Сообщение основоположники математического анализа
Обновлено: 17.05.2024
Л. Эйлер - самый продуктивный математик в истории, автор более чем 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и др. Многие его работы оказали значительное влияние на развитие науки.
Почти полжизни Эйлер провёл в России, где энергично помогал создавать российскую науку. В 1726 году он был приглашён работать в Санкт-Петербург. В 1731—1741 и начиная с 1766 года был академиком Петербургской Академии Наук (в 1741-1766 годах работал в Берлине, оставаясь почётным членом Петербургской Академии). Хорошо знал русский язык, часть своих сочинений (особенно учебники) публиковал на русском. Первые русские академики по математике (С. К. Котельников), и по астрономии (С. Я. Румовский) были учениками Эйлера. Некоторые из его потомков до сих пор живут в России.
Л.Эйлер внес очень большой вклад в развитие математического анализа.
Цель реферата – изучить историю развития математического анализа в XVIII веке.
1 Понятие математического анализа. Исторический очерк
Математический анализ - совокупность разделов математики, посвящённых исследованию функций и их обобщений методами дифференциального и интегрального исчислений. При столь общей трактовке к анализу следует отнести и функциональный анализ вместе с теорией интеграла Лебега, комплексный анализ (ТФКП), изучающий функции, заданные на комплексной плоскости, нестандартный анализ, изучающий бесконечно малые и бесконечно большие числа, а также вариационное исчисление.
В учебном процессе к анализу относят
· дифференциальное и интегральное исчисление
· теорию рядов (функциональных, степенных и Фурье) и многомерных интегралов
При этом элементы функционального анализа и теории интеграла Лебега даются факультативно, а ТФКП, вариационное исчисление, теория дифференциальных уравнений читаются отдельными курсами. Строгость изложения следует образцам конца XIX века и в частности использует наивную теорию множеств.
Предшественниками математического анализа были античный метод исчерпывания и метод неделимых. Все три направления, включая анализ, роднит общая исходная идея: разложение на бесконечно малые элементы, природа которых, впрочем, представлялась авторам идеи довольно туманно. Алгебраический подход (исчисление бесконечно малых) начинает появляться у Валлиса, Джеймса Грегори и Барроу. В полной мере новое исчисление как систему создал Ньютон, который, однако, долгое время не публиковал свои открытия.
Эти определения поясняются геометрически, при этом на рисунке бесконечно малые приращения изображены конечными. Рассмотрение опирается на два требования (аксиомы). Первое:
Требуется, чтобы две величины, отличающиеся друг от друга лишь на бесконечно малую величину, можно было брать безразлично одну вместо другой.
Отсюда получается x + dx = x, далее
dxy = (x + dx)(y + dy) − xy = xdy + ydx + dxdy = (x + dx)dy + ydx = xdy + ydx
и проч. правила дифференцирования. Второе требование гласит:
Требуется, чтобы можно было рассматривать кривую линию как совокупность бесконечного множества бесконечно малых прямых линий.
Продолжение каждой такой линии называется касательной к кривой.Исследуя касательную, проходящую через точку M = (x,y), Лопиталь придаёт большое значение величине
достигающее экстремальных значений в точках перегиба кривой, отношению же dy к dx не придаётся никакого особого значения.
Примечательно нахождение точек экстремума. Если при непрерывном увеличении диаметра x ордината y сначала возрастает, а затем убывает, то дифференциал dy сначала положителен по сравнению с dx, а потом отрицателен.
Но всякая непрерывно возрастающая или убывающая величина не может превратиться из положительной в отрицательную, не проходя через бесконечность или нуль… Отсюда следует, что дифференциал наибольшей и наименьшей величины должен равняться нулю или бесконечности.
Вероятно, эта формулировка не безупречна, если вспомнить о первом требовании: пусть, скажем, y = x2, тогда в силу первого требования
2xdx + dx2 = 2xdx;
в нуле правая часть равна нулю, а левая нет. Видимо следовало сказать, что dy можно преобразовать в соответствии с первым требованием так, чтобы в точке максимума dy = 0. В примерах все само собой понятно, и лишь в теории точек перегиба Лопиталь пишет, что dy равен нулю в точке максимума, будучи разделён на dx
Далее, при помощи одних дифференциалов формулируются условия экстремума и рассмотрено большое число сложных задач, относящихся в основном к дифференциальной геометрии на плоскости. В конце книги, в гл. 10, изложено то, что теперь называют правилом Лопиталя, хотя и в не совсем обычной форме. Пусть величина ординаты y кривой выражена дробью, числитель и знаменатель которой обращаются в нуль при x = a. Тогда точка кривой с x = a имеет ординату y, равную отношению дифференциала числителя к дифференциалу знаменателя, взятому при x = a.
2 Вклад Л.Эйлера в развитие математического анализа
Леонард Эйлер (Euler, Leonhard) (1707–1783) входит в первую пятерку величайших математиков всех времен и народов. Родился в Базеле (Швейцария) 15 апреля 1707 в семье пастора и провел детство в близлежащем селении, где его отец получил приход. Здесь на лоне сельской природы, в благочестивой обстановке скромного пасторского дома Леонард получил начальное воспитание, наложившее глубокий отпечаток на всю его последующую жизнь и мировоззрение. Обучение в гимназии в те времена было непродолжительным. Осенью 1720 тринадцатилетний Эйлер поступил в Базельский университет, через три года окончил низший – философский факультет и записался, по желанию отца, на теологический факультет. Летом 1724 на годичном университетском акте он прочел по-латыни речь о сравнении картезианской и ньютонианской философии. Проявив интерес к математике, он привлек к себе внимание Иоганна Бернулли. Профессор стал лично руководить самостоятельными занятиями юноши и вскоре публично признал, что от проницательности и остроты ума юного Эйлера он ожидает самых больших успехов.
Еще в 1725 Леонард Эйлер выразил желание сопровождать сыновей своего учителя в Россию, куда они были приглашены в открывавшуюся тогда – по воле Петра Великого – Петербургскую Академию наук. На следующий год получил приглашение и сам. Покинул Базель весной 1727 и после семинедельного путешествия прибыл в Петербург. Здесь он был зачислен сначала адъюнктом по кафедре высшей математики, в 1731 стал академиком (профессором), получив кафедру теоретической и экспериментальной физики, а затем (1733) кафедру высшей математики.
Сразу же по приезде в Петербург он полностью погрузился в научную работу и тогда же поразил всех плодотворностью своей деятельности. Многочисленные его статьи в академических ежегодниках, первоначально посвященные преимущественно задачам механики, скоро принесли ему всемирную известность, а позже способствовали и славе петербургских академических изданий в Западной Европе. Непрерывный поток сочинений Эйлера печатался с тех пор в трудах Академии в течение целого века.
Наряду с теоретическими исследованиями, Эйлер уделял много времени и практической деятельности, исполняя многочисленные поручения Академии наук. Так, он обследовал разнообразные приборы и механизмы, участвовал в обсуждении способов подъема большого колокола в Московском кремле и т.п. Одновременно он читал лекции в академической гимназии, работал в астрономической обсерватории, сотрудничал в издании Санкт-Петербургских ведомостей, вел большую редакционную работу в академических изданиях и пр. В 1735 Эйлер принял участие в работе Географического департамента Академии, внеся большой вклад в развитие картографии России. Неутомимая работоспособность Эйлера не была прервана даже полной потерей правого глаза, постигшей его в результате болезни в 1738.
Осенью 1740 внутренняя обстановка в России осложнилась. Это побудило Эйлера принять приглашение прусского короля, и летом 1741 он переехал в Берлин, где вскоре возглавил математический класс в реорганизованной Берлинской Академии наук и словесности. Годы, проведенные Эйлером в Берлине, были наиболее плодотворными в его научной деятельности. На этот период падает и его участие в ряде острых философско-научных дискуссий, в том числе о принципе наименьшего действия. Переезд в Берлин не прервал, однако, тесных связей Эйлера с Петербургской Академией наук. Он по-прежнему регулярно посылал в Россию свои сочинения, участвовал во всякого рода экспертизах, обучал посланных к нему из России учеников, подбирал ученых на замещение вакантных должностей в Академии и выполнял много других поручений.
В том же 1766 Эйлер почти полностью потерял зрение и на левый глаз. Однако это не помешало продолжению его деятельности. С помощью нескольких учеников, писавших под его диктовку и оформлявших его труды, полуслепой Эйлер подготовил в последние годы своей жизни еще несколько сотен научных работ.
Похоронен на Смоленском лютеранском кладбище в Петербурге, откуда его прах перенесен осенью 1956 в некрополь Александро-Невской лавры.
В истории математики условно можно выделить два основных периода: элементарной и современной математики. Рубежом, от которого принято вести отсчет эпохи новой (иногда говорят - высшей) математики, стал XVII век – век появления математического анализа. К концу XVII в. И. Ньютоном, Г. Лейбницем и их предшественниками был создан аппарат нового дифференциального исчисления и интегрального исчисления, составляющий основу математического анализа и даже, пожалуй, математическую основу всего современного естествознания.
Математический анализ – это обширная область математики с характерным объектом изучения (переменной величиной), своеобразным методом исследования (анализом посредством бесконечно малых или посредством предельных переходов), определенной системой основных понятий (функция, предел, производная, дифференциал, интеграл, ряд) и постоянно совершенствующимся и развивающимся аппаратом, основу которого составляют дифференциальное и интегральное исчисления.
Попробуем дать представление о том, какая математическая революция произошла в XVII в., чем характеризуется связанный с рождением математического анализа переход от элементарной математики к той, что ныне составляет предмет исследований математического анализа и чем объясняется его фундаментальная роль во всей современной системе теоретических и прикладных знаний.
Представьте себе, что перед вами прекрасно выполненная цветная фотография набегающей на берег штормовой океанской волны: могучая сутуловатая спина, крутая, но чуть впалая грудь, уже наклоненная вперед и готовая упасть голова с терзаемой ветром седой гривой. Вы остановили мгновение, вам удалось поймать волну, и вы можете теперь без спешки внимательно изучать ее во всех подробностях. Волну можно измерить, и, пользуясь средствами элементарной математики, вы сделаете много важных выводов об этой волне, а значит, и всех ее океанских сестрах. Но, остановив волну, вы лишили ее движения и жизни. Ее зарождение, развитие, бег, сила, с которой она обрушивается на берег, - все это оказалось вне вашего поля зрения, потому что вы не располагаете пока ни языком, ни математическим аппаратом, пригодными для описания и изучения не статических, а развивающихся, динамических процессов, переменных величин и их взаимосвязей.
Движение, переменные величины и их взаимосвязи окружают нас повсюду. Различные виды движения и их закономерности составляют основной объект изучения конкретных наук: физики, геологии, биологии, социологии и др. Поэтому точный язык и соответствующие математические методы описания и изучения переменных величин оказались необходимыми во всех областях знания примерно в той же степени, в какой числа и арифметика необходимы при описании количественных соотношений. Так вот, математический анализ и составляет основу языка и математических методов описания переменных величин и их взаимосвязей. В наши дни без математического анализа невозможно не только рассчитать космические траектории, работу ядерных реакторов, бег океанской волны и закономерности развития циклона, но и экономично управлять производством, распределением ресурсов, организацией технологических процессов, прогнозировать течение химических реакций или изменение численности различных взаимосвязанных в природе видов животных и растений, потому что все это - динамические процессы.
Элементарная математика была в основном математикой постоянных величин, она изучала главным образом соотношения между элементами геометрических фигур, арифметические свойства чисел и алгебраические уравнения. Ее отношение к действительности в какой-то мере можно сравнить с внимательным, даже тщательным и полным изучением каждого фиксированного кадра киноленты, запечатлевшей изменчивый, развивающийся живой мир в его движении, которого, однако, не видно на отдельном кадре и которое можно наблюдать, только посмотрев ленту в целом. Но как кино немыслимо без фотографии, так и современная математика невозможна без той ее части, которую мы условно называем элементарной, без идей и достижений многих выдающихся ученых, разделенных порой десятками столетий.
Каковы же предпосылки появления математического анализа?
К концу XVII в. сложилась следующая ситуация. Во-первых, в рамках самой математики за долгие годы накопились некоторые важные классы однотипных задач (например, задачи измерения площадей и объемов нестандартных фигур, задачи проведения касательных к кривым) и появились методы их решения в различных частных случаях. Во-вторых, оказалось, что эти задачи теснейшим образом связаны с задачами описания произвольного (не обязательно равномерного) механического движения, и в частности с вычислением его мгновенных характеристик (скорости, ускорения в любой момент времени), а также с нахождением величины пройденного пути для движения, происходящего с заданной переменной скоростью. Решение этих проблем было необходимо для развития физики, астрономии, техники.
НИКОЛАЙ НИКОЛАЕВИЧ ЛУЗИН
(1883-1950)
Н. Н. Лузин – советский математик, основоположник советской школы теории функций, академик (1929).
Лузин родился в Томске, учился в томской гимназии. Формализм гимназического курса математики оттолкнул от себя талантливого юношу, и лишь способный репетитор смог раскрыть перед ним красоту и величие математической науки.
В 1901 г. Лузин поступил на математическое отделение физико-математического факультета Московского университета. С первых лет обучения в круг его интересов попали вопросы, связанные с бесконечностью. В конце XIX в. немецкий ученый Г. Кантор создал общую теорию бесконечных множеств, получившую многочисленные применения в исследовании разрывных функций. Лузин начал изучать эту теорию, но его занятия были прерваны в 1905 г. Студенту, принимавшему участие в революционной деятельности, пришлось на время уехать во Францию. Там он слушал лекции виднейших французских математиков того времени. По возвращении в Россию Лузин окончил университет и был оставлен для подготовки к профессорскому званию. Вскоре он вновь уехал в Париж, а затем в Геттинген, где сблизился со многими учеными и написал первые научные работы. Основной проблемой, интересовавшей ученого, был вопрос о том, могут ли существовать множества, содержащие больше элементов, чем множество натуральных чисел, но меньше, чем множество точек отрезка (проблема континуума).
В заключение хотелось бы остановиться только на одном общем для всей математики и характерном для анализа принципе математического абстрагирования и в этой связи объяснить, в каком виде математический анализ изучает переменные величины и в чем секрет такой универсальности его методов для изучения всевозможных конкретных развивающихся процессов и их взаимосвязей.
Рассмотрим несколько поясняющих примеров и аналогий.
Мы порой уже не отдаем себе отчета в том, что, например, математическое соотношение , написанное не для яблок, стульев или слонов, а в отвлеченном от конкретных объектов абстрактном виде, - выдающееся научное завоевание. Это математический закон, который, как показывает опыт, применим к различным конкретным объектам. Значит, изучая в математике общие свойства отвлеченных, абстрактных чисел, мы тем самым изучаем количественные соотношения реального мира.
Примерно так же связаны законы изменения конкретных переменных величин и развивающихся процессов природы с той абстрактной, отвлеченной формой-функцией, в которой они появляются и изучаются в математическом анализе.
Например, абстрактное соотношение может быть отражением зависимости кассового сбора у кинотеатра от количества проданных билетов, если 20 – это 20 копеек – цена одного билета. Но если мы едем по шоссе на велосипеде, проезжая 20 км в час, то это же соотношение можно истолковать как взаимосвязь времени (часов) нашей велосипедной прогулки и покрытого за это время расстояния (километров).
Вообще зависимость , где - некоторый числовой коэффициент, встречается очень часто. В математике ее называют прямой пропорциональной зависимостью переменной величины от переменной величины или говорят также, что - линейная функция от . Какова бы ни была конкретная природа переменных величин и связанных соотношением , вы всегда можете утверждать, что, например, изменение в несколько раз приводит к пропорциональному (т.е. во столько же раз) изменению величины , а если , то верно и обратное заключение. Значит, в частности, для увеличения кассового сбора кинотеатра в два раза вам придется привлечь вдвое больше зрителей, а для того, чтобы на велосипеде с той же скоростью проехать вдвое большее расстояние, вам придется ехать вдвое дольше.
Математика изучает и простейшую зависимость , и другие, значительно более сложные зависимости в отвлеченном от частной интерпретации, общем, абстрактном виде. Выявленные в таком исследовании свойства функции или методы изучения этих свойств будут носить характер общих математических приемов, заключений, законов и выводов, применимых к каждому конкретному явлению, в котором встречается изученная в абстрактном виде функция, независимо от того, к какой области знания это явление относится.
Итак, математический анализ как раздел математики оформился в конце XVII в. Предметом изучения в математическом анализе (как он представляется с современных позиций) являются функции, или, иначе, зависимости между переменными величинами.
С возникновением математического анализа математике стало доступно изучение и отражение развивающихся процессов реального мира; в математику вошли переменные величины и движение.
Эта статья — об историческом разделе математики. О соответствующем ему в современном понимании комплексе разделов математики см. Математический анализ; об одном из основных направлений в математики, выросшим из данного раздела см. Анализ (раздел математики).
Анализ бесконечно малых — историческое название математического анализа, раздела высшей математики, изучающего пределы, производные, интегралы и бесконечные ряды, и составляющего важную часть современного математического образования. Состоит из двух основных частей: дифференциального исчисления и интегрального исчисления, которые связаны между собой формулой Ньютона — Лейбница.
Содержание
Античность
В античный период появились некоторые идеи, которые в дальнейшем привели к интегральному исчислению, но в ту эпоху эти идеи не были развиты строгим, систематическим образом. Расчёты объёмов и площадей, являющиеся одной из целей интегрального исчисления, можно найти в московском математическом папирусе из Египта (ок. 1820 до н. э.), но формулы являются скорее инструкциями, без каких-либо указаний на метод, а некоторые просто ошибочны. [1] В эпоху греческой математики Евдокс (ок. 408—355 до н. э.) для вычисления площадей и объёмов использовал метод исчерпывания, который предвосхищает понятие предела, а позже эту идею дальше развил Архимед (ок. 287—212 до н. э.), изобретя эвристики, которые напоминают методы интегрального исчисления. [2] Метод исчерпывания позже изобрёл в Китае Лю Хуэй в III веке нашей эры, который он использовал для вычисления площади круга. [3] В V нашей эры Цзу Чунчжи разработал метод вычисления объёма шара, который позже назовут принципом Кавальери. [4]
Средневековье
Современная эпоха
Исааком Ньютоном были введены правило произведения и правило цепочки, понятие производных высших порядков, ряды Тейлора и аналитические функции в своеобразных обозначениях, которые он использовал при решении задач математической физики. В своих публикациях Ньютон перефразировал свои идеи в соответствии с математическим языком того времени, заменяя вычисления бесконечно малых посредством других равнозначных форм геометрических представлений, которые считались безупречными. Он использовал методы исчисления для решения проблем движения планет, форм поверхностей вращающейся жидкости, сплюснутости Земли, скольжении груза по циклоиде и многих других проблем, которые он изложил в своём труде Математические начала натуральной философии (1687). В другой работе он разработал разложение функций в ряд, в том числе с использованием дробных и иррациональных степеней, и было ясно, что он понял принципы рядов Тейлора. Не все свои открытия он публиковал, поскольку в то время методы бесконечно малых имели сомнительную репутацию.
Эти идеи были систематизированы в истинное исчисление бесконечно малых Готфридом Вильгельмом Лейбницем, который первоначально был обвинён Ньютоном в плагиате. [8] В настоящее время он рассматривается как независимый изобретатель и разработчик исчисления. Его вклад заключается в разработке чётких правил для работы с бесконечно малыми величинами, позволяющих вычисление производных второго и более высоких порядков, а также в разработке правила произведения и правила цепочки в их дифференциальной и интегральной формах. В отличие от Ньютона, Лейбниц уделял большое внимание формализму, часто затрачивая многие дни для выбора подходящих символов для конкретных понятий.
Изобретение исчисления обычно приписывают обоим, и Лейбницу и Ньютону. Ньютон первым применил исчисление к общей физике, а Лейбниц разработал большую часть обозначений, используемых в исчислении сегодня. Основная проницательность, которую проявили как Ньютон, так и Лейбниц, заключалась в открытии законов дифференцирования и интегрирования, введении производных второго и более высоких порядков и введении понятия аппроксимации полиномов рядами. Во времена Ньютона основная теорема исчисления была уже известна.
Со времён Лейбница и Ньютона многие математики внесли свой вклад в дальнейшее развитие исчисления. Одной из первых наиболее полных работ по анализу конечных и бесконечно малых была книга, написанная в 1748 году Марией Гаэтаной Аньези. [9]
Основания
В современной математике основы исчисления включаются в раздел вещественного анализа, который содержит полные определения и доказательства теорем исчисления. Сфера исследований исчисления стала значительно шире. Анри Лебег разработал теорию мер множества и использовал её для определения интегралов от всех функций, кроме самых экзотических. Лоран Шварц ввёл в рассмотрение обобщённые функции, которые можно использовать для вычисления производных любой функции вообще.
Введение пределов определило не единственный строгий подход к основанию исчисления. Альтернативой может быть, например, нестандартный анализ Абрахама Робинсона. Подход Робинсона, разработанный в 1960-е годы, использует технические средства из математической логики для расширения системы вещественных чисел бесконечно малыми и бесконечно большими числами, как это было в исходной концепции Ньютона-Лейбница. Эти числа, называемые гипердействительными, можно использовать в обычных правилах исчисления, подобно тому, как это делал Лейбниц.
Важность
Хотя некоторые идеи исчисления ранее были разработаны в Египте, Греции, Китае, Индии, Ираке, Персии и Японии, современное использование исчисления началось в Европе в XVII веке, когда Исаак Ньютон и Готфрид Вильгельм Лейбниц построили на базе работ предшествующих математиков его основные принципы. Развитие исчисления было основано на более ранних концепциях мгновенного движения и площади под кривой.
Дифференциальное исчисление применяется в расчётах, связанных со скоростью и ускорением, углом наклона кривой и оптимизацией. Применение интегрального исчисления включает расчёты с участием площадей, объёмов, длин дуг, центров масс, работы и давления. Более сложные приложения включают расчёты степенных рядов и рядов Фурье.
Исчисление [ уточнить ] также используется для получения более точного представления о природе пространства, времени и движения. Веками математики и философы боролись с парадоксами, связанными с делением на ноль или нахождением суммы бесконечного ряда чисел. Эти вопросы возникают при изучении движения и вычислении площадей. Древнегреческий философ Зенон Элейский дал несколько известных примеров таких парадоксов. Исчисление предоставляет инструменты для разрешения этих парадоксов, в частности, пределы и бесконечные ряды.
Пределы и бесконечно малые величины
В XIX веке бесконечно малые были заменены пределами. Пределы описывают значение функции для некоторого входа с точки зрения его значения для соседнем входа. Они охватывают мелкомасштабные изменения, подобно как бесконечно малым, но используются для обычной системы вещественных чисел. В этой трактовке исчисление представляет собой набор методов для манипуляции некоторыми пределами. Бесконечно малые заменяются на очень небольшие числа, а бесконечно малые изменения функции находятся путём принятия предельного поведения при всё меньших и меньших числах. Пределы являются самым лёгким способом создать строгую основу для исчисления, и по этой причине они приняты в качестве стандартного подхода.
Нотация Лейбница
Введённые Лейбницем обозначения для производной выглядят так:
В ньютоновском подходе, основанном на пределах, символ dy/dx следует интерпретировать не как частное от деления двух чисел, а как сокращённое обозначение для вычисленного выше предела. Лейбниц же стремился представить его как отношение двух бесконечно малых чисел: dy — дифференциала, то есть бесконечно малого изменения y, и dx — бесконечно малого изменения x, вызвавшего изменение y [10] .
Даже при представлении исчисления с использованием пределов, а не бесконечно малых, обозначение является общим для манипулирования символами, как если бы dx и dy были реальными числами. Хотя, чтобы избежать подобных манипуляций, такие обозначения иногда удобно использовать в выражении операции, как, например, это применяется при обозначении полной производной.
1 июля 1646 года родился Готфрид Вильгельм Лейбниц – немецкий ученый, который внес большой вклад в различные науки - математику, физику, философию, психологию и историю. В этой статье поговорим о его достижениях в области математики.
К самым основным математическим достижениям Лейбница можно отнести такие:
- Независимо от Исаака Ньютона, Лейбниц создал математический анализ.
- Лейбниц считается основателем комбинаторики как науки.
- Ученый заложил основы математической логики, а также описал двоичную систему счисления с цифрами 0 и 1.
Лейбниц, Ньютон и математический анализ
Есть мнение, что Лейбница к созданию его теории подтолкнули слухи, ходившие в математическом обществе, о том, что подобная теория уже есть у Ньютона. Также можно заметить, что ряд приёмов решения задач (проведение касательных, поиск экстремумов, вычисление квадратур) были открыты еще до Лейбница и до Ньютона. Да и в трудах учителя Ньютона Исаака Барроу были сделаны важные открытия, например, то, что задача о касательных обратна по отношению к задаче о квадратурах. Впрочем, Лейбниц также был знаком с этими трудами.
Изначально большинство ученых на континенте не сомневались, что анализ открыл Лейбниц. Современные исследователи считают, что Ньютон и Лейбниц совершили свои открытия независимо друг от друга.
Лейбниц и комбинаторика
Основные понятия комбинаторики и перечислительные результаты были известные еще в Древнем мире. Постепенно в этой области накапливались открытия, но активное развитие началось уже в эпоху Возрождения.
В течение всей жизни Лейбниц занимался проблемами комбинаторики, возвращаясь к этой науке снова и снова. Комбинаторику он понимал весьма широко – как составляющую любого исследования. Ученый считал, что у этой науки большое будущее.
Читайте также: