Сообщение о возникновении и развитии способов записи целых неотрицательных чисел
Обновлено: 02.07.2024
Основные понятия и термины по теме: система счисления, позиционные и непозиционные системы счисления.
План изучения темы:
1. Позиционные и непозиционные системы счисления.
2. Запись чисел в десятичной системе счисления.
3. Позиционные системы счисления, отличные от десятичной.
Краткое изложение теоретических вопросов:
1. Позиционные и непозиционные системы счисления.
Системой счисления называется язык для наименования (устная нумерация) и записи (письменная нумерация) чисел, а также для выполнения действий над ними.
Различают позиционные и непозиционные системы счисления.
Непозиционные системы счисления возникли раньше позиционных.
Непозиционные системы счисления характеризуются тем, что каждый знак из совокупности знаков, принятых в данной системе для обозначения чисел, всегда обозначает одной то же число независимо от места (позиции), занимаемого этим знаком в записи числа. Примером такой системы может послужить римская нумерация, возникшая в средние века Основной принцип, используемый в этой системе счисления, -каждая используемая буква всегда означает одно и то же число независимо от того, где эта буква размещается в числе.
Одним из недостатков непозиционной системы счисления является потребность введения новых знаков для записи больших чисел. Другим недостатком непозиционной системы является сложность выполнения арифметических операций.
Особенностью позиционных систем счисления является то, что один и тот же знак может обозначать различные числа в зависимости от места (позиции), занимаемого данным знаком в записи числа Так, шестидесятеричная вавилонская и десятичная системы счисления являются позиционными.
Основное достоинство позиционных систем счисления - простота выполнения арифметических операций, ограниченное количество символов, необходимых для записи любых чисел.
2.Запись чисел в десятичной системе счисления.
Общепринятой считается десятичная позиционная система, берущая своё начало от счёта на пальцах. Она была изобретена в Индии, заимствована Арабами и уже через арабские страны пришла в Европу.
В этой системе для записи любого числа используется лишь десять знаков (цифр):
множество которых составляет алфавит этого языка.
Всякая конечная последовательность цифр алфавита-слово этого языка- обозначает число, являясь условной, краткой записью более сложного выражения, составленного по определённому правилу, отражающему позиционный принцип, при котором значение каждой цифры определяется как ею самой, так и занимаемым ею местом (позицией).
т. е. является краткой записью суммы произведений последовательных степеней числа 10 (основания системы счисления) на числа, каждое из которых меньше 10.
3.Позиционные системы счисления, отличные от десятичной.
Возможны позиционные системы счисления и с основанием, отличным от десяти. Например, в древнем Вавилоне была распространена система с основанием 60.
Для записи числа в позиционной системе счисления, как видно, требуется столько различных знаков (цифр), сколько единиц в основании системы. Иными словами, алфавит позиционной системы счисления с основанием р должен содержать различные обозначения чисел
0, 1,2,…,р-1.
Но можно ли всякое, например, целое, число записать в любой системе счисления. На примере покажем, что можно.
Индекс (5) указывает на то, что это запись числа в пятеричной системе счисления; при десятичном числе индекс обычно опускается.
Презентация на тему: " Запись целых неотрицательных чисел и действия над ними." — Транскрипт:
1 Запись целых неотрицательных чисел и действия над ними.
2 План: ПППП ооо инн яя тот ии ее с с с с ии сс тот ее мм ыыыы с с с с чччч ии сс лол ее инн ии яя ВВВВ ии ддт ыыыы с с с с ии сс тот ее мм с с с с чччч ии сс лол ее инн ии яя ДДДД ее сс яя тот ии чччч инн аапа яя с с с с ии сс тот ее мм аапа с с с с чччч ии сс лол ее инн ии яя. Е Е Е Е ёё ооо сс ооо баб ее инн инн ооо сс тот ии.
3 ПППП ооо инн яя тот ии ее с с с с ии сс тот ее мм ыыыы с с с с чччч ии сс лол ее инн ии яя. Каждому человеку приходится иметь дело с числами, поэтому необходимо уметь правильно называть и записывать любое число, а так же, производить действия над ними. Каждому человеку приходится иметь дело с числами, поэтому необходимо уметь правильно называть и записывать любое число, а так же, производить действия над ними. Для этого мы используем особый способ записи чисел. Он носит название десятичной системы счисления. Для этого мы используем особый способ записи чисел. Он носит название десятичной системы счисления. Вообще, система счисления – язык для записи наименования чисел и действий над ними. Вообще, система счисления – язык для записи наименования чисел и действий над ними.
4 Историческая справка. Необходимость вести счёт появилась ещё до появления письменности. В этом людям помогали пальцы, деревянные палочки с зарубками, шнуры и верёвки с узлами. Но эти способы были не удобны для записи больших чисел. Это затрудняло не только запись числа, но и сравнение чисел, и выполнение действий над ними. Необходимость вести счёт появилась ещё до появления письменности. В этом людям помогали пальцы, деревянные палочки с зарубками, шнуры и верёвки с узлами. Но эти способы были не удобны для записи больших чисел. Это затрудняло не только запись числа, но и сравнение чисел, и выполнение действий над ними.
5 Затем появились иные записи чисел, более экономичные: счёт стали вести группами, состоящими из одинакового числа элементов. Например, счёт двадцатками использовали люди племени майя. Затем появились иные записи чисел, более экономичные: счёт стали вести группами, состоящими из одинакового числа элементов. Например, счёт двадцатками использовали люди племени майя.
6 В Древнем Вавилоне считали группами по 60 единиц. В Древнем Вавилоне считали группами по 60 единиц.
7 В Древнем Египте использовались совсем иные знаки, которые наносились на папирус. В Древнем Египте использовались совсем иные знаки, которые наносились на папирус.
8 Китайцы и японцы изобрели собственную систему счёта. Она основана на принципе умножения на десять. Китайцы и японцы изобрели собственную систему счёта. Она основана на принципе умножения на десять.
9 ВВВВ ии ддт ыыыы с с с с ии сс тот ее мм с с с с чччч ии сс лол ее инн ии яя. Какие виды систем счисления вы знаете? Системы счисления позиционные непозиционные
10 Какие системы счисления называются Какие системы счисления называются непозиционными? Приведите примеры. непозиционными? Приведите примеры. В непозиционных системах счисления каждый знак всегда обозначает одно и то же число, независимо от места, занимаемого этим знаком в записи числа. Примером непозиционного счисления является римская система счисления, которую мы используем и сегодня. Она основана на принципах сложения и повторения. В непозиционных системах счисления каждый знак всегда обозначает одно и то же число, независимо от места, занимаемого этим знаком в записи числа. Примером непозиционного счисления является римская система счисления, которую мы используем и сегодня. Она основана на принципах сложения и повторения.
12 В позиционных системах счисления один и тот же знак может обозначать различные числа в зависимости от места (позиции), занимаемого этим знаком в записи числа. Так, вавилонская и десятичная системы счисления являются позиционными. В позиционных системах счисления один и тот же знак может обозначать различные числа в зависимости от места (позиции), занимаемого этим знаком в записи числа. Так, вавилонская и десятичная системы счисления являются позиционными.
13 Десятичную систему счисления изобрели в Индии в VI веке нашей эры. Лишь в X веке её завезли в Европу. Десятичную систему счисления изобрели в Индии в VI веке нашей эры. Лишь в X веке её завезли в Европу. (В это время у славян появляется и письменность. Основа словарного алфавита была заимствована у византийцев, поэтому и нумерация славян совпадает с греческой, то есть числа в ней изображались буквами алфавита, над которыми ставили особый знак – титло. (В это время у славян появляется и письменность. Основа словарного алфавита была заимствована у византийцев, поэтому и нумерация славян совпадает с греческой, то есть числа в ней изображались буквами алфавита, над которыми ставили особый знак – титло. НО! Славянская нумерация была непозиционной.) НО! Славянская нумерация была непозиционной.)
15 Немного потренируемся в записи чисел из римской системы счисления в десятичную, и наоборот. 1. Запишите в десятичной системе счисления. XXVII = XLIV = LXXVIII = XCV = MDCCCLXXI = Ответы: 27, 44, 78, 95, 1871
16 2. Запишите в римской системе счисления. 24 = 117 = 1941= 1997 = Ответы: XXIV, CXVII, MCMXLI, MCMXCVII
17 ДДДД ее сс яя тот ии чччч инн аапа яя с с с с ии сс тот ее мм аапа с с с с чччч ии сс лол ее инн ии яя. ЕЕЕЕ ёё о о о о сс ооо баб ее инн инн ооо сс тот ии. В десятичной системе счисления используется десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Из них образуются конечные последовательности, которые являются краткими записями чисел. В десятичной системе счисления используется десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Из них образуются конечные последовательности, которые являются краткими записями чисел. Дадим определение.
18 Десятичная запись числа – сумма степеней десяти с коэффициентами. Десятичная запись числа – сумма степеней десяти с коэффициентами. Теорема: Любое натуральное число можно представить в виде его десятичной записи и такое представление единственно. Теорема: Любое натуральное число можно представить в виде его десятичной записи и такое представление единственно. x = a n 10 n + a n-1 10 n a a 0
19 Сравнение чисел в десятичной системе. a n 0, a = Пусть x = a n 10 n + a n-1 10 n a a 0 y = b m 10 m + b m-1 10 m b b 0 x
20 Если натуральное число х представлено в виде Если натуральное число х представлено в виде a n 10 n + a n-1 10 n a a 0, то числа 1,10,10 2, … 10 n называют разрядными единицами соответственно первого, второго, n+1 разряда, причём 10 единиц одного разряда составляет одну единицу следующего высшего разряда. a n 10 n + a n-1 10 n a a 0, то числа 1,10,10 2, … 10 n называют разрядными единицами соответственно первого, второго, n+1 разряда, причём 10 единиц одного разряда составляет одну единицу следующего высшего разряда. Выделение классов единиц, тысяч, и т.д. создаёт удобства для записи и прочтения чисел. Выделение классов единиц, тысяч, и т.д. создаёт удобства для записи и прочтения чисел.
21 Три первых разряда в записи числа соединяют одну группу и называют первым классом, или классом единиц. В первый класс входят единицы, десятки, сотни. Три первых разряда в записи числа соединяют одну группу и называют первым классом, или классом единиц. В первый класс входят единицы, десятки, сотни. Четвёртый, пятый и шестой разряды в записи числа образуют второй класс – класс тысяч. В него входят единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч. Четвёртый, пятый и шестой разряды в записи числа образуют второй класс – класс тысяч. В него входят единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч. Последующие три разряда образуют новый класс и так далее. Последующие три разряда образуют новый класс и так далее.
22 Таблица разрядов и классов.
23 В десятичной системе всем числам можно дать название. Это достигается следующим образом: имеются названия первых десяти чисел, затем из них в соответствии с определением десятичной записи и путём прибавления ещё немногих слов образуются названия последующих чисел. Так, числа второго десятка (110+а 0 ) образуются из соединения первых десяти названий и несколько изменённого слова десять: В десятичной системе всем числам можно дать название. Это достигается следующим образом: имеются названия первых десяти чисел, затем из них в соответствии с определением десятичной записи и путём прибавления ещё немногих слов образуются названия последующих чисел. Так, числа второго десятка (110+а 0 ) образуются из соединения первых десяти названий и несколько изменённого слова десять: Одиннадцать – один на десять, Одиннадцать – один на десять, Двенадцать – два на десять и т.д. Двенадцать – два на десять и т.д.
24 АОУ СПО Тюменский педагогический колледж 1 Презентация по теоретическим основам начального курса математики студентки 425 группы школьного отделения Крюковой Владлены Тюмень, 2009 г.
Понятие числа является одним из основных в математике. Число служит орудием, при помощи которого математика и другие науки изучают объективные закономерности реального мира.
Современное состояние понятия "число" сложилось в результате длительного исторического пути развития, в процессе решения постоянно усложняющихся практических и теоретических задач.
Было время, когда люди не умели считать. Число воспринималось ими как одно из свойств предметов, подлежащих перечислению. Решение практических задач, связанных со счетом, было сопряжено с огромными трудностями.
Шагом в развитии понятия числа явился счет с помощью определенных предметов, и в частности с помощью пальцев рук и ног. Возможно на этом этапе и определилась особая роль чисел "пять", "десять", "двадцать", появились названия некоторых чисел.
Числовой ряд возник не сразу. История его формирования длительная, запас чисел, которые употребляли, ведя счет, увеличивался постоянно.
И, конечно, не сразу люди поняли, что числовой ряд можно бесконечно продолжать. Идея бесконечности натурального ряда чисел появилась, вероятно, когда общество достигло достаточного уровня цивилизации. С ее развитием встречаемся в работе древнегреческого математика Архимеда, жившего в 3 в. до н.э. В своем сочинении "Исчисление песчинок" он показал, что ряд чисел может быть продолжен бесконечно. Архимед изобрел способ, который позволял образовывать и словесно обозначать сколь угодно большие числа. В связи с этим он утверждал, что можно пересчитать не только песчинки на берегу моря, но и подсчитать их число в шаре достаточно большого радиуса.
В результате длительного процесса развития понятия числа человек научился записывать числа и выполнять действия над ними. С рождением математики были изучены свойства этих чисел и операций над ними.
Во второй половине 19 в. понятие о числе получило логическое обоснование. Была разработана аксиоматическая теория натурального числа. Большое влияние на исследование природы натурального числа оказало создание в конце 19 в. теории множеств.
Для школьной математики число является тем понятием, с которого начинается обучение. И уже в начальных классах учащиеся знакомятся с различными ролями натурального числа. Отвечая на вопрос: "Сколько машин изображено на рисунке?", они имеюм дело с числом как количественной характеристикой множества предметов. Производя счет предметов, оперируют порядковым натуральным числом. В задачах, связанных с измерением величин, число выступает в новой роли - как значение величины при выбранной единице величины, как мера величины. Много внимания уделяется в НКМ и еще одной роли числа - число как компонента вычислений. Таким образом, натуральное число многолико и все его стороны должны быть поняты учащимися начальных классов. Поэтому важнейшей задачей учителя является овладение теми теориями натурального числа, в которых отражаются различные роли натурального числа в практической деятельности.
Одним из способов строгого логического обоснования натурального числа и операций над числами является аксиоматическое построение системы натуральных чисел. Начав изучение чисел именно с этого подхода, рассмотрим затем теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля, отношений между числами, операций над ними. Рассмотрим натуральное число как результат измерения величин; способы записи ЦНЧ, правила действий над многозначными числами в десятичной и других системах счисления; рассмотрим некоторые вопросы делимости ЦНЧ.
Лекция 1. Аксиоматическое построение системы натуральных чисел
Аксиоматический метод в математике.
Основные понятия и отношения аксиоматической теории натурального ряда. Определение натурального числа.
Сложение натуральных чисел.
Умножение натуральных чисел.
Свойства множества натуральных чисел
Вычитание и деление натуральных чисел.
Аксиоматический метод в математике
При аксиоматическом построении какой-либо математической теории соблюдаются определенные правила:
1. Некоторые понятия теории выбираются в качестве основных и принимаются без определения.
2. Формулируются аксиомы, которые в данной теории принимаются без доказательства, в них раскрываются свойства основных понятий.
3. Каждому понятию теории, которое не содержится в списке основных, даётся определение, в нём разъясняется его смысл с помощью основных и предшествующих данному понятию.
4. Каждое предложение теории, которое не содержится в списке аксиом, должно быть доказано. Такие предложения называют теоремами и доказывают их на основе аксиом и теорем, предшествующих рассматриваемой.
Система аксиом должна быть :
а) непротиворечивой:мы должны быть уверены,что, делая всевозможные выводы из данной системы аксиом, никогда не придем к противоречию;
б) независимой: никакая аксиома не должна быть следствием других аксиом этой системы.
в) полной, если в ее рамках всегда можно доказать или данное утверждение, или его отрицание.
Первым опытом аксиоматического построения теории можно считать изложение геометрии Евклидом в его "Началах"(3 в. до н.э.). Значительный вклад в развитие аксиоматического метода построения геометрии и алгебры внесли Н.И. Лобачевский и Э.Галуа. В конце 19 в. итальянским математиком Пеано была разработана система аксиом для арифметики.
Основные понятия и отношения аксиоматической теории натурального числа. Определение натурального числа.
Элемент, непосредственно следующий за элементом а, обозначают а'.
Аксиомы Пеано:
Аксиома 1. В множестве Nсуществует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. Будем называть его единицей и обозначать символом 1.
Аксиома 2. Для каждого элемента аиз Nсуществует единственный элемент а', непосредственно следующий за а.
Аксиома 3. Для каждого элемента аиз N существует не более одного элемента, за которым непосредственно следует а.
Аксиома 4. Всякое подмножество Ммножества Nсовпадает с N, если обладает свойствами: 1) 1 содержится в М; 2) из того, что асодержится в М, следует, что и а'содержится в М.
Стандартной моделью системы аксиом Пеано является возникший в процессе исторического развития общества ряд чисел: 1,2,3,4. Натуральный ряд начинается с числа 1 (аксиома 1); за каждым натуральным числом непосредственно следует единственное натуральное число (аксиома 2); каждое натуральное число непосредственно следует не более чем за одним натуральным числом (аксиома 3); начиная от числа 1 и переходя по порядку к непосредственно следующим друг за другом натуральным числам, получаем все множество этих чисел (аксиома 4).
Определение 2. Если натуральное число bнепосредственно следует за натуральным числом а, то число а называется непосредственно предшествующим (или предшествующим) числу b .
Сложение натуральных чисел
Предварим определение сложения следующими рассуждениями. Если к любому натуральному числу а прибавить 1, то получим число а', непосредственно следующее за а, т.е. а + 1 = а' и, следовательно, мы получим правило прибавления 1 к любому натуральному числу. Но как прибавлять к числу а натуральное число b, отличное от 1? Воспользуемся следующим фактом: если известно, что 2 + 3 = 5, то сумма 2 + 4 = 6, которое непосредственно следует за числом 5. Происходит так потому, что в сумме 2 + 4 второе слагаемое есть число, непосредственно следующее за числом 3. Таким образом, 2 + 4 =2+3' =(2+3)'. В общем виде имеем, .
Эти факты положены в основу определения сложения натуральных чисел в аксиоматической теории.
Определение 3. Сложениемнатуральных чисел называется алгебраическая операция, обладающая свойствами:
Число а + bназывается суммой чисел а и b , а сами числа аиb- слагаемыми.
Теорема 6
( а, b N) а + b ≠ b.
Вычитание
При аксиоматическом построении теории натуральных чисел вычитание обычно определяется как операция, обратная сложению.
Определение 6. Вычитанием натуральных чисел а и bназывается операция, удовлетворяющая условию: а — b = с тогда и только тогда, когда b + с = а.
Число а - bназывается разностью чисел а и b, число а – уменьшаемым, ачисло b - вычитаемым.
Теорема 13. Разность натуральных чисел а - b существует тогда и только тогда, когда b
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Подготовил: Мифтахов Камиль
Все науки возникли из практики. Знания, которые лежат в основе разных наук, человек приобретал в борьбе с опасными для него явлениями природы, и конечная цель наук – создание условий, наиболее благоприятных для существования человека.
Числа – это выражение определенного количества чего-либо. В течение тысячелетий люди использовали пальцы рук и ног, но это было не очень удобно при обозначении большого количества. Возникла необходимость более удобного способа выражения количества. Таким способом является запись чисел при помощи специальных знаков – цифр.
На более высокой стадии развития люди при счете стали применять разные предметы: использовали камешки, зерна, веревку с бирками. Это были первые счетные приборы, которые, в конце концов, приве ли к образованию разных систем счисления и к созданию современ ных быстродействующих электронных вычислительных машин.
Первыми придумали запись чисел древние шумеры. Они пользовались всего двумя цифрами. Вертикальная чёрточка обозначала одну единицу, а угол из двух лежачих чёрточек – десять. Эти чёрточки у них получались в виде клиньев, потому что они писали острой палочкой на сырых глиняных дощечках, которые потом сушили и обжигали. Вот так выглядели эти дощечки.
После счета по зарубкам люди изобрели особые символы, названные цифрами. Они стали применяться для обозначения различных количеств каких-либо предметов. Разные цивилизации создавали свои собственные цифры .
Так, например, в древней египетской нумерации, зародившейся более 5000 лет назад, существовали особые знаки (иероглифы) для записи чисел 1, 10, 100, 1000, …
Для того чтобы изобразить, например, целое число 23145, достаточно записать в ряд два иероглифа, изображающие десять тысяч, затем три иероглифа для тысячи, один – для ста, четыре – для десяти и пять иероглифов для единицы
Этого одного примера достаточно, чтобы научиться записывать числа так, как их изображали древние египтяне. Это система очень проста и примитивна.
Похожим образом обозначали числа на острове Крит, расположенном в Средиземном море. В критской письменности единицы обозначались вертикальной чёрточкой |, десятки – горизонтальной - , сотни – кружком ◦, тысячи – знаком ¤.
Народы (вавилоняне, ассирийцы, шумеры), жившие в Междуречье Тигра и Евфрата в период от II тысячелетия до н.э. до начала нашей эры, сначала обозначали числа с помощью кругов и полукругов различной величины, но затем стали использовать только два клинописных знака – прямой клин (1) и лежащий клин (10). Эти народы использовали шестидесятеричную систему счисления, например число 23 изображали так: Число 60 снова обозначалось знаком , например число 92 записывали так: .
В начале нашей эры индейцы племени майя, которые жили на полуострове Юкатан в Центральной Америке, пользовались другой системой счисления – двадцатеричной. Они обозначали 1 точкой, а 5 – горизонтальной чертой, например, запись ‗‗‗‗‗‗ означала 14. системе счисления майя был и знак для нуля. По своей форме он напоминал полузакрытый глаз.
В Древней Греции сначала числа 5, 10, 100, 1000, 10000 обозначали буквами Г, Н, Х, М, а число 1 – черточкой /. Из этих знаков составляли обозначения Г (35) и т.д. Позднее числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000, 2000, 3000, 4000, 5000, 6000, 7000, 8000, 9000, 10000, 20000 стали обозначать буквами греческого алфавита, к которому пришлось добавить еще три устаревшие буквы. Чтобы отличить цифры от букв, над буквами ставили черточку.
Древние индийцы изобрели для каждой цифры свой знак. Вот как они выглядели.
Постепенное превращение первоначальных цифр в наши современные цифры.
Со временем некоторые знаки изменились: С - сто, L - пятьдесят, М - тысяча, D - пятьсот. Например: XL - 40, LXXX - 80, ХС - 90, CDLIX - 459, CCCLXXXII - 382, CMXCI - 991, MCMXCVIII - 1998, MMI – 2001.
Арабские числа в России стали применять, в основном, с XVIII века. До того наши предки использовали славянскую нумерацию. Над буквами ставились титлы (черточки), и тогда буквы обозначали числа.
Числа от 11 до 19 обозначались так:
Остальные числа записывались буквами слева направо, например, числа 5044 или 1135 имели соответственно обозначение
означает соответственно 500044 и 540004.
Существуют различные теории о происхождении чисел. Классическим примером происхождения чисел считается Древняя Греция. Другой из возможных вариантов происхождения символов чисел – это получение их из символов планет .
0 – абсолют, 1 – его проявление. Все это заключено в Солнце.
2 – двойственность и эмоциональность с ней связанная – свойства Луны.
3 – прошлое, настоящее и будущее время – Сатурн.
4 – четыре стороны света, пространство – Юпитер.
5 – любовь и человек – Венера.
6 – соединение двух треугольников – корень активности, отношений, а также преданность – свойства Марса.
7 – полнота знаний, деталей, особенностей, подвижность – это качества Меркурия.
8 – бесконечность, лунные узлы как точки затмений, во время которых временное соотносится с Вечным.
9 – не проявленное, скрытое.
Слово математика возникло в Древней Греции в V веке до нашей эры.
Считать люди научились в незапамятные времена.
Сначала для счета использовали пальцы рук и ног.
На более высокой стадии развития люди при счете стали применять разные предметы: камешки, зерна, веревку с бирками.
Необходимость обозначения чисел привело к образованию специальных знаков-цифр.
Запись больших чисел также осуществляется с помощью цифр.
Существуют различные теории о происхождении чисел.
Возникновение и развитие математической науки: Кн. Для учителя. – М.: Просвещение, 1987. – 159 с.: ил.
Шейнина О. С., Соловьева Г. М. Математика/О. С. Шейнина, Г. М. Соловьева – М.: Изд-во НЦ ЭНАС, 2007. – 208с.
Энциклопедия для детей. Т.11.Математика / Глав. ред, М.Д.Аксёнова. – М.: Аванта+,1998. – 688 с.: ил.
Энциклопедия. Мудрость тысячелетий. – М.: ОЛМА-ПРЕСС, 2004. –
Автор-составитель В. Балязин. – 848 с.
Натуральные, рациональные, действительные, комплексные. Москва – вербум – м.2000г. автор Гладких А.В.
Читайте также: