Взаимосвязь архитектуры и математики в симметрии реферат

Обновлено: 02.07.2024

Понятие “архитектура” имеет несколько смыслов. Архитектура – древнейшая сфера человеческой деятельности и ее результат. Главный смысл понятия архитектура состоит в том, что это совокупность зданий и сооружений различного назначения, это пространство, созданное человеком и необходимое для его жизни и деятельности. Архитектура зарождается вместе с человечеством, сопровождает его в историческом развитии. В ней отражаются мировоззрение, ценности, знания людей, живших в различные исторические эпохи. В ней сосредоточены особенности культуры представителей разных национальностей. Архитектурные памятники, дошедшие до нас из глубины веков, помогают нам понять цели, взгляды, мысли, традиции и привычки, представления о красоте, уровень знаний людей, которые когда-то жили на Земле. Для чего возводились архитектурные сооружения? Прежде всего, они возводились для удобства жизни и деятельности человека. Они должны были служить его пользе: беречь его от холода и жары, дождей и палящего солнца. Они должны были создавать комфортные условия для различной деятельности человека – давать достаточное освещение, обеспечивать звукоизоляцию или хорошее распространение звука внутри помещения. Возводимые сооружения должны быть прочными, безопасными и долго служить людям. Но человеку свойственно еще и стремление к красоте, поэтому все, что он делает, он старается сделать красивым.
Тесная связь архитектуры и математики известна давно. В Древней Греции – геометрия считалась одним из разделов архитектуры. Современный архитектор должен быть знаком с различными соотношениями ритмических рядов, позволяющих сделать объект наиболее гармоничным и выразительным. Кроме того, он должен знать аналитическую геометрию и математический анализ, основы высшей алгебры и теории матриц, владеть методами математического моделирования и оптимизации. Не случайно при подготовке архитекторов за рубежом большое внимание уделяется математической подготовке и владению компьютером.
Порой из-за недостаточного знания математики архитектору приходится делать немало лишней работы.

1. Как математика помогает добиться прочности сооружений.

Люди с древних времен, возводя свои жилища, думали, в первую очередь, об их прочности. Прочность связана и с долговечностью. На возведение зданий люди тратили огромные усилия, а значит, были заинтересованы в том, чтобы они простояли как можно дольше. Кстати, благодаря этому, до наших дней дошли и древнегреческий Парфенон, и древнеримский Колизей. Прочность сооружения обеспечивается не только материалом, из которого оно создано, но и конструкцией, которая используется в качестве основы при его проектировании и строительстве. Прочность сооружения напрямую связана с той геометрической формой, которая является для него базовой. Математик бы сказал, что здесь очень важна геометрическая форма (тело), в которое вписывается сооружение.
Самым прочным архитектурным сооружением с давних времен считаются египетские пирамиды. Как известно они имеют форму правильных четырехугольных пирамид.
Именно эта геометрическая форма обеспечивает наибольшую устойчивость за счет большой площади основания. С другой стороны, форма пирамиды обеспечивает уменьшение массы по мере увеличения высоты над землей. Именно эти два свойства делают пирамиду устойчивой, а значит и прочной в условиях земного тяготения.
На смену пирамидам пришла стоечно-балочная система. С точки зрения геометрии она представляет собой многогранник, который получится, если мысленно на два вертикально стоящих прямоугольных параллелепипеда поставить еще один прямоугольный параллелепипед.
Это одна из первых конструкций, которая стала использоваться при возведении зданий и представляет собой сооружения, которые состоят из вертикальных стоек и покрывающих их горизонтальных балок. Первым таким сооружением было культовое сооружение – дольмен. Оно состояло из двух вертикально поставленных камней, на которые был поставлен третий вертикальный камень. Кроме дольмена, до нас дошло еще одно сооружение, представляющее простейшую стоечно-балочную конструкцию – кромлех. Это также культовое сооружение, предположительно предназначенное для жертвоприношений и ритуальных торжеств. Кромлех состоял из отдельно стоящих камней, которые накрывались горизонтальными камнями. При этом они образовывали две или несколько концентрических окружностей.
Самый знаменитый кромлех сохранился до наших дней в местечке Стоунхендж в Англии. Некоторые ученые считают, что он был древней астрономической обсерваторией.

Нужно заметить, что до сих пор стоечно-балочная конструкция является наиболее распространенной в строительстве. Большинство современных жилых домов в своей основе имеют именно стоечно-балочную конструкцию.
Камень плохо работает на изгиб, но хорошо работает на сжатие. Это привело к использованию в архитектуре арок и сводов. Так возникла новая арочно-сводчатая конструкция. С появлением арочно-сводчатой конструкции в архитектуру прямых линий и плоскостей, вошли окружности, круги, сферы и круговые цилиндры. Первоначально в архитектуре использовались только полуциркульные арки или полусферические купола. Это означает, что граница арки представляла собой полуокружность, а купол – половину сферы. Например, именно полусферический купол имеет Пантеон – храм всех богов - в Риме. Диаметр купола составляет 43 м. При этом высота стен Пантеона равна радиусу полусферы купола. В связи с этим получается, что само здание этого храма как бы “накинуто” на шар диаметром 43 м.
Этот вид конструкции был наиболее популярен в древнеримской архитектуре. Арочно-сводчатая конструкция позволяла древнеримским архитекторам возводить гигантские сооружения из камня. К ним относится знаменитый Колизей или амфитеатр Флавиев. Свое название он получил от латинского слова colosseus, которое переводится как колоссальный, или огромный.
Эта же конструкция использовалась при создании гигантских терм Каракаллы и Диоклетиана, вмещавших одновременно до 3 тысяч посетителей. Сюда же следует отнести и систему арочных водоводов-акведуков, общая протяженность которых составляла 60 км.
Следующим этапом развития архитектурных конструкций явилась каркасная система. Аркбутаны являлись каркасом, которые окружал сооружение и принимал на себя основные нагрузки. Арочная конструкция послужила прототипом каркасной конструкции, которая сегодня используется в качестве основной при возведении современных сооружений из металла, стекла и бетона. Достаточно вспомнить конструкции известных башен: Эйфелевой башни в Париже и телебашни на Шаболовке.
Телебашня на Шаболовке состоит из нескольких поставленных друг на друга частей однополостных гиперболоидов. Причем каждая часть сделана из двух семейств прямолинейных балок. Эта башня построена по проекту замечательного инженера В.Г.Шухова
Однополостный гиперболоид – это поверхность, образованная вращением в пространстве гиперболы, расположенной симметрично относительно одной из осей координат в прямоугольной системе координат, вокруг другой оси.
Обратите внимание, что любое осевое сечение однополостного гиперболоида будет ограничено двумя гиперболами.
Другой интересной для архитекторов геометрической поверхностью оказался гиперболический параболоид. Это поверхность, которая в сечении имеет параболы и гиперболу. Появление новых строительных материалов делает возможным создание тонкого железобетонного каркаса и стен из стекла. Достаточно вспомнить американские небоскребы или, например, здание Кремлевского дворца съездов созданных из стекла и бетона. Именно эти материалы и каркасные конструкции стали преобладающими в архитектурных сооружениях XX века. Они обеспечивают зданиям высокую степень прочности.

2. Геометрические формы в разных архитектурных стилях.

Ни один из видов искусств так тесно не связан с геометрией как архитектура.

Обратимся к геометрическим формам в современной архитектуре.

Во-первых, в архитектурном стиле “Хай Тек”, где вся конструкция открыта для обозрения. Здесь мы можем видеть геометрию линий, которые идут параллельно или пересекаются, образуя ажурное пространство сооружения. Примером, своеобразной прародительницей этого стиля может служить Эйфелева башня.

Во-вторых, современный архитектурный стиль, благодаря возможностям современных материалов, использует причудливые формы, которые воспринимаются нами через их сложные, изогнутые (выпуклые и вогнутые) поверхности.
Чтобы представить эти поверхности достаточно обратиться к зданиям, возведенным Антонио Гауди.

3. Симметрия – царица архитектурного совершенства.

Слово симметрия произошло от греч. слова symmetria – соразмерность.

Рассматривая симметрию в архитектуре, нас будет интересовать геометрическая симметрия – симметрия формы как соразмерность частей целого. Замечено, что при выполнении определенных преобразований над геометрическими фигурами, их части, переместившись в новое положение, вновь будут образовывать первоначальную фигуру. При осевой симметрии части, которые, если можно так сказать, взаимозаменяют друг друга, образованы некоторой прямой. Эту прямую принято называть осью симметрии. В пространстве аналогом оси симметрии является плоскость симметрии. Таким образом, в пространстве обычно рассматривается симметрия относительно плоскости симметрии. Например, куб симметричен относительно плоскости, проходящей через его диагональ. Имея в виду обе случая (плоскости и пространства), этот вид симметрии иногда называют зеркальной. Название это оправдано тем, что обе части фигуры, находящиеся по разные стороны от оси симметрии или плоскости симметрии, похожи на некоторый объект и его отражение в зеркале.

Кроме зеркальной симметрии рассматривается центральная или поворотная симметрия. В этом случае переход частей в новое положение и образование исходной фигуры происходит при повороте этой фигуры на определенный угол вокруг точки, которая обычно называется центром поворота. Отсюда и приведенные выше названия указанного вида симметрии. Поворотная симметрия может рассматриваться и в пространстве. Куб при повороте вокруг точки пересечения его диагоналей на угол 90? в плоскости, параллельной любой грани, перейдет в себя. Поэтому можно сказать, что куб является фигурой центрально симметричной или обладающей поворотной симметрией.
Еще одним видом симметрии, является переносная симметрия. Этот вид симметрии состоит в том, что части целой формы, организованы таким образом, что каждая следующая повторяет предыдущую и отстоит от нее на определенный интервал в определенном направлении. Этот интервал называют шагом симметрии. Переносная симметрия обычно используется при построении бордюров. В произведениях архитектурного искусства ее можно увидеть в орнаментах или решетках, которые используются для их украшения. Переносная симметрия используется и в интерьерах зданий.
Архитектурные сооружения, созданные человеком, в большей своей части симметричны. Они приятны для глаза, их люди считают красивыми.
Симметрия воспринимается человеком как проявление закономерности, а значит внутреннего порядка. Внешне этот внутренний порядок воспринимается как красота.
Симметричные объекты обладают высокой степенью целесообразности – ведь симметричные предметы обладают большей устойчивостью и равной функциональностью в разных направлениях. Все это привело человека к мысли, что чтобы сооружение было красивым оно должно быть симметричным. Симметрия использовалась при сооружении культовых и бытовых сооружений в Древнем Египте. Украшения этих сооружений тоже представляют образцы использования симметрии. Но наиболее ярко симметрия проявляется в античных сооружениях Древней Греции, предметах роскоши и орнаментов, украшавших их. С тех пор и до наших дней симметрия в сознании человека стала объективным признаком красоты.
Соблюдение симметрии является первым правилом архитектора при проектировании любого сооружения. Стоит только посмотреть на великолепное произведение А.Н.Воронихина Казанский собор в Санкт-Петербурге, чтобы убедиться в этом.
Если мы мысленно проведем вертикальную линию через шпиль на куполе и вершину фронтона, то увидит, что с двух сторон от нее абсолютно одинаковые части сооружения (колоннады и здания собора). Но возможно, что вы не знаете, что в Казанском соборе есть еще одна, если можно так сказать “несостоявшаяся” симметрия.
Дело в том, что по канонам православной церкви вход в собор должен быть с востока, т.е. он должен быть с улицы, которая находится справа от собора и идет перпендикулярно Невскому проспекту. Но, с другой стороны Воронихин понимал, что собор должен быть обращен к главной магистрали города. И тогда он сделал вход в собор с востока, но задумал еще один вход, который украсил прекрасной колоннадой. Чтобы сделать здание совершенным, а значит симметричным, такая же колоннада должны была располагаться с другой стороны собора. Тогда, если бы мы посмотрели на собор сверху, то план его имел бы не одну, а две оси симметрии. Но замыслам архитектора было не суждено сбыться.
Кроме симметрии в архитектуре можно рассматривать антисимметрию и диссимметрию.
Антисимметрия это противоположность симметрии, ее отсутствие. Примером антисимметрии в архитектуре является Собор Василия Блаженного в Москве, где симметрия отсутствует полностью в сооружении в целом. Однако, удивительно, что отдельные части этого собора симметричны и это создает его гармонию. Диссимметрия – это частичное отсутствие симметрии, расстройство симметрии, выраженное в наличии одних симметричных свойств и отсутствии других. Примером диссимметрии в архитектурном сооружении может служить Екатерининский дворец в Царском селе под Санкт-Петербургом. Практически в нем полностью выдержаны все свойства симметрии за исключением одной детали. Наличие Дворцовой церкви расстраивает симметрию здания в целом. Если же не принимать во внимание эту церковь, то Дворец становится симметричным.

Завершая, можно констатировать, что красота есть единство симметрии и диссимметрии.

4. Золотое сечение в архитектуре.

Золотое сечение – гармоническая пропорция, это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему a : b= b : c или с : b= b : а.
Отрезки золотой пропорции выражаются иррациональной бесконечной дробью 0,618… и 0,382. Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям.

В книгах о “золотом сечении” можно найти замечание о том, что в архитектуре, как и в живописи, все зависит от положения наблюдателя, и что, если некоторые пропорции в здании с одной стороны кажутся образующими “золотое сечение”, то с других точек зрения они будут выглядеть иначе. “Золотое сечение” дает наиболее спокойное соотношение размеров тех или иных длин.
Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V в. до н. э.).
Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным. Выступы сделаны целиком из квадратов пентилейского мрамора. Благородство материала, из которого построен храм, позволило ограничить применение обычной в греческой архитектуре раскраски, она только подчеркивает детали и образует цветной фон (синий и красный) для скульптуры. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по “золотому сечению”, то получим те или иные выступы фасада.
Другим примером из архитектуры древности является Пантеон.
Известный русский архитектор М. Казаков в своем творчестве широко использовал “золотое сечение”.
Его талант был многогранным, но в большей степени он раскрылся в многочисленных осуществленных проектах жилых домов и усадеб. Например, “золотое сечение” можно обнаружить в архитектуре здания сената в Кремле.

По проекту М. Казакова в Москве была построена Голицынская больница, которая в настоящее время называется Первой клинической больницей имени Н.И. Пирогова.
Еще один архитектурный шедевр Москвы – дом Пашкова – является одним из наиболее совершенных произведений архитектуры В. Баженова.
Прекрасное творение В. Баженова прочно вошло в ансамбль центра современной Москвы, обогатило его. Наружный вид дома сохранился почти без изменений до наших дней, несмотря на то, что он сильно обгорел в 1812 г.
Многие высказывания зодчего заслуживают внимание и в наши дни. О своем любимом искусстве В. Баженов говорил: “Архитектура – главнейшие имеет три предмета: красоту, спокойность и прочность здания. К достижению сего служит руководством знание пропорции, перспектива, механика или вообще физика, а всем им общим вождем является рассудок”.

Основополагающий вопрос Санкт - Петербург Царское село Стокгольм Насколько часто симметрия используется при создании архитектурных сооружений? Можем ли мы считать использование симметрии приёмом, гармонизирующим восприятие архитектурных сооружений?

выявить, как широко симметрия используется в архитектурных сооружениях. ЦЕЛЬ:

ГИПОТЕЗА: симметрия широко используется при проектировании архитектурных сооружений и оформлении фасадов зданий.

ЗАДАЧИ: Определить, что называют симметрией. Рассмотреть некоторые виды симметрии. Определить, что называют архитектурой. Рассмотреть стили архитектуры. Исследовать некоторые архитектурные сооружения, при проектировании которых использовалась симметрия.

Готический стиль Готический собор в Милане. Архитекторы А. и Ф. Дельи Органи, Дж.А. Амадео и другие

Стиль ренессанс Лувр. 1546-1574гг. Архитектор П.Леско

Стиль барокко Дрезден. Дворцовый ансамбль Цвингер.1711-1732гг. Архитектор Д. Пеппельман.

Стиль классицизм Церковь Богоявления в Елохове.

Некоторые примеры взаимосвязи математики и архитектуры в симметрии В качестве доказательства взаимосвязи математики и архитектуры мы исследовали памятники архитектуры различных эпох некоторых европейских государств. .

Архангельский собор Собор был сооружён в 1505—1508 гг. под руководством итальянского зодчего Алевиза Фрязина.

Церковь Покрова в Филях Церковь Покрова считается образцом и эталоном архитектурного стиля московского барокко - самого распространённого архитектурного стиля в России конца семнадцатого столетия.

Свято – Троицкий собор – символ Раненбурга Построен в XIX веке. Архитекторы: Н.И. Воронихин и А.Бинденман

Петропавловская пустынь или мужской монастырь в честь святых апостолов Петра и Павла

Здание администрации Чаплыгинского района(1970г.)

В своей работе мы рассмотрели архитектурные сооружения различных стилей, построенные в разные эпохи, и выявили, что в архитектуре каждого из них просматривается симметрия. Памятники архитектуры, получившие широкую известность как образцы пропорциональности и гармонии, буквально пронизаны математикой, численными расчетами и геометрией.

Выводы: Все виды симметрии используются при проектировании и конструировании архитектурных сооружений и оформлении фасадов зданий. Симметрия противостоит хаосу, беспорядку. Она присутствует в нашей жизни буквально во всём, но мы настолько к ней привыкли, что не замечаем этого. Но как бы мы к ней не относились, она есть в нашей жизни, добавляя в неё мир, спокойствие и состояние чего-то нечуждого глазу. Мы считаем, что как бы ни развивалось в дальнейшем искусство, элементы симметрии в нем все же будут преобладать.

Этапы проведения проекта Сбор материала (изучение научно-популярной литературы, фотографий, Интернет-ресурсов) Обработка полученной информации Создание научно-исследовательского проекта в Microsoft Word Создание презентации в Power Point Участие в школьной научно-исследовательской конференции (март 2010г.)

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Рабочая программа учебного курса по математике "Математика в архитектуре"

Рабочая программа курса "Математика в архитектуре" составлена в соответствии с требованиями к составлению рабочих программ. Курс расчитан на учащихся 11 класса, проявляющих интерес к математике и жела.

Проектно - исследовательская работа по теме: "Симметрия в математике и архитектуре" 8 класс

В работе рассмотрены архитектурные сооружения различных стилей, построенных в разные эпохи. Симметрия - один из основополагающих столпов архитектуры. Изучение и поиск симметрии - увлекательное з.

Презентация к уроку математики"Осевая симметрия"

Презентация к уроку математики 6 класс по теме "Осевая симметрия".

Презентация к уроку математики 6 класса на тему "Осевая симметрия"

Презентация к уроку математики 6 класса на тему "Осевая симметрия", которая поможет обучающимся более наглядно изучить тему. Используется учебник математике И.И.Зубаревой.

Презентация Математика и архитектура

Архитектура и математика, являясь соответствующими проявлениями человеческой культуры, на протяжении веков активно влияли друг на друга. Они давали друг другу новые идеи и стимулы, совместно ставили и.

Математика-это уникальное средство познания красоты, а не только стройная система законов, теорем и задач. Математика играет ведущую роль в создании архитектурного сооружения. Архитектура не существовала бы без математики. Архитектор вкладывает в свое творение мысли, чувства, идеи и индивидуальность. Для того чтобы построить величайшие здания мало желания, архитектор должен рассчитать так, чтобы здание было прочным, красивым и долговечным.

Объект исследования: применение математических законов, правил, формул в архитектуре.

Предмет исследования: математика в архитектуре.

Цель работы: исследование геометрических форм, используемых в разных архитектурных сооружениях.

Гипотеза: в архитектуре используют различные геометрические формы, которые влияют на прочность, красоту, пропорциональность сооружений.

· Изучить применение математики в архитектурных чертежах, геометрические формы в разных архитектурных стилях.

· Исследовать использование принципов математики в архитектуре.

Практическое применение исследования: поделиться нашим исследованием на уроках математики и МХК

Методы исследования: сбор информации, анализ, обобщение.

1.1. Формула архитектуры

Архитектура – древнейшая сфера человеческой деятельности и зарождается вместе с человечеством, сопровождает его в историческом развитии. В ней отражаются мировоззрение, ценности, знания людей, живших в различные исторические эпохи. Архитектурные памятники, дошедшие до нас из глубины веков, помогают нам понять цели, взгляды, мысли, традиции и привычки, представления о красоте, уровень знаний людей, которые когда-то жили на Земле.

Архитектурные сооружения возводились для удобства жизни и деятельности человека. Они должны были приносить ему пользу: беречь его от холода и жары, дождей и палящего солнца. Поэтому возводимые сооружения должны быть прочными, безопасными и долговечными. Также человеку свойственно еще и стремление к красоте, поэтому все, что он делает, он старается сделать красивым.

Тесная связь архитектуры и математики известна давно. В Древней Греции - геометрия считалась одним из разделов архитектуры.

Эта формула была выведена два тысячелетия тому назад древнеримским теоретиком зодчества Витрувием. В формуле одна из главных ценностей архитектурных сооружений - красота. Сооружение может быть прочным и удобным, но если оно не привлекает глаз, не вызывает у нас эстетического чувства, то оно воспринимается нами как обычное строение, но не как памятник архитектуры.

Чтобы создать такие сооружения люди начали украшать здания орнаментом. Орнамент — узор, основанный на повторе и чередовании составляющих его элементов (Приложение 1. рис. 1,рис. 2).

1.2. Математика в архитектурных чертежах

Прежде чем построить привлекательное сооружение, мало иметь воображения, нужно точно знать где, как и сколько потребуется материалов для строительства пусть даже обычного дома.

В своих творениях архитекторы должны совместить функциональность, красоту, гармоничность, комфортность, экономичность и долговечность. В этом им и помогают знания математики. Например, для измерения площади земельного участка, архитектору необходимы знания формулы расчета площади и, конечно же, единиц измерения.

При расчете размеров помещения архитектору необходимо учитывать средний рост человека, приблизительно равный 175 см. Это нужно для того, чтобы человек мог спокойно находиться и перемещаться по комнате. Значит, в данном случае он должен знать формулу вычисления среднего арифметического действия. При планировке здания руководствуются некоторыми правилами:

- При перенесении размеров земельного участка и проецировании здания архитектор пользуется признаками подобия фигур, т.е. он не чертит объект в натуральную величину, а пользуется масштабом, стандартное отношение которого 1:100.

-При планировке архитектор пользуется многими теоремами и аксиомами. Например, чтобы отложить несколько последовательно равных отрезков, используется знаменитая теорема Фалеса.

-При построении параллельных прямых, архитекторы пользуются рейсшиной (Приложение 1. рис. 3) .Также построение параллельных прямых выполняют с помощью чертежного угольника и линейки.

После того, как все детали здания построены, на план наносят все необходимые надписи и размеры. Математические расчеты, измерения, построения – это самые важные и незаменимые методы для архитектора.

В России нашел широкое распространение прогрессивный метод строительства по типовым проектам, который наряду с уменьшением объема проектных работ позволяет привести к единообразию (объединению) строительные изделия и способствует индустриализации строительства. Объекты, изображаемые на строительных чертежах – всевозможные здания и сооружения, состоят из отдельных частей – конструкций. Примерами конструкций здания могут служить его фундаменты (стены, перегородки), перекрытия, крыша.

В разное время в России создавали здания, отличавшиеся по внешнему виду, материалу и конструкции. В таблице показаны названия, время постройки и сроки использования домов (Приложение 1.рис. 4).

Нормативные сроки эксплуатации жилых домов массовой постройки

время постройки

срок эксплуатации

сроки реконструкции

время сноса (нормативный срок)

Разрабатывается комплексная программа реконструкции

Панельные и блочные 9-16-ти этажные

Реконструкция по строительным нормам не предусмотрена

Современные кирпичные и монолитные

Реконструкция по строительным нормам не предусмотрена

1.3. Прочность архитектурных сооружений

Прочность архитектурных сооружений - важнейшее их качество. Прочность связана, во-первых, с теми материалами, из которых они созданы, во-вторых, с особенностями конструктивных решений. То есть прочность сооружения напрямую связана с той геометрической формой, которая является для него базовой. Другими словами, речь идет о той геометрической фигуре, которая может рассматриваться в сооружении.

От чего же зависит прочность сооружения?

Первое - фундамент, толщина и прочность стен.

Но еще важнее для обеспечения прочности сооружений особенности тех материалов, из которых они построены. Самым прочным строительным материалом всегда был камень. С развитием промышленности стали создаваться новые материалы, которые, с одной стороны, были похожи на камень, а, с другой, превосходили его, обеспечивая прочность сооружений. К ним относятся кирпич, металл и железобетон. В современной архитектуре широко используются материалы, которые раньше не существовали, или были слишком дороги в производстве. К ним относится пластмасса, стекло и титан. Многие специалисты считают, что титан - это металл для будущих архитектурных сооружений, которые люди будут возводить.

Появление новых строительных материалов делает возможным создание тонкого железобетонного каркаса и стен из стекла. Достаточно вспомнить американские небоскребы или здание Кремлевского дворца. Именно эти материалы и каркасные конструкции стали преобладающими в архитектурных сооружениях ХХ века. Они обеспечивают зданиям высокую степень прочности.

2.1. Геометрические формы от древности до наших дней

А - Самым прочным архитектурным сооружением с давних времен считаются египетские пирамиды. Как известно они имеют форму правильных четырехугольных пирамид (Приложение 1. рис 5). Именно эта геометрическая форма обеспечивает наибольшую устойчивость за счет большой площади основания. С другой стороны, форма пирамид обеспечивает уменьшение массы по мере увеличения высоты над землей. Именно эти два свойства делают пирамиду устойчивой, а значит и прочной в условиях земного тяготения.

Б - На смену пирамидам пришла стоечно-балочная система (Приложение 2. рис. 2). С точки зрения геометрии она представляет собой многогранник, который получится, если мысленно на два вертикально стоящих прямоугольных параллелепипеда поставить еще один прямоугольный параллелепипед (приложение 2. рис. 3).Это одна из первых конструкций, которая стала использоваться при возведении зданий и представляет собой сооружения, которые состоят из вертикальных стоек и покрывающих их горизонтальных балок. Первым таким сооружением был - дольмен (приложение 2. рис. 2). Большинство современных жилых домов в своей основе имеют именно стоечно-балочную конструкцию.

В - Камень плохо работает на изгиб, но хорошо работает на сжатие. Это привело к использованию в архитектуре арок и сводов. Так возникла новая арочно-сводчатая конструкция, с появлением которой в архитектуру прямых линий и плоскостей, вошли окружности, круги, сферы и круговые цилиндры (Приложение 2. рис. 4,рис. 5). Этот вид конструкции был наиболее популярен в древнеримской архитектуре. Арочно-сводчатая конструкция позволяла древнеримским архитекторам возводить гигантские сооружения из камня. К ним относится знаменитый Колизей (Приложение 2. рис. 6).

Г - Следующим этапом развития архитектурных конструкций явилась каркасная система. Аркбутаны (наружная полуарка) являлись каркасом, которые окружал сооружение и принимал на себя основные нагрузки. Арочная конструкция послужила прототипом каркасной конструкции, которая сегодня используется в качестве основной при возведении современных сооружений из металла, стекла и бетона. Достаточно вспомнить конструкции известных башен: Эйфелевой башни в Париже и телебашни на Шаболовке (Приложение 2. рис. 7,8).Телебашня на Шаболовке состоит из нескольких поставленных друг на друга частей однополостных гиперболоидов. (Приложение 2. рис. 9,рис.10) Причем каждая часть сделана из двух семейств прямолинейных балок. Однополостный гиперболоид — это поверхность, образованная вращением в пространстве гиперболы, расположенной симметрично относительно одной из осей координат в прямоугольной системе координат, вокруг другой оси.

Д - Другой интересной для архитекторов геометрической поверхностью оказался гиперболический параболоид. (Приложение 2.рис.11,рис.12) Это поверхность, которая в сечении имеет параболу и гиперболу.

Е - Геометрическая форма сооружения настолько важна, что бывают случаи, когда в имени или названии здания закрепляются названия геометрических фигур. Так, здание военного ведомства США носит название Пентагон, что означает пятиугольник. (Приложение 2. рис. 13) Связано это с тем, что, если посмотреть на это здание с большой высоты, то оно действительно будет иметь вид пятиугольника. На самом деле только контуры этого здания представляют пятиугольник.

Архитектурные произведения живут в пространстве, являются его частью, вписываясь в определенные геометрические формы. Кроме того, они состоят из отдельных деталей, каждая из которых также строится на базе определенного геометрического тела. Часто геометрические формы являются комбинациями различных геометрических тел. При более детальном рассмотрении и изучении деталей можно увидеть: круги – циферблаты курантов; шар – основание для крепления рубиновой звезды; полукруги – арки одного из рядов бойниц (отверстие в крепостной стене для стрельбы) на фасаде башни и т.д. Нужно сказать, что у архитекторов есть излюбленные детали, которые являются основными составляющими многих сооружений. Они имеют обычно определенную геометрическую форму. Например, колонны это цилиндры, купола – полусфера или просто часть сферы, ограниченная плоскостью, шпили – либо пирамиды, либо конусы. (Приложение 2. рис.14-18)

2.2. Геометрические формы в разных архитектурных стилях

Архитектура, как и все другие виды искусства, является порождением своей эпохи, для них свойственны свои определенные элементы и формы.

А - Особенности архитектуры романского стиля ( XI—XII вв.) : полуциркульные арки, узкие окна, толстые стены, наличие башни в строениях.

Б - Во всех готических архитектурных сооружениях ( XII-XVI вв.) наблюдается стремление вверх. Характерными деталями для готических сооружений являются стрельчатые арки порталов, пирамиды и конусы.

Реймсский собор имеет высоту башен 80 метров. (Приложение 2. рис. 20, 21) Он является самым гармоничным из всех готических соборов Франции.

В - Для классицизма ( XVII—XIX вв.) характерна ясность форм. Все здания, построенные в этом стиле, имеют четкие прямолинейные формы и симметричные композиции. Примером этому служит Парфенон, который имеет по8 колонн на фасадах и по 17 по бокам. (Приложение 2. рис 22)

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии.

2.3. Золотое сечение в архитектуре

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему a : b= b : c или с : b = b : а . (Приложение 2. Рис 24)

Отрезки золотой пропорции выражаются иррациональной бесконечной дробью 0,618… и 0,382. Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям.

Приближенно это отношение равно 5/3, точнее 8/5, 13/8 и т. д. Принципы золотого сечения используются в архитектуре и в изобразительных искусствах.

· Пропорции пирамиды Хеопса , храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого сечения при их создании.

· Согласно Ле Корбюзье , в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса , пропорции фигур соответствуют золотому сечению.

· В фасаде древнегреческого храма Парфенона также присутствуют золотые пропорции.

· В циркуле из древнеримского города Помпеи (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления.

Мы доказали, что золотое сечение использовано в постройке пирамид Хеопса и Хефрена.

1. Пирамида Хеопса имеет стороны основания: 230,41, 230,51, 230,60 и 230,54м. (Приложение 2.рис 25) Высота равна 146,70м. Отношение наклонной образующей, или гипотенузы прямоугольного треугольника, образующего поперечный разрез пирамиды к малому катету, или половине стороны квадратного основания, равно отношению золотого сечения.

По теореме Пифагора вычислили величину высоты ON из прямоугольного треугольника MNO :

ON 2 = OM 2 + MN 2 = 148 2 + 115 2 = 21524 + 13265 =34834

ОМ / М N = 72/115 = 0,62

MN/ON= 115/187 = 0,61

2. Пирамида Хефрена построена на основе отношений сторон священного египетского треугольника. (Приложение 2.рис. 26)

Архитектурные формы пирамиды Хефрена как нельзя лучше свидетельствуют об использовании, зодчими Египта целочисленного треугольника 3, 4, 5. Анализ пропорций пирамид не оставляет и тени сомнения в том, что зодчие древнего Египта превосходно знали и высоко ценили отношение золотого сечения.

2.4. Симметрия - Царица архитектурного совершенства

Симметрия - одинаковое расположение равных частей по отношению к оси здания. Соблюдение симметрии является первым правилом архитектора при проектировании любого сооружения. Рассматривая симметрию в архитектуре, нас интересовала геометрическая осевая симметрия. В пространстве обычно рассматривается симметрия относительно плоскости симметрии. Этот вид симметрии иногда называют зеркальной симметрией. ( Приложение 2.рис 27) Название это оправдано тем, что обе части фигуры, находящиеся по разные стороны от оси симметрии или плоскости симметрии, похожи на некоторый объект и его отражение в зеркале. Архитектурные сооружения, созданные человеком, в большей своей части симметричны. Они приятны для глаза, их люди считают красивыми. Симметричные объекты обладают высокой степенью целесообразности — ведь симметричные предметы более устойчивы. И равной функциональностью в разных направлениях. С тех пор и до наших дней симметрия в сознании человека стала объективным признаком красоты. Примером симметрии является Тадж-Махал. Кроме симметрии в архитектуре можно рассматривать антисимметрию и диссимметрию.

Антисимметрия это противоположность симметрии, ее отсутствие. (Приложение 2.рис. 28) Примером антисимметрии в архитектуре является Собор Василия Блаженного в Москве, где симметрия отсутствует полностью в сооружении в целом. Однако, удивительно, что отдельные части этого собора симметричны и это создает его гармонию.

Дисимметрия — это частичное отсутствие симметрии, расстройство симметрии, выраженное в наличии одних симметричных свойств и отсутствии других. (Приложение 2.рис. 29) Примером дисимметрии в архитектурном сооружении может служить Екатерининский дворец. (Приложение 2.рис. 30) Завершая, можно констатировать, что красота есть единство симметрии и диссимметрии.

Рассмотрев математику в архитектуре, мы увидели больше, чем красивые здания, мы увидели всю сложность проекта и возведения этих сооружений. На языке архитектуры, можно сказать, что математика – это грандиозное мысленное сооружение. Все сказанное убеждает нас в том, что архитектура и математика на протяжении веков активно влияли друг на друга. Они давали друг другу новые идеи и стимулы, совместно ставили и решали задачи.

Поэтому люди, проектирующие здания, начали уделять большее внимание математическим расчетам, используемым строительным материалам и украшению фасада здания.

В XXI веке геометрия и архитектура превратила наши города в величественные мегаполисы. В современном мире все здания и сооружения имеют различные геометрические формы.

В своем проекте мы исследовали, как математика помогает добиться прочности, удобства, красоты архитектурных сооружений, как значимо и ценно отношение золотого сечения и симметрии.

1. А.В. Волошинов. Математика и искусство. М.: Просвещение. 2000.

2. А.В. Иконников. Художественный язык архитектуры. М: Стройиздат. 1992.

И.М. Шевелёв, М.А. Марутаев, И.П. Шмелёв. Золотое сечение. М.: Стройиздат. 1990.
Захидов П.Ш. Основы гармонии в архитектуре. – Ташкент: Фан, 1982. – 163 с.

5. Фремптон Кеннет Современная архитектура: Критический взгляд на историю развития/ Пер. с англ. Е.А. Дубченко; под ред. В.Л.Хайта. – М.: Стройиздат, 1990.

Слайд 1

Слайд 2

Архитектура от лат. architectura — строительство Понятие “архитектура” имеет несколько смыслов. Архитектура – древнейшая сфера человеческой деятельности и ее результат. Слово “архитектура” придумали древние греки для обозначения процесса, превосходящего обычное строительство. Буквально оно переводится как “сверх строительство”. Тесная связь архитектуры и математики известна давно. В Древней Греции – геометрия считалась одним из разделов архитектуры.

Слайд 3

Как математика помогает добиться прочности сооружений. Люди с древних времен, возводя свои жилища, думали об их прочности. На возведение зданий люди тратили огромные усилия и были заинтересованы в том, чтобы они простояли дольше. Благодаря этому, до наших дней дошли и древнегреческий Парфенон, и древнеримский Колизей.

Слайд 4

Слайд 5

Египетская геометрия. Как известно они имеют форму правильных четырехугольных пирамид. Именно эта геометрическая форма обеспечивает наибольшую устойчивость за счет большой площади основания. Но форма пирамиды обеспечивает уменьшение массы по мере увеличения высоты над землей. Именно эти два свойства делают пирамиду устойчивой, а значит и прочной в условиях земного тяготения.

Слайд 6

С точки зрения геометрии она представляет собой многогранник, который получится, если мысленно на два вертикально стоящих прямоугольных параллелепипеда поставить еще один прямоугольный параллелепипед. С точки зрения геометрии она представляет собой многогранник, который получится, если мысленно на два вертикально стоящих прямоугольных параллелепипеда поставить еще один прямоугольный параллелепипед.

Слайд 7

Гиперболоид. Следующим этапом развития архитектурных конструкций явилась каркасная система. Достаточно вспомнить конструкции известных башен: Эйфелевой башни в Париже и телебашни на Шаболовке. Телебашня на Шаболовке состоит из нескольких поставленных друг на друга частей однополостных гиперболоидов. Причем каждая часть сделана из двух семейств прямолинейных балок.

Слайд 8

Однополостный гиперболоид – это поверхность, образованная вращением в пространстве гиперболы, расположенной симметрично относительно одной из осей координат в прямоугольной системе координат, вокруг другой оси. Однополостный гиперболоид – это поверхность, образованная вращением в пространстве гиперболы, расположенной симметрично относительно одной из осей координат в прямоугольной системе координат, вокруг другой оси. Любое осевое сечение однополостного гиперболоида будет ограничено двумя гиперболами.

Слайд 9

Гиперболический параболоид. Это поверхность, которая в сечении имеет параболы и гиперболу. Появление новых строительных материалов делает возможным создание тонкого железобетонного каркаса и стен из стекла. Достаточно вспомнить американские небоскребы или, например, здание Кремлевского дворца съездов созданных из стекла и бетона.

Слайд 10

Геометрические формы в разных архитектурных стилях. Геометрическая форма сооружения настолько важна, что бывают случаи, когда в имени или названии здания закрепляются названия геометрических фигур. Так, здание военного ведомства США носит название Пентагон, что означает пятиугольник. Связано это с тем, что, если посмотреть на это здание с большой высоты, то оно действительно будет иметь вид пятиугольника. На самом деле только контуры этого здания представляют пятиугольник. Само же оно имеет форму многогранника.

Слайд 11

Московский кремль. В Спасской башне Московского кремля в основании можно увидеть прямой параллелепипед, переходящий в средней части в фигуру, приближающуюся к цилиндру, завершается же она пирамидой. При более детальном рассмотрении и изучении деталей можно увидеть: круги – циферблаты курантов; шар – основание для крепления рубиновой звезды; полукруги – арки одного из рядов бойниц на фасаде башни и т.д..

Слайд 12

Симметрия – царица архитектурного совершенства. Соблюдение симметрии является первым правилом архитектора при проектировании любого сооружения. Стоит только посмотреть на великолепное произведение А.Н.Воронихина Казанский собор в Санкт-Петербурге, чтобы убедиться в этом. Если мы мысленно проведем вертикальную линию через шпиль на куполе и вершину фронтона, то увидит, что с двух сторон от нее абсолютно одинаковые части сооружения (колоннады и здания собора).

Слайд 13

Золотое сечение в архитектуре. Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V в. до н. э.). Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по “золотому сечению”, то получим те или иные выступы фасада.

Слайд 14

Слайд 15

Помогаем учителям и учащимся в обучении, создании и грамотном оформлении исследовательской работы и проекта.

Темы исследований

Оформление работы

Наш баннер

Сайт Обучонок содержит исследовательские работы и проекты учащихся, темы творческих проектов по предметам и правила их оформления, обучающие программы для детей.

Код баннера:

Исследовательские работы и проекты

Математика в архитектуре

В процессе работы над индивидуальным исследовательским проектом по математике на тему "Математика в архитектуре" автором была поставлена цель изучить принцип "золотого сечения" в архитектуре и доказать, что математика и архитектура связаны между собой.

Подробнее о работе:

В ученическом проекте по математике "Математика в архитектуре" приводится краткое изложение истории архитектуры, описываются основные направления и принципы проектирования сооружений в разные временные периоды, приводится изучение вопроса о "золотом сечении" и геометрических формах в архитектуре.

Учебная исследовательская работа по математике на тему "Математика в архитектуре" будет интересна учащимся 9, 10 и 11 класса, рассматривает взаимосвязь математики и архитектуры, а также демонстрирует применение математических правил в проектировании архитектурных сооружений во все времена.

В работе автор приводит описание своих исследований, которые определяют применение в архитектуре принципов симметрии и пропорции, а также правил "золотого сечения" и геометрических форм, анализирует результаты социологического опроса среди учеников 10 класса на предмет выявления уровня их ориентирования в математических принципах, применяемых в проектировании известных мировых архитектурных сооружений.

Введение
1. История архитектуры.
2. Золотое сечение в архитектуре.
3. Геометрические формы в архитектуре.
4. Симметрия в архитектуре.
5. Пропорция в архитектуре.
Заключение
Литература

Введение

Математика - наука о структурах, порядке и отношениях, исторически сложившаяся на основе операций подсчёта, измерения и описания формы объектов. Математические объекты создаются путём идеализации свойств реальных или других математических объектов и записи этих свойств на формальном языке.

Математика не относится к естественным наукам, но широко используется в них как для точной формулировки их содержания, так и для получения новых результатов. Математика — фундаментальная наука, предоставляющая (общие) языковые средства другим наукам; тем самым она выявляет их структурную взаимосвязь и способствует нахождению самых общих законов природы.

А архитектура, или зодчество - искусство и наука строить, проектировать здания и сооружения (включая их комплексы), а также сама совокупность зданий и сооружений, создающих пространственную среду для жизни и деятельности человека. Архитектура непременно создает материально организованную среду, необходимую людям для их жизни и деятельности, в соответствии с их устремлениями, а также современными техническими возможностями и эстетическими воззрениями.

В архитектуре взаимосвязаны функциональные (назначение, польза), технические (прочность, долговечность) и эстетические (красота) свойства объектов. Прочитав их описания, мы понимаем, что эти два понятия достаточно разные. Но я расскажу и докажу вам, что математика применяется в архитектуре.

исследования заключается в том, чтобы понять, как математика применяется в архитектуре, потому что в будущем я хочу стать великим архитектором и мне интересно узнать, как мой любимый предмет связан с моей будущей профессией.

– связь математики и архитектуры.

– математика и архитектура.

– доказать, что математика и архитектуры связаны между собой.

Для достижения поставленной цели мы сформулировали следующие

математика и архитектура взаимосвязаны, так как математика – это не только царица наук, но и часть культурного развития. Методы исследования:теоретические, опросно-диагностические, экспертно-аналитические.

Читайте также: