Вычисление площадей с помощью интегралов реферат

Обновлено: 05.07.2024

Определение площади тела вращения с помощью определенного интеграла

ИНТЕГРАЛ (от лат. Integer - целый ) - одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой - измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток времени и т. п.

СВЕДЕНИЯ ИЗ ИСТОРИИ О ПРОИСХОЖДЕНИИ ТЕРМИНОВ И ОБОЗНАЧЕНИЙ

Символ введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова сумма). Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integero, которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования “восстанавливает” функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно происхождение слова интеграл иное: слово integer означает целый.

В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я. Бернулли. Тогда же , в 1696г., появилось и название новой ветви математики - интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли.

Самое важное из истории интегрального исчисления!

Возникновение задач интегрального исчисления связано с нахождением площадей и объемов. Ряд задач такого рода был решен математиками древней Греции. Античная математика предвосхитила идеи интегрального исчисления в значительно большей степени, чем дифференциального исчисления. Большую роль при решении таких задач играл исчерпывающий метод, созданный Евдоксом Книдским (ок. 408 - ок. 355 до н. э.) и широко применявшийся Архимедом (ок. 287 - 212 до н. э.).

Однако Архимед не выделил общего содержания интеграционных приемов и понятий об интеграле, а тем более не создал алгоритма интегрального исчисления. Ученые Среднего и Ближнего Востока в IX - XV веках изучали и переводили труды Архимеда на общедоступный в их среде арабский язык, но существенно новых результатов в интегральном исчислении они не получили.

Деятельность европейских ученых в это время была еще более скромной. Лишь в XVI и XVII веках развитие естественных наук поставило перед математикой Европы ряд новых задач, в частности задачи на нахождение квадратур (задачи на вычисление площадей фигур), кубатур (задачи на вычисление объемов тел) и определение центров тяжести .

Труды Архимеда, впервые изданные в 1544 (на латинском и греческом языках), стали привлекать широкое внимание, и их изучение явилось одним из важнейших отправных пунктов развития интегрального исчисления . Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления . Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления .

Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод - метод неделимых, который также зародился в Древней Греции. Например, криволинейную трапецию они представляли себе составленной из вертикальных отрезков длиной f(x) , которым тем не менее приписывали площадь, равную бесконечно малой величине f(x)dx. В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме

бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме - нули, но нули особого рода, которые сложенные в бесконечном числе, дают вполне определенную положительную сумму.

На такой кажущейся теперь по меньшей мере сомнительной основе И. Кеплер (1571 - 1630 гг.) в своих сочинениях “Новая астрономия” (1609 г.) и “Стереометрия винных бочек” (1615 г.) правильно вычислил ряд площадей (например площадь фигуры, ограниченной эллипсом) и объемов (тело резалось на бесконечно тонкие пластинки).

Эти исследования были продолжены итальянскими математиками Б. Кавальери (1598 - 1647 годы) и Э. Торричелли (1608 -1647 годы).

В XVII веке были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Так, П. Ферма уже в 1629 году решил задачу квадратуры любой кривой y = , где N - целое (т. е. вывел формулу), и на этой основе решил ряд задач на нахождение центров тяжести. И. Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет, фактически опирался на идею приближенного интегрирования . И. Барроу (1603-1677 года), учитель Ньютона, близко подошел к пониманию связи интегрирования и дифференцирования . Большое значение имели работы по представлению функции в виде степенных рядов.

Однако при всей значимости результатов, полученных математиками XVII столетия, исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи, лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования , дающую достаточно точный алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известный вам под названием формулы Ньютона - Лейбница . Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научиться находить первообразные многих функций, дать логические основы нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано:

дифференциальное и интегральное исчисление создано.

Методы математического анализа активно развивались в следующем столетии (в первую очередь следует назвать имена Л. Эйлера, завершившего систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и И. Бернулли). В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М. В. Остроградский (1801 - 1862 гг.), В. Я. Буняковский (1804 - 1889 гг.), П. Л. Чебышев (1821 - 1894 гг.). Принципиальное значение имели, в частности, результаты Чебышева, доказавшего, что существуют интегралы, не выразимые через элементарные функции.

Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке, Решение этой задачи связано с именами О. Коши, одного из крупнейших математиков немецкого ученого Б. Римана (1826 - 1866 гг.), французского математика Г. Дарбу (1842 - 1917).

Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданом (1826 - 1922 гг.) теории меры.

Различные обобщения понятия интеграла уже в начале нашего столетия были предложены французскими математиками А. Лебегом (1875 - 1941 гг.) и А. Данжуа (1884 - 1974) советским математиком А. Я. Хичиным (1894 -1959 гг.)

ПОВЕРХНОСТЬ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ.

Пусть дана поверхность, образованная вращением кривой y=f(x) вокруг оси Ох.

Определим площадь этой поверхности на участке а ≤ х ≤ b. Функцию f(x) предположим непрерывной и имеющей непрерывную производную во всех точках отрезка [a;b]. Проведем хорды АМ 1 , М 1 М 2 ,….М n-1 B длины которых обозначим через ΔS 1 , ΔS 2 … ΔS n (рис. 1). Каждая хорда длины ΔS i (i=1,2,….n) при вращении опишет усеченный конус, поверхность которого ΔP i равна:

Применяя теорему Лагранжа получим:

Поверхность, описанная ломанной, будет равна сумме

распространенной на все звенья ломаной.
Предел этой суммы, когда наибольшее звено ломаной ΔS i стремится к нулю, называется площадью, рассматриваемой поверхности вращения. Сумма (1) не является интегральной суммой для функции

(2)
, так как в слагаемом, соответствующем отрезку [x i-1 , x i ], фигурирует несколько точек этого отрезка x i-1 , x i ,ξ i .. Но можно доказать, что предел суммы (1) равняется пределу интегральной суммы для функции (2), т.е.

Формула (3) определяет площадь Р поверхности теля вращения возникающего в результате вращения вокруг оси x кривой, заданной на отрезке а ≤ x ≤ b неотрицательной, непрерывно дифференцируемой функцией f(x).

Если вращающаяся кривая задана параметрически: x=φ(t), y=ψ(t) (t 0 ≤ t ≤ t 1 ) то формула (3) имеет вид,

Площадь криволинейной трапеции: исходные данные и формулы

На этом уроке будем учиться вычислять площади плоских фигур, которые называются криволинейными трапециями.

Примеры таких фигур - на рисунке ниже.

С одной стороны, найти площадь плоской фигуры с помощью определённого интеграла предельно просто. Речь идёт о площади фигуры, которую сверху ограничивает некоторая кривая, снизу - ось абсцисс ( Ox ), а слева и справа - некоторые прямые. Простота в том, что определённый интеграл функции, которой задана кривая, и есть площадь такой фигуры (криволинейной трапеции).

Но здесь нас подстерегают некоторые важные нюансы, без понимания которых не решить большинство задач на это практическое приложение определённого интеграла. Учтём эти нюансы и будем во всеоружии.

Для вычисления площади фигуры нам понадобятся:

Владение вычислением определенных интегралов и применением формулы Ньютона-Лейбница.
Определённый интеграл от функции, задающей кривую, которая ограничивает криволинейную трапецию сверху. И здесь возникает первый существенный нюанс: криволинейная трапеция может быть ограничена кривой не только сверху, но и снизу. Как действовать в этом случае? Просто, но это важно запомнить: интеграл в этом случае берётся со знаком минус.
Пределы интегрирования a и b, которые находим из уравнений прямых, ограничивающих фигуру слева и справа: x = a , x = b , где a и b - числа.

Отдельно ещё о некоторых нюансах.

Кривая, которая ограничивает криволинейную трапецию сверху (или снизу) должна быть графиком непрерывной и неотрицательной функции y = f(x) .

Значения "икса" должны принадлежать отрезку [a, b] . То есть не учитываются такие, например, линии, как разрез гриба, у которого ножка вполне вписывается в этот отрезок, а шляпка намного шире.

Боковые отрезки могут вырождаться в точки. Если вы увидели такую фигуру на чертеже, это не должно вас смущать, так как эта точка всегда имеет своё значение на оси "иксов". А значит с пределами интегрирования всё в порядке.

Теперь можно переходить к формулам и вычислениям. Итак, площадь s криволинейной трапеции может быть вычислена по формуле

Если же f(x) ≤ 0 (график функции расположен ниже оси Ox ), то площадь криволинейной трапеции может быть вычислена по формуле

Есть ещё случаи, когда и верхняя, и нижняя границы фигуры - функции, соответственно y = f(x) и y = φ(x) , то площадь такой фигуры вычисляется по формуле

Решаем задачи вместе

Начнём со случаев, когда площадь фигуры может быть вычислена по формуле (1).

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции , осью абсцисс ( Ox ) и прямыми x = 1 , x = 3 .

Решение. Так как y = 1/x > 0 на отрезке [1; 3] , то площадь криволинейной трапеции находим по формуле (1) и с применением табличного интеграла 10:

Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции , прямой x = 1 и осью абсцисс ( Ox ).

Решение. Результат применения формулы (1) и табличного интеграла 7:

Если то s = 1/2 ; если то s = 1/3 , и т.д.

Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции , осью абсцисс ( Ox ) и прямой x = 4 .

Решение. Фигура, соответствующая условию задачи - криволинейная трапеция, у которой левый отрезок выродился в точку. Пределами интегрирования служат 0 и 4. Поскольку , по формуле (1) и с применением табличного интеграла 7 (квадратный корень представляем в виде степени) находим площадь криволинейной трапеции:

О том, как избавились от трёхэтажной дроби - в материале Действия с дробями, а о том, откуда на предпоследнем шаге появилось выражение x√x - в материале Действия со степенями и корнями.

Пример 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , и находящейся в 1-й четверти.

Решение. Чтобы воспользоваться формулой (1), представим площадь фигуры, заданной условиями примера, в виде суммы площадей треугольника OAB и криволинейной трапеции ABC . При вычислении площади треугольника OAB пределами интегрирования служат абсциссы точек O и A, а для фигуры ABC - абсциссы точек A и C (A является точкой пересечения прямой OA и параболы, а C - точкой пересечения параболы с осью Ox ). Решая совместно (как систему) уравнения прямой и параболы, получим (абсциссу точки A) и (абсциссу другой точки пересечения прямой и параболы, которая для решения не нужна). Аналогично получим , (абсциссы точек C и D). Теперь у нас еть всё для нахождения площади фигуры. Находим (применяя к каждому слагаемому табличный интеграл 7):

Пример 5. Найти площадь криволинейной трапеции ACDB , если уравнение кривой CD и абсциссы A и B соответственно 1 и 2.

Решение. Выразим данное уравнение кривой через игрек: Площадь криволинейной трапеции находим по формуле (1) и с применением табличного интеграла 7 (ссылки в предыдущих примерах):

Переходим к случаям, когда площадь фигуры может быть вычислена по формуле (2).

Пример 6. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой и осью абсцисс ( Ox ).

Решение. Данная фигура расположена ниже оси абсцисс. Поэтому для вычисления её площади воспользуемся формулой (2). Пределами интегрирования являются абсциссы и точек пересечения параболы с осью Ox . Следовательно,

Пример 7. Найти площадь, заключённую между осью абсцисс ( Ox ) и двумя соседними волнами синусоиды.

Решение. Площадь данной фигуры можем найти по формуле (2):

Найдём отдельно каждое слагаемое, применяя табличный интеграл 13:

Окончательно находим площадь:

Пример 8. Найти площадь фигуры, заключённой между параболой и кривой .

Решение. Выразим уравнения линий через игрек:

Площадь по формуле (2) получим как

где a и b - абсциссы точек A и B. Найдём их, решая совместно уравнения:

Окончательно находим площадь, применяя табличный интеграл 21:

И, наконец, случаи, когда площадь фигуры может быть вычислена по формуле (3).

Пример 9. Найти площадь фигуры, заключённой между параболами и .

Решение. Требуется вычислить площадь фигуры AmBn , у которой боковые отрезки выродились в точки A и B пересечения парабол. Решая совместно (как систему) уравнения парабол, находим их абсциссы: и . На отрезке [-1, 5] получаем . Следовательно, по формуле (3) и, применяя табличный интеграл 7, находим площадь фигуры:

Решить задачи самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 10. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций и .

Пример 11. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой , прямой и осью Ox ( y=0 ).

Снова решаем задачи вместе

Пример 12. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций , и прямыми и .

Решение. Так как на отрезке [0, 2] , то, используя для нахождения площади формулу (3) и табличный интеграл 11, получим

Пример 13. Найти площадь фигуры, заключённой между параболой и прямой .

Решение. Находим абсциссы точек пересечения параболы и прямой: и . Так как на отрезке [0, 4] , то по формуле (3) и, применяя табличный интеграл 7, находим площадь фигуры:

Нахождение производной f’ (x) или дифференциала df=f’ (x) dx функции f(x) является основной задачей дифференциального исчисления. В интегральном исчислении решается обратная задача: по заданной функции f(x) требуется найти такую функцию F(x), что F’ (х)=f(x) или F(x)=F’ (x) dx=f(x) dx. Таким образом, основной задачей интегрального исчисления является восстановление функции F(x) по известной производной (дифференциалу) этой функции. Интегральное исчисление имеет многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и технике. Оно дает общий метод нахождения площадей, объемов, центров тяжести и т.д.

Курс математического анализа содержит разнообразный материал, однако, одним из его центральных разделов является определенный интеграл. Интегрирование многих видов функций подчас представляет собой одну из труднейших проблем математического анализа.

Вычисление определенного интеграла имеет не только теоретический интерес. К его вычислению сводятся иногда задачи, связанные с практической деятельностью человека.

Также понятие определенного интеграла широко используется в физике.

1. Нахождение площади криволинейной трапеции

Криволинейной трапецией называется фигура, расположенная в прямоугольной системе координат и ограниченная осью абсцисс, прямыми х = а и х = b и кривой , причем неотрицательна на отрезке . Приближенно площадь криволинейной трапеции можно найти так:

разделить отрезок оси абсцисс на n равных отрезков;

провести через точки деления отрезки, перпендикулярные к оси абсцисс, до пересечения с кривой ;

заменить получившиеся столбики прямоугольниками с основанием и высотой, равной значению функции f в левом конце каждого отрезка;

найти сумму площадей этих прямоугольников.

Но можно найти площадь криволинейной иначе: по формуле Ньютона-Лейбница. Для доказательства формулы, носящей их имена, докажем, что площадь криволинейной трапеции равна , где – любая из первообразных функции , график которой ограничивает криволинейную трапецию.

Вычисление площади криволинейной трапеции записывается так:

находится любая из первообразных функции .

записывается . - это формула Ньютона-Лейбница.

2. Нахождение площади криволинейного сектора

Рассмотрим кривую ρ = ρ (φ) в полярной системе координат, где ρ (φ) – непрерывная и неотрицательная на [α; β] функция. Фигура, ограниченная кривой ρ (φ) и лучами φ = α, φ = β, называется криволинейным сектором. Площадь криволинейного сектора равна

3. Нахождение длины дуги кривой

Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая AB, уравнение которой y = f(x), где a ≤ x ≤ b. (рис 2) [7]

Под длиной дуги AB понимается предел, к которому стремиться длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена ее стремиться к нулю.

Применим схему I (метод сумм).

Точками X = a, X, …, X = b (X ≤ X≤ … ≤ X) разобьем отрезок [a, b] на n частей. Пусть этим точкам соответствуют точки M = A, M, …, M = B на кривой AB. Проведем хорды MM, MM, …, MM, длины которых обозначим соответственно через ΔL, ΔL, …, ΔL.

Получим ломанную MMM … MM, длина которой равна L = ΔL+ ΔL+ … + ΔL = ΔL.

Длину хорды (или звена ломанной) ΔL можно найти по теореме Пифагора из треугольника с катетами ΔX и ΔY:

Тема занятия: Применение определённого интеграла к вычислению площадей плоских фигур, площади поверхности тела вращения. Вычисление объёмов тел вращения.

1. Применение определённого интеграла к вычислению площадей плоских фигур.

2. Применение определённого интеграла к вычислению площади поверхности тела вращения.

3. Вычисление объёмов тел вращения.

Применение определённого интеграла к вычислению площадей плоских фигур.

Мы уже знаем как вычислить площадь плоской фигуры с помощью определённого интеграла, а теперь рассмотрим все возможные варианты расположения фигур.

1.Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной отрицательной на промежутке [ a ; b ] функции f (x), осью Ох и прямыми х=а и х= b :

2.Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций f(x), и прямыми х=а, х= b :

3.Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций f (x) и :

4.Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций f(x), и осью Ох:

Отметим, что часто встречается задача нахождения интеграла, исходя из его геометрического смысла.

Покажем на примере, как решается такая задача.

Пример 1. Используя геометрический смысл интеграла вычислить определённые интегралы

и .

а)– равен площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями:.; х = 0, х = 2 и у = 0.

Преобразуем: в (х – 1) 2 + у 2 = 1

А это - верхняя половина окружности с центром Р(1;0) и радиусом R=1, поэтому:.

Ответ: .

б) Рассуждая аналогично, построим область, ограниченную графиками: у = arcsin x; x =-1 и x = 1.

Имеем: S = AB = 2 BC = (.

. Ответ:.

2. Применение определённого интеграла к вычислению площади поверхности тела вращения.

Представьте, что линия АВ вращается вокруг оси ОХ. В результате этого действия получается геометрическая фигура, называемая поверхностью вращения. Чтобы исключить двусмысленную трактовку, сделаем важное уточнение: с геометрической точки зрения наш тело вращения имеет бесконечно тонкую стенку и две поверхности с одинаковыми площадями – внешнюю и внутреннюю. Так вот, все дальнейшие выкладки подразумевают площадь только внешней поверхности.

В прямоугольной системе координат площадь поверхности вращения рассчитывается по формуле:

или, если компактнее:

Вычислить площадь поверхности тела, полученного вращением параболы

у = вокруг оси Ох на промежутке от х =0 до х = 4.

вычислим площадь поверхности, образованной вращением верхней ветви у = вокруг оси абсцисс. Используем формулу:

.
В данном случае: у/ = ; тогда:

3. Вычисление объёмов тел вращения.

При помощи определенного интеграла можно вычислить объем того или иного тела, в частности, тела вращения.

Телом вращения называется тело, полученное вращением криволинейной трапеции вокруг ее основания (рис. 1, 2)

Объем тела вращения вычисляется по одной из формул:

(1)- если вращение криволинейной трапеции вокруг оси ОХ.

(2)- если вращение криволинейной трапеции вокруг оси ОУ.

Пример 1.Найти объем тела, получаемого вращением параболической трапеции, вокруг оси абсцисс y = , x = 4, y = 0.

Пример 2. Вычислить объем тела, образованного вращением лепестка, вокруг оси абсцисс y = x 2 , y 2 = x.

Построим графики функции. y = x 2 , y 2 = x. График y 2 = x преобразуем к виду y = .

Имеем V = V₁ – V₂ Вычислим объем каждой функции

Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями у = 2х - х 2 , у = 0 вокруг оси Ох.

Искомая плоская фигура заштрихована синим цветом, именно она и вращается вокруг оси Ох В результате вращения получается такое яйцевидное тело, которое симметрично относительно оси Ох.

Вычислим объем тела вращения, используя данную формулу:

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями 2х – у = 2, у = 0, х = 3.

Это пример для самостоятельного решения.

Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями у = 2х + 1, у = х + 4, х = 0 и х = 1.

Изобразим на чертеже плоскую фигуру, ограниченную линиями у = 2х + 1, у = х + 4, х = 0 и х = 1, не забывая при этом, что уравнение х = 0 задает ось Оу:

Искомая фигура заштрихована синим цветом. При её вращении вокруг оси Ох получается усечённый конус с вырезанным изнутри также усечённым конусом. Объем тела вращения вычислим как разность объемов тел.

Сначала рассмотрим фигуру, которая обведена красным цветом. При её вращении вокруг оси Ох получается усеченный конус. Обозначим объем этого усеченного конуса через V₁.

Рассмотрим фигуру, которая обведена зеленым цветом. Если вращать данную фигуру вокруг оси , то получится тоже усеченный конус, только чуть поменьше. Обозначим его объем через V₂.

И, очевидно, разность объемов V = V₁ – V₂ – в точности объем нашего тела вращения.

Используем стандартную формулу для нахождения объема тела вращения:

1) Фигура, обведенная красным цветом ограничена сверху прямой у = х + 4, поэтому:

2) Фигура, обведенная зеленым цветом ограничена сверху прямой: у = 2х + 1, поэтому:

3) Объем искомого тела вращения: V = V₁-V₂ = - (куб.единиц)

Посмотрите на плоскую фигуру в решённой задаче – она вроде бы невелика по площади, а объем тела вращения составляет чуть более 50 кубических единиц, что кажется слишком большим.

Вычислить объем тела, образованного вращением относительно оси Ох плоской фигуры, ограниченной линиями у = , , где 0 .

Это пример для самостоятельного решения. Обратите внимание, что все дела происходят в полосе 0, иными словами, фактически даны готовые пределы интегрирования.(Для самостоятельного решения).

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1.Дайте определение определённого интеграла.

2. Сформулируйте геометрический смысл определённого интеграла.

3. Перечислите этапы вычисления определённого интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.

4. Запишите формулу для нахождения площади поверхности тела вращения с помощью определённого интеграла.

5. Запишите формулу для нахождения объёма поверхности тела вращения с помощью определё1нного интеграла.

ЛИТЕРАТУРА: .

План к занятию №23

Раздел 1. Математический анализ.

Тема 4.3 Применение определённого интеграла.

к вычислению площадей плоских фигур, площади поверхности тела вращения .

Цель занятия:

Довести до сознания студентов геометрический смысл определённого интеграла, научить студентов вычислять площадь плоской фигуры с помощью определённого интеграла в зависимости от расположения плоской фигуры в координатной плоскости, научить вычислять площадь поверхности тела вращения и его объём с помощью определённого интеграла..

Образовательные:

ввести формулы для вычисления с помощью определённого интеграла; площади плоской фигуры, объёма тела вращения. определённого интеграла.

Развивающие:

развивать умения и навыки вычисления площади плоской фигуры, площади поверхности тела вращения, объёма тела вращения с помощь. определённого интеграла; развивать логическое мышление студентов.

Воспитывающие:

воспитывать у студентов такие профессиональные качества как внимательность при объяснении нового материала, активность на уроке, дисциплинированность Формирование компетенций: ОК 2-ОК 6.

Тип занятия: лекция.

Методы: словесные, наглядные.

Оборудование занятия: компьютер, плакаты, листы опроса, таблица интегралов, портреты и высказывания математиков , калькулятор.

Ход занятия.

1. Приветствие.

2. Актуализация темы и цели занятия.

Мозговой штурм.

1. Давайте разберёмся, если функция задается в виде многочлена третьей степени, то какую степень имеет производная этой функции? А первообразная?

2. Для какой функции производная совпадает с самой функцией?

3. Производные каких функций равны 1, x, x 2 ?

4. Вспомним, какая функция называется первообразной для заданной функции на заданном промежутке?

5. Если F(x) –первообразная для f(x), то каким равенством связаны они между собой?

6. Какая из двух функций является первообразной другой: 5x 4 и x 5 +11? Почему?

7. Является ли функция F(x) = сtg x первообразной для функции f(x) = -1/sin 2 x на R?

8. Назовите все элементы равенства =F(x)+C.

9. Какие из равенств записаны неверно:

2) =x+x 2 +C? В чём ошибка?

10. Как проверить результаты интегрирования?

3. Объяснение новой темы. ( Лекция прилагается)

4. Домашнее задание [1, с.261-265],

1.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у = х 2 и у =

2. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси Ох плоской фигуры, ограниченной линиями: у = х 2 и у =

3. Вычислить площадь поверxности тела, полученного при вращении вокруг оси Ох плоской фигуры, ограниченной линиями: у = х 2 и у =

Читайте также: