Стандартный вид числа сообщение

Обновлено: 09.05.2024

в виде произведения числа, заключённого между единицей и десятью, и соответствующей степени числа 10 :

Порядок числа, выражающего объём Земли в кубических километрах, равен 12 , а порядок числа, выражающего диаметр молекулы воды в метрах, равен – 10 .

Порядок числа даёт представление о том, насколько велико или мало это число. Так, если порядок числа а равен 3 , то это означает, что

Большой положительный порядок показывает, что число очень велико. Большой по модулю отрицательный порядок показывает, что число очень мало.

Чтобы умножить десятичную дробь на 10 n , надо в этой дроби перенести запятую на n цифр вправо. Чтобы разделить десятичную дробь на 10 n , надо в этой дроби перенести запятую на n цифр влево.

Комментариев нет:

Уроки математики и физики (RU + UA)

  • I. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДРОБИ (RU + UA + EN)
  • II. ПРОПОРЦИИ ПРОЦЕНТЫ МАСШТАБ (RU + UA)
  • III. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА (RU + UA)
  • IV. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ (RU + UA)
  • V. КОРНИ (RU + UA)
  • VI. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ (RU + UA + EN)
  • VII. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ (RU + UA)
  • VIII. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
  • IX. НЕРАВЕНСТВА (RU + UA)
  • X. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ (RU + UA)
  • XI. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА (RU + UA)
  • XII. ПЛАНИМЕТРИЯ (1) (RU + UA)
  • XIII. ПЛАНИМЕТРИЯ (площади фигур) (RU + UA)
  • XIV. СТЕРЕОМЕТРИЯ (1) (RU + UA)
  • XV. СТЕРЕОМЕТРИЯ (2) (RU + UA)
  • XVI. КОМБИНАТОРИКА (RU + UA)
  • XVII. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ (RU + UA)
  • XVIII. ВЕКТОРЫ (RU + UA)
  • XIX. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ (RU + UA)
  • XX. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ (RU + UA)
  • КИНЕМАТИКА
  • ДИНАМИКА
  • WATCH YOUR MONEY!

О сайте

На сайте размещена минимальная информация по математике, позволяющая сдать тесты любому ученику с положительной отметкой, если конечно он решит все предложенные уроки.
Также данный сайт поможет ученику, начинающему изучать математику и бабушкам, которые захотят помочь своим внукам в изучении математики.

Каждый урок содержит краткие сведения по теоретической части и три практических задания по 12 примеров или задач в каждом задании. При желании Вы можете написать ответы заданий для проверки в комментариях. Сайт находится в постоянной доработке. Возможны методические и математические ошибки.

В задачах по физике часто приходится работать с очень большими и очень малыми величинами.

Как вести вычисления в атомной физике? Или записать радиус электрона? Если потребуется сравнить массу электрона и массу планеты Земля, как произвести вычисления с числами, которые несопоставимы друг с другом в обычном виде?

Физики и математики, столкнувшись с такими задачами, поняли, что для решения подобных задач требуется привести числа к единому стандартному виду. Так появилось понятие стандартный вид числа.

Вспомним, что при умножении целого числа на 10, 100, 1000 и т.д. мы просто добавляли тоже количество нулей, что и в 10, 100, 1000 и т.д..

  • 5 · 10 = 50
  • 27 · 100 = 2 700
  • 18 · 1000 = 18 000

Теперь запишем тоже самое, используя определение степени.

  • 5 · 10 = 5 · 10 1 = 50
  • 27 · 100 = 27 · 10 2 = 2 700
  • 18 · 1000 = 18 · 10 3 = 18 000

При делении целого числа на 10, 100, 1000 и т.д. мы убирали нули.

Для десятичных дробей действует схожее правило умножения на 10, 100, 1000 . При умножении десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д. мы перемещаем запятую вправо на количество нулей, что и в 10, 100, 1000 и т.д.

  • 5,7 · 100 = 570
  • 7,013 · 10 = 70,13
  • 68,3 · 1000 = 68 300

С помощью степени можно записать вычисления выше следующим образом:

  • 5,7 · 100 = 5,7 · 10 2 = 570
  • 7,013 · 10 = 7,013 · 10 1 = 70,13
  • 68,3 · 1000 = 68,3 · 10 3 = 68 300

При делении на 10, 100, 1000 и т.д. перемещаем запятую влево .

С помощью определения отрицательной степени можно записать вычисления выше следующим образом:

Стандартный вид числа

Вначале обратимся к строгому математическому определению стандартного вида числа. Затем по традиции разберемся на примерах.

Запомните!

Любое натуральное число или конечную положительную десятичную дробь можно записать в виде:

5600 в стандартной записи числа

Завершающим штрихом будет отбрасывание незначащих нулей в десятичной дроби.

Чтобы проверить, что мы не ошиблись в вычислениях, произведем вычисления обратно. Если все выполнено корректно, мы должны получить изначальное число. Убедимся в этом.

первая цифра отличная от нуля

количество знаков до первой цифры отличной от нуля

Примеры решения задач
на запись числа в стандартном виде

№ 237 Алимов 8 класс

(Устно) Определить порядок числа, выражающего значение физической константы:

1) масса покоя электрона
me = 9,1093897 · 10 −31

№ 238 Алимов 8 класс

Записать в стандартном виде и определить порядок числа k , выражающего физического константу:

2) постоянная Фарадея
F = 96485,309 Кл/моль;

количество знаков после переноса запятой в задаче

Начнем записывать постоянную Лошмидта в стандартном виде, т.е. как:

количество знаков после переноса запятой

Любая десятичная дробь может быть записана в виде Такие записи часто встречается в научных расчетах. Считается, что работать с ними еще удобнее, чем с обычной десятичной записью.

Задача. Найдите значение выражения:

Умножение выполняется по стандартной схеме, с выделением значащей части у каждого множителя. Кратко опишем эти шаги:

Для первого выражения: 25,81 · 10.

  1. Значащие части: 25,81 → 2581 (сдвиг вправо на 2 цифры); 10 → 1 (сдвиг влево на 1 цифру);
  2. Умножаем: 2581 · 1 = 2581;
  3. Суммарный сдвиг: вправо на 2 − 1 = 1 цифру. Выполняем обратный сдвиг: 2581 → 258,1.

Для второго выражения: 0,00005 · 1000.

  1. Значащие части: 0,00005 → 5 (сдвиг вправо на 5 цифр); 1000 → 1 (сдвиг влево на 3 цифры);
  2. Умножаем: 5 · 1 = 5;
  3. Суммарный сдвиг: вправо на 5 − 3 = 2 цифры. Выполняем обратный сдвиг: 5 → ,05 = 0,05.

Последнее выражение: 8,0034 · 100.

  1. Значащие части: 8,0034 → 80 034 (сдвиг вправо на 4 цифры); 100 → 1 (сдвиг влево на 2 цифры);
  2. Умножаем: 80 034 · 1 = 80 034;
  3. Суммарный сдвиг: вправо на 4 − 2 = 2 цифры. Выполняем обратный сдвиг: 80 034 → 800,34.

Давайте немного перепишем исходные примеры и сравним их с ответами:

  1. 25,81 · 10 1 = 258,1;
  2. 0,00005 · 10 3 = 0,05;
  3. 8,0034 · 10 2 = 800,34.

Что происходит? Оказывается, умножение десятичной дроби на число 10 k равносильно сдвигу десятичной точки вправо Именно вправо — ведь число увеличивается.

Аналогично, умножение равносильно делению т.е. сдвигу влево, что приводит к уменьшению числа. Взгляните на примеры:

Задача. Найдите значение выражения: 2,73 · 10; 25,008 : 10; 1,447 : 100;

Во всех выражениях второе число — степень десятки, поэтому имеем:

  1. 2,73 · 10 = 2,73 · 10 1 = 27,3;
  2. 25,008 : 10 = 25,008 : 10 1 = 25,008 · 10 −1 = 2,5008;
  3. 1,447 : 100 = 1,447 : 10 2 = 1,447 · 10 −2 = ,01447 = 0,01447.

Отсюда следует, что одну и ту же десятичную дробь можно записать бесконечным числом способов. Например:

— это выражения вида обычные цифры,

  1. 8,25 · 10 4 = 82 500;
  2. 3,6 · 10 −2 = 0,036;
  3. 1,075 · 10 6 = 1 075 000;
  4. 9,8 · 10 −6 = 0,0000098.

Для каждого числа, записанного в стандартном виде, рядом указана соответствующая десятичная дробь.

Переход к стандартному виду

  1. Выписать значащую часть исходного числа и поставить после первой значащей цифры десятичную точку;
  2. Найти образовавшийся сдвиг, т.е. на сколько разрядов сместилась десятичная точка по сравнению с исходной дробью. Пусть это будет число k ;
  3. Сравнить значащую часть, которую мы выписали на первом шаге, с исходным числом. Если значащая часть (с учетом десятичной точки) меньше исходного числа, дописать множитель 10 k . Если больше — дописать множитель 10 −k . Это выражение и будет стандартным видом.
  1. 9280;
  2. 125,05;
  3. 0,0081;
  4. 17 000 000;
  5. 1,00005.
  1. 9280 → 9,28. Сдвиг десятичной точки на 3 разряда влево, число уменьшилось (очевидно, 9,28 0,0081). Результат:
  2. 17000000 → 1,7. Сдвиг — на 7 разрядов влево, число уменьшилось. Результат:
  3. 1,00005 → 1,00005. Сдвига нет, поэтому k = 0. Результат: (бывает и такое!).

Как видите, в стандартном виде представляются не только десятичные дроби, но и обычные целые числа. Например:

Когда применять стандартную запись

По идее, стандартная запись числа должна сделать дробные вычисления еще проще. Но на практике заметный выигрыш получается только при выполнении операции сравнения. Потому что сравнение чисел, записанных в стандартном виде, выполняется так:

  1. Сравнить степени десятки. Наибольшим будет то число, у которого эта степень больше;
  2. Если степени одинаковые, начинаем сравнивать значащие цифры — как в обычных десятичных дробях. Сравнение идет слева направо, от старшего разряда к младшему. Наибольшим будет то число, в котором очередной разряд окажется больше;
  3. Если степени десятки равны, а все разряды совпадают, то сами дроби тоже равны.

Разумеется, все это верно только для положительных чисел. Для отрицательных чисел все знаки меняются на противоположные.


В стандартном виде можно записать любое положительное число.

Как правило, стандартный вид числа используют для записи больших и малых величин.

Записать число в стандартном виде и указать порядок числа:

2) 12 346 000 000;

\[ 9)0,23 \cdot 10^< - 3></p> <p> ; \]

\[ 10)475 \cdot 10^< - 12></p> <p> . \]

\[8765000 = 8765000:10^6 \cdot 10^6 = \]

Чтобы записать число в стандартном виде, надо представить его в виде произведения, первый множитель которого — число от единицы до десяти (1≤a

Получили число, записанное в стандартном виде. Его порядок n=6.

При решении примеров на приведение числа к стандартному виду удобнее деление числа на

заменить умножением на

\[10^< - n></p> <p> ,\]

\[8765000 = 8765000 \cdot 10^< - 6></p> <p> \cdot 10^6 = \]

Итак, для приведения к стандартному виду числа, больше либо равного 10, запятую в его записи переносим влево на n цифр и результат умножаем на 10 в степени n:

predstavit-chislo-v-standartnom-vide

2) 12 346 000 000=12 346 000 000,
Чтобы величина первого множителя входила в промежуток от 1 до 10, надо запятую в записи данного числа перенести на 10 знаков влево, а чтобы число не изменилось, умножить результат на 10¹º:

\[ 12346000000 = 1,2346 \cdot 10^<10></p> <p> . \]

Это число записано в стандартном виде. Его порядок n=10.

\[0,00123 = 1,23 \cdot 10^< - 3></p> <p>Чтобы первый множитель соответствовал условию 1≤a .\]

Порядок числа n= -3.

Таким образом, для приведения к стандартному виду числа, меньшего единицы, запятую в его записи переносим на n цифр вправо и результат умножаем на 10 в степени -n:

zapisat-chislo-v-standartnom-vide

\[ 5)0,000057 = 5,7 \cdot 10^< - 5></p> <p> \]

Переносим запятую в записи числа на 5 цифр вправо (что соответствует умножению числа на 10⁵). Результат умножаем на 10 в минус пятой степени. Порядок числа n= -5.

\[ 6)0,000729 = 7,29 \cdot 10^< - 4></p> <p> \]

Порядок числа n= -4.

\[ 7)5430 \cdot 10^5 = 5,43 \cdot 10^3 \cdot 10^5 = 5,43 \cdot 10^8 \]

Число 5430 представляем в стандартном виде. Для этого запятую в его записи переносим на 3 цифры влево и результат умножаем на 10³.

Далее выполняем умножение степеней с одинаковыми основаниями.

Порядок числа n=6.

\[ 8)0,0321 \cdot 10^8 = 3,21 \cdot 10^< - 2></p> <p> \cdot 10^8 = \]

Порядок числа n=6.

\[ 9)0,23 \cdot 10^< - 3></p> <p> = 2,3 \cdot 10^ < - 1>\cdot 10^ < - 3>= \]

\[ = 2,3 \cdot 10^< - 4></p> <p> \]

Порядок числа n= -4.

\[ 10)475 \cdot 10^< - 12></p> <p> = 4,75 \cdot 10^2 \cdot 10^ < - 12>= \]

\[ = 4,75 \cdot 10^< - 10></p> <p> \]

Порядок числа n= -10.

Сравнение чисел, записанные в стандартном виде

  • Сравниваем порядок чисел. Число с большим порядком больше числа с меньшим порядком.
  • Если числа имеют одинаковые порядки, сравнивают первые множители произведения.

sravnit-chisla-v-standartnom-vide


так как порядок первого числа больше порядка второго числа (8>7);



поскольку порядок первого числа меньше порядка второго числа (-8

так как при равных порядках первый множитель у первого числа больше, чем у второго (3,4>2,97).


В этом уроке мы сформируем представления о новой форме записи больших и малых чисел. Научимся определять порядок числа, записанного в стандартном виде. Рассмотрим переход от обычной записи к стандартной. И научимся выполнять действия над числами, записанными в стандартном виде.


В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.

Получите невероятные возможности




Конспект урока "Стандартный вид числа"

Наверняка, в физике, биологии, химии или географии вы сталкивались, как с очень большими, так и очень малыми положительными числами.

Например


Скажите с такими числами удобно выполнять математические расчёты? Конечно же, нет. В обычном десятичном виде большие и малые числа неудобно читать и записывать, неудобно выполнять над ними какие-либо действия. В таком случае полезным оказывается представление числа в виде


Например:



Говорят, что мы записали числа в стандартном виде. В таком виде можно представить любое положительное число.

Определение:

Стандартным видом числа называют его запись в виде: , где и – целое число.

Число называется порядком числа .

Например

Если порядок числа равен , то это означает, что .

Если порядок числа равен , то это означает, что .

Большой положительный порядок показывает, что число очень велико.

Большой по модулю отрицательный порядок показывает, что число очень мало.

, где и – целое число

По определению стандартного вида числа следует, что в стандартном виде в целой части числа (до запятой) может содержаться только одна цифра.

Все остальные цифры должны стоять после (справа) от запятой.

Порядок числа даёт представление о том, насколько велико или мало это число.

В стандартном виде можно записать не только большое или малое, но и любое число.

Для того чтобы привести число к стандартному виду, надо:

1. Перенести в нём запятую так, чтобы она была сразу после первой значащей цифры.

2. полученное число умножить на , где подбирается так, чтобы произведение было равно данному числу.

Значащей цифрой числа называют его первую (слева направо) отличную от нуля цифру, а также все последующие за ней цифры.

Пример: представим в стандартном виде число.

Решение:



Задание: запишите число в стандартном виде.

Решение:


Задание: запишите в стандартном виде число, равное значению произведения х и у.

Решение:


Стандартным видом числа называют его запись в виде: , где и – целое число.

Число называется порядком числа .

Для того, чтобы привести число к стандартному виду, надо перенести в нём запятую так, чтобы она была сразу после первой значащей цифры, и полученное число умножить на , где подбирается так, чтобы произведение было равно данному числу.

Читайте также: