Задачи на построение реферат

Обновлено: 08.07.2024

Построения с помощью циркуля и линейки — раздел евклидовой геометрии, известный с античных времён. В задачах на построение циркуль и линейка считаются идеальными инструментами, в частности:
линейка не имеет делений и имеет только одну сторону бесконечной длины;
циркуль может иметь сколь угодно большой или сколь угодно малый раствор.
Цель работы заключается в рассмотрении решения задач на построение с помощью циркуля и линейки.

Содержание

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………3
ГЛАВА 1. АКСИОМЫ ЦИРКУЛЯ И ЛИНЕЙКИ……………………….4
Аксиомы циркуля………………………………………………..4
Аксиомы линейки………………………………………………..4
ГЛАВА 2. ПОСТРОЕНИЯ ЦИРКУЛЕМ И ЛИНЕЙКОЙ……………….4
2.1 Простейшие построения………………………………………..4
2.2 Основные построения…………………………………………..5
ГЛАВА 3. РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ……………………………………………9
3.1 Этапы решения задач…………………………………………. 9
3.2 Пример решения задач…………………………………………10
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ……………………. 13

Прикрепленные файлы: 1 файл

Kursovaya.docx

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Институт математики и компьютерных наук

Кафедра алгебры и математической логики

Выполнил студент группы

ГЛАВА 1. АКСИОМЫ ЦИРКУЛЯ И ЛИНЕЙКИ……………………….4

Аксиомы циркуля………………………………………………..4
Аксиомы линейки………………………………………………..4

ГЛАВА 2. ПОСТРОЕНИЯ ЦИРКУЛЕМ И ЛИНЕЙКОЙ……………….4

2.1 Простейшие построения……………………… ………………..4

2.2 Основные построения…………………………… ……………..5

ГЛАВА 3. РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ…………………………………………… 9

3.1 Этапы решения задач…………………………… ……………. 9

3.2 Пример решения задач………………………… ………………10

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ……………………. 13

Работа посвящена построению с помощью линейки и циркуля.

Доказательства, да и вычисления в геометрии, как правило, опираются на какие-то дополнительные построения. Конечно, их можно просто описать, но нужно быть уверенными, что они действительно возможны. Еще важнее то, что определения геометрических объектов и понятий при строгом изложении теории должны сопровождаться доказательствами их существования. А главный метод доказательства существования в геометрии - конструктивный, т. е. построение нужного объекта с последующим доказательством, что построенный объект удовлетворяет нужным условиям.

Цель работы заключается в рассмотрении решения задач на построение с помощью циркуля и линейки.

1.Аксиомы циркуля и линейки

С помощью циркуля можно:

Построить окружность, если даны ее центр и отрезок, равный радиусу;
Построить любую из двух дополнительных дуг, если даны центр и концы дуг;
Отложить отрезок заданной длины от данной точки по данной прямой.

С помощью линейки можно:

Построить отрезок, соединяющий две данные (построенные) точки;
Построить прямую, проходящую через две заданные (построенные) точки;
Построить луч, исходящий из данной точки и проходящий через другую данную точку.
Построение циркулем и линейкой
1. Простейшие построения
Простейшие построения линейкой:
1) Построение прямой;

2) Построение прямой, проходящей через данную точку;

3) Построение прямой, проходящей через две данные точки;

Простейшие построения циркулем:
Построение окружности с данным центром и данным радиусом;

Рассмотрим основные задачи на построение, при решении которых используют только простейшие построения:
1) Отложить на данном луче от его начала отрезок, равный данному отрезку;
Дано: луч ON, отрезок AB.

Устанавливаем раствор циркуля равным отрезку АB, делаем насечку на луче из его начала (точка O) и получим точку P. Отрезок OP будет равен отрезку AB.
2) Отложить от данного луча в данную полуплоскость угол, равный данному;
Дано: луч ON, угол ABC.

Берем произвольный раствор циркуля и чертим полукруг, который пересекает луч ON, из точки O (получим точку P), чертим полукруг из точки B (получим точки E и F). Ставим раствор циркуля равный EF, этим раствором делаем насечку на полукруге (получим точку Q). Строим прямую OQ. Полученный угол QOP будет равен углу ABC.

3) Построить треугольник по трем сторонам;
Дано: 3 отрезка длиной a, b, c.

Произвольно чертим луч m и откладываем на нем отрезок a (1 пункт). C- начало, B- конец отрезка. Берем раствор циркуля, равный b и чертим полукруг из точки C; берем раствор циркуля, равный с и чертим полукруг из точки B. Получим A (точка пересечения полукругов) . Строим отрезок CA и BA. Получим треугольник ABC.

4) Построить биссектрису угла;
Дано: угол ABC.

Берем произвольный раствор циркуля и из точки B проводим полукруг (получим точки D и E). Из точек D и E чертим полукруг и получим F (точка пересечения полукругов). Чертим BF- это будет биссектриса угла ABC.

5) Из данной точки прямой восстановить к этой прямой перпендикуляр;
Дано: прямая m, точка C, лежащая на прямой m.

Берем произвольный раствор и из точки C чертим окружность (получим точки D и E). Берем раствор циркуля чуть больше длины DC (или EC) и чертим два полукруга из точек D и E (получим F- одна из точек пересечения полукругов). Строим прямую FC- она будет являться перпендикуляром к прямой m.

6) Построить серединный перпендикуляр данного отрезка;
Дано: отрезок AB.

Берем произвольный раствор циркуля, чуть длиннее половины отрезка AB (на глаз). Из точек A и B чертим два полукруга (получим точки C и D). Строим прямую через точки C и D. Прямая CB будет являться серединным перпендикуляром отрезка AB.

7) Построить середину данного отрезка;
Дано: отрезок AB.

Берем произвольный раствор циркуля, чуть длиннее половины отрезка AB. Из точек A и B чертим два полукруга (получим точки C и D). Строим прямую CD. Точка пересечения прямой CD и отрезка AB (точка E) будет являться серединой отрезка AB (AE=EB).

8) Построить прямую, проходящую через данную точку перпендикулярно данной прямой;
Дано: прямая m, точка A, не лежащая на прямой m.

Берем произвольный раствор циркуля и чертим полукруг из точки A (получим точки C и B). Берем произвольный раствор циркуля, чуть длиннее половины отрезка CB и чертим два полукруга из точек C и B (одной из точек их пересечения будет точка D). Строим прямую AD- она будет проходить перпендикулярно прямой m.

В решении задач на построение выделяются следующие четыре этапа:
1. Анализ
2. Построение
3. Доказательство
4. Исследование
Сейчас подробно рассмотрим каждый этап:

Первый этап- "Анализ". На этом этапе происходит поиск решения задачи. Из предположения, что задача решена и требуемая фигура построена, пытаются вывести такие следствия, которых окажется достаточно для того, чтобы требуемую фигуру построить.

Второй этап - "Построение". Построение предлагается поэтапное, шаг за шагом, выполнение построений с помощью циркуля и линейки, т. е. подробное описание последовательности простейших задач на построение, к решению которых сводится построение фигуры в данный задаче.

Третий этап- "Доказательство". В этом этапе требуется доказать, что построенная фигура действительно удовлетворяет всем требованиям задачи.

Четвертый этап- "Исследование". Здесь нужно установить, при каком выборе начальных данных задача имеет решение и сколько решений имеет задача при каждом допустимом выборе начальных данных.

Задача о построении правильных многоугольников, вписанных в единичную окружность.
Пусть дана окружность единичного радиуса. С помощью циркуля и линейки можно вписать в эту окружность правильные треугольник, шестиугольник и т. д. 3*2 n -угольник (рис. 1).
Аналогично, в единичную окружность можно вписать правильные 2*2 n -угольники (рис. 2), правильные 5*2 n -угольники (рис. 3).

Полностью вопрос о возможности построений правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки был исследован Гауссом. А именно, он доказал, что правильный n-угольник может быть построен с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда n представимо в виде произведения степени двойки и различных простых чисел Ферма, т.е. простых чисел вида . В частности, из этого следует, что правильный семиугольник нельзя построить циркулем и линейкой. Докажем это отдельно с использованием комплексных чисел.
Вершины правильного семиугольника в комплексной плоскости, вписанного в единичную окружность, являются корнями уравнения z 7 - 1 = 0. Один из корней есть z = 1, а остальные удовлетворяют уравнению z 6 + z 5 + z 4 + z 3 +z 2 + z + 1 = 0. Деля на z 3 , получим уравнение

Простые алгебраические преобразования приводят его к виду

Положив теперь z + 1/z=t, окончательно приходим к уравнению

t 3 + t 2 - 2t - 1 = 0 (*).

Так как комплексное число z предст авляется в виде z = cosa + i sina, то 1/z = cosa - i sina и, следовательно, t = 2cosa является действительным числом.
Как легко видеть, уравнение (*) не имеет рациональных корней и, следовательно, его корни не выражаются с помощью квадратичных операций.
Таким образом, задача построения правильного семиугольника циркулем и линейкой неразрешима.

Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними.

Пусть даны два вектора b и c, и угол A.

Нужно построить треугольник ABC.

1. Построить угол А, равный заданному углу.

2. На одной стороне угла отметить точку С так, чтобы отрезок АС был равен заданному отрезку b.

3. На другой стороне угла отметить точку В так, чтобы отрезок АВ был равен заданному отрезку с.
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Курсовая работа

Решение задач на построение в стереометрии

Глава I . Обзор литературы………………………………………………..

Глава II . Методические особенности изучения стереометрии …….. …

Глава III . Четыре цикла заданий, иллюстрирующих выполнение основных построений в пространстве………………………………….

3.1 Отыскивание множеств точек, обладающих определенным свойством…………………………………………………………………..

3.2 Построение с параллельных и перпендикулярных прямых и плоскостей………………………………………………………………..

3.3 Построения, основанные на применение некоторых свойств точек и прямых .

3.4 Построения на многогранниках.

Одной из самых ценных сторон таких задач является то, что они развивают поисковые навыки решения практических проблем, приобщают к посильным самостоятельным исследованиям, способствуют выработке конкретных геометрических представлений, а также более тщательной обработке умений и навыков. А это в свою очередь усиливает прикладную и политехническую направленность обучения геометрии. Задачи на построение не допускают формального к ним подхода, являются качественно новой ситуацией применения изученных теорем и, таким образом, дают возможность осуществлять проблемное повторение. Такие задачи успешно могут быть связаны с новыми идеями школьного курса геометрии (преобразованиями, векторами).

Основной задачей модернизации российского образования является повышение его доступности, качества и эффективности. Это предполагает точный и правильный подход ко всему образовательному процессу, приведение его в соответствие с требованиями времени. В настоящее время традиционный взгляд на содержание обучения математике, ее роль и место в общем образовании пересматриваются и уточняются. Наряду с подготовкой учащихся, которые в дальнейшем в своей профессиональной деятельности будут пользоваться математикой, важнейшей задачей обучения становится обеспечение некоторого гарантированного уровня математической подготовки всех школьников независимо от специальности, которую они изберут в дальнейшем.

По мнению А.Д. Александрова, вопрос о необходимости любого школьного предмета, о необходимости того или иного его раздела сводится к вопросу о его практической надобности и значении в развитии личности.

Понимание того, что практически нужно в геометрии и что в данном предмете может служить развитию личности, должно определять и содержание предмета, и постановку его преподавания.

Ни один предмет ученики так ни готовы воспринимать, как наглядную геометрию, в то же время, ни один предмет не начинают изучать в школе с таким опозданием, как геометрию. Шестилетний провал в геометрическом образовании детей – это трудно восполнимая потеря с точки зрения и общего эмоционального и умственного развития ребенка. Процесс геометрического образования должен быть непрерывным (не допускать периодов бездействия), равномерным (не допускать перегрузок на каких-либо этапах), разнообразным.

Во всяком подлинно геометрическом предложении, будь то аксиома, теорема или определение, неразрывно присутствуют эти два элемента: наглядная картина и строгая формулировка, строгий логический вывод. Там, где нет ни одной из двух сторон, нет и подлинной геометрии.

Трудно переоценить роль задач на построение в математическом развитии школьников. Они по своей постановке и методам решения не только наилучшим образом стимулируют накопление конкретных геометрических представлений, но и развивают способность отчётливо представлять себе ту или иную геометрическую фигуру и, более того, уметь мысленно оперировать элементами этой фигуры. Задачи на построение могут способствовать пониманию учащимися происхождения различных геометрических фигур, возможности их преобразования – всё это является важной предпосылкой развития пространственного мышления школьников. Они сильно развивают логическое мышление, геометрическую интуицию. План решения любой задачи на построение – цепочку основных построений, приводящих к цели – можно рассматривать как некоторый алгоритм и, следовательно, их можно использовать и в старших классах как содержательный материал курса информатики и вычислительной техники. В процессе решения задач на построение учитель может эффективно формировать элементы алгоритмической культуры школьников, систематически требуя от них четкой последовательности основных построений. Задачи на построение развивают поисковые навыки решения практических проблем, приобщают к посильным самостоятельным исследованиям, что очень важно в формировании умений и навыков умственного труда. Посредством задач на построение, даже простейших из них, более глубоко осознаются теоретические сведения об основных геометрических фигурах, так как в процессе решения этих задач ученик создает наглядную модель изучаемых свойств и отношений и работает с этой моделью. Решение задач на построение развивает такие качества личности, как внимание, настойчивость и целеустремленность, инициативу, изобретательность, дисциплинированность, трудолюбие.

Задачи на построения не просты. Не существует единого алгоритма для решения таких задач. Каждая из них по-своему уникальна, и каждая требует индивидуального подхода для решения. Именно поэтому научиться решать задачи на построение чрезвычайно трудно, а может быть, невозможно. Но эти задачи дают уникальный материал для индивидуального творческого поиска учащимися путей решения с помощью своей интуиции и подсознания.

Задачи на построение сечений, многогранников, изучаемые в начале курса стереометрии средней школы, являются важным дополнением к теоретическому материалу. Решение этих задач формирует пространственные представления учащихся и развивает конструктивное и логическое мышление. Многократное применение в процессе построения аксиом и теорем способствует их неформальному усвоению.

Кроме того, простота в постановке задач делает их привлекательными для учащихся. Тем не менее, даже такая несложная задача, как построение сечения куба плоскостью, заданной тремя точками на гранях, нередко вызывает у учащихся определенные трудности.

В этой работе будет рассмотрена методика решения задач на построения в стереометрии, а так же роль и место геометрических построений в школьном курсе.

Проблема исследования состоит в обосновании форм и методик приемов обучения учащихся 10 -11 классов решении задач на построение в стереометрии и применение их на практике.

Объектом исследования является учено-воспитательный процесс в общеобразовательной школы.

Гипотеза исследования состоит в следующем: если в содержание про-граммы обучения геометрии учащихся 10 -11 классов включить больше материалов на решение задач на построение в стереометрии, то это будет способствовать не только повышению качества геометрических знаний учащихся, но и развитию их логического и пространственного мышления, геометрической интуиции, конструктивных умений и навыков, а также расширению их математического кругозора.

Для решения проблемы исследования, проверки достоверности гипотезы и достижения цели реализуются следующие задачи:

• исследование уже имеющейся научно-методической литературы по этой теме;

• проведение логико-дидактического анализа изложения данной темы в современных учебных пособиях;

• обобщение и систематизация полученных сведений.

Для достижения целей работы, проверки гипотезы и решения вышепоставленных задач были использованы следующие методы:

• изучение программ, учебных пособий, методических материалов, касающихся решения задач на построение в стереометрии;

• сопоставительный анализ школьных учебников различных авторов;

• наблюдение за учащимися во время проведения занятий.

Геометрические построения могут сыграть серьезную роль в математической подготовке школьника. Ни один вид задач не дает, пожалуй, столько материала для развития математической инициативы и логических навыков учащегося, как геометрические задачи на построение. Эти задачи обычно не допускают стандартного подхода к ним и формального восприятия их учащимися. Задачи на построение удобны для закрепления теоретических знаний учащихся по любому разделу школьного курса геометрии. Решая геометрические задачи на построение, учащийся приобретает много полезных чертежных навыков.

Актуальность. Геометрические задачи на построение являются настолько существенным фактором математического образования, что на преподавание этого раздела в средней школе должно быть обращено серьезное внимание.

Задачи на построение развивают изобретательность, инициативу, конструктивные способности.

Изучение методов геометрических построений должно усилить творческие возможности учащихся, увеличить выбор приемов решения, правильно организовать процесс решения задачи.

Объект исследования – геометрические задачи на построение.

Предмет исследования – методы решения задач на построение.

Цель исследования – систематизация теоретического материала и его применение к решению задач.

Задачи исследования:

Выявить сущность задач на построение.

Проанализировать методы решения задач на построение.

Рассмотреть решение задач с использованием разных методов.

Вначале исследовательской работы определим понятия, которые лежат в основе задач на построение.

Одно из основных понятий геометрии – фигура. Фигура – термин, применяемый к разнообразным множествам точек; обычно фигурой называют такие множества, которые можно представить состоящими из конечного числа точек, линий и поверхности, в частности сами точки, линии и поверхности [3].

Задача на построение состоит в том, что требуется построить наперед заданным набором инструментов некоторую фигуру, если даны некоторые соотношения между элементами этой фигуры, или дана другая фигура и указаны определенные соотношения между элементами искомой фигуры и данной.

Решением задачи на построение является любая фигура, удовлетворяющая условию задачи. Решить задачу на построение – значит найти все ее решения.

Определение 1. Задачей на построение называется предложение, указывающее по каким данным, какими инструментами, какую геометрическую фигуру требуется построить так, чтобы эта фигура удовлетворяла определенным условиям [2].

Пример. Построить треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне.

Определение 2. Построения геометрические – решение геометрических задач на построение с помощью различных инструментов.[2]

Построения геометрические называются также конструктивными задачами или конструктивной геометрией. Традиционно при решении задач на построение используют циркуль и линейку. Линейка позволяет провести произвольную прямую, а также построить прямую, проходящую через две данные точки. С помощью циркуля можно провести окружность произвольного радиуса, а также окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку.

Найти решение задачи на построение – значит свести ее к конечному числу основных построений, то есть указать конечную последовательность основных построений, после выполнения которых искомая фигура уже считается построенной.

Задачи на построение традиционно делятся на стандартные и нестандартные. В нестандартных используются следующие инструменты:

· двусторонняя линейка заданной ширины с параллельными краями;

· угольник с прямым углом;

· другие инструменты (например, шаблон равностороннего треугольника).

Решение задач на построение содержит обычно четыре этапа: анализ – построение – доказательство – исследование.

1. Анализ (поиск плана решения) состоит в установлении соотношений между искомыми и заданными элементами фигуры, или между искомыми и заданными фигурами с целью нахождения плана решения. Этап анализа – подготовительный и наиболее важный этап решения задачи на построение, ибо именно он дает ключ к решению.

2. Построение состоит в реализации найденных на этапе анализа шагов последовательности основных и элементарных построений. Построение сопровождается графическим оформлением каждого шага с помощью указанного набора инструментов и последовательной записью тех построений, которые уже выполнены.

3. Доказательство имеет целью установить, что построенная фигура (фигуры) действительно удовлетворяют всем поставленным в условиях задачи требованиям. При доказательстве правильности выполнения построения, делаются ссылки из аксиомы, теоремы, следствия из них, свойства геометрических фигур, определения геометрических понятий. Цель, которую мы должны достичь в ходе доказательства, стоит в установлении эквивалентности этих новых условий исходным.

4. Исследование состоит в выяснении того, в каких случаях решение задачи возможно какое число решений задача может иметь в зависимости от заданных условий.

Основными методами решения геометрических задач на построение являются три метода:

1. метод геометрических мест точек (ГМТ);

При решении задач методом геометрических мест точек сводят задачу к задаче на нахождение точки или нескольких точек, каждая из которых обладает свойством тем ГМТ, пересечением которых она является.

2. метод геометрических преобразований;

Группа методов геометрических преобразований включает в себя следующие методы: метод параллельного переноса; метод осевой симметрии; метод центральной симметрии; метод вращения; метод подобия; метод гомотетии; метод спрямления; метод обратности; метод инверсии.

3. алгебраический метод.

Решение задач алгебраическим методом геометрических задач на построение состоит в следующем:

1. Неизвестные величины, фигурирующие в условии задачи, обозначаются буквами x, y, z… .

2. Составляют уравнение связывающее эти неизвестные с данными в задаче величинами a, b, c,… .

3. Решают составленные уравнения.

4. Исследуют полученные ответы.

5. Выполняют требуемое построение

В исследовательской работе мы познакомились с методами геометрических построений. Данный материал может использоваться в качестве основы для элективного курса в классах физико-математического профиля, инженерно-технологического профиля, а также при подготовке к олимпиадам. Геометрические построения могут сыграть серьезную роль в математической подготовке школьника. Ни один вид задач не дает, пожалуй, столько материала для развития математической инициативы и логических навыков учащегося, как геометрические задачи на построение. Задачи на построение удобны для закрепления теоретических знаний учащихся по любому разделу школьного курса геометрии. Решая геометрические задачи на построение, учащийся приобретает много полезных чертежных навыков.

Методы решения задач на построение

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Актуальность. Геометрические задачи на построение являются настолько существенным фактором математического образования, что на преподавание этого раздела в средней школе должно быть обращено серьезное внимание.

Задачи на построение развивают изобретательность, инициативу, конструктивные способности.

Изучение методов геометрических построений должно усилить творческие возможности учащихся, увеличить выбор приемов решения, правильно организовать процесс решения задачи.

Цели работы:

Выяснить какие существуют методы решения задач на построение;

Проанализировать алгебраический метод решения задач на построение;

Выяснить, можно ли выразить формулой длину искомого отрезка через длины данных отрезков;

Сформировать умение строить отрезки по данным формулам;

Рассмотреть решение задач с использованием разных методов;

Создание творческих проектов по теме исследования.

Объект исследования - геометрические задачи на построение.

Предмет исследования - способы решения геометрических задач на построение.

Проблема - в школьном курсе геометрии недостаточно уделено внимания задачам на построение с помощью циркуля и линейки, алгебраический метод решения задач на построениене рассматриваются в школьном курсе геометрии.

Гипотеза - решая задачи, учащиеся приобретают новые знания и навыки, развивают в себе настойчивость, приобщается к математическому творчеству.

В соответствии с целью исследования необходимо решить следующие задачи по данной теме:

Проанализировать источники литературы;

Научиться решать задачи на построение алгебраическим методом;

Описать другие методы и способы решения задач на построение;

Показать преимущество знаний различных способов решения задач на построение.

Методы исследования:

Данный материал может использоваться в качестве основы для элективного курса в классах физико-математического профиля, а также при подготовке к олимпиадам.

Алгебраический метод решения задач на построение - один из важнейших методов теории конструктивных задач. Именно с помощью этого метода решаются вопросы, связанные с разрешимостью задач тем или иным набором инструментов.

Кроме того, это один из самых мощных методов, позволяющий решать многие задачи, решение которых обычными способами затруднительно. Метод прекрасно демонстрирует тесную взаимосвязь алгебры и геометрии.

Суть метода состоит в следующем:

а) задача сводится к построению некоторого отрезка;

б) используя известные геометрические соотношения между искомыми и данными, составляют уравнение (систему уравнений), связывающее искомые и данные;

в) решая уравнение или систему уравнений, выражают формулой длину искомого отрезка через длины данных;

г) по формуле строится искомый отрезок (если это возможно);

д) с помощью найденного отрезка строится искомая фигура.

Формулы, использующиеся для построений.

Подготовительную работу составляет изучение основных формул и способов построения, где также отрабатываются некоторые элементы схемы решения задач алгебраическим методом, и усваивается сама идея такого подхода к решению задач на построение.

В школьном курсе геометрии обычно рассматривают построения циркулем и линейкой отрезков, заданных следующими некоторыми простейшими формулами:

Формула №1 (рис. 1).

Формула №2 (рис. 2).

Рисунок 1 Рисунок 2

Формула №3 где n — натуральное число. Сводится к построению формулой №1. На рисунке 3 построен отрезок х, такой, что

Рисунок 3 Рисунок 4

Формула №4

Строим луч, выходящий из какого-либо конца О данного отрезка а под произвольным углом к нему. Откладываем на этом луче n раз произвольный отрезок b, так что OB = nb (см. рис. 4). Соединяем точку В со вторым концом А отрезка а. Через точку В₁, определяемую условием 0В₁ = b, проводим прямую, параллельную АВ, и отмечаем точку A₁, в которой она пересечет отрезок а.

Формула №5 (построение четвертого отрезка, пропорционального трем данным отрезкам).

Запишем условие в виде пропорции . Пусть (рис. 5) ОА = а, ОС = с, так что члены одного из отношений отложены на одном луче, исходящем из точки О. На другом луче, исходящем из той же точки под произвольным углом, откладываем известный член другого отношения ОB = b. Через точку А проводим прямую, параллельную ВС, и отмечаем точку X ее пересечения с прямой ОВ. Отрезок ОХ искомый, то есть ОХ = х

Формула №6 (построение среднего пропорционального двух данных отрезков).

Строим отрезки АС = а, ВС = b, так что АВ = а + b. На АВ как на диаметре строим полуокружность (см. рис. 6). В точке С восстановим перпендикуляр к АВ и отметим точку D его пересечения с окружностью. Тогда х = CD.

Формула №7

Отрезок строится как гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами а и b (см. рис. 7).

Формула №8 (a > b).

Отрезок строится как катет прямоугольного треугольника с гипотенузой и катетом .

К рассмотренным построениям можно свести построение отрезков, заданных более сложными формулами.

Примеры построения отрезков .

Построить отрезок , заданный формулой:

В итоге всех этих построений мы построили искомый отрезок

В данном построении использованы формулы №1, №2,№3,№5

Построить отрезок х, заданный формулой:

Для того чтобы облегчить построение, упростим заданную формулу:

5) Построим , где

В итоге всех этих построений мы нашли отрезок (искомому отрезку)

В данном построении использованы формулы №5, №7, №6.

1.3. Примеры решения задач.

Из вершин данного треугольника, как из центров, описать три круга, которые попарно прикасаются внешне.

Решение. Пусть А, В, С— вершины данного треугольника, а, b, c— его стороны. Тогда

Построим один из отрезков, например , и проведем окружность с центром в точке А радиуса, длина котрого равняется . Две других окружности проводим из центров В и С соответственно радиусами и .

1.4. Критерий разрешимости .

Анализ решенных нами задач, позволяет сделать вывод о критерии разрешимости задач на построение алгебраическим методом.

Для того, чтобы циркулем и линейкой можно было построить отрезок, необходимо и достаточно, чтобы длину искомого отрезка можно было выразить через длины данных отрезков при помощи конечного числа основных действий.

Основные действия.

Под основными действиями понимают операции сложения, умножения, вычитания, деления, извлечения квадратного корня.

2. Метод геометрических мест точек

2.1 Понятие о геометрическом месте точек

Геометрическая фигура может быть задана различными способами: как пересечение или соединение данных фигур, путём указания определяющего её свойства, путем указания свойства, которым обладает каждая её точка, и т. п. Так, например, один и тот же отрезок СВ можно задать:

как пересечение лучей СM и ВN;

как диаметр одной окружности , перпендикулярный к данной прямой ;

как совокупность середин всех хорд окружности , параллельных прямой и другими способами.

Если фигура задана путем указания свойства, которым обладают все точки этой фигуры и только они, то такую фигуру называют геометрическим местом точек, обладающих указанным свойством.

Таким образом, геометрическим местом точек (ГМТ) плоскости, обладающих указанным свойством, называется фигура, состоящая из всех тех точек плоскости, которые обладают этим свойством.

2.2 Обзор простейших геометрических мест

Простейшие ГМТ на плоскости рассматриваются в школьном курсе геометрии. Перечислим важнейшие из них.

ГМТ 1. Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от точки, называемой центром окружности

ГМТ 1 (обратно). Все точки, равноудаленные от центра окружности лежат на окружности

ГМТ 2. Все точки, равноудаленные от сторон угла, лежат на его биссектрисе.

ГМТ 2 (обратно). Все точки, лежащие на биссектрисе равноудалены от сторон угла.

ГМТ 3. Все точки, равноудаленные от концов отрезка, лежат на серединном перпендикуляре к отрезку.

ГМТ 3 (обратно). Все точки, лежащие на серединном перпендикуляре, равноудалены от концов отрезка.

ГМТ (плоскости), равноудаленных от двух данных параллельных прямых (этой плоскости), есть прямая, параллельная данным прямым.

Для построения этого ГМТ проводят какую – либо прямую c, пересекающую данные прямые a и b, делят отрезок этой секущей, заключенный между данными прямыми, пополам и проводя искомую прямую через середину этого отрезка параллельно данным прямым.

Полученную прямую называют иногда средней линией данных параллельных прямых.

ГМТ (плоскости), равноудалённых от двух данных пересекающихся прямых (этой плоскости), представляет собой две взаимно перпендикулярные прямые, являющиеся биссектрисами углов, образованных данными прямыми.

Построение этого ГМТ сводится к элементарной задаче о делении данного угла пополам.

1.Гомотетия является преобразованием подобия.
2. Гомотетия переводит прямую в прямую, окружность в окружность отрезок - в отрезок.
3. Гомотетия (k>0) переводит луч в сонаправленный луч.
4. Гомотетия сохраняет углы.
5. При k = 1 гомотетия переводит прямую, не проходящую через центр гомотетии О, в параллельную прямую, отрезок - в параллельный отрезок. Прямые, проходящие через центр гомотетии, отображаются на себя.
7. Преобразование, обратное гомотетии с коэффициентом k = 0, есть гомотетия с тем же центром гомотетии О и коэффициентом гомотетии .
8. Композиции двух гомотетий с общим коэффициентом О и коэффициентами и есть гомотетия с тем же центром О и коэффициентом k = .

Правило
Преобразование подобия с коэффициентом k есть композиция гомотетии с коэффициентом k и движения.

При решении многих задач на построение применяется метод подобия, суть которого заключается в следующем: сначала строится фигура подобная данной, затем эта фигура увеличивается (уменьшается) в нужном отношении (т.е. строится подобная фигура), удовлетворяющая условию задачи.

В исследовательской работе мы познакомились с алгебраическим и другими методами геометрических построений. Мы рассмотрели основные формулы для построения отрезков, установили критерий разрешимости задач. Алгебраический метод показывает тесную связь между алгеброй и геометрией.

В представленной исследовательской работе получены следующие результаты:

1) проведен анализ методов решения задач на построение; более подробно приведен анализ алгебраического метода.

2) рассмотрены решения задач с использованием данных методов;

3) установлен критерий разрешимости задач, решаемых алгебраическим методом;

4) приведены подробные примеры решения задач

5) созданы творческие проекты.

Данный материал может использоваться в качестве основы для элективного курса в классах физико-математического профиля, инженерно-технологического профиля, а также при подготовке к олимпиадам.

Геометрические построения могут сыграть серьезную роль в математической подготовке школьника. Ни один вид задач не дает, пожалуй, столько материала для развития математической инициативы и логических навыков учащегося, как геометрические задачи на построение. Эти задачи обычно не допускают стандартного подхода к ним и формального восприятия их учащимися. Задачи на построение удобны для закрепления теоретических знаний учащихся по любому разделу школьного курса геометрии. Решая геометрические задачи на построение, учащийся приобретает много полезных чертежных навыков.

Список используемой литературы

Аргунов Б. И., Балк М.Б. Геометрические построения на плоскости.- М.: УЧПЕДГИЗ, 1955. –269с.

Четверухин Н.Ф. Методы геометрических построений.- М.: УЧПЕДИЗ, 1952.-147с.

Александров И., Сборник геометрических задач на построение, изд.18, М.,1950.- 254с.

Глаголев А.Н., Сборник геометрических задач на построение, М., 1986.-243

Зетель С.И., Геометрия линейки и циркуля, М., 1950.- 308

Кушнир И.А. Решение задач с помощью некоторых формул// математика в школе .- 1985.-354с

Построения с помощью циркуля и линейки — раздел евклидовой геометрии, известный с античных времён. В задачах на построение циркуль и линейка считаются идеальными инструментами, в частности:
линейка не имеет делений и имеет только одну сторону бесконечной длины;
циркуль может иметь сколь угодно большой или сколь угодно малый раствор.
Цель работы заключается в рассмотрении решения задач на построение с помощью циркуля и линейки.

Содержание

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………3
ГЛАВА 1. АКСИОМЫ ЦИРКУЛЯ И ЛИНЕЙКИ……………………….4
Аксиомы циркуля………………………………………………..4
Аксиомы линейки………………………………………………..4
ГЛАВА 2. ПОСТРОЕНИЯ ЦИРКУЛЕМ И ЛИНЕЙКОЙ……………….4
2.1 Простейшие построения………………………………………..4
2.2 Основные построения…………………………………………..5
ГЛАВА 3. РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ……………………………………………9
3.1 Этапы решения задач…………………………………………. 9
3.2 Пример решения задач…………………………………………10
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ……………………. 13

Прикрепленные файлы: 1 файл

Kursovaya.docx

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Институт математики и компьютерных наук

Кафедра алгебры и математической логики

Выполнил студент группы

ГЛАВА 1. АКСИОМЫ ЦИРКУЛЯ И ЛИНЕЙКИ……………………….4
ГЛАВА 2. ПОСТРОЕНИЯ ЦИРКУЛЕМ И ЛИНЕЙКОЙ……………….4

2.1 Простейшие построения……………………… ………………..4

2.2 Основные построения…………………………… ……………..5

ГЛАВА 3. РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ…………………………………………… 9

3.1 Этапы решения задач…………………………… ……………. 9

3.2 Пример решения задач………………………… ………………10

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ……………………. 13

Работа посвящена построению с помощью линейки и циркуля.

Доказательства, да и вычисления в геометрии, как правило, опираются на какие-то дополнительные построения. Конечно, их можно просто описать, но нужно быть уверенными, что они действительно возможны. Еще важнее то, что определения геометрических объектов и понятий при строгом изложении теории должны сопровождаться доказательствами их существования. А главный метод доказательства существования в геометрии - конструктивный, т. е. построение нужного объекта с последующим доказательством, что построенный объект удовлетворяет нужным условиям.

Построения с помощью циркуля и линейки — раздел евклидовой геометрии, известный с античных времён. В задачах на построение циркуль и линейка считаются идеальными инструментами, в частности:
линейка не имеет делений и имеет только одну сторону бесконечной длины;
циркуль может иметь сколь угодно большой или сколь угодно малый раствор.

Цель работы заключается в рассмотрении решения задач на построение с помощью циркуля и линейки.

1.Аксиомы циркуля и линейки

С помощью циркуля можно:
1. Построить окружность, если даны ее центр и отрезок, равный радиусу;
2. Построить любую из двух дополнительных дуг, если даны центр и концы дуг;
3. Отложить отрезок заданной длины от данной точки по данной прямой.
С помощью линейки можно:
1. Построить отрезок, соединяющий две данные (построенные) точки;
2. Построить прямую, проходящую через две заданные (построенные) точки;
3. Построить луч, исходящий из данной точки и проходящий через другую данную точку.
4. Построение циркулем и линейкой
  1. Простейшие построения
  Простейшие построения линейкой:
  1) Построение прямой;
  
  2) Построение прямой, проходящей через данную точку;
  
  3) Построение прямой, проходящей через две данные точки;
  
  Простейшие построения циркулем:
  Построение окружности с данным центром и данным радиусом;
  
  Рассмотрим основные задачи на построение, при решении которых используют только простейшие построения:
  1) Отложить на данном луче от его начала отрезок, равный данному отрезку;
  Дано: луч ON, отрезок AB.
  
  Устанавливаем раствор циркуля равным отрезку АB, делаем насечку на луче из его начала (точка O) и получим точку P. Отрезок OP будет равен отрезку AB.
  2) Отложить от данного луча в данную полуплоскость угол, равный данному;
  Дано: луч ON, угол ABC.
  
  Берем произвольный раствор циркуля и чертим полукруг, который пересекает луч ON, из точки O (получим точку P), чертим полукруг из точки B (получим точки E и F). Ставим раствор циркуля равный EF, этим раствором делаем насечку на полукруге (получим точку Q). Строим прямую OQ. Полученный угол QOP будет равен углу ABC.
  
  3) Построить треугольник по трем сторонам;
  Дано: 3 отрезка длиной a, b, c.
  
  Произвольно чертим луч m и откладываем на нем отрезок a (1 пункт). C- начало, B- конец отрезка. Берем раствор циркуля, равный b и чертим полукруг из точки C; берем раствор циркуля, равный с и чертим полукруг из точки B. Получим A (точка пересечения полукругов) . Строим отрезок CA и BA. Получим треугольник ABC.
  
  4) Построить биссектрису угла;
  Дано: угол ABC.
  
  Берем произвольный раствор циркуля и из точки B проводим полукруг (получим точки D и E). Из точек D и E чертим полукруг и получим F (точка пересечения полукругов). Чертим BF- это будет биссектриса угла ABC.
  
  5) Из данной точки прямой восстановить к этой прямой перпендикуляр;
  Дано: прямая m, точка C, лежащая на прямой m.
  
  Берем произвольный раствор и из точки C чертим окружность (получим точки D и E). Берем раствор циркуля чуть больше длины DC (или EC) и чертим два полукруга из точек D и E (получим F- одна из точек пересечения полукругов). Строим прямую FC- она будет являться перпендикуляром к прямой m.
  
  6) Построить серединный перпендикуляр данного отрезка;
  Дано: отрезок AB.
  
  Берем произвольный раствор циркуля, чуть длиннее половины отрезка AB (на глаз). Из точек A и B чертим два полукруга (получим точки C и D). Строим прямую через точки C и D. Прямая CB будет являться серединным перпендикуляром отрезка AB.
  
  7) Построить середину данного отрезка;
  Дано: отрезок AB.
  
  Берем произвольный раствор циркуля, чуть длиннее половины отрезка AB. Из точек A и B чертим два полукруга (получим точки C и D). Строим прямую CD. Точка пересечения прямой CD и отрезка AB (точка E) будет являться серединой отрезка AB (AE=EB).
  
  8) Построить прямую, проходящую через данную точку перпендикулярно данной прямой;
  Дано: прямая m, точка A, не лежащая на прямой m.
  
  Берем произвольный раствор циркуля и чертим полукруг из точки A (получим точки C и B). Берем произвольный раствор циркуля, чуть длиннее половины отрезка CB и чертим два полукруга из точек C и B (одной из точек их пересечения будет точка D). Строим прямую AD- она будет проходить перпендикулярно прямой m.
  
  В решении задач на построение выделяются следующие четыре этапа:
  1. Анализ
  2. Построение
  3. Доказательство
  4. Исследование
  Сейчас подробно рассмотрим каждый этап:
  
  Первый этап- "Анализ". На этом этапе происходит поиск решения задачи. Из предположения, что задача решена и требуемая фигура построена, пытаются вывести такие следствия, которых окажется достаточно для того, чтобы требуемую фигуру построить.
  
  Второй этап - "Построение". Построение предлагается поэтапное, шаг за шагом, выполнение построений с помощью циркуля и линейки, т. е. подробное описание последовательности простейших задач на построение, к решению которых сводится построение фигуры в данный задаче.
  
  Третий этап- "Доказательство". В этом этапе требуется доказать, что построенная фигура действительно удовлетворяет всем требованиям задачи.
  
  Четвертый этап- "Исследование". Здесь нужно установить, при каком выборе начальных данных задача имеет решение и сколько решений имеет задача при каждом допустимом выборе начальных данных.
  
  Задача о построении правильных многоугольников, вписанных в единичную окружность.
  Пусть дана окружность единичного радиуса. С помощью циркуля и линейки можно вписать в эту окружность правильные треугольник, шестиугольник и т. д. 3*2 n -угольник (рис. 1).
  Аналогично, в единичную окружность можно вписать правильные 2*2 n -угольники (рис. 2), правильные 5*2 n -угольники (рис. 3).
  
  Полностью вопрос о возможности построений правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки был исследован Гауссом. А именно, он доказал, что правильный n-угольник может быть построен с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда n представимо в виде произведения степени двойки и различных простых чисел Ферма, т.е. простых чисел вида . В частности, из этого следует, что правильный семиугольник нельзя построить циркулем и линейкой. Докажем это отдельно с использованием комплексных чисел.
  Вершины правильного семиугольника в комплексной плоскости, вписанного в единичную окружность, являются корнями уравнения z 7 - 1 = 0. Один из корней есть z = 1, а остальные удовлетворяют уравнению z 6 + z 5 + z 4 + z 3 +z 2 + z + 1 = 0. Деля на z 3 , получим уравнение
  
  Простые алгебраические преобразования приводят его к виду
  
  Положив теперь z + 1/z=t, окончательно приходим к уравнению
  
  t 3 + t 2 - 2t - 1 = 0 (*).
  
  Так как комплексное число z предст авляется в виде z = cosa + i sina, то 1/z = cosa - i sina и, следовательно, t = 2cosa является действительным числом.
  Как легко видеть, уравнение (*) не имеет рациональных корней и, следовательно, его корни не выражаются с помощью квадратичных операций.
  Таким образом, задача построения правильного семиугольника циркулем и линейкой неразрешима.
  
  Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними.
  
  Пусть даны два вектора b и c, и угол A.
  
  Нужно построить треугольник ABC.
  
  1. Построить угол А, равный заданному углу.
  
  2. На одной стороне угла отметить точку С так, чтобы отрезок АС был равен заданному отрезку b.
  
  3. На другой стороне угла отметить точку В так, чтобы отрезок АВ был равен заданному отрезку с.
  
  Читайте также:

Задачи на построение реферат

Содержание

Прикрепленные файлы: 1 файл

Kursovaya.docx

Методы решения задач на построение

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Содержание

Прикрепленные файлы: 1 файл

Kursovaya.docx