Сообщение на тему сравнение чисел

Обновлено: 06.07.2024

Вам уже известно, что натуральные числа используются для обозначения количества тех или иных предметов. Возьмем, к примеру, конфеты. Мама купила шоколадные батончики и высыпала их кучкой на столе. Дети пересчитали, и их оказалось 25 штук.

Но часто бывает так, что кроме знания количества предметов, нам необходимо определить, одинаковое ли оно в их разных группах или как-то отличается .

Пришел с работы папа и высыпает рядом еще конфеты. На первый взгляд, эта кучка не отличается от первой, но пересчитав количество папиных конфет, дети увидели, что их всего 23. Значит, эти кучки разные. Чтобы это выяснить, дети произвели два действия:

Подсчитали количество конфет в каждой их кучек.
Сравнили два натуральных числа, которые получили после подсчетов.

Сравнить натуральные числа – это означает узнать, отличаются ли они друг от друга или они одинаковые. Если сравниваемые числа отличаются, тогда мы может узнать, что одно число больше другого, а второе, соответственно, меньше первого.

Как сравнить натуральные числа

Сравнить натуральные числа можно такими способами:

по их положению в натуральном ряду;
по их записи в десятичной системе.

В результате сравнения мы можем получить:

Равенство натуральных чисел

Если два натуральных числа имеют полностью одинаковую запись, то и записанные с их помощью числа одинаковы (говорят просто – они равны). Если их записи отличаются, тогда эти числа не равны.

7=7;
148=148;
12 624 205=12 624 205.

2 ≠9;
50 ≠60;
248 652 ≠1 315 946.

Если мы определили, что числа не равны, тогда нам необходимо выяснить, какое положение они занимают по отношению друг к другу, большее или меньшее.

Запись и чтение неравенств

Неравенство – это запись чисел или математических выражений, которая содержит знаки неравенства.

Неравенство можно прочесть как слева направо, так и справа налево . При этом необходимо учитывать направление стрелки и двойной вилки указанного знака неравенства.

Например, дано неравенство 5 верным (правильно отмеченным), например, 1 неверным (неправильно отмеченным), например, 5>6.

Сравнение однозначных натуральных чисел с помощью ряда

Этот способ лучше всего подходит для сравнения однозначных натуральных чисел.

Меньшим называют число, которое в натуральном ряду находится раньше другого, а большим – то, которое расположено позже другого.

Например, число 2 в натуральном ряду стоит раньше, чем число 4, значит, 2 8.

Число 1 (единица) – самое меньшее из натуральных чисел, поскольку стоит в натуральном ряду первым.

На координатном луче меньшее число обозначается раньше (левее), а большее число – позже (правее) другого числа.

Рис. 1. Большее и меньшее число на координатном луче.

На рисунке 1 видно, что так как 5 разное количество цифр , то большим будет то число, которое состоит из большего количества цифр.

Действительно, чем больше в числе цифр, тем выше разряд самой первой цифры в этом числе.

К примеру, 123456>12345, потому что в первом числе цифра 1 обозначает сотню тысяч, а во втором – десяток тысяч.

Поэтому, для решения задач на сравнение чисел с разным количеством цифр, из которых они состоят, нам достаточно сравнить эти количества:

123456 – шестизначное число, 6 цифр;

12345 – пятизначное число, 5 цифр;

Если натуральные числа состоят из одинакового количества цифр , то мы начинаем сравнивать количество единиц каждого разряда этих чисел, начиная с самого большого (то есть, слева направо). Большим будет то число, у которого будет больше единиц в одном и том же с другим числом разряде.

Например, сравним два числа: 12336 и 12345. Оба числа пятизначные. Значит, сравниваем каждую цифру, начиная с 5 разряда (десятков тысяч):

десятки тысяч: 1=1;

единицы тысяч: 2=2;

десятки: 3 из одинакового количества цифр , то большим будет такое число, у которого, если сравнивать составляющие их цифры слева направо, большей является первая из неодинаковых цифр.

Сравнение двух, трех, и более чисел

Сравнивать между собой можно не только два натуральных числа.

Вернемся к примеру с конфетами на столе. Бабушка тоже купила конфеты и высыпала их на столе. Дети пересчитали их, и в бабушкиной кучке оказалось 33 штуки. Количество конфет мы можем записать натуральными числами: 25, 23 и 33.

Сравнив их между собой, мы увидим три неравенства:

Гораздо удобнее записать результат сравнения в виде двойного неравенства :

Как видите, все неравенства верны.

После того, как получили полное представление о целых числах, можно говорить об их сравнении. Для этого выясняется, какие числа равные и неравные. Разберутся правила, благодаря которым выясняем, какие из двух неравных больше или меньше. Это правило основано на сравнении натуральных чисел. Будет рассмотрено сравнение трех и более целых чисел, нахождение наименьшего и наибольшего целого числа из заданного множества.

Равные и неравные целые числа

Сравнение двух чисел приводит к тому, что они либо равны либо не равны. Рассмотрим определения.

Два целых числа называют равными, когда их запись полностью совпадает. Иначе они считаются неравными.

Отдельное место для обсуждения имеет 0 и - 0 . Противоположное число - 0 и есть 0 , в этом случает эти два числа равнозначны.

Определение поможет сравнить заданные два числа. Возьмем, например, числа - 95 и - 95 . Их запись полностью совпадает, то есть они считаются равными. Если взять числа 45 и - 6897 , то визуально видно, что они отличаются и не считаются равными. Они имеют разные знаки.

При сравнивании чисел используется правило модуля числа.

Если два числа имеют одинаковые знаки и их модули равны, то эти два числа считаются равными. Иначе их называют не равными.

Рассмотрим на примере данное определение.

Например, даны два числа - 709 и - 712 . Выяснить, равны ли они.

Видно, что числа имеют одинаковый знак, но это не значит, что они равны. Для сравнения используется модуль числа. По модулю первое число оказалось меньше второго. Они не равны ни по модулю, ни без него.

Значит, делаем вывод, что числа не равны.

Рассмотрим еще пример.

Если взяты два числа 11 и 11 . Они оба равные. По модулю также числа одинаковы. Данные натуральные числа можно считать равными, так как их записи совпадают полностью.

Если получаем неравные числа, тогда необходимо уточнение, какое из них меньше и какое больше.

Сравнение произвольных целых чисел с нулем

В предыдущем пункте было отмечено, что ноль равен сам себе даже со знаком минус. В таком случае равенства 0 = 0 и 0 = - 0 равнозначны и справедливы. При сравнении натуральных чисел имеем, что все натуральные числа больше нуля. Все целые положительные числа натуральные, поэтому и больше 0 .

При сравнении отрицательных чисел с нулем другая ситуация. Все числа, которые меньше нуля, считаются отрицательными. Отсюда делаем вывод, что любое отрицательное число меньше нуля, нуль равен нулю, а любое целое положительное больше нуля. Суть правила заключается в том, что нуль больше отрицательных чисел, но меньше всех положительных.

Например, числа 4 , 57666 , 677848 больше, чем 0 , так как являются положительными. Отсюда следует, что нуль меньше указанных чисел, так как они со знаком + .

При сравнении отрицательных чисел дела обстоят иначе. Число - 1 является целым и меньшим, чем 0 , так как имеет знак минус. Значит, - 50 также меньше нуля. Но ноль больше всех чисел со знаком минус.

Принимаются определенные обозначения для записи при помощи знаков меньше или больше, то есть и > . Такая запись, как - 24 0 имеет значение, что - 24 меньше нуля. Если необходимо записать, что одно число больше, чем другое, применяют знак > , например, 45 > 0 .

Сравнение положительных целых чисел

Все целые положительные числа являются натуральными. Значит, равнение положительных чисел аналогично сравнению натуральных.

Если рассмотреть на примере сравнения 34001 и 5999 . Визуально видим, что первое число имеет 5 знаков, а второе 4 . Отсюда следует, что 5 больше 4 , то есть 34001 больше 5999 .

Ответ: 34001 > 5999 .

Рассмотрим еще один пример.

Если имеется положительные числа 357 и 359 , то видно, что они не равны, хотя оба трехзначные. Производится поразрядное сравнение. Сначала сотен, потом десятков, затем единиц.

Получим, что число 357 меньше 359 .

Ответ: 357 359 .

Сравнение целых отрицательных и положительных чисел

Любое целое отрицательное число меньше целого положительного и наоборот.

Сравним несколько чисел и рассмотрим на примере.

Сравнить заданные числа - 45 и 23 . Видим, что 23 – положительное число, а 45 – отрицательное. Заметим, что 23 больше - 45

Если сравнивать - 1 и 511 , то визуально понятно, что - 1 меньше, так как имеет знак минус, а 511 имеет знак + .

Сравнение целых отрицательных чисел

Рассмотрим правило сравнения:

Из двух отрицательных чисел меньшим является то, модуль которого больше и наоборот.

Рассмотрим на примере.

Если сравнивать - 34 и - 67 , то следует произвести сравнение их по модулю.

Получаем, что 34 меньше 67 . Тогда модуль - 67 больше модуля - 34 , значит, что число - 34 больше числа - 67 .

Ответ: - 34 > - 67 .

Сравниваемые целые числа на координатной прямой

Рассмотрим целые числа, расположенные на координатной прямой.

Из рассмотренных выше правил получим, что на горизонтальной координатной прямой точки, которым соответствуют большие целые числа, то есть лежат правее тех, которым соответствуют меньшие.

Из чисел - 1 и - 6 видно, что - 6 лежит левее, а следовательно является меньше - 1 . Точка 2 расположена правее - 7 , значит она больше.

Начало отсчета – это ноль. Он больше всех отрицательных и меньше всех положительных. Также и с точками, находящимися на координатной прямой.

Наибольшее отрицательное и наименьшее положительное целое число

В предыдущих пунктах подробно было рассмотрено сравнение двух целых чисел. В данном пункте поговорим о сравнении трех и более чисел, рассмотрим ситуации.

При сравнении трех и более чисел для начала составляются всевозможные пары. Например, рассмотрим для чисел 7 , 17 , 0 и − 2 . Необходимо сравнить их попарно, то есть запись примет вид 7 17 , 7 > 0 , 7 > − 2 , 17 > 0 , 17 > − 2 и 0 > − 2 . Результаты могут быть объединены в цепочку неравенств. Запись числе производится в порядке возрастания. В данном случае цепочка будет иметь вид − 2 0 7 17 .

Когда производится сравнение нескольких чисел, то появляется определение наибольшего и наименьшего значения числа.

Число заданного множества считается наименьшим, если оно меньше любого другого из заданных чисел множества.

Число заданного множества является наибольшим, если оно больше любого другого из заданных чисел множества.

Если множество состоит из 6 целых чисел, то запишем это так: − 4 , − 81 , − 4 , 17 , 0 и 17 . Отсюда следует, что − 81 − 4 = − 4 0 17 = 17 . Видно, что - 81 – наименьшее число из данного множества, а 17 – наибольшее. Это значит, что эти числа наибольшее и наименьшее только в заданном множестве.

Все числа множества необходимо записывать в порядке возрастания. Цепочка может быть бесконечной, как в данном случае: … , − 5 , − 4 , − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , … . Данный ряд запишется, как … − 5 − 4 − 3 − 2 − 1 0 1 2 3 4 5 … .

Очевидно, что множество целых чисел огромно и бесконечно, поэтому указать наименьшее или наибольшее число невозможно. Это можно сделать только в заданном множестве чисел. Число, расположенное правее на координатной прямой, всегда считается большим, чем то, которое левее.

Множество положительных чисел имеет наименьшее натуральное число, которое равно 1 . Ноль считается наименьшим неотрицательным числом. Все числа, расположенные левее него отрицательные и меньше 0 .

В реальной жизни часто нужно производить сравнение чисел. Сравнивать положительные числа все умеют с детства. В данной статье подробно рассказывается, как сравнить любые два числа, в том числе имеющие разные знаки.

Какое число больше

Проведем координатную ось: отметим на прямой точку начала координат (число 0), выберем масштабную единицу и направление.

Рассмотрим два числа a и b. Изобразим на координатной оси точки, соответствующие в выбранном масштабе данным числам.

Из двух чисел большим будет то, которое расположено правее на координатной оси.

Рис. 1. Сравнение двух чисел.

Пример

Рассмотрим числа -1 и 2 и соответствующие им точки на координатной оси.

Рис. 2. Сравнение чисел -1 и 2.

Поскольку число 2 на координатной оси лежит правее числа -1, оно является большим из этих двух чисел.

Обозначение: 2 > -1.

Положительные и отрицательные числа

Все числа, которые на координатной оси лежат правее нуля, называются положительными.

Все числа, которые на координатной оси лежат левее нуля, называются отрицательными.

Понятие отрицательного числа ввели китайские математики. Положительные числа они обозначали палочками красного цвета, а отрицательные – палочками черного цвета. Необходимость ввести отрицательные числа возникла при проведении финансовых расчетов. Они использовались при подсчете долгов.

Методика сравнения двух чисел

Рассмотрим возможные случаи сравнения двух чисел. Обозначим их, как a и b.

1) Пусть одно из чисел (a) является положительным, а другое (b) – отрицательным. Тогда бОльшим будет положительное число: a > b.

Таким образом, любое положительное число больше любого отрицательного.

Пример

Сравним числа 5 и -7. Имеем: 5 > -7.

2) Из двух отрицательных чисел меньшим будет то число, модуль которого больше.

Пример

Сравним числа -5 и -7.

Модуль числа -5 равен 5, а модуль числа -7 равен 7. Поскольку 7 > 5, -7 -7.

3) Любое положительное число больше 0, а любое отрицательное число меньше 0.

Пример

Рассмотрим числа 3 и -2. Имеем: 3 > 0, -2 Рис. 3. Отрезок на числовой прямой.

Будем рассматривать целые числа внутри данного отрезка. Из них:

положительные числа 1, 2, 3;
неотрицательные числа 0, 1, 2, 3;
отрицательные числа -2, -1;
неположительные числа -2, -1, 0.

Сравнение дробей

Чтобы сравнить две дроби одного знака, нужно привести их к общему знаменателю.

Пример

Приведем эти числа к общему знаменателю (9): $ = $.

Двойные неравенства

Пусть для числа a одновременно выполняется два неравенства: a > 6 и a 1 из 5

Расположение точек на числовой оси позволяет наглядно сравнивать между собой числа.

Напомним, что если координатная прямая изображена горизонтально, то положительные числа изображаются точками правее 0 , а отрицательные — левее 0 . В этом случае, если положительные числа отметить точками на этой прямой, то большему из двух чисел будет соответствовать точка, расположенная на числовой оси правее, а меньшему — точка, расположенная на координатной прямой левее.

Запомните!

Из двух чисел на координатной прямой больше то, которое расположено правее, а меньше то, которое расположено левее.

Это означает, что при сравнении рациональных чисел:

любое положительное число больше нуля и больше любого отрицательного числа;
любое отрицательное число меньше нуля и меньше любого положительного числа.

Сравнивать рациональные числа удобно с помощью понятия модуля.

Большее из двух положительных чисел изображается точкой, расположенной на координатной прямой правее, то есть дальше от начала отсчёта. Значит, это число имеет больший модуль.

Запомните!

Из двух положительных чисел больше то, чей модуль больше.

При сравнении двух отрицательных чисел большее будет расположено правее, то есть ближе к началу отсчёта. Значит, его модуль (длина отрезка от нуля до числа) будет меньше.

Запомните!

Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.

Читайте также: