Особенности математических понятий в начальной школе

Обновлено: 02.07.2024

В статье подчеркивается необходимость получения новых знаний при обучении математике в условиях обновленного содержания образования в Республике Казахстан, характеризующихся направленностью образовательного процесса на формирование математических понятий у детей младшего школьного возраста. Авторами рассматриваются этапы формирования математических понятий, способы ознакомления обучающихся с новыми математическими понятиями, сложности в процессе овладения математическими понятиями, освещается работа учителя по формированию понятий у младших школьников. Внимание уделяется методическим особенностям формирования математических понятий у обучающихся начальной школы в контексте теоретического обобщения и практической направленности. С позиций новых подходов к организации и содержанию учебного процесса типовая учебная программа по предмету математика для 1–4 классов уровня начального образования предусматривает спиральность в обучении, что обеспечивает постепенное наращивание математических знаний, развитие вычислительных умений и навыков, овладение математическими понятиями, необходимыми в жизни и в будущей практической деятельности. Авторы подчеркивают необходимость соблюдения определенных требований в соответствии с дидактическими и методическими задачами, направленными на качественное усвоение математического языка, формирование математических понятий, повышение уровня математической грамотности младших школьников.

1. Стефанова Н.Л. Методика и технология обучения математике. Курс лекций: пособие для вузов / Под научн. ред. Н.Л. Стефановой, Н.С. Подходовой. М.: Дрофа, 2005. 416 с.

2. Холодная М.А. Психология интеллекта: Парадоксы исследования. 3-е изд., перераб. и доп. М.: Издательство Юрайт, 2019. 334 с.

5. Лучко Ю.А. Совершенствование процесса формирования геометрических понятий с использованием информационных технологий // Альманах современной науки и образования. 2008. № 7. С. 115–117.

На современном этапе в Республике Казахстан происходит реформирование системы образования с целью вхождения в мировое образовательное пространство. Разработка и внедрение новых Государственных общеобязательных стандартов всех уровней образования, типовых учебных планов и программ, повышение уровня преподавания, обучение востребованным знаниям, умениям и навыкам во многом продиктовано условиями динамично меняющего мира.

Начальная школа является фундаментом образования, именно в этот период обучения закладываются знания, умения и навыки, обеспечивающие не только дальнейшее развитие обучающихся, но и активное восприятие, осмысление окружающей действительности, самостоятельное планирование и выстраивание своих действий. Основная задача, стоящая перед начальной школой, – сформировать у обучающихся интерес к познанию, овладению навыками практического решения жизненных задач. Математика развивает логику, интеллект, умственные способности, такие психические процессы, как мышление, память, что в дальнейшем обеспечит успешность в любой деятельности. В связи с этим, так как математика является одним из ведущих учебных предметов в начальной школе, важно сформировать познавательный интерес к ней, умение оперировать математическими понятиями. Следует отметить, что в процессе усвоения математических понятий у младших школьников возникают сложности и проблемы, которые связаны с недостаточной подготовкой к обучению в школе. Знание и понимание учителем начальных классов теоретических и методических подходов к процессу формирования научных понятий обеспечит осознанное усвоение математических понятий.

Цель исследования: на современном этапе перед учителем стоит задача научить обучающихся самостоятельно добывать знания и уметь их перерабатывать, запоминать, связывать с другими, мыслить, решать проблемы, что в дальнейшем будет способствовать успешной самореализации в жизни и практической деятельности.

Материалы и методы исследования

Анализ научно-педагогической и методической литературы, изучение нормативных документов Республики Казахстан в области образования.

Результаты исследования и их обсуждение

Математика является учебным предметом, базовое содержание которого включает изучение числа и величин, элементов алгебры и геометрии, множества, является пропедевтикой предметов алгебра и геометрия основного и общего среднего образования. Задачи математики определены исходя из целей и направлены на развитие:

1) логического мышления, пространственного воображения и использование математических понятий;

2) способности решать учебные и практические проблемы, использование арифметических алгоритмов, выполнение геометрических построений и проведение математических исследований;

3) критического мышления и творческих способностей;

4) личностных качеств: любознательность, целеустремленность, ответственность, уверенность;

5) когнитивных навыков понимания, объяснения, анализа, синтеза, классификации, применения и отображения;

6) навыков поиска и отбора информации, управления собственным временем и саморегулирования.

Поскольку процесс формирования понятий в математическом образовании является сложным и продолжительным, исследователи уделяют ему должное внимание. Так, Н.Л. Стефанова и Н.С. Подходова в процессе формирования понятия выделяют этапы, которые представлены на рисунке.

Формирование научных понятий (по Н.Л. Стефановой, Н.С. Подходовой)

Основой понятий исследователями выделяются предпонятия, и именно на этом уровне формируются все математические понятия у младших школьников. Сформированность понятий в начальной школе определяется таким показателем овладения объемом понятий; наличием широкого запаса признаков, существенных для конкретного понятия (содержание понятия) [1].

Процесс формирования понятий, по мнению М.А. Холодной, направлен на разные составляющие понятийных структур, таких как:

- применение таксономии Блума;

- включение чувственно-сенсорных впечатлений обучающихся;

- перевод языка знаков и символов на язык образов;

- уяснение связей между понятиями [2].

Учитель, придавая значение уровню развития младших школьников, сложности изучаемого материала, количеству часов, отводимых на знакомство с математическим понятием, выбирает один из следующих способов:

1) подготовленность обучающегося к осмысленному восприятию, пониманию нового понятия, определения и в дальнейшем получению формулировки в готовом виде;

2) подготовленность обучающегося и самостоятельное формулирование нового понятия, определения;

3) отсутствие подготовленности и помощи при формулировке нового определения, понятия, в дальнейшем концентрация его усвоения и закрепления.

Обучающиеся будут активны и самостоятельны при введении нового математического понятия, если учитель планирует, выстраивает систему задач, учебных проблем, учитывает возрастные особенности обучающихся и особенности работы в классе.

Н.Л. Стефанова выделяет четыре этапа работы с математическими понятиями;

1) профессиональный (информация подается в алгоритмизированном виде);

2) подготовительный (актуализация необходимых знаний, мотивация);

3) основной (обучение);

4) закрепления (применение нового теоретического материала) [1, с. 120].

А.А. Темербекова утверждает о наличии трех этапов методики формирования математических понятий:

1) введение определения;

2) усвоение определения;

3) закрепление понятия [3, с. 98].

Формирование математических понятий требует особого подхода. Г.И. Саранцевым [4] была предложена следующая концепция, состоящая из шести этапов. Первый этап заключается в создании мотивации, активизации деятельности, которая подчеркивает необходимость изучения данного понятия. Второй этап направлен на выявление существенных свойств понятия, которые в дальнейшем будут составлять его определение. Третий этап включает в себя определение понятия в словесной форме, которое должно соответствовать заявленной логической структуре. На четвертом этапе происходит усвоение определения понятия, где каждое существенное свойство делается отдельным объектом. На пятом этапе понятия применяются в конкретных условиях, в различных ситуациях. Шестой этап предполагает систематизацию материала, изучаемое понятие находит свое место в системе других понятий.

Ю.А. Лучко констатирует недостатки на основе наблюдения за работой учителя при формировании математических понятий. К ним относятся:

1) на первоначальном этапе знакомства с понятиями обучающиеся недостаточно мотивированы;

2) процесс формирования начинается с определения математического понятия, зачастую не рассматривается его логическая структура, не выявляются существенные свойства понятия;

3) на этапе применения математического понятия, при решении задач, возникают трудности в силу того, что ранее определения заучивались;

4) работе по содержанию математического понятия, с несущественными свойствами понятия уделяется мало времени, что является следствием отождествления математического понятия с каким-либо свойством;

5) умения оперировать понятиями и их определениями не отрабатываются;

6) этап систематизации понятий реализуется редко [5].

Так, в 1 классе содержание учебного предмета математики в рамках вышеназванного раздела и подраздела включает знакомство с геометрическими фигурами, в процессе которого обучающиеся распознают и называют их, а также различают плоские (треугольник, круг, квадрат, прямоугольник) и пространственные (куб, шар, конус, цилиндр, пирамида) фигуры.

Во 2 классе обучающиеся классифицируют многоугольники, определяют признаки геометрических фигур, применяют формулы нахождения периметра прямоугольника, квадрата и треугольника.

В 3 классе младшие школьники знакомятся с окружностью, кругом и их элементами, параллельными и пересекающимися прямыми, симметричными и несимметричными плоскими фигурами, а для нахождения и вычисления площади различных видов геометрических фигур – треугольника, прямоугольника, квадрата и периметра комбинированных фигур применяют формулу.

В 4 классе обучающиеся распознают и называют куб, прямоугольный параллелепипед и их элементы, знакомятся с видами треугольника и их классификацией, с градусной мерой угла, а чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, составляют и применяют формулу, определяют площадь комбинированных фигур.

С переходом из класса в класс, с каждым повторным изучением материала сложность темы нарастает, т.е. происходит переход от усвоения простых математических понятий к более сложным логическим путем. Таким образом, изучение математики в соответствии с разделами и подразделами учебной программы развивает у обучающихся логическое и критическое мышление, творческое воображение, навыки исследования и общения, способность анализировать процессы и явления, умение выявлять причинно-следственные связи, закономерности и тенденции развития этих явлений, а также умения применять математические знания в повседневной жизни.

Обучающийся, усвоив научные понятия на уроках математики, сможет успешно применять их на других учебных предметах и в течение всей жизни.

Анализ научной литературы и школьной практики позволяет выделить следующие задачи в целях повышения качества формирования математических понятий у младших школьников:

- разработать систему разнообразных заданий, упражнений и задач (простых, составных, текстовых, обратных), построенную на логике развертывания понятия с учетом закономерностей учебно-познавательной деятельности обучающихся, их возрастных и индивидуальных особенностей;

- проводить разнообразные по типу и виду уроки математики, применять различные формы для эффективной работы (индивидуальная, работа в малых группах, фронтальная, групповая);

- систематизировать понятия, использовать межпредметные и внутрипредметные связи;

- соблюдать последовательность введения понятий и соответствующих им терминов;

- рационально применять наглядность для осмысления сущности понятия и выполнения практических действий;

- развивать математическую речь обуча- ющихся;

- осуществлять контроль по усвоению математическими понятиями.

Заключение

Понятие – форма мысли, отражающая объекты (предметы или явления) в их существенных и общих свойствах.

Языковая форма понятия – слово или группа слов.

Составить понятие об объекте – это значит уметь отличить его от других сходных с ним объектов

Признаки понятия

Признак – все то, с помощью чего объекты можно распознать, описать, в чем объекты могут быть сходными или различными

Существенные признаки - каждый из которых необходим, все вместе они достаточны, чтобы отделить данное понятие от других

Главная особенность математических понятий

Математические объекты, о которых необходимо составить понятие, в реальности не существуют.

Математические объекты созданы умом человека.

Это идеальные объекты, отражающие реальные предметы или явления.

Математические объекты существуют лишь в мышлении человека и в тех знаках и символах, которые образуют математический язык.

В геометрии изучают форму и размеры предметов, не принимая во внимание их свойства: цвет, массу, твёрдость.

Образование понятия

Выделение с помощью анализа признаков объекта

Соединение с помощью синтеза существенных признаков объекта

Отбрасывание с помощью абстрагирования несущественных признаков

Образование с помощью обобщения единого целого, являющегося понятием

Математика – наука о пространственных формах и количественных отношениях материального мира.

Математика не только пользуется различными приёмами абстрагирования, но и само абстрагирование выступает как многоступенчатый процесс.

cos 2 (x)+sin 2 (x)=1

Всякий математический объект обладает определёнными свойствами. Ниже перечислены свойства квадрата и прямоугольника.

1. Иметь 4 прямых угла.
2. Иметь равные противоположные стороны.
3. Иметь равные диагонали.
4. Две стороны горизонтальны ,а две вертикальны.
5. Иметь 4 равные стороны.

а) Назовите существенные свойства (без которых объект не может существовать).

б) Назовите несущественные свойства (отсутствие которых не влияет на существование объекта).

Логические характеристики понятия

Содержание понятия – это множество всех существенных свойств объекта.

Объем понятия - это множество всех объектов, обозначаемых одним термином.

Содержание и объем понятия жестко связаны между собой: изменение содержания влечет изменение объема и наоборот.

Закон обратного отношения

Отношения между понятиями

Отношения между объемами понятий

можно изображать при помощи кругов Эйлера. Соотнесите рисунки с нужными понятиями.

а) трапеция и круг;

б) треугольник и прямоугольный треугольник;

в) прямоугольник и ромб.

Начертите три объекта, принадлежащие объему понятия

геометрическая фигура .

2. Назовите три существенных свойства понятия

треугольник .

3. Назовите два понятия, которые находятся в отношении рода и вида. Сравните объемы и содержание этих понятий.

1. Начертите три объекта, принадлежащие объему понятия:

2 .Назовите пять существенных свойств понятия:

3 .Назовите два понятия, которые находятся в отношении рода и вида. Сравните объемы и содержание этих понятий.

-75%

Ключевые слова: математические понятия, абсолютные понятия, относительные понятия, определения.

Аннотация: В школьной практике многие учителя добиваются от учеников заучивания определений понятий и требуют знания их основных доказываемых свойств. Однако результаты такого обучения обычно незначительны. Это происходит потому, что большинство учащихся, применяя понятия, усвоенные в школе, опираются на малосущественные признаки, существенные же признаки понятий ученики осознают и воспроизводят только при ответе на вопросы, требующие определения понятия. Часто учащиеся безошибочно воспроизводят понятия, то есть обнаруживают знание его существенных признаков, но применить эти знания на практике не могут, опираются на те случайные признаки, выделенные благодаря непосредственному опыту. Процессом усвоения понятий можно управлять, формировать их с заданными качествами.

Keywords: mathematical concepts, absolute concepts, relative concepts, definitions.

Annotation: In school practice many teachers achieve from pupils of learning of definitions of concepts and the knowledge of their basic proved properties demands. However results of such training are usually insignificant. It occurs because the majority of pupils, applying the concepts acquired at school, pupils lean against the unimportant signs, essential signs of concepts realise and reproduce only at the answer to the questions demanding definition of concept. Often pupils unmistakably reproduce concepts, that is find out knowledge of its essential signs, but put this knowledge into practice cannot, lean against those casual signs allocated thanks to a first-hand experience. Process of mastering of concepts it is possible to operate, form them with the set qualities.

При усвоении научных знаний учащиеся начальной школы сталкиваются с разными видами понятий. Неумение ученика дифференцировать понятия приводит к неадекватному их усвоению.

Логика в понятиях различает объем и содержание. Под объемом понимается тот класс объектов, которые относятся к этому понятию, объединяются им. Так, в объем понятия треугольник входит все множество треугольников независимо от их конкретных характеристик (видов углов, размера сторон и др.).

Под содержанием понятий понимается та система существенных свойств, по которой происходит объединение данных объектов в единый класс. Чтобы раскрыть содержание понятие, следует путем сравнения установить, какие признаки необходимы и достаточны для выделения его отношения к другим предметам. До тех пор, пока не установлены содержание и признаки, не ясна сущность предмета, отражаемого этим понятием, невозможно точно и четко отграничить этот предмет от смежных с ним, происходит путаница мышления.

Например, понятии треугольник к таким свойствам относятся следующие: замкнутая фигура, состоит из трех отрезков прямой. Совокупность свойств, по которым объединяются объекты в единый класс, называются необходимыми и достаточными признаками. В одних понятиях эти признаки дополняют друг друга, образуя вместе то содержание, по которому и объединяются объекты в единый класс. Примером таких понятий могут служить треугольник, угол, биссектриса и многие другие.

Совокупность данных объектов, на которые распространяется данное понятие, составляет логический класс объектов. Логический класс объектов - это совокупность объектов, имеющие общие признаки, вследствие чего они выражаются общим понятием. Логический класс объектов и объем соответствующего понятия совпадают .Понятия делятся на виды по содержанию и объему в зависимости от характера и количества объектов, на которые они распространяются. По объему математические понятия делятся на единичные и общие. Если в объем понятия входит только один предмет, оно называется единичным.

В других понятиях отношение между необходимыми и достаточными признаками другие: они не дополняют друг друга, а заменяют. Это означает, что один признак является эквивалентом другого. Примером такого вида отношений между признаками могут служить признаки равенства отрезков, углов. Известно, что к классу равных отрезков относятся такие отрезки, которые: а) или совпадают при наложении; б) или порознь равны третьему; в) или состоят из равновеликих частей и т.д.

Абсолютные понятия объединяют предметы в классы по определенным признакам, характеризующим суть этих предметов как таковых. Так, в понятии угол отражены свойства, характеризующие сущность любого угла как такового. Аналогично положение со многими другими геометрическими понятиями: окружность, луч, ромб и т.д.

Относительные понятия объединяют объекты в классы по свойствам, характеризующим их отношение к другим объектам. Так, в понятии перпендикулярные прямые фиксируется то, что характеризует отношение двух прямых друг к другу: пересечение, образование при этом прямого угла. Аналогично в понятии число отражено отношение измеряемой величины и принятого эталона. Относительные понятия вызывают у учащихся более серьезные трудности, чем понятия абсолютные. Суть трудностей состоит именно в том, что школь-ники не учитывают относительность понятий и оперируют с ними как с понятиями абсолютными. Так, когда учитель просит учеников изобразить перпендикуляр, то некоторые из них изображают вертикаль. Особое внимание следует уделить понятию число.

Число - это отношение того, что подвергается количественной оценке (длина, вес, объем и др.) к эталону, который используется для этой оценки. Очевидно, что число зависит как от измеряемой величины, так и от эталона. Чем больше измеряемая величина, тем больше будет число при одном и том же эталоне. Наоборот, чем больше будет эталон (мера), тем меньше будет число при оценке одной и той же величины. Следовательно, учащиеся с самого начала должны понять, что сравнение чисел по величине можно производить только тогда, когда за ними стоит один и тот же эталон. В самом деле, если, например, пять получено при измерении длины сантиметрами, а три - при измерении метрами, то три обозначают большую величину, чем пять. Если учащиеся не усвоят относительной природы числа, то они будут испытывать серьезные трудности и при изучении системы счисления. Трудности в усвоении относительных понятий сохраняются у учащихся и в средних, и даже в старших классах школы. Между содержанием и объемом понятия существует зависимость: чем меньший объем понятия, тем больше его содержание.

В процессе мышления каждое понятие не существует в отдельности, а вступает в определенные связи и отношения с другими понятиями. В математике важной формой связи есть родовидовая зависимость.

В начальных классах впервые каждое понятие вводится наглядно, путем наблюдения конкретных предметов или практического оперирования (например, при счете их). Учитель опирается на знание и опыт детей, которые они приобрели еще в дошкольном возрасте. Ознакомления с математическими понятиями фиксируется с помощью термина или термина и символа. Такая методика работы над математическими понятиями в начальной школе не означает, что в этом курсе не используются различные виды определений.

Определение решает две задачи: выделяет и отмежевывает какое-то определенное понятие от всех других и указывает те главные признаки, без которых не может существовать понятие и от которых зависят все остальные признаки.

Определение может быть более или менее глубоким. Это зависит от уровня знаний о понятии, которое означается. Чем лучшее мы его знаем, тем большая вероятность, что мы сможем дать для него лучшее определение. В практике обучения младших школьников применяются явные и неявные определения. Явные определения имеют форму равенства или совпадения двух понятий.

Любой отрывок из текста, будь какой контекст, в котором случается понятие, которое нас интересует, есть, в некотором понимании, неявным его определением. Контекст ставит понятие в связь с другими понятиями и тем самим раскрывает ее содержание.

Контекстуальные определения остаются большей частью неполными и незавершенными. Они применяются в связи с неподготовленностью младшего школьника к усвоению полного и тем более научного определения.

Из выше сказанного можно сделать вывод, что в начальных классах много математических понятий сначала усваиваются поверхностно, расплывчато. При первом ознакомлении школьники узнают только о некоторых свойствах понятий, очень узко представляют их объем. И это закономерно. Не все понятия легко усвоить. Но бесспорно, что понимание и своевременное использование учителем тех или других видов определений математических понятий - одна из условий формирования у учеников твердых знаний об этих понятиях.

1. Богданович М.В. Определение математических понятий //Начальная школа 2001. - № 4 .

2. Глузман Н. А. Формирование обобщенных приемов умственной деятельности у младших школьников. - Ялта: КГГИ, 2001. - 34 с.

3. Дрозд В.Л. Урбан М.А. От маленьких проблем - к большим открытиям. //Начальная школа. - 2000. - № 5.

Понятия и их определения — это достаточно сложные категории, тем более, в математике. Поэтому их изучение в начальной школе требует от учителя продуманной работы, знания теоретических основ их изучения и умения применять их на практике.

На необходимость теоретического освещения методических вопросов определений школьных математических понятий первым в советской методике указал А. Я. Хинчин. В дальнейших исследованиях по данной тематике можно выделить некоторые направления.

Первое связано с изучением психологических особенностей младших школьников при усваивании понятий и их определений. При рассмотрении этой проблемы, её обосновании, большую роль сыграли труды психологов Ж.Пиаже, а так же Д. Б. Эльконина, В. В. Давыдова.

Учёные показали, что в формировании научных понятий принимает участие определённая система психологических процессов, которая формируется с ведущим участием вербально-логических операций.

Второе направление связано с исследованием логических приёмов, которые способствуют усвоению определений понятий. Сюда относятся исследования Н. Ф. Талызиной, И. Л. Никольской, Т. А. Кондрашенковой, О. В. Алексеевой, Г. А. Буткина. В них ставится и решается проблема управления деятельностью или отдельными действиями учащихся при работе с понятиями и их определениями.

В настоящее время данная проблема исследуется мало. В программах начального курса математики о работе над определениями ничего не сказано, но определения играют большую роль в обучении учащихся и должны занимать исключительно важное место в курсе математики начальной школы. Поэтому рассматриваемая тема остаётся актуальной на данный момент.

Основная цель изучения понятий — это правильное усвоение школьниками содержания понятий и использование последних в своей учебной деятельности.

Достижение этой цели — длительный процесс. Формирование понятий у школьников, т. е. процесс усвоения понятий, идёт через использование учащимися формируемых понятий в своей деятельности. Поэтому включение учащихся в активную деятельность — умственную или практическую — важнейший и единственный путь формирования у них изучаемых понятий.

Понятия, которые изучаются в начальном курсе математики, Л. П. Стойлова делит на 4 группы. [1, с.271] Первую группу составляют понятия, связанные с числами и операциями над ними. К ним относится следующее: число, сложение, слагаемое, больше и другие. Во вторую — Алгебраические понятия: выражения, равенство, уравнения и другие. К третьей группе относятся геометрические: прямоугольник, отрезок, треугольник и так далее. Четвертую группу образуют понятия, связанные с величинами и их измерением.

Учащиеся должны усвоить все эти понятия. Для этого учителю самому надо иметь представление о понятии как логической категории и особенностях математических понятий.

Но, если мы обратимся к математическим понятиям, то увидим, что они обладают рядом особенностей. Например, в геометрии изучают форму и размеры предметов, не принимая во внимание другие их свойства: цвет, массу, твердость. От этого отвлекаются, абстрагируются. Поэтому в геометрии вместо слова предмет говорят геометрическая фигура.

Даем учащимся следующее задание — вставить пропущенные слова:

А) квадрат — ……………., у которого все стороны равны

Б) ………… — это равенство, содержащее неизвестное число, которое надо найти

В) ………. … — это …………. у которого все углы прямые.

Данный пример позволяет нам сделать вывод, что ученики не имеют достаточных знаний о математических понятиях. Несформированность умения работать с определениями на необходимом уровне влечёт за собой в дальнейшем большие затруднения у учащихся и неспособность к овладению в достаточном объёме материалом в среднем и старшем звене.

Первостепенной задачей, которую мы поставили перед собой — формирование, уточнение представлений о самом понятии.

Особенный интерес вызвало у детей занятие в форме математической сказки. Они быстро вспомнили понятие прямоугольника, назвали существенные признаки прямоугольника, сформулировали определение, изготовили модель прямого угла.

По результатам проведенного исследования можно сделать вывод, что при специально организованной дополнительной работе по формированию математических понятий можно добиться улучшения результатов.

Основные термины (генерируются автоматически): начальная школа, изучение, начальный курс математики, пятиминутка, работа, учащийся, ученик, формирование.

Читайте также: