Центральные и вписанные углы план урока

Обновлено: 05.07.2024

Дугу окружности можно измерять в градусах. Если дуга АВ окружности с центром в точке О меньше полуокружности или является полуокружностью, то ее градусная мера считается равной градусной мере центрального угла.

Если же дуга АВ больше полуокружности, то ее градусная мера считается равной 360° -  АОВ

Доказательство:

Пусть  ABC — вписанный угол окружности с центром О, опирающийся на дугу АС .

Докажем, что  ABC= 0,5 AC.

Рассмотрим три возможных случая расположения луча ВО относительно угла ABC.

Три возможных случая расположения луча ВО относительно угла АВС

Луч ВО совпадает с одной из сторон угла АВС (рис .a )
Луч ВО делит угол АВС на два угла (рис . б)

3) Луч ВО не делит угол АВС на два угла и не совпадает со стороной этого угла (рис . в)

Теорема: если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды

Доказательство:

Пусть хорды АВ и CD пересекаются в точке Е

Докажем, что

АЕ • ВЕ=СЕ • DE

Рассмотрим треугольники ADE и

СBE. В этих треугольниках углы 1 и 2 равны, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу BD, а углы 3 и 4 равны как вертикальные.

По первому признаку подобия треугольников

Отсюда следует, что АЕ • ВЕ =СЕ • DE ч.т.д.

M, N, K – точки касания

Хорды KN и LM взаимно перпендикулярны. Найдите угол NLM, если угол KML равен 35∘. Ответ дайте в градусах.

Вписанные углы KML и KNL опираются на одну и ту же дугу, следовательно, они равны, значит, ∠KNL=35∘. Тогда ∠NLM=180∘−90∘−35∘=55∘. Ответ: 55

Точки A и C разбивают окружность на две дуги, одна из которых равна 280∘ и на которой отмечена точка B. Найдите угол BAC, если AB=AC. Ответ дайте в градусах.

Хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E, причём CE=AE. Градусная мера дуги AC равна 120∘, градусная мера дуги CAD равна 210∘. Найдите градусную меру дуги BD. Ответ дайте в градусах.

Градусная мера дуги DA равна 210∘−120∘=90∘.

Треугольник AEC – равнобедренный, тогда ∠DCA=∠BAC, тогда дуги, на которые опираются эти вписанные углы, равны, следовательно градусная мера дуги BC равна 90∘. Градусная мера дуги BD равна 360∘−120∘−90∘−90∘=60∘. Ответ: 60

Планируемые результаты

Предметные умения:

Умеют работать с геометрическим текстом, точно грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи.

Универсальные учебные действия.

Познавательные: умеют создавать, применять и преобразовывать знако-символические средства, модели и схемы для решения учебных задач.

Регулятивные: умеют самостоятельно ставить цели, выбирать и создавать алгоритмы для решения учебных математических задач.

Коммуникативные: умеют организовать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками.

Личностные: проявляют креативность мышления, инициативность, находчивость, активность при решении геометрических задач.

Оргмомент. (Слайд1)

Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает настойчивость и упорство в достижении цели. (А. Маркушевич) (Алексе́й Ива́нович Маркуше́вич (20 марта (2 апреля) 1908, Петрозаводск, Олонецкая губерния, Российская империя — 7 июня1979, СССР) — советский математик и педагог, книговед; доктор физико-математических наук (1944), профессор (1946), действительный член (1950), вице-президент (1950—1958, 1964—1967) Академии педагогических наук РСФСР, действительный член (1967), вице-президент (1967—1975) Академии педагогических наук СССР; заместитель министра просвещения РСФСР (1958—1964)

Мотивация к учению.

Сейчас вы видите шесть рисунков. На какие группы вы бы их разделили и почему? (Cлайд2)

Острые, прямые, тупые.

Углы 1, 3, 5 и 2, 4, 6 по расположению вершины угла? Как называют углы 1, 3, 5 ?

А углы 2, 4, 6 –называются вписанными.

- Как вы думаете, чем мы будем заниматься сегодня на уроке? ( Ученики называют тему урока, цели и задачи.)

III. Актуализация знаний.

Устная работа. Закончите предложения.

Окружность – это угол в … (360°)

Диаметр больше радиуса в …. ( 2 раза)

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку , называется … (касательной)

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется … (хорда)

Часть плоскости, ограниченной окружностью, называется … (круг)

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее, называется …. ( вписанный)

Угол, вершина которого лежит в центре окружности, а стороны пересекают ее, называется … ( центральным)

Центральный угол, больше вписанного угла, опирающегося на ту же самую дугу -… ( в 2 раза)

Мера дуги равна мере … (центрального угла)

Полуокружность равна… (180°)

Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности равен… (90°)

IV. Закрепление материала (дифференцированно- индивидуальный подход)

Работа по готовым чертежам

Ответы: 1) 40°; 2) 164°; 3) 30°; 4) 130°; 5) 90°.

Несколько учеников выполняют самостоятельно тест ( Прохорова К., Калякин А., Стройкин Е., Юдин В., Кузьмин Д.,).

Тест на два варианта.

Несколько учеников ( из числа сильных) выполняют тест на компьютерах с последующей самопроверкой. ( Баркаева Е., Рипов Н., Мингалиева Э., Сыркина А.)

4 Рефлексия пройденного этапа.

- Какие задания вызвали затруднения?

V. Физминутка для глаз.

VI. Практическая работа.

Задачи на вписанные и центральные углы встречаются в материалах экзаменов различного уровня: РЭ, ОГЭ и ЕГЭ.

Решим некоторые из них.

Задача№1. (Слайд)

Найдите центральный угол АОВ, если он на 15° больше вписанного угла АСВ, опирающегося на ту же дугу. Ответ дайте в градусах.

Решение: Пусть

Задача №2. (Слайд)

Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет окружности. Ответ дайте в градусах.

В окруности с центром О отрезки AC и BD – диаметры. Вписанный угол ACB равен 38°. Найдите центральный угол AOD. Ответ дайте в радусах.

Найдите угол АСВ , если вписанные углы АDB и DAE опираются на дуги окружности, градусные меры, которых равны соответственно118° и 38°.

Укажите номера верных утверждений

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.

Вписанным называется угол, вершина которого лежит в окружности.

Вписанный угол измеряется величиной дуги, на которую он опирается.

Центральным называется угол, вершина которого лежит в центре окружности.

Вписанный и центральный углы, опирающиеся на одну дугу равны.

Составить кроссворд , используя термины из §1 и §2 гл.VIII.

Ну а мы подведем итог нашей работы.

В листе самоконтроля поставьте оценку своим знаниям, умениям.

Имя ученика: _______________________________________

Какие умения сформированы:

Знаю определение угла, вписанного в окружность

Определение центрального угла

Знаю теорема об угле, вписанном в окружность

Применяю теорему при решении задач

Цветочная задача

Дана клумба круглой формы, на одной из хорд которой посажены розы. В каких разных местах клумбы должны быть посажены три куста роз таким образом, чтобы с этих точек все розы были видны под одним и тем же углом?

Усвоив теорему о величине вписанного угла в окружность, делаем вывод, т.к. из всех

точек окружности, кроме концов хорды, эта хорда видна под одним и тем же углом, мы можем посадить кусты роз в любой точке на окружности клумбы, кроме точек М и N .

Это одно из практических применений теоремы о величине вписанного угла в окружность.

-80%

1. Систематизировать знания обучающихся по теме, закрепить знания, умения и навыки при решении задач, ликвидировать возможные пробелы в знаниях.

2. Развивать умение анализировать, делать выводы, применять математические знания к решению практических задач, развивать навыки математической речи.

3. Воспитывать аккуратность при выполнении рисунков, самостоятельность, уверенность в своих силах, стремление к достижению результата.

- технологии личностно-ориентированного образования;

- технологии модульного обучения;

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран, презентация, раздаточные материалы.

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания.

3. Актуализация знаний обучающихся.

4. Релаксационная пауза.

5. Решение задач.

6. Самостоятельная работа с последующей проверкой.

7. Итог урока. Рефлексия.

8. Домашнее задание.

1. Организационный момент

Сформулировать тему урока, цель урока (слайд 1).

2. Проверка домашнего задания.

3. Актуализация знаний обучающихся.

(Тест проводится с целью систематизации теоретического материала.)

Задание: заполните пропуски, чтобы получилось верное утверждение или правильная формулировка определения, теоремы, свойства.

1. Прямая и окружность имеют две общие точки, если расстояние от . до . меньше.

2. Если прямая АВ - касательная к окружности с центром О и В - точка касания, то прямая АВ и … ОВ …

3. Угол АОВ является центральным, если точка О является . лучи OA и ОВ .

4. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, .

Если хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е, то верно равенство .

Если АВ - касательная, AD - секущая, то выполняется равенство .

1. Прямая и окружность имеют только одну общую точку если расстояние от . до . равно .

2. Если прямая CD проходит через конец радиуса ОК и CD ^ ОК, то CD является .
к данной окружности.

3. Угол ABC является вписанным, если точка В . , а лучи ВА и ВС.

4. Вписанные углы равны, если они . на одну .

Если отрезки АВ и АС - отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, то .

Если AC и AE – секущие, то выполняется равенство …

После выполнения теста на экране демонстрируются правильные ответы (слайды 5-12).

За каждый верный ответ обучающиеся выставляют по одному баллу. На полях тетради записывают итоговый балл за тест.

4. Релаксационная пауза. (Видео, 1 мин)

Устные задачи по готовым чертежам (слайды 13-17).

Демонстрируется слайд с ответами (слайд 18).

За каждую верно решённую задачу ученик выставляет два балла. Результат этого задания записать на полях тетради.

6. Самостоятельная работа с последующей проверкой.

Условия задач на индивидуальных карточках. Обучающиеся выполняют работу в течение 12 мин., затем сверяют свои решения с приведёнными на экране. Оценивают свою работу, учитывая предложенные критерии.

Ответ обучающиеся записывают в тетради (слайды 19-22).

На полях тетради выставляют баллы за самостоятельную работу.

7. Итог урока. Рефлексия.

Посчитайте баллы за работу в течение всего урока. Поставьте себе оценку за урок (слайд 23).

Учитель предлагает обучающимся проанализировать свою деятельность на уроке и продолжить одну из фраз по желанию (слайд 24).

8. Домашнее задание. (слайд 25)

Список литературы и Интернет-ресурсов

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., и др. Геометрия. Учебник для 7-9 кл. средней школы.- М.:Просвещение, 2010.

2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., и др. Геометрия. Рабочая тетрадь 8 класс.- М.:Просвещение, 2010

3. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., и др. Изучение геометрии в 7-9 кл. Методические рекомендации к учебнику. Кн. для учителя. М.:Просвещение, 2010

Басенко Наталия Владимировна

Тип урока: урок закрепления изученного материала.

- технологии личностно-ориентированного образования;

- технологии модульного обучения;

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран, презентация, раздаточные материалы.

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания.

3. Актуализация знаний обучающихся.

4. Релаксационная пауза.

5. Решение задач.

6. Самостоятельная работа с последующей проверкой.

7. Итог урока. Рефлексия.

8. Домашнее задание.

1. Организационный момент

Сформулировать тему урока, цель урока (слайд 1).

2. Проверка домашнего задания.

3. Актуализация знаний обучающихся.

(Тест проводится с целью систематизации теоретического материала.)

Задание: заполните пропуски, чтобы получилось верное утверждение или правильная формулировка определения, теоремы, свойства.

Прямая и окружность имеют две общие точки, если расстояние от . до . меньше.

Если прямая АВ - касательная к окружности с центром О и В - точка касания, то прямая АВ и … ОВ …

Угол АОВ является центральным, если точка О является . лучи OA и ОВ .

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, .

ABD = . ,AOD= .

Если хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е, то верно равенство .

Если АВ - касательная, AD - секущая, то выполняется равенство .

Прямая и окружность имеют только одну общую точку если расстояние от . до . равно .

Если прямая CD проходит через конец радиуса ОК и CD  ОК, то CD является .
к данной окружности.

Угол ABC является вписанным, если точка В . , а лучи ВА и ВС.

Вписанные углы равны, если они . на одну .

ABD= . ACD= .

Если отрезки АВ и АС - отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, то .

Если AC и AE – секущие, то выполняется равенство …

После выполнения теста на экране демонстрируются правильные ответы (слайды 5-12).

4. Релаксационная пауза. (Видео, 1 мин)

5. Решение задач.

Устные задачи по готовым чертежам (слайды 13-17).

Демонстрируется слайд с ответами (слайд 18).

6. Самостоятельная работа с последующей проверкой.

Ответ обучающиеся записывают в тетради (слайды 19-22).

На полях тетради выставляют баллы за самостоятельную работу.

7. Итог урока. Рефлексия.

Посчитайте баллы за работу в течение всего урока. Поставьте себе оценку за урок (слайд 23).

8. Домашнее задание. (слайд 25)

Список литературы и Интернет-ресурсов

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., и др. Геометрия. Учебник для 7-9 кл. средней школы.- М.:Просвещение, 2010.

2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., и др. Геометрия. Рабочая тетрадь 8 класс.- М.:Просвещение, 2010

У. На прошлом уроке мы рассматривали взаимное расположение прямой и окружности, а также касательной.

Вспомните, что называется окружностью? Что называется радиусом диаметром, хордой. Какая прямая называется касательной?

У. Постройте в тетради окружность и все названные элементы

Чертеж на доске (рис. 1) лучше выполнять вместе с учащимися, предложив им именно такое расположение элементов. Все углы отмечаются цветным мелом.

У. Назовите другие радиусы окружности. Сколько можно провести радиусов, диаметров, хорд в окружности?

При построении этих элементов окружности у нас получились углы. Назовите их.

У. Вспомните, что вы знаете о паре углов AOC и BOA

Д. Они смежные и их сумма равна 180°.

У. Как называется угол ВОС?

Д. BOC - развернутый, градусная мера его равна 180°.

У. Что является сторонами этих углов? А вершины углов где расположены?

Д. Стороны этих углов - радиусы окружности, а вершины располагаются в центре окружности.

У. А угол BCD - он какой?

У. Чем являются стороны этого угла?

Д. Диаметр и хорда или просто две хорды, так как диаметр это наибольшая хорда. Вершина принадлежит окружности.

II. Новый материал

У. Попробуйте разделить все эти углы на две группы по каким- то общим элементам.

Углы в окружности

Д. У всех углов I группы вершина угла является центром окружности, отсюда их название - центральные углы. Стороны являются радиусами. Запишем определение в тетрадь.

У. Но это не все центральные углы, которые есть на чертеже, например, угол между радиусами OA и ОС вы назвали один, то есть 1, а их два. Покажите второй угол на чертеже и объясните, почему он тоже центральный. Обратите внимание на нестандартный вид этого угла.

У. Каждая пара центральных углов имеет одинаковые обозначения, например АОВ или AOC , но их величины разные. Один из углов острый, а другой больше развернутого. Как их различать?

У. Начертите окружность и проведите два произвольных радиуса. Каждый из проведенных радиусов пересекает окружность в точках А и В. На чертеже получились два угла, оба центральные, но углу 1 соответствует меньшая дуга, а углу 2 большая дуга. Эти углы являются дополнительными (рис. 2).

Каждому центральному углу соответствует определенная дуга. Углы измеряются в градусах, соответствующие им дуги тоже измеряются в градусах. Иногда на дуге окружности берут дополнительную точку. Например М. Тогда

1 = uAB

2=uАМВ.

Постройте окружность и проведите диаметр. Запишите центральные углы и дуги, им соответствующие, определите градусные меры (рис. 3)

1 = uCD 1= 180° = 2

1 = 180° = /2 uCD = 180° = u CLD

У. Дуга CD еще называется полуокружностью. Тогда вся окружность имеет градусную меру 360°. Если дана градусная мера одного из центральных углов, то второй можно найти: 360° -1. Например (рис. 2):

1 = 75°, тогда 2 = 360° - 75°

2 = 285°

uAB = 75 ° uAMB = 285 °

Найдите градусную меру углов 1, 2 и дуги uAB, если uАМВ = 240°.

Д. 2 = 240°, 1 = 360° - 240° = 120°, uАВ = 120°.

III . Закрепление материала

Проводится по распечатке с заданиями (рис. 4), то есть каждому ученику предлагается карточка с готовыми чертежами. Решение задач обсуждается коллективно, затем каждый ученик делает краткую запись.

около чертежа на своей карточке. Если нет возможности раздать распечатку каждому ученику, тогда чертежи готовятся заранее на доске (можно плакат). Вот содержание этого задания.

Формируем определение и связь с дугой окружности. На этом можно закончить урок 1. Если остается время, то можно предложить самостоя-

тельно по готовому чертежу выполнить аналогичную работу, изменив градусные меры углов (рис. 5).

V. Домашнее задание

§ 70 по учебнику Атанасяна, № 649, № 650.

Найти градусные меры центральных углов, образованных двумя радиусами, если: а) один больше другого в 5 раз; б) один из них больше другого на 100°.

I. Новый материал

Мы возвращаемся к рисунку 1 и схеме предыдущего урока, по которой разбирали только I группу углов - центральные.

У. Угол CBD не является центральным, его вершина расположена на окружности, а стороны являются хордами. Этот угол имеет свое название - вписанный.

Учащиеся записывают определение: «Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным.

У. Начертите окружность, обозначьте точку на окружности и через нее проведите две прямые, пересекающие ее. Назовите вписанный угол: его вершину и стороны (рис. 6). По аналогии с центральным углом вписанному углу тоже соответствует определенная дуга. Назовите ее.

Д. CAB - вписанный угол, А - вершина угла.

- АС и АВ - стороны (хорды).

- Угол CAB опирается на дугу СВ.

У. Если провести радиусы окружности ОС и ОВ, то получим СОВ - центральный, соответствующий дуге СВ.

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается (или половиной центрального угла).

Для доказательства можно использовать учебник либо вновь воспользоваться распечатками, в которых дана схема рассуждений, но требуется заполнить пропуски.

Дано: ABC - вписанный угол (рис. 7).

Доказать: АВС = 1/2 uАС ( или AВС = 1/2 АОС).

Рассмотрим случай, когда одна из сторон угла является диаметром.

Дополнительное построение: О - центр окружности, OA - радиус.

AOC - центральный, так как OA и ОС радиусы; ААОС =uАС.

Треугольник АOВ - равнобедренный, так как OA = OB = R.

l = l по свойству углов равнобедренного треугольника.

\AOC- внешний, АОС = 1 + 2 = 2 • 1.

1 = ½ AOC (свойству) или 1 = — uАС, так как AOC = uAC.

Все записи обсуждаются устно с классом.

О связи какого угла с соответствующей дугой мы знаем? Какова эта связь?

Есть на чертеже такой угол?

Построим угол, опирающийся на дугу АС. Для этого проведем. (радиус OA).

На чертеже получился треугольник АОВ. Как называется это треугольник? Почему? Какое свойство углов мы знаем?

Мы ищем связь между углами: центральным АОС и вписанным АБС, на нашем чертеже угол АОС является внешним углом треугольник АОВ (учащиеся записывают это свойство).

Дополнительное построение(рис.8) диаметр BD.

ABC = ABD + CBD – углы вписанные в окружность.

ABD = ½ uAD, по свойству вписанного угла,

DBC = ½ uDC.

4. ABC = ½ ( uAD + ½ uDC);

ABC = ½ ( uAD + uDC) = ½ uAC= ½ AOC.

ABC – вписанный (рис.9).

Дополнительное построение: BD -диаметр.

ABC = ABD - CBD.

ABD = ½ uAD;

CBD = ½ uCD.

ABC = ½ uAD – ½ u CD = ½(uAD – uCD);

ABC = ½ uAC = ½ AOC.

Случай 3 можно попросит сделать дома.

У. Проведем закрепление- устно выполним №654 а, б по учебнику Атанасяна.

Рассуждения могут быть следующие:

а) Найдем дугу, соответствующую вписанному углу х. Она равна

360° - (152° + 80°) = 88° . А значит, градусная мера угла х = ½ •88° = 44°.

б) Найдем дугу, соответствующую вписанному углу. Она в 2 раза больше вписанного угла, то есть 60°. Тогда дуга х = 360° - (125° +2 • 30°) = 175°.

Если время позволяет, то следует закрепление материала ( № 657 по учебнику Атанасяна, с.167).

Дано: uAB = 140° ( рис.10),

Найти: BAM.

BAV – вписанный;

BAM = ½ uBM по свойству.

u AMB = 360° - 140 = 220°.

Пусть х - коэффициент пропорцио-

нальности, тогда uAM = 6х, uMB= 5х.

Тогда uAM = 120°, uNM = 100°.

BAM = ½ • 100° = 50°.

II. Домашнее задание

№70,№71. Атанасян; случай III доказательства теоремы( распечатка), №654 в,г, №655.

Тема. Углы, вписанные в окружность. Следствия из теоремы об угле, вписанном в окружность

Цели урока . Закрепление сформулированных на предыдущих уроках понятий центрального угла и соответствующей ему дуги; вписанного в окружность угла; центрального угла, соответствующего данному вписанному углу; формулировка и доказательство двух следствий из теоремы об угле, вписанном в окружность; отработка навыка решения задач с использованием определений и свойств вписанного и соответствующего ему центрального углов, а также градусной меры дуги, соответствующей данному центральному или вписанному углам; проверка приобретенного навыка решения задач.

Центральные и вписанные углы

ТЕМА: Центральные и вписанные углы. 8 класс. ЦЕЛЬ: Систематизировать теоретические знания по теме "Центральные и вписанные углы". Обобщить и . . Сегодня у нас заключительный урок по теме: "Центральные и вписанные углы". Повторяем, обобщаем, приводим .

Пояснительная записка 3 стр. Общие положения 3 стр. Общая характеристика учебного предмета. 3 стр. Цели и задачи изучения геометрии в основной школе 4 стр

Урок по теме Правильные многоугольники Цели урока

. . Урок по теме «Формулы радиусов вписанных и описанных окружностей правильных многоугольников" Цели урока: . центральным углом α. Угол с вершиной в центре окружности называется её центральным углом. Если центральный угол меньше развернутого угла .

Урок № Тема Дата

Урок № Тема Дата Формируемые в теме Понятия Знания, умения, навыки Вид . центральные и вписанные углы Фронтальная, индивидуальная. Решение упражнений Глава IX . Векторы ( 9 часов ) Основная цель: Формирование .

Основная образовательная программа начального общего образования (4 класс, реализующий фкгс)

. Задачи на нахождение доли целого и целого по его доле. . углы. Центральный угол и угол, вписанный в окружность. Измерение углов. Транспортир. Построение углов с . -Проведение олимпийского урока в рамках классного часа по теме « Игры 2014года .