Возрастание и убывание функции экстремумы реферат

Обновлено: 05.07.2024

Название работы: Исследование функций. Возрастание и убывание функций

Предметная область: Математика и математический анализ

Описание: Такие функции называют монотонными в интервале а b. Точка называется точкой максимума функции у = f x если cуществует такая окрестность точки что для всех из этой окрестности выполняется неравенство fx f. Точка называется точкой минимума функции у = f x если cуществует такая окрестность.

Дата добавления: 2015-03-22

Размер файла: 65.09 KB

Работу скачали: 2 чел.

8.1. Возрастание и убывание функций

Функция называется неубывающей ( возрастающей ) в интервале ( а , b ), если для любых из этого интервала выполняется неравенство (). Если (), то такая функция называется невозрастающей ( убывающей ) в ( а , b ). Такие функции называют монотонными в интервале ( а , b ).

Теорема. 1) Если функция f ( x ) имеет производную на отрезке [ a , b ] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна , т.е. f ( x ) 0.

2) Если функция f ( x ) непрерывна на отрезке [ a , b ] и дифференцируема в промежутке ( а , b ), причем f ( x ) > 0 для a x b , то эта функция возрастает на отрезке [ a , b ] .

Если функция f ( x ) убывает на отрезке [ a , b ], то f ( x ) 0 на этом отре зке. Если f ( x ) в промежутке ( а , b ), то f ( x ) убывает на отрезке [ a , b ] .

8.2. Максимум и минимум функций. Необходимые и достаточные условия существования экстремума

Определение. Точка называ е тся точк ой максимум а функции у = f ( x ) , если

c уществует такая окрестность точки , что для всех из этой окрестности выполняется неравенство f ( x ) f ( ) .

Определение. Точка называ е тся точк ой минимум а функции у = f ( x ), если

c уществует такая окрестность точки , что для всех из этой окрестност и выполняется неравенство f ( x ) > f ( ).

Значение функции в точке максимум а ( минимум а) называ е тся максимумом

( минимумом) функции . Максимум (минимумом) функции называ е тся экстремумом функции.

Теорема 1 ( необходимое условие существования экстремума ). Если дифференцируемая функция у = f ( x ) имеет экстремум в точке , то ее производная в этой точке равна нулю : f ( ) = 0.

Обратное утверждение к этой теореме не верно.

Определение. Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.

Теорема 2 ( д остаточные условия существования экстремума ). Пусть функция f ( x ) непрерывна в интервале ( а , b ), который содержит критическую точку , и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки ) . Если при переходе через точку слева направо производная функции f ( x ) меняет знак с плюса на минус, то в точке функция f ( x ) имеет максимум, если же производная меняет знак с минуса на плюс , то функция имеет в этой точке минимум , если же производная знака не меняет , то в точке экстремума не существует .

Исследование функции на экстремум с помощью производных высших порядков.

Теорема 3. Пусть в точке первая производная функции f ( x ) равна нулю

( f ( ) = 0), а вторая производная в точке существует и отлична от нуля ( ), то при в точке функция имеет максимум и минимум при .

8.3. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба

Рассмотрим на плоскости кривую , являющуюся графиком дифференцируемой функции .

Определение. Мы говорим, что кривая обращена выпуклостью вверх на интервале ( а , b ), если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале.

Определение. Мы говорим, что кривая обращена выпуклостью вниз на интервале ( b , с ), если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом интервале.

Кривую, обращенную выпуклостью вверх, будем называть выпуклой , а обращенную выпуклостью вниз вогнутой .

На рисунке 1 показана кривая, выпуклая на интервале ( а , b ) и вогнутая на интервале ( b , с ).

Теорема 1. Если во всех точках интервала ( a , b ) вторая производная функции f ( x ) отрицательна , т.е. , то кривая y = f ( x ) на этом интервале обращена выпуклостью вверх ( кривая выпукла ) .

Теорема 1 ′ . Если во всех точках интервала ( b , с ) вторая производная функции

f ( x ) положительна , т.е. , то кривая y = f ( x ) на этом интервале обращена выпуклостью вниз ( кривая вогнута ).

Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба кривой.

Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.

Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением . Если вторая производная f ( a ) = 0 или f ( a ) не существует и при переходе через точку х = а производная f ( x ) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.

8.4. Асимптоты графика функции

Определение. Прямая l называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки M кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.

Асимптоты функции делятся на два вида:

вертикальные асимптоты , т.е. прямые, параллельные оси ; они имеют уравнения вида х = а ;
наклонные асимптоты , т.е. прямые, не параллельные оси ; они имеют уравнения вида y = kx + b .

Теорема о вертикальной асимптоте. Прямая х = а является вертикальной асимптотой функции только в том случае, когда , или .

Теорема о наклонной асимптоте. Прямая является наклонной асимптотой графика функции при только в том случае, когда существуют (конечные) пределы

8.5. Общая с хема исследования функци и и построения графика

И сследование функции целесообразно проводить в следующем порядке .

1) Найти о бласть определения функции.

2) Найти т очки разрыва функции и асимптоты графика функции.

3) Выяснить является ли функция четной, нечетной, периодической.

4) Найти точки пересечения графика с осями координат.

5) Найти интервалы монотонности функции и экстремумы функции .

6) Найти интервал выпуклости и вогнутости функции, точки перегиба.

7) Построить график функции.

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

Чтобы определить характер функции и говорить о ее поведении, необходимо находить промежутки возрастания и убывания. Этот процесс получил название исследования функции и построения графика. Точка экстремума используется при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции, так как в них происходит возрастание или убывание функции из интервала.

Данная статья раскрывает определения, формулируем достаточный признак возрастания и убывания на интервале и условие существования экстремума. Это применимо к решению примеров и задач. Следует повторить раздел дифференцирования функций, потому как при решении необходимо будет использовать нахождение производной.

Возрастание и убывание функции на интервале

Функция y = f ( x ) будет возрастать на интервале x , когда при любых x 1 ∈ X и x 2 ∈ X , x 2 > x 1 неравенство f ( x 2 ) > f ( x 1 ) будет выполнимо. Иначе говоря, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Функция y = f ( x ) считается убывающей на интервале x , когда при любых x 1 ∈ X , x 2 ∈ X , x 2 > x 1 равенство f ( x 2 ) > f ( x 1 ) считается выполнимым. Иначе говоря, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Замечание: Когда функция определенная и непрерывная в концах интервала возрастания и убывания, то есть ( a ; b ) , где х = а , х = b , точки включены в промежуток возрастания и убывания. Определению это не противоречит, значит, имеет место быть на промежутке x .

Основные свойства элементарных функций типа y = sin x – определенность и непрерывность при действительных значениях аргументах. Отсюда получаем, что возрастание синуса происходит на интервале - π 2 ; π 2 , тогда возрастание на отрезке имеет вид - π 2 ; π 2 .

Точки экстремума, экстремумы функции

Точка х 0 называется точкой максимума для функции y = f ( x ) , когда для всех значений x неравенство f ( x 0 ) ≥ f ( x ) является справедливым. Максимум функции – это значение функции в точке, причем обозначается y m a x .

Точка х 0 называется точкой минимума для функции y = f ( x ) , когда для всех значений x неравенство f ( x 0 ) ≤ f ( x ) является справедливым. Минимум функции – это значение функции в точке, причем имеет обозначение вида y m i n .

Окрестностями точки х 0 считаются точки экстремума, а значение функции, которое соответствует точкам экстремума. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Экстремумы функции с набольшим и с наименьшим значением функции. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Первый рисунок говорит о том, что необходимо найти наибольшее значение функции из отрезка [ a ; b ] . Оно находится при помощи точек максимума и равняется максимальному значению функции, а второй рисунок больше походит на поиск точки максимума при х = b .

Достаточные условия возрастания и убывания функции

Чтобы найти максимумы и минимумы функции, необходимо применять признаки экстремума в том случае, когда функция удовлетворяет этим условиям. Самым часто используемым считается первый признак.

Первое достаточное условие экстремума

Пусть задана функция y = f ( x ) , которая дифференцируема в ε окрестности точки x 0 , причем имеет непрерывность в заданной точке x 0 . Отсюда получаем, что

когда f ' ( x ) > 0 с x ∈ ( x 0 - ε ; x 0 ) и f ' ( x ) 0 при x ∈ ( x 0 ; x 0 + ε ) , тогда x 0 является точкой максимума;
когда f ' ( x ) 0 с x ∈ ( x 0 - ε ; x 0 ) и f ' ( x ) > 0 при x ∈ ( x 0 ; x 0 + ε ) , тогда x 0 является точкой минимума.

Иначе говоря, получим их условия постановки знака:

когда функция непрерывна в точке x 0 , тогда имеет производную с меняющимся знаком, то есть с + на - , значит, точка называется максимумом;
когда функция непрерывна в точке x 0 , тогда имеет производную с меняющимся знаком с - на + , значит, точка называется минимумом.

Алгоритм для нахождения точек экстремума

Чтобы верно определить точки максимума и минимума функции, необходимо следовать алгоритму их нахождения:

найти область определения;
найти производную функции на этой области;
определить нули и точки, где функция не существует;
определение знака производной на интервалах;
выбрать точки, где функция меняет знак.

Рассмотрим алгоритм на примере решения нескольких примеров на нахождение экстремумов функции.

Найти точки максимума и минимума заданной функции y = 2 ( x + 1 ) 2 x - 2 .

Область определения данной функции – это все действительные числа кроме х = 2 . Для начала найдем производную функции и получим:

y ' = 2 x + 1 2 x - 2 ' = 2 · x + 1 2 ' · ( x - 2 ) - ( x + 1 ) 2 · ( x - 2 ) ' ( x - 2 ) 2 = = 2 · 2 · ( x + 1 ) · ( x + 1 ) ' · ( x - 2 ) - ( x + 1 ) 2 · 1 ( x - 2 ) 2 = 2 · 2 · ( x + 1 ) · ( x - 2 ) - ( x + 2 ) 2 ( x - 2 ) 2 = = 2 · ( x + 1 ) · ( x - 5 ) ( x - 2 ) 2

Отсюда видим, что нули функции – это х = - 1 , х = 5 , х = 2 , то есть каждую скобку необходимо приравнять к нулю. Отметим на числовой оси и получим:

Теперь определим знаки производной из каждого интервала. Необходимо выбрать точку, входящую в интервал, подставить в выражение. Например, точки х = - 2 , х = 0 , х = 3 , х = 6 .

y ' ( - 2 ) = 2 · ( x + 1 ) · ( x - 5 ) ( x - 2 ) 2 x = - 2 = 2 · ( - 2 + 1 ) · ( - 2 - 5 ) ( - 2 - 2 ) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0 , значит, интервал - ∞ ; - 1 имеет положительную производную. Аналогичным образом получаем, что

y ' ( 0 ) = 2 · ( 0 + 1 ) · 0 - 5 0 - 2 2 = 2 · - 5 4 = - 5 2 0 y ' ( 3 ) = 2 · ( 3 + 1 ) · ( 3 - 5 ) ( 3 - 2 ) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 0 y ' ( 6 ) = 2 · ( 6 + 1 ) · ( 6 - 5 ) ( 6 - 2 ) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

Так как второй интервал получился меньше нуля, значит, производная на отрезке будет отрицательной. Третий с минусом, четвертый с плюсом. Для определения непрерывности необходимо обратить внимание на знак производной, если он меняется, тогда это точка экстремума.

Получим, что в точке х = - 1 функция будет непрерывна, значит, производная изменит знак с + на - . По первому признаку имеем, что х = - 1 является точкой максимума, значит получаем

y m a x = y ( - 1 ) = 2 · ( x + 1 ) 2 x - 2 x = - 1 = 2 · ( - 1 + 1 ) 2 - 1 - 2 = 0

Точка х = 5 указывает на то, что функция является непрерывной, а производная поменяет знак с – на +. Значит, х=-1 является точкой минимума, причем ее нахождение имеет вид

y m i n = y ( 5 ) = 2 · ( x + 1 ) 2 x - 2 x = 5 = 2 · ( 5 + 1 ) 2 5 - 2 = 24

Графическое изображение

Ответ: y m a x = y ( - 1 ) = 0 , y m i n = y ( 5 ) = 24 .

Стоит обратить внимание на то, что использование первого достаточного признака экстремума не требует дифференцируемости функции с точке x 0 , этим и упрощает вычисление.

Найти точки максимума и минимума функции y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8 .

Область определения функции – это все действительные числа. Это можно записать в виде системы уравнений вида:

- 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 , x 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0

После чего необходимо найти производную:

y ' = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 ' , x 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 ' , x > 0 y ' = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0

Точка х = 0 не имеет производной, потому как значения односторонних пределов разные. Получим, что:

lim y ' x → 0 - 0 = lim y x → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 · ( 0 - 0 ) 2 - 4 · ( 0 - 0 ) - 22 3 = - 22 3 lim y ' x → 0 + 0 = lim y x → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 · ( 0 + 0 ) 2 - 4 · ( 0 + 0 ) + 22 3 = + 22 3

Отсюда следует, что функция непрерывна в точке х = 0 , тогда вычисляем

lim y x → 0 - 0 = lim x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 · ( 0 - 0 ) 3 - 2 · ( 0 - 0 ) 2 - 22 3 · ( 0 - 0 ) - 8 = - 8 lim y x → 0 + 0 = lim x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 · ( 0 + 0 ) 3 - 2 · ( 0 + 0 ) 2 + 22 3 · ( 0 + 0 ) - 8 = - 8 y ( 0 ) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 · 0 3 - 2 · 0 2 + 22 3 · 0 - 8 = - 8

Необходимо произвести вычисления для нахождения значения аргумента, когда производная становится равной нулю:

- 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x 0 D = ( - 4 ) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 0

1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0 D = ( - 4 ) 2 - 4 · 1 2 · 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 · 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 · 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0

Все полученные точки нужно отметить на прямой для определения знака каждого интервала. Поэтому необходимо вычислить производную в произвольных точках у каждого интервала. Например, у нас можно взять точки со значениями x = - 6 , x = - 4 , x = - 1 , x = 1 , x = 4 , x = 6 . Получим, что

y ' ( - 6 ) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 6 = - 1 2 · - 6 2 - 4 · ( - 6 ) - 22 3 = - 4 3 0 y ' ( - 4 ) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · ( - 4 ) 2 - 4 · ( - 4 ) - 22 3 = 2 3 > 0 y ' ( - 1 ) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 · ( - 1 ) 2 - 4 · ( - 1 ) - 22 3 = 23 6 0 y ' ( 1 ) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 > 0 y ' ( 4 ) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 · 4 2 - 4 · 4 + 22 3 = - 2 3 0 y ' ( 6 ) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

Изображение на прямой имеет вид

Значит, приходим к тому, что необходимо прибегнуть к первому признаку экстремума. Вычислим и получим, что

x = - 4 - 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , тогда отсюда точки максимума имеют значени x = - 4 + 2 3 3 , x = 4 - 2 3 3

Перейдем к вычислению минимумов:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y ( 0 ) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3

Произведем вычисления максимумов функции. Получим, что

y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Графическое изображение

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y ( 0 ) = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Второй признак экстремума функции

Если задана функция f ' ( x 0 ) = 0 , тогда при ее f '' ( x 0 ) > 0 получаем, что x 0 является точкой минимума, если f '' ( x 0 ) 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

Найти максимумы и минимумы функции y = 8 x x + 1 .

Для начала находим область определения. Получаем, что

D ( y ) : x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0

Необходимо продифференцировать функцию, после чего получим

y ' = 8 x x + 1 ' = 8 · x ' · ( x + 1 ) - x · ( x + 1 ) ' ( x + 1 ) 2 = = 8 · 1 2 x · ( x + 1 ) - x · 1 ( x + 1 ) 2 = 4 · x + 1 - 2 x ( x + 1 ) 2 · x = 4 · - x + 1 ( x + 1 ) 2 · x

При х = 1 производная становится равной нулю, значит, точка является возможным экстремумом. Для уточнения необходимо найти вторую производную и вычислить значение при х = 1 . Получаем:

y '' = 4 · - x + 1 ( x + 1 ) 2 · x ' = = 4 · ( - x + 1 ) ' · ( x + 1 ) 2 · x - ( - x + 1 ) · x + 1 2 · x ' ( x + 1 ) 4 · x = = 4 · ( - 1 ) · ( x + 1 ) 2 · x - ( - x + 1 ) · x + 1 2 ' · x + ( x + 1 ) 2 · x ' ( x + 1 ) 4 · x = = 4 · - ( x + 1 ) 2 x - ( - x + 1 ) · 2 x + 1 ( x + 1 ) ' x + ( x + 1 ) 2 2 x ( x + 1 ) 4 · x = = - ( x + 1 ) 2 x - ( - x + 1 ) · x + 1 · 2 x + x + 1 2 x ( x + 1 ) 4 · x = = 2 · 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 · x 3 ⇒ y '' ( 1 ) = 2 · 3 · 1 2 - 6 · 1 - 1 ( 1 + 1 ) 3 · ( 1 ) 3 = 2 · - 4 8 = - 1 0

Значит, использовав 2 достаточное условие экстремума, получаем, что х = 1 является точкой максимума. Иначе запись имеет вид y m a x = y ( 1 ) = 8 1 1 + 1 = 4 .

Графическое изображение

Ответ: y m a x = y ( 1 ) = 4 ..

Третье достаточное условие экстремума

Функция y = f ( x ) имеет ее производную до n -го порядка в ε окрестности заданной точки x 0 и производную до n + 1 -го порядка в точке x 0 . Тогда f ' ( x 0 ) = f '' ( x 0 ) = f ' ' ' ( x 0 ) = . . . = f n ( x 0 ) = 0 .

Отсюда следует, что когда n является четным числом, то x 0 считается точкой перегиба, когда n является нечетным числом, то x 0 точка экстремума, причем f ( n + 1 ) ( x 0 ) > 0 , тогда x 0 является точкой минимума, f ( n + 1 ) ( x 0 ) 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

Найти точки максимума и минимума функции y y = 1 16 ( x + 1 ) 3 ( x - 3 ) 4 .

Исходная функция – целая рациональная, отсюда следует, что область определения – все действительные числа. Необходимо продифференцировать функцию. Получим, что

y ' = 1 16 x + 1 3 ' ( x - 3 ) 4 + ( x + 1 ) 3 x - 3 4 ' = = 1 16 ( 3 ( x + 1 ) 2 ( x - 3 ) 4 + ( x + 1 ) 3 4 ( x - 3 ) 3 ) = = 1 16 ( x + 1 ) 2 ( x - 3 ) 3 ( 3 x - 9 + 4 x + 4 ) = 1 16 ( x + 1 ) 2 ( x - 3 ) 3 ( 7 x - 5 )

Данная производная обратится в ноль при x 1 = - 1 , x 2 = 5 7 , x 3 = 3 . То есть точки могут быть точками возможного экстремума. Необходимо применить третье достаточное условие экстремума. Нахождение второй производной позволяет в точности определить наличие максимума и минимума функции. Вычисление второй производной производится в точках ее возможного экстремума. Получаем, что

y '' = 1 16 x + 1 2 ( x - 3 ) 3 ( 7 x - 5 ) ' = 1 8 ( x + 1 ) ( x - 3 ) 2 ( 21 x 2 - 30 x - 3 ) y '' ( - 1 ) = 0 y '' 5 7 = - 36864 2401 0 y '' ( 3 ) = 0

Значит, что x 2 = 5 7 является точкой максимума. Применив 3 достаточный признак, получаем, что при n = 1 и f ( n + 1 ) 5 7 0 .

Необходимо определить характер точек x 1 = - 1 , x 3 = 3 . Для этого необходимо найти третью производную, вычислить значения в этих точках. Получаем, что

y ' ' ' = 1 8 ( x + 1 ) ( x - 3 ) 2 ( 21 x 2 - 30 x - 3 ) ' = = 1 8 ( x - 3 ) ( 105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93 ) y ' ' ' ( - 1 ) = 96 ≠ 0 y ' ' ' ( 3 ) = 0

Значит, x 1 = - 1 является точкой перегиба функции, так как при n = 2 и f ( n + 1 ) ( - 1 ) ≠ 0 . Необходимо исследовать точку x 3 = 3 . Для этого находим 4 производную и производим вычисления в этой точке:

y ( 4 ) = 1 8 ( x - 3 ) ( 105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93 ) ' = = 1 2 ( 105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57 ) y ( 4 ) ( 3 ) = 96 > 0

Из выше решенного делаем вывод, что x 3 = 3 является точкой минимума функции.

Графическое изображение

Ответ: x 2 = 5 7 является точкой максимума, x 3 = 3 - точкой минимума заданной функции.

Основные условия возрастания функции на заданном отрезке. Теорема о достаточном условии убывания функции, ее геометрическая интерпретация. Порядок нахождения интервалов монотонности. Анализ взаимосвязи между значением аргумента и значением функции.

Рубрика	Математика
Вид	презентация
Язык	русский
Дата добавления	21.09.2013
Размер файла	95,2 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

HTML-версии работы пока нет.
Cкачать архив работы можно перейдя по ссылке, которая находятся ниже.

Подобные документы

Математическое представление, условия возрастания и убывания функции y=f(x); характеристика ее основных свойств - четности, монотонности, ограниченности и периодичности. Ознакомление с аналитическим, графическим и табличным способами задания функции.

презентация [108,2 K], добавлен 21.09.2013

Нахождение производных функций. Определение наибольшего и наименьшего значения функции. Область определения функции. Определение интервалов возрастания, убывания и экстремума. Интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба. Производные второго порядка.

контрольная работа [98,4 K], добавлен 07.02.2015

Конечное или счетное множество как совокупность возможных значений дискретной случайной величины. Анализ закона распределения функции одного случайного аргумента. Характеристика условий, от которых зависит монотонное возрастание и убывание функции.

презентация [443,3 K], добавлен 24.04.2019

Построение графика непрерывной функции. Определение множителя Лагранжа. Критические точки - значения аргумента из области определения функции, при которых производная функции обращается в нуль. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

контрольная работа [295,5 K], добавлен 24.03.2009

Вычисление производной функции и ее критических точек. Определение знака производной на каждом из интервалов методом частных значений. Нахождение промежутков монотонности и экстремумов функции. Разложение подынтегральной функции на простейшие дроби.

контрольная работа [134,7 K], добавлен 09.04.2015

Основные свойства непрерывной функции. Теоремы о корне, промежуточном значении и об ограниченности непрерывной функции, их доказательство. Непрерывная на отрезке функция достигает максимума и минимума. Графическое представление корней уравнения.

лекция [497,0 K], добавлен 13.02.2009

Расчет производной функции. Раскрытие неопределенности и поиск пределов. Проведение полного исследования функции и построение ее графика. Поиск интервалов возрастания, убывания и экстремумов. Решение дифференциальных уравнений. Расчет вероятности события.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Тема курса Применение производной при исследовании и построении графиков функций

Тема урока № 22 . Возрастание и убывание функций. Экстремум функций

Возрастание и убывание функции.

Приведем формулировки теорем, используемых при исследовании функций.

Достаточное условие строгого возрастания (убывания) функции.

Если () в интервале , то строго возрастает (убывает) в этом интервале.

Промежутки, в которых функция возрастает (убывает), называются промежутками монотонности функции. Чтобы найти промежутки монотонности функции необходимо:

1. найти область определения функции;

2. найти производную функции;

3. приравнять производную к нулю и определить ее корни (стационарные точки), а также найти точки, в которых производная не существует, а функция определена;

4. определить знак производной в каждом из промежутков, на которые разбивается полученными точками область определения функции.

Внутренняя точка интервала называется точкой максимума (минимума) функции , если существует такое , что для всех из интервала , содержащегося внутри интервала , выполняется неравенство (). Точки максимума и минимума называют точками экстремума (локального экстремума) функции. Точки, в которых производная обращается в ноль, называют стационарными точками.

Если функция дифференцируема в точке и достигает в этой точке максимума (минимума), то .

Точками экстремума могут быть только те точки, в которых производная равна нулю, либо не существует. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называют точками, подозрительными на экстремум, или критическими точками.

Достаточные условия экстремума функции

Если при переходе через точку , подозрительную на экстремум, производная меняет знак, то точка является точкой экстремума. При этом если в некоторой окрестности точки для и для , то является точкой максимума. Если же в этой окрестности для и для , то – точка минимума.

Другим достаточным признаком существования экстремума в стационарной точке является условие (тогда это точка максимума) и (тогда это точка минимума). При этом считается, что имеет непрерывную вторую производную в некоторой окрестности точки .

Примеры . Исследовать функции на минимум и максимум.

Найдем производную заданной функции

Определим критические точки . Производная не существует при х₂= 0. Следовательно, критические точки: 0 и 2/5. Нанесем их на числовую ось и определим знак производной на каждом из полученных промежутков.

Критическая точка функции x =3. Точка x= –1 не входит в область определения функции.

Читайте также: