевод из одной системы в другую и выполнение арифметических операций. А также, в этом разделе, вы найдете несколько интересных статей. Например, про то, как представляется память в персональном компьютере или историю непозиционных чисел.

Читайте также: