Арифметические операции в позиционных системах счисления сообщение

Обновлено: 02.07.2024

Ключевые слова:

— позиционные системы счисления,

— арифметические операции в системе счисления с основанием q,

— Информатика. 10 класс: учебник / Л. Л. Босова, А. Ю. Босова. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2016. - 288 с.

— Математические основы информатики: учебное пособие / Е. В. Андреева, Л. Л Босова, И. Н. Фалина — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. - 328 с.

Мы продолжаем изучать позиционные системы счисления. Вы узнали, что позиционные системы счисления бывают разные: десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. Вы научились переводить числа из одной системы счисления в другую. Но зачем нам с вами это надо? Конечно для того, чтобы производить расчеты. С 1 класса нас учат производить расчеты в десятичной системе счисления. А как вы думаете, можно ли производить расчеты в произвольной позиционной системе счисления? И зачем это нужно?

Все позиционные системы счисления “одинаковы”, а именно, во всех них выполняются арифметические операции по одним и тем же правилам:

— справедливы одни и те же законы арифметики: коммутативный (переместительный), ассоциативный (сочетательный), дистрибутивный (распределительный);

— справедливы правила сложения, вычитания, умножения и деления столбиком.

Мы узнаем на уроке:

как строить таблицы сложения и умножения в заданной позиционной системе счисления;
как выполнять сложение, умножение, вычитание и деление чисел, записанных в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления;
как подсчитывать количество единиц в двоичной записи числа, являющегося результатом суммирования или вычитания степеней двойки.

Арифметические операции в позиционных системах счисления с основанием q выполняются по правилам, аналогичным правилам, действующим в десятичной системе счисления.

Чтобы в системе счисления с основанием q получить сумму S двух чисел A и B, надо просуммировать образующие их цифры по разрядам i справа налево:

Представим все операнды исходного выражения в виде степеней двойки:

Исходное выражение 2 4000 + 4 2016 + 2 2018 – 8 600 + 6

примет вид 2 4000 + 2 4032 + 2 2018 – 2 1800 + 2 2 + 2 1

Перепишем выражение в порядке убывания степеней: 2 4032 + 2 4000 + 2 2018 – 2 1800 + 2 2 + 2 1

Для работы с десятичными числами вида 2 n полезно иметь в виду следующие закономерности в их двоичной записи:

2 1 = 10 = 1 + 1; 2 2 = 100 = 11 + 1; 2 3 = 1000 = 111 + 1; …

В общем виде

Для натуральных n и m таких, что n > m, получаем:

Так как в задаче надо найти единицы, то получаем:

Итого: 1 + 1 + 218 + 1 + 1 = 222.

Давайте разберем еще одну задачу.

Найдём количество цифр в восьмеричной записи числа, являющегося результатом десятичного выражения: 2 299 + 2 298 + 2 297 + 2 296 .

Двоичное представление исходного числа имеет вид:

Всего в этой записи 300 двоичных символов. При переводе двоичного числа в восьмеричную систему счисления каждая триада исходного числа заменяется восьмеричной цифрой. Следовательно, восьмеричное представление исходного числа состоит из 100 цифр.

Итак, сегодня вы узнали, что арифметические операции в позиционных системах счисления с основанием q выполняются по правилам, аналогичным правилам, действующим в десятичной системе счисления. Если необходимо вычислить значение арифметического выражения, операнды которого представлены в различных системах счисления, можно:

все операнды представить в привычной нам десятичной системе счисления;
вычислить результат выражения в десятичной системе счисления;
перевести результат в требуемую систему счисления.

Для работы с десятичными числами вида 2 n , полезно иметь ввиду следующие закономерности в их двоичной записи:

Для натуральных n и m таких, что n > m, получаем:

Выберите выражения, значения которых одинаковые.

Возьми карандаш и подчеркни результат сложения

1. Найди сумму и запиши в двоичной системе счисления 153₈ + F9₁₆

3. Найди произведение и запиши в двоичной системе счисления 122₃ * 11₂

6. Выполни операцию деления 10010000₂ / 1100₂

7. Реши пример, ответ запиши в десятичной системе счисления (564₈ + 234₈) * C₁₆

По горизонтали:

2. Разность двоичных чисел 11001100 - 11111

4. Найти разность 167₈ – 56₈

5. Выполнить операцию деления 41612₈ / 12₈

8. Найти разность 12E₁₆ – 79₁₆ ответ запиши в десятичной системе счисления

Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел. В любой системе счисления для представления чисел выбираются некоторые символы (их называют цифрами), а остальные числа получаются в результате каких-либо операций над цифрами данной системы счисления.

Система называется позиционной, если значение каждой цифры (ее вес) изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.

Число единиц какого-либо разряда, объединяемых в единицу более старшего разряда, называют основанием позиционной системы счисления. Если количество таких цифр равно P, то система счисления называется P-ичной. Основание системы счисления совпадает с количеством цифр, используемых для записи чисел в этой системе счисления.

Запись произвольного числа x в P-ичной позиционной системе счисления основывается на представлении этого числа в виде многочлена

x = anPn + an-1Pn-1 + . + a1P1 + a0P0 + a-1P-1 + . + a-mP-m

Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими многочленами. При этом нужно только пользоваться теми таблицами сложения и умножения, которые соответствуют данному основанию P системы счисления.

При переводе чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием P>1 обычно используют следующий алгоритм:

1) если переводится целая часть числа, то она делится на P, после чего запоминается остаток от деления. Полученное частное вновь делится на P, остаток запоминается. Процедура продолжается до тех пор, пока частное не станет равным нулю. Остатки от деления на P выписываются в порядке, обратном их получению;

2) если переводится дробная часть числа, то она умножается на P, после чего целая часть запоминается и отбрасывается. Вновь полученная дробная часть умножается на P и т.д. Процедура продолжается до тех пор, пока дробная часть не станет равной нулю. Целые части выписываются после двоичной запятой в порядке их получения. Результатом может быть либо конечная, либо периодическая двоичная дробь. Поэтому, когда дробь является периодической, приходится обрывать умножение на каком-либо шаге и довольствоваться приближенной записью исходного числа в системе с основанием P.

Примеры решения задач

1. Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную:

а) 464(10); б) 380,1875(10); в) 115,94(10) (получить пять знаков после запятой в двоичном представлении).

464 | 0 380 | 0 |1875 115 | 1 |94

232 | 0 190 | 0 0|375 57 | 1 1|88

116 | 0 95 | 1 0|75 28 | 0 1|76

58 | 0 47 | 1 1|5 14 | 0 1|52

а) 29 | 1 б) 23 | 1 1|0 в) 7 | 1 1|04

14 | 0 11 | 1 3 | 1 0|08

7 | 1 5 | 1 1 | 1 0|16

Если необходимо перевести число из двоичной системы счисления в систему счисления, основанием которой является степень двойки, достаточно объединить цифры двоичного числа в группы по столько цифр, каков показатель степени, и использовать приведенный ниже алгоритм. Например, если перевод осуществляется в восьмеричную систему, то группы будут содержать три цифры (8=23). Итак, в целой части будем производить группировку справа налево, в дробной — слева направо. Если в последней группе недостает цифр, дописываем нули: в целой части — слева, в дробной — справа. Затем каждая группа заменяется соответствующей цифрой новой системы. Соответствия приведены в таблицах.

P	2	00	01	10	11
P	4	0	1	2	3

P	2	000	001	010	011	100	101	110	111
P	8	0	1	2	3	4	5	6	7

P	2	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
P	16	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F

Переведем из двоичной системы в шестнадцатеричную число 1111010101,11(2).

0011 1101 0101,1100(2)=3D5,C(16).

При переводе чисел из системы счисления с основанием P в десятичную систему счисления необходимо пронумеровать разряды целой части справа налево, начиная с нулевого, и в дробной части, начиная с разряда сразу после запятой слева направо (начальный номер -1). Затем вычислить сумму произведений соответствующих значений разрядов на основание системы счисления в степени, равной номеру разряда. Это и есть представление исходного числа в десятичной системе счисления.

2. Перевести данное число в десятичную систему счисления.

1000001(2)=1× 26+0× 25+0× 24+0× 23+0× 22+ 0× 21+1× 20=64+1=65(10).

Замечание. Очевидно, что если в каком-либо разряде стоит нуль, то соответствующее слагаемое можно опускать.

1000011111,0101(2)=1×29 + 1×24 + 1×23 + 1×22 + 1×21 + 1×20 + 1×2-2 + 1×2-4 = 512 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 + 0,25 + 0,0625 = 543,3125(10).

29A,5(16) = 2×162+9×161+10×160+5×16-1 = 512+144+10+0,3125 = 656,3125(10).

Для выполнения арифметических операций в системе счисления с основанием P необходимо иметь соответствующие таблицы сложения и умножения. Для P = 2, 8 и 16 таблицы представлены ниже.

3. Сложить числа:

а) 10000000100(2) + 111000010(2) = 10111000110(2).

б) 223,2(8) + 427,54(8) = 652,74(8).

в) 3B3,6(16) + 38B,4(16) = 73E,A(16).

10000000100 223,2 3B3,6

+ 111000010 + 427,54 +38B,4

10111000110 652,74 73E,A

4. Выполнить вычитание:

а) 1100000011,011(2) - 101010111,1(2) = 110101011,111(2).

б) 1510,2(8) - 1230,54(8) = 257,44(8).

1100000011,011 1510,2 27D,D8

- 101010111,1 -1230,54 -191,2

110101011,111 257,44 EC,B8

5. Выполнить умножение:

а) 100111(2) ´ 1000111(2) = 101011010001(2).

б) 1170,64(8) ´ 46,3(8) = 57334,134(8).

в) 61,A(16) ´ 40,D(16) = 18B7,52(16).

100111 1170,64 61,A

*1000111 * 46,3 *40,D

100111 355 234 4F 52

+ 100111 + 7324 70 + 1868

Задачи по позиционным системам счисления

Контрольные вопросы и задания

Дать определение системы счисления. Назвать и охарактеризовать свойства системы счисления.

Какие символы используются для записи чисел в двоичной системе счисления, восьмеричной, шестнадцатеричной?

Чему равны веса разрядов слева от точки, разделяющей целую и дробную часть, в двоичной системе счисления (восьмеричной, шестнадцатеричной)?

Чему равны веса разрядов справа от точки, разделяющей целую и дробную часть, в двоичной системе счисления (восьмеричной, шестнадцатеричной)?

Зашифруйте следующие десятичные числа, преобразовав их в двоичные (восьмеричные, шестнадцатеричные): 0, 1, 18, 25, 128.

Дешифруйте следующие двоичные числа, преобразовав их в десятичные: 0010, 1011, 11101, 0111, 0101.

Дешифруйте следующие восьмеричные числа, преобразовав их в десятичные: 777, 375, 111, 1015.

Дешифруйте следующие шестнадцатеричные числа, преобразовав их в десятичные: 15, A6, 1F5, 63.

Сложение и вычитание эффективно выполнять в исходной системе счисления. Способ с переводом каждого числа в 10-тичную систему, выполнении действия в ней, а затем обратного преобразования существенно длиннее и зачастую приводит к ошибкам.

При сложении чисел в произвольной позиционной системе счисления с основанием р в каждом разряде производится сложение цифр слагаемых и цифры, переносимой из соседнего младшего разряда, если она имеется. При этом необходимо учитывать, что если при сложении чисел получилось число, большее или равное р, то представляем его в виде p*k + b, где kÎ N – количество единиц переноса в следующий разряд 0 ≤ b ≤ p - 1

При сложении и вычитании двоичных чисел достаточно знать правила сложения двоичных цифр (таблицу сложения двоичной системы):

0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10

0 +0 + 1 = 1

4 +1 + 1 = 6

0 + 14 + 1 = 15 = F

При вычитании чисел в р цифры вычитаются поразрядно. Если в рассматриваемом разряде необходимо от меньшего числа отнять большее, то занимается единица в следующем (старшем разряде). Занимаемая единица равна р единицам этого разряда (аналогично, когда занимаем единицу в десятичной системе счисления, то занимаемая единица равна 10.) Для двоичной системы счисления занимаемая единица = 2₁₀ = 10₂, для восьмеричной системы счисления занимаемая единица = 8₁₀ = 10₈, для шестнадцатеричной системы счисления занимаемая единица = 16₁₀ = 10₁₆.

Примеры: Точками в примерах с вычитанием отмечены разряды, из которых приходилось занимать.

2 – 1 = 1 (так как 0

В презентации даются вопросы для повторения ранее пройденного материала, и рассматривается выполнение арифметических операций в двоичной системе счисления.

Описание разработки

Двоичная система счисления является стандартом при конструировании компьютеров, т.к. наиболее просто технически создать электронные схемы, работающие в двух устойчивых состояниях (0 и 1); просто выполняются арифметические действия; для выполнения логических операций можно применить алгебру логики.

Двоичная СС используется для организации машинных операций по преобразованию информации, десятичная – для ввода и вывода информации, восьмеричная и шестнадцатеричная – для составления программ на языке машинных кодов для более короткой и удобной записи двоичных кодов.

Содержимое разработки

2. Чем отличаются позиционные системы счисления от непозиционных?

3. Каково основание десятичной системы счисления, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной?

4. Какие цифры входят в алфавит десятичной системы счисления, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной?

5. Во сколько раз в позиционных системах счисления различаются одинаковые цифры, соседних разрядов числа?

7. Может ли в качестве цифры использоваться символ буквы?

Укажите самое большое число: 100 10 , 100 16, 100 2, 100 8

ГОСТ

Система счисления – это способ записи чисел с помощью письменных знаков.

Операция сложения в разных системах счисления

Операция сложения в десятичной системе счисления давно известна каждому школьнику. Большие числа удобно суммировать в столбик. Например:

Рисунок 1. Сложение в столбик. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Основное, что нужно помнить это разрядность систем счисления. Необходимо освежить в памяти алфавит системы счисления и все операции окажутся лёгкими и простыми.

Сложение в двоичной системе счисления выполняется абсолютно аналогично десятичной системе. Рассмотрим конкретный пример:

Рисунок 2. Сложение в столбик. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Самое основное — это нужно помнить, что в двоичной системе счисления используются всего два значения, а именно нуль и единица. Это означает, что сложение двух единиц даёт в сумме нуль в текущем разряде и единицу переноса в следующий разряд. В приведённом выше примере действия выполняются в следующем порядке:

Операция сложения начинается с младшего разряда, то есть справ налево. Нуль плюс нуль равен нулю, то есть пишем нуль в младшем разряде и выполняем переход на следующий разряд.
Суммируем один плюс один, получаем два. Но это основание системы счисления, поэтому в этом разряде пишем ноль, а единица переносится в следующий разряд.
В данном разряде нужно сложить три единицы, что в сумме даёт тройку, что также недопустимо. Вычитаем из трёх основание системы счисления, то есть два и получаем единицу. То есть в данном разряде пишется единица и единица переносится в следующий разряд.
Суммируем две единицы и снова сумма равна двум, что означает запись нуля в данном разряде и перенос единицы в следующий разряд.
Получаем итоговый результат: 10100.

Готовые работы на аналогичную тему

Далее рассмотрим операцию сложения в восьмеричной системе счисления. Рассмотрим конкретный пример:

Рисунок 3. Сложение в столбик. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Действия выполняются в следующем порядке:

Выполняем суммирование младших разрядов, то есть четыре плюс три равняется семи.
Далее выполняется суммирование следующего разряда, а именно пять плюс четыре равно девяти. Вычитаем из девяти основание системы счисления, то есть восемь, и получаем единицу в этом разряде и единицу переноса в следующий.
Выполняем суммирование текущего разряда, три плюс семь равно одиннадцати. Вычитаем основание восемь, результат равен трём и единица переноса в следующий разряд.
Суммируем шесть и один, что даёт в итоге семь.
Итоговый результат получается 7317.

Рассмотрим конкретный пример сложения в шестнадцатеричной системе счисления:

Рисунок 4. Сложение в столбик. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Выполняем суммирование младших разрядов, то есть два плюс один равняется трём.
Суммируем следующий разряд, то есть пять плюс девять равно четырнадцати. Согласно алфавиту шестнадцатеричной системы счисления это символ Е.
Суммируем символ С, который означает двенадцать, и восемь, что в итоге равно двадцати. Вычитаем из двадцати основание системы счисления, то есть шестнадцать. Получаем четыре и единицу переноса в следующий разряд.
Суммируем две единицы, получаем двойку.
Получаем итоговый результат 24Е3.

Операция вычитания в разных системах счисления

Рассмотрим конкретный пример операции вычитания в десятичной системе счисления:

Рисунок 5. Вычитание в столбик. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Выполняем вычитание младших разрядов, то есть три минус один равно двум.
Выполняем вычитание в следующем разрядом, от двух отнимаем нуль, получаем два.
Необходимо из четырёх вычесть восемь. Выполняем заимствование единицы из старшего разряда и отнимаем от четырнадцати восемь. Результат равен шести.
Поскольку было заимствование единицы, то из пяти вычитаем единицу и получаем четвёрку.
Итоговый результат: 4622.

Рассмотрим пример вычитания в двоичной системе счисления:

Рисунок 6. Вычитание в столбик. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Выполняем вычитание младших разрядов, один минус один равно нулю.
Вычитаем из единицы нуль, в итоге получаем единицу.
Поскольку нуль меньше единицы, то выполняем заимствование единицы из старшего разряда и вычитаем из двойки единицу, Итогом будет единица.
Итоговый результат: 110.

Рассмотрим пример вычитания в восьмеричной системе счисления:

Рисунок 7. Вычитание в столбик. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Выполняем вычитание из четырёх тройки, получаем единицу.
Вычитаем из пяти нуль, итогом будет нуль.
Нельзя из трёх вычесть семь, поэтому выполняем заимствование из старшего разряда. Вычитаем из одиннадцати семь и получаем в итоге четыре.
Поскольку было заимствование единицы, то вычитаем из шести единицу и получаем пять.
Итоговый результат: 5451.

Рассмотрим пример вычитания в шестнадцатеричной системе счисления:

Рисунок 8. Вычитание в столбик. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Выполняем вычитание из четырёх три и получаем один.
Из пяти вычитаем нуль и получаем в итоге пять.
Далее необходимо из трёх вычесть семь, что недопустимо и поэтому заимствуем единицу из старшего разряда. Вычитаем из девятнадцати семь и получаем двенадцать, что в шестнадцатеричной системе обозначается символом С.
Так как была заимствована единица, то из шести вычитаем единицу. Итог равен пяти.
Итоговый результат равен 5С51.

Операция умножения в разных системах счисления

Рассмотрим пример умножения в восьмеричной системе счисления:

Рисунок 9. Умножение в столбик. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Умножаем младшие разряды, то есть пять на четыре, получаем двадцать. Число двадцать равно два по восемь (основание системы счисления) плюс четыре. То есть в данном разряде пишем четыре, а двойку переносим в следующий разряд. Выполняем это действие для остальных разрядов, в итоге получаем 40234.
Умножаем на нуль, что в итоге дает четыре нуля.
Выполняем по аналогии умножение на семь. Результатом будет число 55164.
Выполняем суммирование всех произведений, что даёт 5556634. Это и есть итоговый результат умножения.

Рассмотрим пример умножения в шестнадцатеричной системе счисления:

Рисунок 10. Умножение в столбик. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Читайте также: