Большой звездчатый додекаэдр сообщение
Обновлено: 30.06.2024
Звёздчатый многогранник (звёздчатое тело) — это невыпуклый многогранник, грани которого пересекаются между собой. Как и у незвёздчатых многогранников, грани попарно соединяются в ребрах, при этом внутренние линии пересечения не считаются рёбрами.
Звёздчатой формой многогранника называется многогранник, полученный путём продления граней данного многогранника через рёбра до их следующего пересечения с другими гранями по новым рёбрам.
Правильные звёздчатые многогранники — это звёздчатые многогранники, гранями которых являются одинаковые правильные или звёздчатые многоугольники. Коши установил, что существует всего 4 правильных звёздчатых тела, не являющиеся соединениями платоновых и звёздчатых тел, называемые телами Кепплера — Пуансо: все 3 звёздчатых формы додекаэдра и одна из звёздчатых форм икосаэдра. Остальные правильные звёздчатые многогранники являются или соединениями платоновых тел, или соединениями тел Кепплера — Пуансо.
На данных рисунках каждая грань для красоты и наглядности окрашена собственным цветом.
Многие формы звёздчатых многогранников подсказывает сама природа. Например, снежинки — это плоские проекции звёздчатых многогранников. Некоторые молекулы имеют правильные структуры объёмных фигур.
Содержание
Тетраэдр и куб
Тетраэдр и гексаэдр (куб) не имеют звёздчатых форм, так как их грани при продлении через рёбра более не пересекаются.
Звёздчатый октаэдр
Звёздчатые формы додекаэдра
Додекаэдр имеет 3 звёздчатые формы: малый звёздчатый додекаэдр, большой додекаэдр, большой звёздчатый додекаэдр (звёздчатый большой додекаэдр, завершающая форма). Первые две из них были открыты Кеплером (1619), третья — Пуансо (1809). В отличие от октаэдра любая из звёздчатых форм додекаэдра не является соединением платоновых тел, а образует новый многогранник.
Все 3 звёздчатые формы додекаэдра, вместе с большим икосаэдром образуют семейство тел Кеплера-Пуансо, то есть правильных невыпуклых (звёздчатых) многогранников.
У большого додекаэдра гранями являются пятиугольники, которые, сходятся по пять в каждой из вершин. У малого звёздчатого и большого звёздчатого додекаэдров грани - пятиконечные звёзды (пентаграммы), которые в первом случае сходятся по 5, а во втором по 3.
Вершины большого звёздчатого додекаэдра совпадают с вершинами описанного додекаэдра. У каждой вершины соединяются три грани.
Звёздчатые формы икосаэдра
Икосаэдр имеет 59 звёздчатых форм, из которых 32 обладают полной, а 27 неполной икосаэдральной симметрией, что было доказано Кокстером совместно с Дювалем, Флэзером и Петри c применением правил ограничения, установленных Дж. Миллером. Одна из этих звёздчатых форм (20-я, мод. 41 по Веннинджеру), называемая большим икосаэдром (см. рис), является одним из четырёх правильных звёздчатых многогранников Кеплера—Пуансо. Его гранями являются правильные треугольники, которые сходятся в каждой вершине по пять; это свойство является у большого икосаэдра общим с икосаэдром.
Среди звёздчатых форм также имеются: соединение пяти октаэдров, соединение пяти тетраэдров, соединение десяти тетраэдров.
Если каждую из них продолжить неограниченно, то тело будет окружено большим многообразием отсеков — частей пространства, ограниченных плоскостями граней. Все звёздчатые формы икосаэдра можно получить добавлением к исходному телу таких отсеков. Не считая самого икосаэдра, продолжения его граней отделяют от пространства 20+30+60+20+60+120+ 12+30+60+60 отсеков десяти различных форм и размеров. Большой икосаэдр состоит из всех этих кусков, за исключением последних шестидесяти. Следующая звёздчатая форма - завершающая.
Звёздчатые формы кубооктаэдра
Кубооктаэдр имеет 4 звёздчатые формы, удовлетворяющие ограничениям, введённым Миллером. Первая из них является соединением куба и октаэдра.
Звёздчатые формы икосододекаэдра
Икосододекаэдр имеет множество звёздчатых форм, первая из которых есть соединение икосаэдра и додекаэдра.
Икосододекаэдр имеет 32 грани, из которых 12 являются правильными пятиугольными гранями, а остальные 20 — правильные треугольники. Что касается вопроса о том, могут ли получившиеся многогранники оказаться правильными, то на него давно получен ответ. Великий математик Коши ещё в 1811 году доказал, что список правильных многогранников исчерпывается пятью платоновыми телами вкупе с четырьмя многогранниками Кеплера — Пуансо.
Большой звёздчатый додекаэдр [1] [2] [3] — это тело Кеплера — Пуансо с символом Шлефли . Многогранник является одним из четырёх невыпуклых правильных многогранников.
Он состоит из 12 пересекающихся граней в виде пентаграмм с тремя пентаграммами, сходящимися в каждой вершине.
Он имеет то же самое расположение вершин [en] , что и правильный додекаэдр, а также является звёздчатой формой (меньшего) додекаэдра. Это единственная звёздчатая форма додекаэдра с таким свойством, за исключением самого додекаэдра. Его двойственный многогранник, большой икосаэдр, связан похожим образом с икосаэдром.
Если срезать треугольные пирамиды, останется икосаэдр.
Если грани не рассматривать как пентаграммы, а рассматривать как набор отдельных треугольников, он топологически связан с триакисикосаэдром, имеет ту же самую связь граней, но грани (равнобедренных) треугольников много длиннее.
Проект "Звёздчатые формы додекаэдров" подготовила ученица 9 класса под моим руководством. Работа содержит: определение додекаэдра и его свойства, три формы звёздчатых додекаэдров, их модели и практические рекомендации по их изготовлению. Проект занял призовое место на окружной НПК учащихся.
Департамент образования мэрии города Новосибирска
XXXIX городская открытая научно-практическая
Секция: математические модели
Тема: Звёздчатые формы додекаэдров
Автор: Гольцова Мария
МБОУ ЭКЛ, 9 класс
Центральный округ г. Новосибирска
Научный руководитель: Кривченкова
учитель математики в.к.к.
Контактный телефон: 89139568347
Основная часть
Определение додекаэдра и его свойства………………………………. 4
История появления додекаэдра…………………………………………..5
Звёздчатые формы додекаэдров………………………………………….6
Звездчатые многогранники ………………………………………………7
Вдохновение нужно в геометрии не
меньше, чем в поэзии. (А.С. Пушкин)
Введение
Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники. Человек проявляет интерес к правильным многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности. Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие – в виде вирусов, которые можно рассмотреть с помощью электронного микроскопа.
Чем привлекательны многогранники? Они обладают богатой историей, которая связана с такими знаменитыми учеными древности, как Платон, Евклид, Архимед, Кеплер. Все они использовали в своих философских теориях правильные многогранники. Прошли века, но роль геометрии не изменилась.
Поэтому мне захотелось больше узнать о многогранниках и самой научиться изготавливать модели различных многогранников. Данная тема актуальна, так как немногие люди знают правильные многогранники, но знание этих геометрических тел поможет в создании различных шедевров (как в архитектуре, так и в живописи и во многом другом, потому что многогранники имеют обширную область применения).
Из информации в интернете я узнала, что существует много разных додекаэдров с множеством интересных свойств. Особенно мне понравился додекаэдр, который имел звёздчатые формы, мне захотелось изготовить модели этих фигур.
Цель проекта:
изучение звёздчатых форм додекаэдров.
Задачи проекта:
Собрать информацию по данной теме.
Познакомиться с понятием “додекаэдр”.
Узнать о его звёздчатых формах.
Изготовить модели додекаэдра и звёздчатых додекаэдров.
Методы исследования: сбор информации, обработка данных, сравнение, анализ, обобщение.
Определение додекаэдра и его свойства
Додекаэдр (от греческого dodeka –двенадцать и hedra – грань) это правильный многогранник, составленный из двенадцати равносторонних пятиугольников. Додекаэдр имеет 20 вершин и 30 ребер.
Вершина додекаэдра является вершиной трех пятиугольников, таким образом, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324°. Если принять длину ребра за а, то получим следующие формулы:
Сумма ребер
Площадь поверхности
Радиус описанной сферы
Радиус вписанной сферы
Свойства додекаэдра:
Двугранный угол между любыми двумя смежными гранями додекаэдра равен ≈116°,565.
Сумма плоских углов при каждой из 20 вершин равна 324°.
В додекаэдр можно вписать куб так, что стороны куба будут диагоналями додекаэдра.
Додекаэдр имеет три звёздчатые формы.
В додекаэдр можно вписать пять кубов. Если заменить пятиугольные грани додекаэдра плоскими пятиугольными звездами так, что исчезнут все ребра додекаэдра, то получим пространство пяти пересекающихся кубов. Додекаэдр как таковой исчезнет. Вместо замкнутого многогранника появится открытая геометрическая система пяти ортогональностей. Или симметричное пересечение пяти трехмерных пространств.
Ближайшая параллельная к произвольно выбранной грани плоскость, в которой лежат пять вершин, не принадлежащих выбранной грани, отстоит от этой грани на расстояние радиуса описанной вокруг данной грани окружности. А радиус описанной вокруг этих пяти вершин окружности равен диаметру вписанной в любую из граней окружности.
Область применения:
В культуре:
Додекаэдр применяется как генератор случайных чисел (вместе с другими костями) в настольных ролевых играх, и обозначается при этом d12 (dice — кости).
Изготавливаются настольные календари в форме додекаэдра из бумаги, где каждый из двенадцати месяцев расположен на одной из граней.
В игре Пентакор мир представлен в виде этой геометрической фигуры.
История появления додекаэдра
Считается что, самый древний предмет в форме додекаэдра был найден в северной Италии, около Падуи, в конце XIX века, он датируется 500 г. до н. э. и предположительно использовался этрусками в качестве игральной кости.
На территории нескольких европейских стран найдено множество предметов, называемых римскими додекаэдрами, относящихся ко II—III вв. н. э., назначение которых не совсем понятно.
Римский додекаэдр — это небольшой объект, сделанный из бронзы или реже из камня или железа, чаще имеющий форму додекаэдра с двенадцатью плоскими пятиугольными гранями. Римский додекаэдр датируется II—III веком н. э.
Звёздчатые формы додекаэдра:
Кроме правильных выпуклых многогранников существуют и правильные выпукло-вогнутые многогранники. Их называют звездчатыми (самопересекающимися). Они называются также телами Кеплера- Пуансо.
Додекаэдр имеет 3 звёздчатые формы:
малый звёздчатый додекаэдр - он считается первой звёздчатой формой додекаэдра. Это тело Кеплера — Пуансо. Многограннику дал имя Артур Кэли. Малый звёздчатый додекаэдр является одним из четырёх невыпуклых правильных многогранников. Он состоит из 12 граней в виде пентаграмм с пятью пентаграммами, сходящимися в каждой вершине.
Он имеет то же самое расположение вершин, что и выпуклый правильный икосаэдр. Кроме того, у него то же самое расположение рёбер, что и у большого икосаэдра.
большой додекаэдр - это тело Кеплера — Пуансо с символом Шлефли и диаграммой Коксетера — это один из четырёх невыпуклых правильных многогранников. Он состоит из 12 пятиугольных граней (шесть пар параллельных пятиугольников), с пятью пятиугольниками в каждой вершине, пересекающих друг друга и делая рисунок пентаграммы.
большой звёздчатый додекаэдр - является одним из четырех правильных звёздчатых многогранников тел Кеплера-Пуансо. Гранью многогранника является правильный звёздчатый многоугольник, который состоит из правильных треугольников.
В отличие от октаэдра, любая из звёздчатых форм додекаэдра не является соединением Платоновых тел, а образует новый многогранник. У большого додекаэдра гранями являются пятиугольники, которые сходятся по пять в каждой из вершин. У малого звёздчатого и большого звёздчатого додекаэдров грани — пятиконечные звёзды (пентаграммы), которые в первом случае сходятся по 5, а во втором по 3 грани в одной вершине. Вершины большого звёздчатого додекаэдра совпадают с вершинами описанного додекаэдра.
Звездчатые многогранники:
Ещё существуют такие звездчатые многогранники:
Звёздчатый октаэдр
Звёздчатые формы икосаэдра
Икосаэдр имеет 59 звёздчатых форм, из которых 32 обладают полной, а 27 — неполной икосаэдральной симметрией, что было доказано Коксетером совместно с Дювалем, Флэзером и Петри c применением правил ограничения, установленных Дж. Миллером. Одна из этих звёздчатых форм, называемая большим икосаэдром, является одним из четырёх правильных звёздчатых многогранников Кеплера — Пуансо. Его гранями являются правильные треугольники, которые сходятся в каждой вершине по пять; это свойство является у большого икосаэдра общим с икосаэдром.
Среди звёздчатых форм также имеются: соединение пяти октаэдров, соединение пяти тетраэдров, соединение десяти тетраэдров. Первая звёздчатая форма — малый триамбический икосаэдр.
Если каждую из граней продолжить неограниченно, то тело будет окружено большим многообразием отсеков — частей пространства, ограниченных плоскостями граней. Все звёздчатые формы икосаэдра можно получить добавлением к исходному телу таких отсеков. Не считая самого икосаэдра, продолжения его граней отделяют от пространства 20 + 30 + 60 + 20 + 60 + 120 + 12 + 30 + 60 + 60 = 472 отсека десяти различных форм и размеров. Большой икосаэдр состоит из всех этих кусков, за исключением последних шестидесяти. Следующая звёздчатая форма — завершающая.
Звёздчатые формы кубооктаэдра- полуправильный многогранник, состоящий из 14 граней (8 правильных треугольников и 6 квадратов). В кубооктаэдре 12 одинаковых вершин, в которых сходятся два треугольника и два квадрата, а также 24 одинаковых ребра, каждое из которых разделяет треугольник и квадрат. Икосододекаэдр имеет 32 грани, из которых 12 являются правильными пятиугольными гранями, а остальные 20 — правильными треугольниками.
Икосододекаэдр имеет множество звёздчатых форм, первая из которых есть соединение икосаэдра и додекаэдра.
Звёздчатые формы икосододекаэдра- икосододекаэдр имеет 32 грани, из которых 12 являются правильными пятиугольными гранями, а остальные 20 — правильными треугольниками.
Икосододекаэдр имеет множество звёздчатых форм, первая из которых есть соединение икосаэдра и додекаэдра.
Практическая часть
Додекаэдр
Развёртка додекаэдра
Додекаэдр - одно из пяти Платоновых тел. Двенадцать пятиугольных граней придают особое своеобразие этому многограннику. Я изготовила календарь в форме додекаэдра. (Приложение)
Звёздчатый додекаэдр (малый)
Чтобы изготовить модель звёздчатого додекаэдра, надо привести его к этой форме. Под приведением к звёздчатой форме понимается процесс построения многогранника из другого многогранника путём расширения его граней. Для этого через грани исходного многогранника проводятся плоскости и рассматриваются всевозможные рёбра, полученные в результате пересечения этих плоскостей и выбираются подходящие.
Развёртка пирамиды, таких нужно сделать 12 штук. Двенадцать пирамид, надстроенных над каждой из граней исходного додекаэдра, создают пространственную 3D-звезду - первую звездчатую форму додекаэдра. Другое название - малый звездчатый додекаэдр. (Приложение)
Звёздчатый додекаэдр (большой)
Гранью многогранника является правильный звёздчатый многоугольник, который состоит из правильных треугольников. Форма грани имеет следующий вид:
Многогранник состоит из 60-ти треугольных граней.
Для того, чтобы создать большой звёздчатый додекаэдр нужно сделать развёртку икосаэдра, он будет основой, затем делаем 20 тетраэдров, рассчитывая размер длины его граней так: длину ребра икосаэдра делим на 2, и делим на косинус 72х градусов(~ 0.309 ).
Развёртка икосаэдра
Развертка тетраэдра
Звёздчатый додекаэдр (большой)
Заключение
Также рекомендую ознакомиться со своей работой тем сверстникам, которые хотят знать о математике больше, чем рядовой школьник.
Додекаэдр — это двенадцатигранник, представляющий собой правильное геометрическое тело, образованное гранями в виде пятиугольников. Он относится к многогранникам, входит в группу платоновых тел, имеет особые характеристики, отличающие его от других математических элементов. Этой фигуре было дано название еще в Древней Греции. Благодаря особым свойствам объект нашел применение во многих сферах жизни человека.
Фигура в природе
Правильный многогранник считается шаблоном, привлекает безупречным совершенством формы и абсолютной симметричностью сторон. Природной моделью геометрической фигуры является кристалл пирита (FeS — колчедан сернистый).
Форму объемного додекаэдра имеют в природе различные объекты. К ним относятся:
- вирус распространенного заболевания полиомиелита, он живет и размножается в клеточном пространстве организма человека или приматов;
- вольвокс — простейший многоклеточный микроорганизм, водоросль, представляющая собой сферическую правильную оболочку, которая состоит из пятиугольных или шестиугольных клеток;
- особая форма углерода — фуллерены — были обнаружены во время испытаний и моделирований процессов для изучения явлений, происходящих в космическом пространстве (впоследствии ученые смогли синтезировать их, вывести химическую формулу, а в настоящее время разрабатываются материалы для развития молекулярной электроники);
- геометрическая форма додекаэдра (не ромбического) лежит в основе ДНК-структуры человека (если наблюдать за вращением молекулы ДНК, то можно увидеть, что она представляет собой куб, который при развороте на 72 градуса становится икосаэдром, составляющим пару двенадцатиграннику).
В структуре ДНК наблюдается четкая связь. Спираль в виде двойной нити сформирована по схеме двухстороннего соответствия: после икосаэдра идет додекаэдр, затем снова икосаэдр и т. д.
Таким образом, еще с древности ученые доказывали, что в основе структуры дезоксирибонуклеиновой кислоты человека лежат священные правила геометрии и прочие невообразимые взаимосвязи. Работа над доказательством некоторых из них ведется и по сей день.
В древние времена о додекаэдре говорить вообще не было принято, а тем более упоминать вслух. Фигура считалась священной, так как, по мнению ученых, она представляет собой высшую форму человеческого сознания и расположена на внешнем краю энергетического пространства. Философы утверждают, что все человечество живет внутри огромного додекаэдра, заключающего в себе целую Вселенную. Он является завершающей фигурой в геометрии.
Геометрические свойства
Фигура состоит из следующих элементов:
- 12 граней — правильных пятиугольников;
- 30 ребер;
- 20 вершин, в каждой из которых находится точка пересечения трёх ребер и вершина трёх пятиугольников.
В додекаэдре насчитывается 15 осей симметрии с основным их центром. Каждая из них проходит посередине параллельных ребер, которые размещены при этом параллельно.
Любая из 15 плоскостей симметрии также проходит во всех гранях через середину и вершину противоположно расположенного ребра.
Чтобы понять, что собой представляет этот геометрический элемент, можно сделать развертку додекаэдра. Так более понятно выглядит его площадь. Кроме того, именно по этой схеме можно пошагово сделать фигуру самостоятельно из бумаги или картона, начертив предварительный шаблон с небольшими припусками для загибов.
На чертеже важно правильно определить линии сгибов. При этом немаловажно перед склеиванием знать, какой оттенок материала будет использован. По мнению древнегреческого философа Платона, додекаэдр не относится к известным земным элементам (Огонь, Вода, Земля) и поэтому ассоциируется с пустотой. Такая фигура делается из бумаги желтого цвета.
Развертка также может быть цветной. Первый классический вариант сборки — фигура с гранями, каждая из которых имеет свой оттенок. Второй способ — использование повторяющихся цветов, но они не могут граничить друг с другом.
Додекаэдр, ассоциирующийся с формой кристалла, имеет следующие характерные для него свойства и элементы симметрии:
- присутствует 6 осей пятого порядка (это означает, что фигура поворачивается на угол 72 градуса — 360/5);
- 15 осей второго порядка (при симметричном повороте угол составляет 360/2 = 180 градусов);
- 10 осей третьего порядка (симметрия проявляется при повороте на 120 градусов — 360/3).
Идея определения симметрии проста и интересна: если внутри кристалла вообразить ось, а потом вокруг нее повернуть фигуру на определенный угол, то элемент сам с собой совпадет. Это не свойственно никаким другим геометрическим фигурам.
Сфера применения
Благодаря своим свойствам додекаэдр широко используется в современной жизни в различных отраслях. Симметрия и правильная форма делают эту геометрическую фигуру незаменимой как в быту, так и в промышленности или науке.
Правильная схема додекаэдра используется:
- при производстве игральных костей, применяемых в настольных играх — сумма цифр, которые изображены на противоположных гранях, всегда образует число 13 (для этой платоновской фигуры характерна безупречная симметрия, что немаловажно для игр с вероятностным характером продолжения событий; в некоторых играх так и остались простые кубики, но их возможности не настолько многообразны);
- при производстве аудиооборудования (колонки, издающие звучание во всех направлениях, перебивают любой посторонний шум и обеспечивают качественное прослушивание музыки);
- при изготовлении современных календарей, в которых каждая грань посвящена отдельному месяцу.
Во время раскопок в XVIII веке на территории европейских стран были обнаружены подозрительные предметы, напоминающие по форме додекаэдры. Они были изготовлены из чистой бронзы и имели полое пространство внутри. Во всех гранях были отверстия с разным диаметром.
Таких объектов найдено более сотни, но ученым так и не удалось понять и догадаться, для чего они предназначались.
Находки датируются III—II вв. еком до наступления нашей эры, обнаружены на территории Франции, Германии, Италии, Испании и многих других стран. Если прислушаться к одной из версий, эти предметы использовались как подсвечники, так как внутри обнаружены восковые частички. Согласно другому предположению, это были древние календари, которые подсказывали оптимальное время посадки культур. Третья версия указывает на то, что объемные многогранники использовались как крепление для военного римского штандарта. Какой из фактов достоверный, неизвестно.
В качестве памятника архитектуры малый усеченный додекаэдр установлен в городе Обнинске около здания ДОСААФ. Сегодня это заброшенный объект, неизвестно даже, почему он здесь установлен и кто его автор. Однако точно определено, что появилась фигура еще при Советском Союзе.
Сакральное значение
Значение додекаэдра в сакральной геометрии обусловлено его совершенной формой. Эта наука объединяет совокупность дисциплин, которые обнаруживают и приписывают определенные качества различным фигурам и элементам, основываясь на их свойствах.
Идеальные пропорции способны привести в гармонию все окружающее пространство и находящиеся в нем тела. Энергия распределяется равномерно. Многогранник идеально подходит для медитативной практики, считается, что он выполняет функцию проводника и обеспечивает переход сознания в другую реальность. Специалисты приписывают фигуре способность мгновенно снимать усталость и стресс, улучшать память и повышать концентрацию внимания.
В первую очередь нужно обратить внимание на то, сколько вершин у додекаэдра. Их количество и взаимное расположение символизируют гармонию и уравновешенность.
Для додекаэдра характерны 3 звездчатые формы. В него можно вписать куб, в результате чего стороны вписанной фигуры станут диагоналями двенадцатигранника.
Если вместо пятиугольных граней использовать звезды, то ребра исчезнут, и образуется пространство из пересекающихся пяти кубов. Эти и многие другие удивительные свойства элемента делают его наиболее необычным и загадочным, не похожим ни на одну геометрическую фигуру.
Читайте также: