Применение факториалов в информатике сообщение
Обновлено: 02.07.2024
Факториал – произведение натуральных чисел от единицы до заданного числа. Имеет условное обозначение в виде восклицательного знака. n!=1*2*3*. *n (Например: 3!=1*2*3=6).
В Turbo Pascal факториал находится, как правило, двумя способами: с помощью цикла или с помощью рекурсии.
Вычисление факториала в pascal с помощью цикла
Данный способ нахождения факториала исключительно прост. В цикле от 1 до n умножается число само на себя. При этом необходимо учитывать условие, что 0!=1. Ниже представлена реализация программы с помощью цикла for. Аналогично используются repeat и while.
if (n=0) then writeln(‘0!=1’) else
if x=0 then fact:=1
Факториал числа – Вычисление с помощью цикла (1 способ)
Факториал – Нахождение факториала в паскале с помощью рекурсии (2 способ)
Задача
Факториал числа представляет собой произведение всех натуральных чисел от 1 до этого числа включительно. Например, факториал числа 7 выглядит так:
1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7
Факториал числа обозначается как само число после которого следует восклицательный знак. Например, 7!. Таким образом:
7! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 = 5040
С увеличением числа его факториал быстро возрастает. Так если 3! = 6, то уже 10! = 3628800. Поэтому для натуральных чисел больше 12-ти в языке программирования Паскаль просто так факториал вычислить нельзя.
Допустим, требуется определить факториал числа, которое ввел пользователь.
Решение
Переменной factorial сначала присваивается значение 1.
0! = 1 и 1! = 1.
Если пользователь ввел число больше единицы, то выполняется цикл, в теле которого на каждой итерации значение переменной factorial умножается на следующее натуральное число (переменную i ).
Обучение программированию идёт по пути от простого к сложному. Освоив типы данных и операторы языка, переходят к циклическим конструкциям. Задач на циклы существует бесчисленное количество: начиная от вывода цифр в столбик до подсчёта сумм по сложным формулам. Тем не менее у начинающих программистов остаётся вопрос: "Как вычислить факториал в "Паскале"?"
Реализовать задачу можно как минимум тремя способами. Отличаются они используемыми операторами.
Математические сведения
Перед тем как перейти к построению алгоритмов и написанию программ, следует изучить теорию. В математике факториалом называют произведение целого числа, для которого вычисляется выражение, на целые положительные числа меньше его.
Понять определение поможет пример. Пусть требуется выполнить нахождение факториала для числа 3. Решение: 3! = 3 * 2 * 1 = 6.
Обозначается действие восклицательным знаком, который ставится после числа. Важное замечание: факториал определён только для целых положительных чисел. Вместе с тем, введено понятия для нуля: 0! = 1.
Считать выражение для больших значений вручную – занятие долгое. Чтобы убыстрить процесс вычислений, используют компьютерные программы. Далее рассмотрены способы, как найти факториал в "Паскале".
Первый способ
Код ниже показывает вариант программы.
В примере используют составную конструкцию с условием, которое записывается перед телом цикла. Синтаксис записи:
Выполняется код следующим образом: программа проверяет истинность выражения , в случае положительной проверки переходит на .
Возвращаясь к программе, нужно обратить внимание на следующие строки:
- 2 – задаётся число n, для которого будет выполнен расчёт;
- 6 – заголовок цикла;
- 7 – начало цикла;
- 8 – вычисление переменной fact, которая хранит значение факториала числа n;
- 9 – увеличение переменной-счётчика на единицу;
- 10 – конец цикла.
Второй способ
Следующий предлагает вычислить факториал в "Паскале" с помощью оператора repeat.
Конструкция цикла: repeat until ;
Чтобы понять, как работает программа, рассмотрим её построчно:
- 2 – константе n назначается число, для которого выполняется вычисление;
- 7 – начало цикла;
- 8, 9 – расчёт факториала и увеличения счётчика i;
- 10 – конец тела цикла;
- 11 – проверка условия, поскольку условие располагается после последовательности операторов, повтор действий будет выполнен как минимум один раз.
Третий способ
Последняя программа также дает возможность вычислить факториал в "Паскале" и является самой компактной по размеру. Причина – используемый оператор for, для которого увеличение счётчика i задаётся в параметрах цикла.
Работает код следующим образом (цифрами указаны строки листинга):
- 2 – константе n присваивают значение числа, для которого вычисляется факториал;
- 6 – задаются параметры цикла – начальное и конечное значения;
- 7 – начало цикла;
- 8 – вычисление переменной fact;
- 9 – конец цикла.
Замечание
Факториал числа n – это произведение чисел от 1 до n. Определён только для целых неотрицательных чисел. Формула факториала:
Это очень просто, вот пример:
7! = 1 * … * 7 = 5040.
Факторизация - разложение функции на множители.
Таблица факториалов
Свойства факториалов
Рекуррентная формула
Комбинаторная интерпретация
Функция n может интерпретироваться как количество перестановок. К примеру, для 3-х элементов есть 3! = 6 перестановки.
Формула Стирлинга
Позволяет не перемножать большие числа. Обычно необходим только главный член:
Расчет по предыдущему значению
Функцию легко вычислить из предыдущего значения:
Однако было решено, что в случае 0 результат будет равен 1.
Некоторые очень большие значения
Некоторые браузеры могут не позволять копировать, поэтому необходимо будет загрузить большие результаты в виде текстового файла.
Примеры вычисления факториалов больших чисел:
100! это примерно 9 33262154444944152681699238856 x 101576 x 10157;
200! это примерно 7 88657867867364479050355236321393 x 103743.
Как найти функцию в Паскаль? Вычисление легко реализуется на разных языках программирования. Можно выбрать два метода: итеративный, то есть он создает цикл, в котором временная переменная умножается на каждое натуральное число от 1 до n, или рекурсивный, в котором функция вызывает себя до достижения базового варианта 0! = 1.
Программа на языке Паскаль:
На языке Си вычисления делаются с помощью рекурсивной функции. Следует заметить, что если начать вычислять факториал отрицательного числа в неаккуратно написанной функции, то это приведет к зацикливанию.
Факториал дроби (½) - это половина квадратного корня pi = (½)√π.
Прежде чем мы начнем реализовывать факториал с использованием Python, давайте сначала обсудим, что подразумевает факториал числа.
Теоретически факториал числа определяется как произведение всех положительных целых чисел, меньших или равных числу. Конечно, n! представляет собой факториал целого числа n. В качестве примера рассмотрим факториал числа 6:
6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Чтобы определить факториал целого числа, можно использовать следующие методы:
- Использование цикла.
- Использование рекурсивного вызова функции.
- Использование предопределенной функции factorial() из математического модуля.
Использование цикла
Приведенный ниже код показывает, как можно вычислить факториал заданного числа с помощью цикла for в программировании на Python.
Использование вызова функции рекурсии
Точно так же мы можем вычислить факториал заданного числа с помощью рекурсивной функции. Посмотрим, как:
Использование метода factorial() из математического модуля
Математический модуль обеспечивает простой способ вычисления факториала любого положительного целого числа. Конечно, в модуле есть предопределенный метод factorial(), который принимает целое число в качестве аргумента и возвращает факториал числа. Давайте посмотрим, как мы можем использовать предопределенный метод и, следовательно, найти факториал. В приведенном ниже коде показано, как можно использовать метод factorial().
ГОСТ
Алгоритмы для вычисления факториала — это алгоритм определения произведения всех натуральных чисел, начиная от единицы и до заданного числа включительно.
Под термином факториал числа понимается функция, которая вычисляет произведение последовательности натуральных чисел от единицы до N включительно: N! = 1 • 2 • 3 • … • N. Факториал является очень быстро увеличивающейся функцией, поскольку даже при относительно малых по величине N, значение его факториала будет уже многоразрядным. Рассмотрим некоторые алгоритмы, позволяющие вычислить факториал числа.
Наивный алгоритм
Этот алгоритм является самой простой реализацией, так как просто выполняет действия, заложенные в определении факториала:
Рисунок 1. Наивный алгоритм. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Эта программа выполняется за интервал времени менее двух секунд для N до пятидесяти тысяч. Но есть и более продвинутые алгоритмы и один из них рассмотрим далее.
Алгоритм вычисления деревом
Этот алгоритм базируется на таком положении, что операция умножения с числами большой и примерно одинаковой разрядности будет эффективнее умножения большого числа на маленькое. Исходя из этого, необходимо обеспечить при определении факториала примерно равный размер сомножителей на постоянной основе. Пускай требуется вычислить произведение последовательности чисел от L до R. Введём обозначение этого произведения как Р (L, R). Поделим промежуток между L и R на два и вычислим Р (L, R) как P(L, M) • P(M + 1, R), здесь M является серединой чисел L и R, то есть M = (L + R) / 2. Следует отметить, что сомножители получаются примерно одинаковыми. Затем по аналогии разбиваем далее P(L, M) и P(M + 1, R). Эту процедуру необходимо выполнять до тех пор, пока каждый интервал не будет иметь больше двух сомножителей. Понятно, что Р (L, R) = L, когда L и R равны, и P(L, R) = L • R, если L и R имеют единичное отличи. Для того, чтобы вычислить N!, требуется определить Р(2, N). Рассмотрим действие этого алгоритма для N=10, определим Р (2, 10):
Готовые работы на аналогичную тему
( P(2, 4) • P(5, 6) ) • ( P(7, 8) • P(9, 10) )
( (P(2, 3) • P(4) ) • P(5, 6) ) • ( P(7, 8) • P(9, 10) )
( ( (2 • 3) • (4) ) • (5 • 6) ) • ( (7 • 8) • (9 • 10) )
( ( 6 • 4 ) • 30 ) • ( 56 • 90 )
( 24 • 30 ) • ( 5 040 )
В итоге мы получили подобие дерева, у которого сомножители расположены в узлах, а результирующее значение находится в корневой системе.
Рисунок 2. Дерево. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Программная реализация этого алгоритма приведена ниже:
Рисунок 3. Программа. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
По этой программе для числа пятьдесят тысяч вычисление факториала длится менее секунды, что в два раза быстрее предыдущего алгоритма.
Алгоритм вычисления факторизацией
Данный алгоритм способен разложить факториал на простые сомножители, что и есть по сути факторизация. То есть в преобразовании N! принимают участие только простые сомножители от двух до N. Вычислим количество вложений сомножителя К в факториал N!. Или иначе, определим в какой степени стоит сомножитель К в этом разложении. Каждый К-ый сомножитель произведения 1 • 2 • 3 • … • N приводит к возрастанию степени на единицу, то есть степень равняется N / K. Далее учитываем, что K в квадрате компонент также даёт возрастание степени на единицу, то есть показатель степени будет $N / K+ N / K^2$
Далее с возрастанием степени будет такая же картина. В финале имеем следующую формулу для показателя степени простого сомножителя К:
$N / K+ N / K^2 + N / K^3 + N / K^4 +…$
Для примера определим, сколько раз двойка в различных степенях входит в факториал десяти. Число два содержится в каждом втором сомножителе (2, 4, 6, 8 и 10). А общее число этих сомножителей 10 / 2 = 5. При этом, каждый четвёртый множитель выдаёт число четыре (то есть два в степени два). Этих сомножителей 10 / 4 = 2 (4 и 8). Далее восьмой сомножитель даёт число восемь (то есть два в степени три). Такой сомножитель только один 10 / 8 = 1 (8). Два в четвёртой степени — это число шестнадцать. Но его нет ни в одном сомножителе, следовательно, алгоритм можно останавливать. В итоге видим, что степень числа два при разложении факториала десяти на простые сомножители равняется 10 / 2 + 10 / 4 + 10 / 8 = 5 + 2 + 1 = 8.
Аналогично возможно определить показатели степени других простых сомножителей в факториале десяти (это числа три, пять и семь). Затем уже можно определить их произведение: $10! = 2^8 • 3^4 • 5^2 • 7^1 = 3 628 800$.
Читайте также: