Содержательные особенности элементов прикладной математики включенных в школьный курс математики

Обновлено: 05.07.2024

Эта книга является не систематическим учебником, а скорее, книгой для чтения. На простых примерах, взятых из физики, на различных математических задачах мы старались ввести читателя в круг идей и методов, широко распространенных сейчас в приложениях математики к физике, технике и некоторым другим областям. Некоторые из этих идей и методов (такие, как применение дельта-функции, принципа суперпозиции, получение асимптотических выражений и т. д.) еще недостаточно освещаются в распространенных математических учебниках для нематематиков, так что здесь наша книга может служить дополнением к этим учебникам. Нашей целью было пояснить основные идеи математических методов и общие закономерности рассматриваемых явлений. Напротив, формальные доказательства, рассмотрение исключений и усложняющих факторов по возможности опущены. Взамен этого мы в некоторых местах старались входить более подробно в физическую картину рассматриваемых процессов.
Предполагается, что читатель владеет основами дифференциального и интегрального исчисления для функций одной переменной, включая разложение таких функций в степенные ряды, и может применять эти разделы математики к решению физических задач.

2. Элементы математической физики

3. Высшая математика для начинающих физиков и техников

Введение в математический анализ. Наряду с изложением начал аналитической геометрии и математического анализа (дифф. и интегр. исчисления), книга содержит понятия о степенных и тригонометрических и о простейших дифференциальных уравнениях, а также затрагивает ряд разделов и тем из физики.

4. Высшая математика для начинающих и ее приложения к физике

В книге рассматриваются задачи построения математических моделей реальности. Особое внимание уделено прикладным задачам, решаемым при изучении в школе элементарных функций. Весьма полезными окажутся для учителя материалы по экономическому воспитанию учащихся.

Авторство: Терешин Н.А.

Формат: DjVu Размер файла: 3.24 MB

СОДЕРЖАНИЕ

Глава 1. Педагогическая сущность прикладной направленности математики 6

Понятие прикладной задачи. Алгоритм 7

Некоторые особенности прикладной математики 9

Понятие модели и моделирования. Виды моделей 12

Дидактические функции математического моделирования . 19

Особенности отражения математикой реальной действительности . 20

Математические абстракции и их отношение к реальности . 26

Глава 2. Воспитательные функции прикладной направленности школьного

курса математики 33

Экономическое воспитание учащихся при обучении математике . 35

Историзм в преподавании математики 46

Формирование элементов стиля математического мышления при изучении некоторых тем школьного курса математики 59

Глава 3. Примеры осуществления прикладной направленности школьного

курса математики 65

Получение производной и дифференциала на основе идеи линейной аппроксимации. Приложение производной к решению уравнений . —

Конструирование квадратичной функции на основе построения математических моделей физических процессов 74

Некоторые особенности межпредметных связей при изучении физики и

Установление связи алгебры и геометрии при изучении квадратичной

и линейной функций 86

Категории конечного и бесконечного в курсе математики средней школы 92

КАК ОТКРЫВАТЬ СКАЧАННЫЕ ФАЙЛЫ?

СМОТРИТЕ ЗДЕСЬ

СКАЧАТЬ DjVu

Прикладную направленность школьного курса математики мы рассматриваем с точки зрения двух важнейших взаимосвязанных, но вполне самостоятельных функций, которые она может реализовать: мировоззренческой и социально-педагогической. И это естественно.

Учителям известно, что мировоззренческая функция реализуется при использовании математики в других школьных учебных предметах, рассмотрении истории возникновения и эволюции математи-. ческих понятий, их источника, а также при абстракциях различных уровней, знакомстве с элементами математического моделирования реальных состояний или процессов, конструирования и рассмотрения возникающих алгоритмов, программ и т. п.

Социально-педагогическая функция прикладной направленности школьного курса математики реализуется, например, при профессиональной ориентации школьников. Математические задачи могут способствовать экономическому и экологическому воспитанию учащихся. Изучение школьного курса включает в себя элементы программирования на ЭВМ, работу с микрокалькуляторами и т. д., предполагает решение практических задач, поставленных обществом перед школьным образованием на данном этапе. Вряд ли требуется подробно пояснять, что социальная значимость подобной работы учителя отнюдь не перегружает, а, наоборот, повышает эффективность учебного процесса.

Примеры реализации мировоззренческой и социально-педагогической функций прикладной направленности курса математики будут рассмотрены в данной книге.

В первой главе раскрываются некоторые особенности прикладной математики, требования, предъявляемые к составлению прикладной задачи, вводится понятие математического моделирования, так как до настоящего времени ни в программах, ни в учебниках практически не говорится о математических моделях, а учитель математики и учащиеся на каждом уроке оперируют с ними. Наряду с этим показан пример построения математической модели реальности, виды моделей, их дидактическая значимость, уделяется внимание отличию математического моделирования от моделирования в других, в частности естественных, науках.

Механизм построения математических абстракций и их связи с практикой показан на примере изучения линейной функции. Как продолжение идеи линеаризации выведены формулы интерполяции

Во второй главе раскрываются воспитательные функции прикладной направленности школьного курса математики.

Известно, какое большое значение сейчас приобретает экономическое образование, причем оно имеет не только просветительный характер. Речь идет о практическом овладении каждым человеком элементарными методами решения экономических задач. Это касается не только тех, кто являются членами достаточно малых трудовых коллективов (бригадный подряд, семейный подряд и т. д.), но и тех, кто работают или будут работать на крупных предприятиях, ибо в настоящее время решающей силой во всех производственных делах является собрание трудового коллектива. А поскольку речь идет о переходе государственных предприятий и колхозов на хозрасчет, самофинансирование, то во главу всех хозяйственных расчетов ставятся прибыль, рентабельность, затраты. Поэтому в пособии этим понятиям уделено внимание, показана математическая зависимость между ними и приведены примеры решения реальных задач серьезной экономики методами школьной математики.

Так как большинство понятий классической математики обязано своим происхождением практике, один из разделов книги посвящен проблеме историзма в преподавании математики. На наш взгляд, следует излагать не только историю успехов мышления и получения математических результатов (что в определенной мере делается), но и историю процесса самого мышления с выявлением причин введения нового математического понятия, его трансформации в историческом развитии, создания различных трактовок в методической литературе (с соответствующими методологическими обоснованиями). Далее на примерах приложений дифференциала и интеграла сделана попытка формирования некоторых элементов стиля математического мышления. Заключительная глава дает некоторые рекомендации по реализации идей, изложенных в первых двух главах, раскрыты некоторые особенности межпредметных связей при изучении конкретных тем физики и математики на основе построения математических моделей физических процессов. Рассмотрены примеры внутрипредметных связей, осуществление которых способствует более прочному усвоению школьного курса математики.

С содержанием книги на протяжении пяти последних лет знакомились учителя математики на курсовых занятиях в Московском областном институте усовершенствования учителей, а также на курсах учителей математики при Орехово-Зуевском педагогическом институте.

Автор выражает искреннюю признательность члену-корреспон- денту АПН СССР, доктору педагогических наук, профессору Ю. М. Калягину; доктору педагогических наук А. Г. Мордковичу; зав. кабинетом математики МОИУУ Г. 3. Генкину; кандидату философских наук, доценту В. Н. Князеву; кандидату физико-математических наук, доценту А. Я. Блоху за помощь, ценные советы и замечания в период подготовки рукописи к печати.

1 Общая характеристика предметного содержания школьного курса математики

2 Содержательно-методические линии школьного курса математики числовая; тождественных преобразований; уравнений, неравенств и их систем; функциональная; геометрических фигур и их свойств; измерения величин; векторно-координатная; начала математического анализа; вероятностно-стохастическая.

3 Основные линии с учетом критерия знаний и умений логическая - формирование системы понятий и фактов путем построения определений и доказательств; формально-оперативная - выработка навыков вычислений, тождественных преобразований, решения уравнений, исследования функций и т.п.; содержательно-прикладная - решение текстовых, геометрических задач, задач с физическим, техническим, экономическим и т.п. содержанием; вычислительно-графическая - выработка умений строить таблицы, графики, диаграммы, а также умения осуществлять приближенные вычисления, прикидку, пользоваться калькулятором.

4 Линия числа в школьном курсе математики ТМОМ Методика изучения основных разделов предметного содержания школьного курса математики

5 План 1.Числовая линия школьного курса математики как система. 2.Методические особенности преподавания отдельных тем числовой линии.

6 Система – совокупность элементов, находящихся в отношениях и связях между собой и образующих определенную целостность. Структура – строение и внутренняя форма организации системы, выступающая как единство устойчивых взаимосвязей между ее элементами.

7 Числовая линия горизонтальные отношения: округление; действия; их законы и свойства. вертикальные необходимость рассмотрения; связь между действиями. Элементы: числа, организованные в уровни по отдельным числовым множествам Внутренние связи Внешние связи – связи с другими линиями

8 Схемы развития понятия числа Историческая: N N 0 Q + Q R Логическая: N N 0 Z Q R

9 Схема изучения числовой линии в МПИ-проекте N 0 дес. дроби Z отр. дес. дроби Q + Q - Q Q \R R

10 Системно-структурный анализ 1. Общее понятия числа в большинстве технологий не рассматривается. Под натуральным числом понимается некий символ, характеризующий класс эквивалентных между собой множеств, между элементами которых можно установить взаимнооднозначное соответствие, т.е. символ, обозначающий мощность не пустых конечных множеств.

11 Системно-структурный анализ 2. Числа вводятся для разных нужд: натуральные - через необходимость пересчитывать предметы; отрицательные - для обозначения величины или ее измерения; дробные - через понятие доли; иррациональные - через разрешимость уравнений; действительные – через установление соответствия Таким образом, общей идеи нет, вертикальные связи отсутствуют

12 Системно-структурный анализ 3. Базовым действием, которое вводится без определения, является сложение натуральных чисел Остальные операции для множеств Z и Q определяются, но вводятся по-разному, а для множеств Q \R и R не вводятся и не рассматриваются. Вопрос о выполнимости операций не ставится, т.к. нет потребности. Таким образом, целостность системы нарушается

13 Системно-структурный анализ 4. При изучении свойств операций целостность сохраняется только для сложения и умножения. Свойства вычитания и деления рассматриваются, как правило, только для натуральных чисел (исключение в МПИ-проекте) и далее к ним не обращаются. Таким образом, целостность нарушается.

14 Общий вывод С точки зрения системности в разворачивании числовой линии имеется ряд существенных недостатков

15 Возможные варианты для общей идеи разворачивания числовой линии разрешимость уравнений (вертикальная связь); выполнимость действий (горизонтальная связь).

16 Принцип общности решения типовых задач Если на одном из множеств типовая задача решается каким-либо действием и ее данные могут выражаться числами, принадлежащими другому множеству, то и на этом другом множестве задача должна решаться тем же действием.

17 Принцип перманентности и минимальности для расширения числового множества Если множество А расширяется до множества В, то: А должно быть подмножеством В; все операции, определенные в А, должны быть определены и в В, причем при их выполнении для элементов множества А должны получаться прежние результаты; все свойства операций, имевшие место в А, должны выполняться и в В; в множестве В выполняется какая-либо операция, не выполняющаяся в А; множество В – минимальное, удовлетворяющее предыдущим свойствам.

18 Способы построения множества В Множество В строится независимо от А, а затем в нем выделяется подмножество, изоморфное А, и отождествляется с А. Множество А дополняется новыми элементами, в результате чего получается новое множество В.

19 Некоторые методические особенности изучения натуральных чисел Изучение начинается в начальной школе, в 5 классе осуществляется систематизация знаний. Систематизация идет с опорой на позиционное представление числа. С целью выделения существенных признаков позиционных систем счисления целесообразно рассмотреть недесятичные и непозиционные системы. Усиливается роль теоретических обоснований, что проявляется в сочетании методов индукции и дедукции.

22 Пример сочетания методов индукции и дедукции Таким образом, рассуждения проводятся на основе примера, поэтому они индуктивны; ссылка на законы сложения внутри этого примера есть проявления дедуктивности.

24 Некоторые методические особенности изучения дробных чисел Существует методическая проблема порядка изучения десятичных и обыкновенных дробей: какие из них изучать первыми? Имеются три подхода к решению этой проблемы, которые с методической точки зрения равноправны.

25 Подходы к проблеме порядка изучения десятичных и обыкновенных дробей 1 подход Изучаются сначала обыкновенные дроби, а затем десятичные (Петерсон Л.Г.) Обоснование: десятичные дроби не являются числовым множеством, а представляют собой форму записи дробей с частным видом знаменателей.

26 Подходы к проблеме порядка изучения десятичных и обыкновенных дробей 2 подход Изучаются сначала десятичные дроби, затем обыкновенные (Гельфман Э.Г.) Обоснование: в десятичных дробях сохраняется идея позиционности, что дает возможность переноса известных способов действий с натуральными числами на новые объекты, и они более удобны в расчетах.

27 Подходы к проблеме порядка изучения десятичных и обыкновенных дробей 3 подход Изучение обыкновенных и десятичных дробей чередуется (Виленкин Н.Я.) Обоснование: обыкновенные дроби более универсальны, но десятичная форма дробей более проста для изучения.

29 Некоторые методические особенности изучения отрицательных чисел Для сохранения системности в изложении содержания числовой линии необходимо опираться на все три приема для мотивации введения новых чисел, но приоритетным направлением следует рассматривать идею выполнимости действий.

30 Некоторые методические особенности изучения отрицательных чисел Имеется методическая сложность в обосновании целесообразности введения правил действий с отрицательными числами, т.к. сложно подобрать сюжетную фабулу задачи для использования принципа общности решения типовых задач. Такой задачей может быть задача об изменении температуры воздуха или уровня воды в реке. Особенностью изучения правил действий является и то, что для каждого арифметического действия имеется несколько правил их выполнения.

31 Некоторые методические особенности изучения отрицательных чисел Выработка правильных алгоритмов действий – важный момент методики Следует обратить внимание учащихся, что результат действия – число, характеризуемое знаком и модулем, поэтому при выполнении действий 1)сначала находим знак искомого числа, 2)потом модуль искомого числа. Именно в таком порядке!

32 Некоторые методические особенности изучения иррациональных чисел Для практических вычислений множества рациональных чисел достаточно. Необходимость изучения действительных чисел в большей мере вызывается потребностями самой математики (например, построение графиков сплошной линией). Главная трудность – ни одна теория действительного числа не может быть изложена в школьном курсе математики даже в старших классах из-за высокой степени абстрактности, а потребности математики требуют более раннего введения понятия иррациональных чисел.

33 Некоторые методические особенности изучения иррациональных чисел Основой для введения иррациональных чисел служит одна из задач: –задача об измерении отрезка, –задача об извлечении корня. Необходимо отметить, что существуют иррациональные числа, которые нельзя получить извлечением корня, поэтому иррациональное число определяется как бесконечная непериодическая десятичная дробь.

34 Некоторые методические особенности изучения иррациональных чисел Большинство вопросов, связанных с изучением иррациональных чисел, рассматривается на уровне наглядных представлений. Разъяснить арифметический смысл даже основных операций очень непросто, поэтому им часто дается геометрическая, наглядная интерпретация. Например, для суммы через построение отрезка, равного сумме двух других отрезков, а для умножения – через вычисление площади прямоугольника.

35 Изучение комплексных чисел Изучение комплексных чисел не входит в программы базовых курсов школьной математики, но включено в программы профильных физико-математических классов.

Концепция является методологической основой разработки и реализации федерального государственного образовательного стандарта общего образования. Концепция представляет собой ценностно-нормативную основу взаимодействия общеобразовательных учреждений с другими субъектами социализации – семьей, общественными организациями, религиозными объединениями, учреждениями дополнительного образования, культуры и спорта, средствами массовой информации. Целью этого взаимодействия является совместное обеспечение условий для духовно-нравственного развития и воспитания обучающихся.

· характер современного национального воспитательного идеала;

· цели и задачи духовно-нравственного развития и воспитания детей и молодежи;

· систему базовых национальных ценностей, на основе которых возможна духовно-нравственная консолидация многонационального народа Российской Федерации;

· основные социально-педагогические условия и принципы духовно-нравственного развития и воспитания обучающихся.

Концепция формулирует социальный заказ современной общеобразовательной школе как определенную систему общих педагогических требований, соответствие которым обеспечит эффективное участие образования в решении важнейших общенациональных задач.

Духовно-нравственное воспитание личности гражданина России – педагогически организованный процесс усвоения и принятия обучающимся базовых национальных ценностей, имеющих иерархическую структуру и сложную организацию. Носителями этих ценностей являются многонациональный народ Российской Федерации, государство, семья, культурно-территориальные сообщества, традиционные российские религиозные объединения (христианские, прежде всего в форме русского православия, исламские, иудаистские, буддистские), мировое сообщество.

Ценности личности формируются в семье, неформальных сообществах, трудовых, армейских и других коллективах, в сфере массовой информации, искусства, отдыха и т. д. Но наиболее системно, последовательно и глубоко духовно-нравственное развитие и воспитание личности происходит в сфере общего образования, где развитие и воспитание обеспечено всем укладом школьной жизни.

Именно в школе должна быть сосредоточена не только интеллектуальная, но и гражданская, духовная и культурная жизнь школьника. Отношение к школе как единственному социальному институту, через который проходят все граждане России, является индикатором ценностного и морально-нравственного состояния общества и государства.

Организация социально открытого пространства духовно-нравственного развития и воспитания личности гражданина России, нравственного уклада жизни обучающихся осуществляется на основе:

· нравственного примера педагога;

· интегративности программ духовно-нравственного воспитания;

· социальной востребованности воспитания.

1.2. Требования ФГОС ООО к школьному курсу математики

Следствием внешних и внутренних тенденций в развитии общества и образования явилась разработка стандартов второго поколения. Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования (далее – Стандарт) представляет собой совокупность требований, обязательных при реализации основной образовательной программы основного общего образования образовательными учреждениями, имеющими государственную аккредитацию.

Методологической основой разработки и реализации Стандарта является Концепция духовно-нравственного развития и воспитания личности гражданина России.

Стандарт устанавливает требования к результатам освоения обучающимися основной образовательной программы основного общего образования: личностным, метапредметным, предметным.

Изучение математики в основной школе дает возможность обучающимся достичь следующих результатов развития:

– в личностном направлении: 1)саморазвитию и личностному самоопределению; 2)сформированности их мотивации к обучению и целеноправленной познавательной деятельности; 3)способность ставить цели и строить жизненные планы.

– в метапредметном направлении : 1)освоение обучающимися межпредметных понятий и универсальных учебных действий (регулятивных, познавательных, коммуникативных); 2)способность использования УУД в учебной, познавательной и социальной практике; 3)умение самостоятельно планировать и осуществлять учебную деятельность.

Требования к предметным результатам по математике сформулированы в примерных программах. В программе конкретизированы на уровне учебного предмета все три вида результатов: 1)умение работать с математическим текстом(структурирование, извлечение необходимой информации); 2)владение базовым понятийным аппаратом; 3)овладение практически значимыми математическими умениями и навыками, их применение к решению математических и нематиматических задач.

АЛГЕБРА

Многочлены и действия над ними. Квадратный трехчлен.

Формулы сокращенного умножения. Разложение многочлена на множители. Алгебраические дроби и действия над ними.

Числовое значение буквенного выражения. Тождественные преобразования. Допустимые значения переменных.

Уравнения, неравенства и их системы. Решение линейных и квадратных уравнений. Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами. Равносильность уравнений, неравенств и их систем.

Составление уравнений, неравенств и их систем по условиям задач. Решение текстовых задач алгебраическим методом. Интерпретация результата, отбор решений.

Расширение понятия числа: натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа. Комплексные числа и их геометрическая интерпретация. Основная теорема алгебры (без доказательства).

Числовые последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Сложные проценты. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Понятие о методе математической индукции.

ГЛАВА 2. ЛОГИКО-ДИДАКТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

2.1. Тематическое планирование темы

Тематическое планирование, 3 часа в неделю

Характеристика основных видов деятельности ученика

(на уровне учебных действий)

ГЛАВА 5. Степень с целым показателем.

Формулировать определение степени с целым показателем. Формулировать, записывать в символической форме и иллюстрировать примерами свойства степени с целым показателем; применять свойства степени для преобразования выражений и вычислений.

Читайте также: