Сообщение на тему что такое функция понятия область определения множество значений

Обновлено: 05.07.2024

Каждая функция имеет свою собственную область определения. Целью этого материала является объяснение этого понятия и описание способов ее вычисления. Сначала мы введем основное определение, а потом на конкретных примерах покажем, как выглядит область определения основных элементарных функций (степенной, постоянной и др.) Разбирать случаи с более сложными функциями мы пока не будем.

В рамках данной статьи мы рассмотрим область определения функций, включающих в себя только одну переменную.

Понятие и обозначение области определения функции

По мере углубления знаний о функциях определение сужается и усложняется. Так, в одном из учебников можно встретить следующую формулировку:

Числовая функция с областью определения D – это соответствие значений переменной x некоторому числу y , которое находится в зависимых отношениях с x .

Используя это определение, охарактеризуем нужное нам понятие более четко:

Областью определения функции называется множество значений аргумента, на котором можно задать эту функцию.

Теперь рассмотрим, как правильно обозначать ее на письме. Ранее мы договорились, что для записи самих функций будем использовать маленькие латинские буквы, например, g , f и др. Чтобы указать на наличие функциональной зависимости, используется запись вида y = f ( x ) . Таким образом, функция f представляет собой некоторое правило, согласно которому каждому значению переменной x можно поставить в соответствие значение другой переменной y , которая находится в зависимых отношениях от x .

Возьмем для примера функцию y = x 2 . Можно записать ее как f ( x ) = x 2 . Это функция возведения в квадрат, которая ставит в соответствие каждому значению переменной x = x 0 некоторое значение y = x 0 2 . Так, если мы возьмем число 3 , то функция поставит ему в соответствие 9 , поскольку 3 2 = 9 .

Чтобы обозначить область определения некоторой функции f , используется запись D ( f ) . Однако нужно помнить, что у некоторых функций есть собственные обозначения, например, у тригонометрических. Поэтому в учебниках иногда встречаются записи вида D ( sin ) или D ( a r c sin ) . Их следует понимать как области определения синуса и арксинуса соответственно. Допустима и запись вида D ( f ) , где f – функция синуса или арксинуса.

Если мы хотим записать, что функция f определена на множестве значений x , то используем формулировку D ( f ) = X . Так, для того же арксинуса запись будет выглядеть как D ( a r c sin ) = [ − 1 , 1 ] (подробнее об области определения арксинуса мы расскажем далее.)

Как найти области определения для основных элементарных функций

Прочитав определения выше, легко понять, что понятие области определения очень важно для любой функции. Это ее неотъемлемая часть, которую задают вместе с самой функцией. То есть когда мы вводим какую-либо функцию, то мы сразу указываем и область ее определения. Обычно в рамках школьного курса основные функции изучаются последовательно: сначала прямые пропорциональности, затем линейные функции, потом y = x 2 и т.д., а их области определения указываются в качестве основных свойств.

В этом пункте мы расскажем, какие области определения имеют основные элементарные функции.

Область определения постоянной функции

Вспомним формулу, которой задается постоянная функция: y = C , или f ( x ) = C . Переменная C может быть любым действительным числом.

Смысл функции в том, что каждому значению аргумента будет соответствовать значение, равное C , следовательно, областью определения данной функции будет множество всех действительных чисел. Обозначим его R .

Так, если у нас есть функция y = − 3 (или в другой записи f ( x ) = − 3 ), то ( D ( f ) = ( − ∞ , + ∞ ) или D ( f ) = R ) .

Если же мы возьмем функцию y = 7 3 , то для нее, как и для любой постоянной функции, область определения будет равна R .

Область определения функции с корнем

С помощью знака корня, или радикала, мы можем задать функцию извлечения квадратного корня y = x , либо в обобщенном виде функцию корня степени N , которую можно записать в виде формулы y = x n . В этих случаях n может быть любым натуральным числом, которое больше 1 .

Область определения таких функций будет зависеть от того, является ли показатель четным или нечетным числом.

Возьмем сначала случай, когда n – четное число, т.е. n = 2 · m , где m ∈ N . Тогда областью определения станет множество всех неотрицательных действительных чисел: D 2 · m = [ 0 ; + ∞ ) .
Если же n представляет из себя нечетное число, которое больше 1 , т.е. n = 2 · m + 1 , то областью определения будет множество всех действительных чисел: D 2 · m + 1 = ( - ∞ ; + ∞ ) .

Таким образом, область определения функций с корнем y = x , y = x 4 , y = x 6 – это числовое множество [ 0 , + ∞ ) , а функций y = x 3 , y = x 5 , y = x 7 – множество ( − ∞ , + ∞ ) .

Область определения степенной функции

Запись степенной функции выглядит как y = x a или f ( x ) = x a , где x является переменной, которая лежит в основании степени, и a представляет из себя определенное число в ее показателе. Мы берем область определения степенной функции в зависимости от значения ее показателя.

Перечислим возможные варианты.

Допустим, что a будет положительным целым числом. Тогда областью определения степенной функции будет множество действительных чисел ( − ∞ , + ∞ ) .
Если a является нецелым положительным числом, то D ( f ) = [ 0 , + ∞ ) .
В случае, когда a относится к целым отрицательным числам, областью определения такой функции становится множество ( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) .
В остальных случаях, т.е. когда a будет отрицательным нецелым числом, область определения будет числовым промежутком ( 0 , + ∞ ) .
Если a имеет нулевое значение, то такая степенная функция будет определена для всех действительных x , кроме нулевого. Это связано с неопределенностью 0 0 . Мы знаем, что любое число, кроме 1 , при возведении в нулевую степень будет равно 1 , тогда при a = 0 у нас получится функция y = x 0 = 1 , область определения которой ( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) .

Поясним нашу мысль несколькими примерами.

Для функций y = x 5 , y = x 12 область определения представляет собой множество всех действительных чисел R , поскольку показатели степени являются целыми положительными числами.

Для степенных функций y = x 6 3 , y = x π , y = x 7 4 , y = x 2 3 будут определены на интервале [ 0 , + ∞ ) , поскольку показатели являются положительными, но не целыми числами.

3. Для функции y = x − 5 с целыми отрицательными показателями областью определения будет множество ( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) .

4. Для степенных функций y = x - 19 , y = x - 3 e , y = x - 9 8 , y = x - 3 11 область определения будет представлять из себя открытый числовой луч ( 0 , + ∞ ) , т.к. их показателями являются нецелые отрицательные числа.

Область определения показательной функции

Такую функцию принято записывать как y = a x , причем переменная будет располагаться в показателе функции. Основанием степени здесь является число a , которое больше 0 и не равно 1 .

Область определения такой функции есть множество всех действительных чисел, т.е. R .

Например, если у нас есть показательные функции y = 1 4 x , y = e x , y = 13 x , y = 15 x , то они будут определены на промежутке от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Область определения логарифмической функции

Функция логарифма задается как y = log a x , где a – основание, большее 0 и не равное 1 . Она определена на множестве всех положительных действительных чисел. Это можно записать как D ( log a ) = ( 0 , + ∞ ) , например, D ( ln ) = ( 0 , + ∞ ) и D ( l g ) = ( 0 , + ∞ ) .

Так, для логарифмических функций y = log 2 3 x , y = log 3 x , y = log 7 x , y = ln x областью определения будет множество ( 0 , + ∞ ) .

Область определения тригонометрических функций

Чтобы узнать, на каком промежутке будут определены тригонометрические функции, нужно вспомнить, как именно они задаются и как называются.

Формула y = sin x обозначает функцию синуса ( sin ) . Она будет определена на множестве всех действительных чисел. Можно записать, что D ( sin ) = R .
Формула y = cos x означает функцию косинуса ( cos ) . Она также будет определена на множестве всех действительных чисел, т.е. D ( cos ) = R .
Формула y = t g x означает функцию тангенса ( t g ) , а y = c t g x – котангенса. Областью определения тангенса будет множество всех действительных чисел, за исключением π 2 + π · k , k ∈ Z .

Областью определения котангенса будет также множество R , за исключением π · k , k ∈ Z .

Иными словами, если мы знаем, что x является аргументом функций тангенса и котангенса, то нужно помнить, что данные функции определены при x ∈ R , x ≠ π 2 + π · k , k ∈ Z и x ∈ R , x ≠ π · k , k ∈ Z .

Область определения тригонометрических функций

К обратным тригонометрическим относятся функции арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Формула y = a r c sin x обозначает функцию арксинуса. Обычно она рассматривается на отрезке [ − 1 , 1 ] ] и обозначается arcsin. Промежуток [ − 1 , 1 ] и будет нужной нам областью определения данной функции. Можно записать, что D ( a r c sin ) = [ − 1 , 1 ] .
Формула y = a r c cos x выражает функцию арккосинуса (обозначается a r c cos ). Она рассматривается на том же отрезке, что и арксинус. Следовательно, областью определения данной функции является [ − 1 , 1 ] , т.е. D ( a r c cos ) = [ − 1 , 1 ] .
Функции y = a r c t g x и y = a r c c t g x означают арктангенс и арккотангенс. Они рассматриваются на множестве всех действительных чисел, значит, областью их определения является R . Можем записать, что D ( a r c t g ) = R и D ( a r c c t g ) = R .

Области определения основных функций в табличном виде

Чтобы запомнить или легко найти нужные нам области, правила вычисления которых мы объяснили выше, представим всю информацию в табличном виде. Не лишним будет оформить ее на отдельном листе и держать под рукой, так же, как и таблицу простых чисел, квадратов и др. Она очень пригодится при работе с функциями, пока вы не выучите ее содержимое наизусть.

[ 0 ; + ∞ ) , если n - четное
- ∞ ; + ∞ , если n - нечетное

- ∞ ; + ∞ , если a > 0 , a ∈ Z
[ 0 ; + ∞ ) , если a > 0 , a ∈ R , a ∉ Z
- ∞ ; 0 ∪ 0 ; + ∞ , если a 0 , a ∈ Z
0 ; + ∞ , если a ∈ R , a ≠ Z
- ∞ ; 0 ∪ 0 , + ∞ , если a = 0

y = sin x y = cos x y = t g x y = c t g x

R R x ∈ R , x ≠ π 2 + π · k , k ∈ Z x ∈ R , x ≠ π · k , k ∈ Z

y = a r c sin x y = a r c cos x y = a r c t g x y = a r c c t g x

Подводя итоги статьи, следует отметить, что в рамках школьного курса изучаются не только основные элементарные функции, но и их различные сочетания. Задачи такого типа встречаются очень часто. Области определения таких комбинированных функций указываются далеко не всегда. Авторы задач подразумевают, что в таких случаях областью определения функции можно считать множество таких значений аргумента, при которых она будет иметь смысл. Это позволяет нам приблизиться к ответу на вопрос, как именно вычисляется область определения функции в подобных случаях.

Функция y=f(x) — это такая зависимость переменной y от переменной x , когда каждому допустимому значению переменной x соответствует единственное значение переменной y .

Областью определения функции D(f) называют множество всех допустимых значений переменной x .

Область значений функции E(f) — множество всех допустимых значений переменной y .

График функции y=f(x) — множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данной функциональной зависимости, то есть точек, вида M (x; f(x)) . График функции представляет собой некоторую линию на плоскости.

Содержание

1 Графики элементарных функций
- 1.1 Линейная функция
- 1.2 Обратная пропорциональность
- 1.3 Степенная функция
- 1.4 Показательная функция
- 1.5 Логарифмическая функция
- 1.6 Тригонометрическая функция
- 1.7 Обратные тригонометрические функции
Графики элементарных функций

Линейная функция

Линейная функция — это функция вида y=kx+b , где k и b некоторые действительные числа.

Если b=0 , то функция примет вид y=kx и будет называться прямой пропорциональностью.

D(f) : x \in R;\enspace E(f) : y \in R

График линейной функции — прямая.

Угловой коэффициент k прямой y=kx+b вычисляется по следующей формуле:

k= tg \alpha , где \alpha — угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox .

1) Функция монотонно возрастает при k > 0 .

2) Функция монотонно убывает при k .

3) Если k=0 , то придавая b произвольные значения, получим семейство прямых параллельных оси Ox .

Обратная пропорциональность

Обратной пропорциональностью называется функция вида y=\frac , где k — отличное от нуля, действительное число

Графиком функции y=\frac является гипербола.

1) Если k > 0 , то график функции будет располагаться в первой и третьей четверти координатной плоскости.

$Гипербола в первой и третьей четверти y=\frac 1x$

2) Если k , то график функции будет располагаться во второй и четвертой координатной плоскости.

$Гипербола во второй и четвертой четверти y=-\frac 1x$

Степенная функция

Степенная функция — это функция вида y=x^n , где n — отличное от нуля, действительное число

1) Если n=2 , то y=x^2 . D(f) : x \in R; \: E(f) : y \in [0; +\infty) .

Графиком функции y=x^2 является парабола.

2) Если n=3 , то y=x^3 . D(f) : x \in R; \: E(f) : y \in R .

Графиком функции y=x^3 является кубическая парабола.

3) Если n=\frac , то y=x^\tfrac или y=\sqrt . D(f) : x \in [0; +\infty ); \: E(f) : y \in [0; +\infty )

$График степенной функции y=x^<\frac 12> или y=\sqrt x$

4) Если n=\frac , то y=x^\tfrac или y=\sqrt[3] . D(f) : x \in R; \: E(f) : y \in R

$График степенной функции y=x^<\frac 13> или y=\sqrt[3]x$

Показательная функция

Показательная функция — это функция вида y=a^x , где a=const, a > 0, a \neq 1

D(f) : x \in R; \: E(f) : y \in (0; +\infty ) .

Графиком показательной функции является экспонента.

1) Функция будет монотонно возрастать при a > 1 .

2) Функция монотонно убывает при 0 .

Например: y=\left (\frac \right )^

$График показательной функции y=\left ( \frac12 \right )^x$

Логарифмическая функция

Логарифмическая функция — это функция вида y=\log_x , где a — действительное число, a > 0, \: a \neq 1

D(f) : x \in (0; +\infty ); \: E(f) : y \in R .

1) Функция монотонно возрастает при a > 1 .

$График возрастающей логарифмической функции y=\log_<2> x$

2) Функция будет монотонно убывать при 0 .

$График убывающей логарифмической функции y=\log_<\tfrac 12> x$

Тригонометрическая функция

К тригонометрическим функциям относят функции вида:

1) y=\sin x . D(f) : x \in R; \: E(f) : y \in [-1; 1] ; основной период функции T=2 \pi

2) y = \cos x . D(f) : x \in R; \: E(f) : y \in [-1; 1] ; основной период функции T=2 \pi

3) y = tg x . D(f) : x \in \left \< R /x \neq \frac<\pi>+\pi n\right \>, n \in \mathbb; \: E(f) : y \in R ; основной период функции T= \pi

4) y = ctg x . D(f) : x \in \left \< R /x \neq 0+\pi n\right \>, n \in \mathbb; \: E(f) : y \in R ; основной период функции T= \pi

Обратные тригонометрические функции

К обратным тригонометрическим функциям относят функции вида:

1) y=\arcsin x . D(f) : x \in [-1; 1], \: E(f) : y \in \left [ -\frac<\pi>; \frac<\pi> \right ]

2) y=arccos x . D(f) : x \in [-1; 1], \: E(f) : y \in [0; \pi]

3) y=arctg x . D(f) : x \in R, \: E(f) : y \in \left (-\frac<\pi>; \frac<\pi> \right )

на тему «Понятие функции. Область определения функции.

2. Способы задания функции…………………………………………. 5

3. Виды функций и их свойства……………………………………………. 6

Список использованной литературы…………………………………………. 12

Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.

Идея функциональной зависимости восходит к древности. Ее содержание обнаруживается уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами. В первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур. Так, вавилонские ученые (4-5тыс.лет назад) пусть несознательно, установили, что площадь круга является функцией от его радиуса посредством нахождения грубо приближенной формулы: S=3r 2 . Примерами табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и индийцев, а примерами словесного задания функции - теорема о постоянстве отношения площадей круга и квадрата на его диаметре или античные определения конических сечений, причем сами эти кривые выступали в качестве геометрических образов соответствующей зависимости.

Раздел 1. Функция и её свойства.

Функция- зависимость переменной у от переменной x , если каждому значению х соответствует единственное значение у .

Переменная х- независимая переменная или аргумент.

Переменная у- зависимая переменная

Значение функции- значение у , соответствующее заданному значению х .

Область определения функции- все значения, которые принимает независимая переменная.

Область значений функции (множество значений)- все значения, которые принимает функция.

Функция является четной- если для любого х из области определения функции выполняется равенство f ( x )= f (- x )

Функция является нечетной- если для любого х из области определения функции выполняется равенство f (- x )=- f ( x )

Возрастающая функция- если для любых х₁ и х₂ , таких, что х₁ f (х₂ )

Раздел 2. Способы задания функции.

Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у= f ( x ) , где f ( x )- с переменной х . В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.

На практике часто используется табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами табличного задания функции являются таблица квадратов, таблица кубов.

Раздел 2. Виды функций и их свойства.

1) Постоянная функция- функция, заданная формулой у= b , где b - некоторое число. Графиком постоянной функции у=b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат

2) Прямая пропорциональность- функция, заданная формулой у= kx , где к¹0. Число k называется коэффициентом пропорциональности .

Cвойства функции y=kx :

1. Область определения функции- множество всех действительных чисел

2. y=kx - нечетная функция

3. При k>0 функция возрастает, а при k 0функция возрастает, а при k 0, то функция убывает на промежутке (0;+¥) и на промежутке (-¥;0). Если k 2

Свойства функции y=x 2 :

1. Область определения- вся числовая прямая

2. y=x 2 - четная функция

3. На промежутке [0;+¥) функция возрастает

4. На промежутке (-¥;0] функция убывает

Графиком функции является парабола .

6)Функция y=x 3

Свойства функции y=x 3 :

1. Область определения- вся числовая прямая

2. y=x 3 - нечетная функция

3. Функция возрастает на всей числовой прямой

Графиком функции является кубическая парабола

7)Степенная функция с натуральным показателем- функция, заданная формулой y = x n , где n - натуральное число. При n=1 получаем функцию y=x, ее свойства рассмотрены в п.2. При n=2;3 получаем функции y=x 2 ; y=x 3 . Их свойства рассмотрены выше.

Пусть n- произвольное четное число, большее двух: 4,6,8. В этом случае функция y = x n обладает теми же свойствами, что и функция y=x 2 . График функции напоминает параболу y=x 2 , только ветви графика при |х|>1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при |х| n обладает теми же свойствами, что и функция y=x 3 . График функции напоминает кубическую параболу.

8)Степенная функция с целым отрицательным показателем- функция, заданная формулой y = x - n , где n - натуральное число. При n=1 получаем y=1/х, свойства этой функции рассмотрены в п.4.

Пусть n- нечетное число, большее единицы: 3,5,7. В этом случае функция y = x - n обладает в основном теми же свойствами, что и функция y=1/х.

Пусть n- четное число, например n=2.

Свойства функции y=x -2 :

1. Функция определена при всех x¹0

2. y=x -2 - четная функция

3. Функция убывает на (0;+¥) и возрастает на (-¥;0).

Теми же свойствами обладают любые функции при четном n, большем двух.

9)Функция y = Ö х

Свойства функции y = Ö х:

1. Область определения - луч [0;+¥).

2. Функция y= Ö х - общего вида

3. Функция возрастает на луче [0;+¥).

10)Функция y = 3 Ö х

Свойства функции y = 3 Ö х:

1. Область определения- вся числовая прямая

2. Функция y= 3 Ö х нечетна.

3. Функция возрастает на всей числовой прямой.

11)Функция y= n Ö х

При четном n функция обладает теми же свойствами, что и функция y = Ö х . При нечетном n функция y = n Ö х обладает теми же свойствами, что и функция y = 3 Ö х.

12)Степенная функция с положительным дробным показателем- функция, заданная формулой y = x r , где r - положительная несократимая дробь.

Свойства функции y=x r :

1. Область определения- луч [0;+¥).

2. Функция общего вида

3. Функция возрастает на [0;+¥).

На рисунке изображен график функции y=x 5/2 . Он заключен между графиками функций y=x 2 и y=x 3 , заданных на промежутке [0;+¥).Подобный вид имеет любой график функции вида y = x r , где r>1.

На рисунке изображен график функции y=x 2/3 . Подобный вид имеет график любой степенной функции y = x r , где 0 - r , где r - положительная несократимая дробь.

Свойства функции y = x - r :

1. Обл. определения -промежуток (0;+¥)

2. Функция общего вида

3. Функция убывает на (0;+¥)

14)Обратная функция

Если функция y = f ( x ) такова, что для любого ее значения y_o уравнениеf ( x )= y_o имеет относительно х единственный корень, то говорят, что функция f обратима.

Если функция y=f(x) определена и возрастает (убывает) на промежутке Х и областью ее значений является промежуток Y, то у нее существует обратная функция, причем обратная функция определена и возрастает(убывает) на Y.

Таким образом, чтобы построить график функции, обратной к функции y=f(x), надо график функции y=f(x) подвергнуть преобразованию симметрии относительно прямой y=x.

15)Сложная функция- функция, аргументом которой является другая любая функция.

Возьмем, к примеру, функцию y=x+4. Подставим в аргумент функцию y=x+2. Получается: y(x+2)=x+2+4=x+6. Это и будет являться сложной функцией.

Понятие фу нкции является одним из ос новных понят ии ма тематики вообще . Оно не воз никло сразу в таком виде, как мы им пользуемс я сейчас, а как и другие фундаментальные понятия прошло длинный пут ь диалектического и и сторического развития. Идея функциональной зависимости восходит к древнегре чес кой математике.

Впервые термин "функция" вводит в рассмотрение знаменитый немецкий математик и философ Лейбниц в 1694 г. Однако, этот термин /определения он не дал вообще/ он употребляет в узком смысле, понимая под функцией изменение ординаты кривой в зависимости от изменения ее абсциссы. Таким образом, понятие функции носит у него "геометрический налет".

Ученик Лейбница Иоганн Бернулли пошел дальше своего учителя. Он дает более общее определение функции, освобождая последнее от геометрических представлений и терминов: "функцией переменной величины называется количество, образованное каким угодно способом из этой величины и постоянных".

Список использованной литературы

1. Евстафьева В.Ю. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. Москва: "Дрофа", 2000 года.

2. Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика. Москва: "Проспект", 2003 года.

3.Колмогоров А. Н. Алгебра и начала анализа. Москва: "Просвещение", 1990 года.

4. Максименко В.Н. Математический анализ в примерах и задачах: Часть. 2. Москва: "НГТУ", 2002 года.

5. Никольский С.Н. Курс математического анализа, учебник. Москва: "Физматлит", 2002 года.
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Область определения и область значений функции.

Определение:
Множество первых элементов пары f f называется областью определения , а множество вторых элементов называется множеством значений . Область определения и множество значений функции обозначаются как D f  и R f  соответственно.

Функция y= f(x) y = f ( x ) — это такая зависимость переменной y от переменной x , когда каждому допустимому значению переменной x соответствует единственное значение переменной y .

Областью определения функции D(f) D ( f ) называют множество всех допустимых значений переменной x .

Область значений функции E(f) E ( f ) — множество всех допустимых значений переменной y .

Область определения функции

Начнем с исследования области определения и области значений функций. Вспомним, что областью определения функции называют все возможные значения аргумента (мы говорим о естественной области определения). Обычно область определения обозначают как . Пока что мы знаем только две недопустимые операции – это деление на ноль и извлечение квадратного корня из отрицательного числа.

Поэтому при нахождении области определения функции ограничения появляются в двух случаях.

В функции есть деление на переменные. В этом случае приравниваем знаменатель дроби к нулю. Решая полученное уравнение, получаем недопустимые значения аргумента . Тогда областью определения будут все действительные числа, кроме недопустимых значений.

В функции есть операция извлечения корня. Тогда подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Записываем соответствующее неравенство. Множество решений этого неравенства и будет областью определения функции.

Краткая запись промежутков

Область определения мы смогли описать словами: все действительные числа, кроме . Но словесное описание в математике редко встречается, ведь обычно оно получается громоздким. Поэтому вводят специальные обозначения.

Так, если мы хотим указать на множество чисел, лежащих в некотором промежутке, то выполняем следующие действия.

Через точку с запятой указываем два числа: левую и правую границы промежутка.

Если граница входит в промежуток, ставим возле нее квадратную скобку, если не входит – круглую.

Если у промежутка нет правой границы, записываем ее как (или ). Если нет левой границы, пишем .

Если нужно описать множество, состоящее из нескольких промежутков, ставим между ними знак объединения: .

Например, все действительные числа от до включительно можно записать так: . Все положительные числа можно описать как . Ноль не является положительным числом, поэтому скобка возле него круглая, возле бесконечности скобка всегда круглая.

В примере с областью определения мы получили два промежутка: все числа, большие и все числа, меньшие . Поэтому и записали два соответствующих промежутка , поставив между ними знак объединения.

Область значений функции

Область (или множество) значений функции – это все возможные значения . Область значений принято обозначать .

Вспомним графики базовых функций и их области значений:

Линейная функция — это функция вида y=kx+b y = k x + b , где k и b некоторые действительные числа. Если b=0 b = 0 , то функция примет вид y=kx y = k x и будет называться прямой пропорциональностью .

Обратной пропорциональностью называется функция вида y = x / k , где k — отличное от нуля, действительное число D ( f ) : x ∈ < R / x ≠ 0 >; E ( f ) : y ∈ < R / y ≠ 0 >. Графиком функции y = x / k является гипербола .

Степенная функция — это функция вида y=x^n y = x n , где n — отличное от нуля, действительное число Если n=2 n = 2 , то y=x^2. D(f) : x ∈ R ; E ( f ) : y ∈ [ 0 ; + ∞ ) . Графиком функции y=x^2 y = x 2 является парабола .

Показательная функция — это функция вида y=a^x , где a=const, a > 0, , a ≠ 1 D(f) : x ∈ R ; E ( f ) : y ∈ ( 0 ; + ∞ ) . Графиком показательной функции является экспонента.

Математика — наука точная. Поэтому у каждого упражнения есть решение, у каждого числа — свой знак, а у каждой функции — область определения. О последней и поговорим: узнаем, как найти область определения функции.

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие области определения функции

Если каждому значению x из некоторого множества соответствует число y, значит, на этом множестве задана функция. При этом х называют независимой переменной или аргументом, а у — зависимой переменной или функцией.

Зависимость переменной у от переменной х называют функциональной зависимостью. Записывают так: y = f(x).

Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один элемент второго множества.

Из понятия функции сформулируем определение области определения функции.

Область определения функции — это множество всех значений аргумента (переменной x). Геометрически — это проекция графика функции на ось Ох. Чтобы обозначить область определения некоторой функции y, используют запись D(y).

Множество значений функции — множество всех значений, которые функция принимает на области определения. Геометрически — это проекция графика функции на ось Оy.
- Например, область значений функции y = x2 — это все числа больше либо равные нулю. Это можно записать так: Е (у): у ≥ 0.
Материал со звездочкой

Старшеклассникам нужно помнить, что у некоторых функций есть собственные обозначения. Например, у тригонометрических. Поэтому в учебниках можно встретить такие записи: D(sin) — область определения функции синус, D(arcsin) — область определения функции арксинус.

Можно также записать D(f), где f — функция синуса или арксинуса. Если функция f определена на множестве значений x, то можно использовать формулировку D(f) = X. Так, например, для того же арксинуса запись будет выглядеть так: D (arcsin) = [-1, 1].

Область определения можно описывать словами, но часто ответ получается громоздким. Поэтому используют специальные обозначения.

Если мы хотим указать на множество чисел, которые лежат в некотором промежутке, то делаем так:
1. Через точку с запятой указываем два числа: левую и правую границы промежутка.
2. Если граница входит в промежуток, ставим возле нее квадратную скобку, если не входит — круглую.
3. Если у промежутка нет правой границы, записываем так: ∞ или +∞. Если нет левой границы, пишем -∞.
4. Если нужно описать множество, состоящее из нескольких промежутков, ставим между ними знак объединения: ∪.
Например, все действительные числа от 2 до 5 включительно можно записать так:

Все положительные числа можно описать так:

Ноль не положительное число, поэтому скобка возле него круглая.

Области определения основных элементарных функций

Область определения функции — неотъемлемая часть самой функции. Когда мы вводим какую-либо функцию, то сразу указываем ее область определения.

На уроках алгебры мы последовательно знакомимся с каждой функцией: прямая пропорциональность, линейная функция, функция y = x2 и другие. А области их определения изучаем, как свойства.

Рассмотрим области определения основных элементарных функций.

Область определения постоянной функции

Постоянная функция задается формулой y = C, то есть f(x) = C, где C — некоторое действительное число. Ее еще называют константа.

Смысл функции — в том, что каждому значению аргумента соответствует значение функции, которое равно C. Поэтому, область определения этой функции — множество всех действительных чисел R.
- Область определения постоянной функции y = -3 — это множество всех действительных чисел: D(y) = (−∞, +∞) или D(y) = R.
- Областью определения функции y = 3 √9 является множество R.
Еще больше наглядных примеров и практики — на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart!

Область определения функции с корнем

Функцию с корнем можно определить так: y = n √x, где n — натуральное число больше единицы.

Рассмотрим две вариации такой функции.

Область определения корня зависит от четности или нечетности показателя:

Значит, область определения каждой из функций y = √x, y = 4 √x, y = 6 √x,… есть числовое множество [0, +∞). А область определения функций y = 3 √x, y = 5 √x, y = 7 √x,… — множество (−∞, +∞).

Пример

Найти область определения функции:

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, но поскольку оно стоит в знаменателе, то равняться нулю не может. Следовательно, для нахождения области определения необходимо решить неравенство x 2 + 4x + 3 > 0.

Для этого решим квадратное уравнение x 2 + 4x + 3 = 0. Находим дискриминант:

D = 16 - 12 = 4 > 0

Дискриминант положительный. Ищем корни:

Значит парабола f(x) = x 2 + 4x + 3 пересекает ось абсцисс в двух точках. Часть параболы расположена ниже оси (неравенство x 2 + 4x + 3 2 + 4x + 3 > 0).

Поскольку коэффициент a = 1 > 0, то ветви параболы смотрят вверх. Можно сделать вывод, что на интервалах (−∞, -3) ∪ (−1, +∞) выполнено неравенство x 2 + 4x + 3 > 0 (ветви параболы уходят вверх на бесконечность), а вершина параболы расположена на промежутке (-3; -1) ниже оси абсцисс, что соответствует неравенству x 2 + 4x + 3

Область определения степенной функции

Степенная функция выглядит так: y = x a , то есть, f(x) = x a , где x — переменная в основании степени, a — некоторое число в показателе степени.

Область определения степенной функции зависит от значения показателя степени.

Перечислим возможные случаи:
- Если a — положительное целое число, то область определения функции есть множество действительных чисел: (−∞, +∞).
- Для нецелых действительных положительных показателей степени: D(f) = [0, +∞).
- Если a — отрицательное целое число, то область определения функции представляет собой множество (−∞, 0) ∪ (0, +∞).
- Для остальных действительных отрицательных a область определения степенной функции — числовой промежуток (0, +∞).
При a = 0 степенная функция y = x a определена для всех действительных значений x, кроме x = 0. Это связано с тем, что мы не определяли 0 0 . А любое отличное от нуля число в нулевой степени равно единице. То есть, при a = 0 функция приобретает вид y = x 0 = 1 на области определения (−∞, 0) ∪ (0, +∞).

Рассмотрим несколько примеров.
1. Область определения функций y = x 5 , y = x 12 — множество R, так как показатели степени целые положительные.
2. Степенные функции определены на интервале [0, +∞), так как их показатели положительные, но не целые.
3. Область определения функции y = x −2 , как и функции y = x −5 — это множество (−∞, 0) ∪ (0, +∞), так как показатели степени целые отрицательные.
4. Область определения степенных функций y = x -√19 , y = x -3e , — открытый числовой луч (0, +∞), так как их показатели не целые и отрицательные.
Область определения показательной функции

Показательную функцию можно задать формулой y = a x , где переменная x — показатель степени, а — больше нуля и не равно единице.

Область определения показательной функции — это множество R.

Примеры показательных функций:

Область определения каждой из них (−∞, +∞).

Область определения логарифмической функции

Логарифмическая функция выглядит так: y = log_ax, где где число a > 0 и a ≠ 1. Она определена на множестве всех положительных действительных чисел.

Область определения логарифмической функции или область определения логарифма — это множество всех положительных действительных чисел. То есть, D (loga) = (0, +∞).
Например:

Рассмотрим примеры логарифмических функций:

Область определения этих функций есть множество (0, +∞).

Пример

Укажите, какова область определения функции:

Составим и решим систему:

Ответ: область определения: D(f) = (−3, -2) ∪ (−2, +∞).

Область определения тригонометрических функций

Сначала вспомним, как задавать тригонометрические функции и как увидеть их области определения.
- Функция, которая задается формулой y = sinx, называется синусом, обозначается sin и определяется на множестве всех действительных чисел. Область определения синуса — это множество всех действительных чисел, то есть, D(sin) = R.
- Функция, которая задана формулой y = cosx, называется косинусом, обозначается cos и определяется на множестве R. Область определения функции косинус — множество всех действительных чисел: D(cos) = R.
- Функции, которые заданы формулами y = tgx и y = ctgx, называются тангенсом и котангенсом и обозначаются tg и ctg. Область определения тангенса — это множество всех действительных чисел, кроме чисел . Область определения котангенса — это множество всех действительных чисел, кроме чисел πk, k ∈ Z.
Поэтому, если x — аргумент функций тангенс и котангенс, то области определения тангенса и котангенса состоят из всех таких чисел x, что и x ∈ r, x ≠ πk, k ∈ Z соответственно.

Пример

Найдите область определения функции f(x) = tg2x.

Так как a(x) = 2x, то в область определения не войдут следующие точки:

Перенесем 2 из левой части в знаменатель правой части:

В результате . Отразим графически:

Ответ: область определения: .

Область определения обратных тригонометрических функций

Вспомним обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.
Таблица областей определения функций

Области определения основных функций в табличном виде можно распечатать и использовать на уроках, чтобы быстрее решать задачки.

И, помните: чем чаще вы практикуетесь в решении задач — тем быстрее все запомните.

Читайте также: