Сообщение на тему измерение отрезков

Обновлено: 05.07.2024

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

§ 4. Измерение отрезков.

п. 7. Длина отрезка.

п. 8. Единицы измерения. Измерительные инструменты.

Напомним, что отрезок – это часть прямой, ограниченная двумя точками. Значит, у отрезка можно измерить расстояние от одной точки до другой.

Определение. Длиной отрезка называется расстояние между его концами.

Поскольку расстояние не может быть равным нулю или отрицательным (попробуйте пройти метра), то и длина – это строго положительная величина.

Аксиома III . Каждый отрезок имеет определённую длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

Если на отрезке, между его концами, лежат две точки, то весь отрезок разбивается на три отрезка, и т.д.

Равные отрезки имеют равные длины.

Отрезки можно измерять в разных единицах. Если вы хотите измерить длину своего карандаша, то это сантиметры, если измерить расстояние от Москвы до Санкт-Петербурга, то это километры. Напомним, какие ещё единицы измерения мы знаем и как они связаны между собой.

Единицы измерения

В миллиметрах

В сантиметрах

В дециметрах

В метрах

В километрах

миллиметр (мм)

сантиметр (см)

дециметр (дм)

километр (км)

Есть ещё и другие единицы измерения длины, которые используются в других странах, или использовались в прошлом.

Единицы измерения

морская миля

Приведём пример.

На прямой m лежат точки M , N и K , причём MN = 85 мм, NK =1,15 дм. Какой может быть длина отрезка MK в сантиметрах?

Дано: – прямая, ,

Пусть точка лежит между точками и , т.е. . Тогда,

(по аксиоме III ),

Пусть . Тогда,

(по аксиоме III )

Пусть . Тогда,

(по аксиоме III )

. Мы получили отрицательную длину, что противоречит аксиоме III . К противоречию пришли потому, что сделали неверное предположение, значит, , т.е. точка не может лежать между точками и .

Как на плоскости расположены точки, если ? Сделайте чертёж.

Известны длины трёх отрезков см, см, см. Как расположены точки ? Сделайте чертёж, взяв масштаб клетка = см.

Точка лежит на отрезке , длиной см, так, что . Сделайте чертёж и найдите длину отрезка .

Точка лежит на прямой , длиной см, так, что . Сделайте чертёж и найдите длину отрезка .

Точка лежит на отрезке , длина которого равна см. Найдите длины отрезков и , если длина отрезка в два раза больше длины отрезка .

Точка лежит на отрезке . Чему равно расстояние от точки до середины отрезка , если см, см?

Точка лежит на отрезке , длина которого равна см. Найдите длины отрезков и , если длина отрезка в три раза меньше длины отрезка .

Точка лежит на отрезке , длина которого равна см. Чему равно расстояние между серединами отрезков и ?

Точка лежит на отрезке , длина которого равна см. Найдите длины отрезков и , если длина отрезка на см меньше длины отрезка .

Точка лежит на отрезке , точки и – середины отрезков и . Найдите отрезок , если отрезок равен см.

Точки лежат на одной прямой. Известно, что м, м, м. Может ли точка лежать между точками и ? Ответ обоснуйте.

Обоснуйте, почему точки и не лежат на одной прямой, если дм, дм, дм.

Точки и принадлежат одной прямой, причём, точки и лежат по разные стороны от точки . Найдите длины отрезков и , если см, а отрезок на см короче отрезка .

Точка принадлежит отрезку . Найдите его длину, если см, а длина в 4 раза меньше, чем .

Точка лежит на прямой . Найдите длину отрезка , если м, м. Сколько решений имеет задача?

Точки и принадлежат одной прямой, причём, точки и лежат по разные стороны от точки . Найдите длины отрезков и , если , а отрезок на 4 длиннее отрезка .

Точка принадлежит отрезку . Найдите длину отрезка , если на см больше, чем , чем

Точка лежит на прямой . Найдите длину отрезка , если см, см. Сколько решений имеет задача?

Отрезки и пересекаются. Точка лежит на отрезке , причём, см, см и см. Является ли точка точкой пересечения отрезков и ? Ответ обоснуйте.

Точка – середина отрезка , точка – середина отрезка . Найдите длину отрезка , если см.

Точки лежат на прямой а , причём АВ = 5,7 м, ВС = 730 см. Какой может быть длина отрезка АС в дециметрах?

Точки А , В и С лежат на одной прямой, причём, см, см. Найдите длину отрезка .

Длина отрезка равна см. Точка делит отрезок на два отрезка и . Найдите расстояние между серединами этих отрезков.

Точка делит отрезок на два отрезка. Найдите длину отрезка , если известно, что см, см.

На отрезке отмечены точки и так, что лежит между и , и – середина отрезка . Сделайте чертёж и найдите длину отрезка , если

На отрезке MN , равном 8 дм, лежат точки А и В по разные стороны от середины С отрезка MN , СА = 7 см, СВ = 0,24 м. Найдите длины отрезков AN и BN в дециметрах.

На отрезке отмечены точки и так, что – середина отрезка и – середина отрезка . Сделайте чертёж и найдите длину отрезка , если

Длина отрезка равна см. Точки и делят отрезок на три отрезка и . Найдите расстояние между серединами двух крайних отрезков, если см, см.

Точка M – середина отрезка EF , длина которого равна 1,2 м. От точки М , по разные стороны от неё, отложены два отрезка MP = 1,6 дм и MQ = 40 см. Найдите длины отрезков EP и QF в сантиметрах.

На отрезке , равном 192 дм, дана точка , такая, что . На отрезке отложен отрезок , равный . Найдите расстояние между серединами отрезков и .

Длина отрезка равна см. Точки и делят отрезок на три отрезка и . Найдите расстояние между серединами отрезков и .

На прямой отложены два равных отрезка и . На отрезке дана точка , такая, что . Найдите длину отрезка, концами которого являются середины отрезков и , если м.

Даны три и , лежащие на одной прямой, причём, . Какую длину может иметь отрезок ? Сделайте чертёж.

Длина отрезка равна см. Найдите на прямой все такие точки , для которых .

1) Обучающая: формирование знаний о длине отрезка, свойствах длин отрезка, инструментах измерения отрезков; формирование умений измерять данный отрезок и выразить его длину в миллиметрах, сантиметрах, метрах , а также находить длину отрезка, разделённого на две части точкой, длины которого известны.

2) Развивающая: развитие умений применять полученные теоретические знания на практике, развитие внимания, аналитических способностей.

3) Воспитывающая: воспитание интереса к изучению математики, ответственности, самостоятельности.

План урока:

1. Организационный момент.

2. Актуализация опорных знаний.

3. Получение знаний.

4. Закрепление нового материала.

6. Домашнее задание.

Ход урока:

1. Организационный момент.

Приветствие учащихся. Ставятся цели и определяются задачи урока.

Объявляется тема урока. Учащиеся записывают тему урока и дату в рабочих тетрадях.

2. Актуализация опорных знаний.

На прошлом уроке мы говорили о сравнении двух отрезков способом наложения их друг на друга.

— Скажите, в каком случае два отрезка называют равными? (если их можно совместить наложением)

Сегодня на уроке мы снова поговорим об измерении отрезков, а точнее научимся измерять отрезки и выражать их длину в миллиметрах, сантиметрах, метрах.

Для начала, давайте, ответим на несколько вопросов.

— Что называют серединой отрезка?

— Что называют биссектрисой угла?

3. Получение знаний.

В повседневной жизни нам часто приходится сталкиваться с измерением высот зданий, сооружений, а также с измерением расстояний, которые мы прошли или проехали. С точки зрения геометрии мы имеем в таких случаях дело с измерением отрезков.

Измерение отрезков основано на сравнении их с некоторым отрезком, принятым за единицу измерения. Такой отрезок также называют масштабным отрезком.

Рисунок 1.

Но может оказаться так, что отрезок, принятый за единицу измерения не укладывается целое число раз в измеряемом отрезке.

Возьмём отрезок CD (рисунок 2). Сантиметр укладывается в отрезок пять раз, но при этом получается остаток. В таком случае единицу измерения необходимо разделить на равные части, обычно делят на десять равных частей, и определить, сколько таких частей укладывается в остатке. В нашем случае в остатке шесть раз укладывается десятая часть отрезка, поэтому длина отрезка CD равна пять целых шесть десятых сантиметра. Отметим, что одну десятую часть сантиметра называют миллиметром (мм).

Рисунок 2.

Однако может возникнуть ситуация, когда и миллиметр не будет укладываться в остатке целое число раз, и получится новый остаток. Тогда и миллиметр можно разделить на 10 частей и продолжить процесс измерения.

Единицей измерения отрезка может быть не только сантиметр, но и другой отрезок.

Выбрав единицу измерения, можно измерить любой отрезок, выразить его длину некоторым положительным числом.

Исходя из проделанного выше, можно сказать, что это число показывает, сколько раз единица измерения и её части укладываются в измеряемом отрезке.

Возьмём два равных отрезка АВ и СD (рисунок 3). Единицы измерения в этих отрезках укладываются одинаковое число раз, равные отрезки имеют равные длины.

Рисунок 3.

Если же мы возьмём два неравных отрезка KL и MN (рисунок 4), то увидим, что в меньшем отрезке MN единица измерения укладывается меньшее число раз, чем в отрезке KL, меньший отрезок имеет меньшую длину.

Рисунок 4.

Теперь рассмотрим отрезок АВ (рисунок 5). Точка С делит его на два отрезка: АС и СВ. Измерим эти отрезки. Видим, что отрезок АС равен четыре сантиметра, отрезок СВ равен три целых пять десятых сантиметра и отрезок АВ равен семь целых пять десятых сантиметра. Получили:

Таким образом, сформулируем следующее.

Когда точка делит отрезок на два отрезка, длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков.

Рисунок 5.

Следует сказать, что если длина некоторого отрезка АВ в k раз больше отрезка CD, то записывают это следующим образом: АВ=kCD.

Отметим также, что длина отрезка называется расстоянием между концами этого отрезка.

Поговорим о единицах измерения. Для измерения отрезков и нахождения расстояний используются различные единицы измерения. Стандартной международной единицей измерения отрезков является метр — отрезок, который приблизительно равен земного меридиана. Эталон метра хранится в Международном бюро мер и весов во Франции.

В одном метре сто сантиметров (1 м =100 см), а один сантиметр содержит десять миллиметров (1 см = 10 мм).

При измерении небольших расстояний, например, расстояния между точками на листе бумаги или нахождении длины карандаша за единицу измерения принимают сантиметр или миллиметр. Высоту дерева можно измерить в метрах. А вот расстояние, которое мы пройдём на лыжах, можно измерить в километрах.

Можно также использовать и такие единицы измерения, как дециметр (1 дм = 10 см), морская миля, равная одной целой восьмистам пятидесяти двум тысячным километра (1 миля = 1,852 км). А вот для измерения очень больших расстояний в астрономии используется такая единица измерения, как световой год (это путь, который проходит свет в течение одного года).

Для измерения расстояний могут использоваться различные инструменты. Например, в техническом черчении используется масштабная миллиметровая линейка. Для измерения расстояний на местности пользуются рулеткой. А вот для измерения диаметра трубки можно воспользоваться штангенциркулем.

4. Закрепление нового материала.

Для закрепления материала учащимся предлагается выполнить следующие практические задания.

Задание 1. На прямой отмечены точки А, В и С. Отрезок АВ = 50 мм, а отрезок АС = 1,7 дм. Найдите длину отрезка ВС в сантиметрах. Рассмотрите различные варианты взаимного расположения точек.

Решение: Переведём значения длин отрезков в сантиметры.

АВ = 50 мм = 5 см; АС=1,7 дм =17 см.

Рисунок 6.

ВС = АС — АВ, ВС = 17 см — 5 см = 12 см.

Рисунок 7.

ВС = АВ + АС, ВС = 5 см + 17 см = 22 см.

Рисунок 8.

В данном случае задача не имеет решения, так как АС > АВ.

Ответ: 12 см или 22 см.

Задание 2. На прямой MN лежит точка L. Найдите длину отрезка MN, если ML = 7 см, а LN = 4ML.

Решение: MN = ML + LN = ML + 4ML = 5ML;

Рисунок 9.

Ответ: 35 см.

Задание 3. Точка О — середина отрезка KL, длина которого равна 8,4 см. От точки О на прямой KL отложены отрезки ОМ = 2 см и ON = 5 см. Найдите длины отрезков КМ и KN, если MN = 3 см.

Рисунок 10.

Решение: Так как О — середина отрезка KL, то KO = ОL = 4,2 см.

KM = KO + OM = 4,2 + 2 =6,2 см.

Из последнего выражения видим, чтобы найти длину отрезка KN, нам необходимо найти длину отрезка LN.

Так как ОL = 4,2 см и ON = 5 см, то LN = ON — ОL = 5 — 4,2 = 0,8 см.

Тогда KN = 8,4 + 0,8 = 9,2 см.

Ответ: 6,2 см; 9,2 см.

5. Рефлексия.

Подводятся итоги урока, обсуждается, что учащиеся узнали. Учащиеся задают вопросы, возникшие при изучении нового материала и выполнении практических заданий. Затем ребята по кругу высказываются одним предложением, выбирая начало фразы записанной на доске:

Геометрия:

Контакты

На практике часто приходится измерять отрезки, т. е. находить их длины.

Измерить отрезок — это значит сравнить его с некоторым отрезком, принятым за единицу измерения (его называют также масштабным отрезком).

АВ = 2 см; АС = 3,4 см

Может оказаться, что отрезок, принятый за единицу измерения, не укладывается целое число раз в измеряемом отрезке — получается остаток. Тогда единицу измерения делят на равные части, обычно на 10 равных частей, и определяют, сколько раз одна такая часть укладывается в остатке. Например, на рисунке 1 в отрезке АС сантиметр укладывается 3 раза и в остатке ровно 4 раза укладывается одна десятая часть сантиметра (миллиметр), поэтому длина отрезка АС равна 3,4 см. Но возможно, что и взятая часть единицы измерения (в данном случае миллиметр) не укладывается в остатке целое число раз, и получается новый остаток. Так будет, например, с отрезком AD на рисунке 1, в котором сантиметр укладывается три раза с остатком, а в остатке миллиметр укладывается восемь раз вновь с остатком. В таком случае говорят, что длина отрезка AD приближенно равна 3,8 см. Для более точного измерения этого отрезка указанную часть единицы измерения (миллиметр) можно разделить на 10 равных частей и продолжить процесс измерения. Мысленно этот процесс можно продолжать и дальше, измеряя длину отрезка со все большей точностью. На практике, однако, пользуются приближенными значениями длин отрезков.

За единицу измерения можно принимать не только сантиметр, но и любой другой отрезок.

Выбрав единицу измерения, можно измерить любой отрезок, т. е. выразить его длину некоторым положительным числом.

Это число показывает, сколько раз единица измерения и ее части укладываются в измеряемом отрезке.

Если два отрезка равны, то единица измерения и ее части укладываются в этих отрезках одинаковое число раз, т. е. равные отрезки имеют равные длины. Если же один отрезок меньше другого, то единица измерения (или ее часть) укладывается в этом отрезке меньшее число раз, чем в другом, т. е. меньший отрезок имеет меньшую длину.

На рисунке 2 изображен отрезок АВ. Точка С делит его на два отрезка: АС и СВ. Мы видим, что АС = 3 см, СВ = = 2,7 см, АВ = 5,7 см. Таким образом, АС + СВ = АВ. Также и во всех случаях, когда точка делит отрезок на два отрезка, длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков.

Длина отрезка называется также расстоянием между концами этого отрезка.

Пример 1. Точка С — середина отрезка АВ. Найти длину отрезка АС, если длина отрезка АВ равна 32 см.

Решение. Имеем: АС + СВ = АВ или АС + СВ = 32. Так как С — середина отрезка АВ, то АС = С В и, значит, 2АС = 32, откуда АС = 16 (см).

Пример 2. Точка С — середина отрезка АВ, точка О — середина отрезка АС. Найти АС, СВ, АО и ОВ, если АВ = 2 см.

Решение. Так как С — середина отрезка АВ, то, как и в предыдущем примере, АС = СВ = 1/2 • АВ, или АС = СВ = 1/2 • 2 = 1 (см). Так как точка О — середина отрезка АС = 1 см, то АО= ОС = 0,5 см. Наконец, ОВ = ОС + СВ = 0,5 + 1 = 1,5 (см).

Пример 3. Лежат ли точки А, В и С на одной прямой, если АС = 5 см, АВ = 3 см, ВС = 4 см?

Решение. Если точки А, В и С лежат на одной прямой, то больший из отрезков АВУ ВС и АС равен сумме двух других. По условию больший из данных отрезков (отрезок АС) равен 5 см, а сумма двух других (АВ + ВС) равна 7 см. Поэтому точки А, В и С не лежат на одной прямой.

Измерение отрезков это первоначальный навык как геометрии, так и математики. Это знание получается в 5 классе, но без него не получится измерить размер стен в доме для ремонта, отмерять отрез ткани или снять мерки для шитья костюма.

Определение

Что значит измерить длину? Это значит, сравнить какую-то длину с общепринятой и записать сколько раз общепринятое значение повторилось в имеющимся. Долгое время люди обходились национальными мерами длины. Это мог быть фунт, лига, локоть.

Рис. 1. Древнерусские меры длины

Одной из российских единиц длины долгое время оставалась косая сажень, известная многим по сказкам и былинам. За косую сажень принимали расстояние от вытянутой руки взрослого мужчины до его ступней. Этой мерой измеряли ткани и расстояния между близкими поселками.

Эталон

Но такие единицы измерения отрезков, как фунт или локоть не могли долгое время быть в ходу. Вместе с распространением мировой торговли и развитием мировой науки, возникла необходимость в постоянной мере длины, которую можно было бы считать эталоном.

Мировую науку долгое время продвигали ученые из Франции, а потому неудивительно, что происхождение общенародной меры длины: метра- связано с Парижем.

Рис. 2. Эталон метра

Метр – это одна сорокатысячная от мирового меридиана, проходящего через Париж. Был изготовлен эталон метра, который сегодня хранится в специализированном международном бюро города Севр.

Меры длины

Но одного метра абсолютно недостаточно для того, чтобы измерить все длины планеты. Для измерения больших расстояний были придуманы километры и мегаметры. В одном километре тысяча метров, а в мегаметре: миллион. Для измерения расстояний в космосе используется единица световых лет, которая равна $$ метрам

Для измерения малых величин существуют бесконечно малые величины, такие как нанометр.

Но для школьного курса геометрии используют в основном сантиметры, реже миллиметры и дециметры. В одном метре 10 дециметров, 100 сантиметров и 1000 миллиметров. Миллиметры часто используются при производстве технических деталей и в строительстве.

Измерительные приборы

В школьном курсе математики основным измерительным инструментом является линейка. Чтобы воспользоваться линейкой, достаточно отметку нуля совместить с началом отрезка, а линейку положить вдоль отрезка. Тогда конец отрезка совпадет со значением длины отрезка. Обращайте внимание как на сантиметры, так и на отметки миллиметров для наиболее точного снятия длины.

Рис. 3. Приборы для измерения длины

Если необходимо перенести длину детали или отрезка в точности, то используют штангенциркуль. Этот инструмент позволяет зафиксировать длину, не измеряя ее. Длина отрезка всегда постоянна – это одна из аксиом математики. Для точного определения расстояний используют сантиметр, мерную ленту или рулетку.

Что мы узнали?

Мы узнали, что такое длина отрезка, какие меры длин существуют и как правильно пользоваться измерительными инструментами. Также мы познакомились с некоторыми национальными мерами длины, существовавшими на Руси в древности.

Читайте также: