Точка нагеля точка жергонна точка торричелли реферат

Обновлено: 02.07.2024

Изучение школьной геометрии не может осуществляться без глубокого изучения геометрии треугольника. Одной из граней изучения треугольника как объекта являются сведения, относящиеся к геометрии замечательных точек треугольника. Причем при подборе этого материала не следует ограничиваться только лишь замечательными точками, предусмотренными в школьной программе Государственным образовательным стандартом, такими как центр вписанной окружности (точка пересечения биссектрис), центр описанной окружности (точка пересечения серединных перпендикуляров), точка пересечения медиан, точка пересечения высот. Но для глубокого проникновения в природу треугольника и постижения его неисчерпаемости необходимо иметь представление и о других замечательных точках треугольника.

Содержание

Прикрепленные файлы: 1 файл

ДИПЛОМ_БУНАКОВ_ГОТОВО.docx

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Ульяновский Государственный Университет

Факультет Математики и Информационных технологий

Кафедра Алгебро-геометрических вычислений

Работа допущена к защите

Зав. кафедрой Мищенко С.П.

Д И П Л О М Н А Я Р А Б О Т А

Методические особенности изучения замечательных точек в школьном курсе планиметрии

(наименование и номер специальности)

Проект выполнил студент МА-О-08/1 _____________ Бунаков Н.А.

группа подпись, дата Ф.И.О.

Научный руководитель кандидат ф-м. н. _____________ Кругликова О.П.

должность подпись, дата Ф.И.О.

Рецензент кандидат ф-м. н. ____________ СкораяТ.В.

должность подпись, дата Ф.И.О.

У Л Ь Я Н О В С К

Глава 1. Теоретические основы по замечательным точкам треугольника и комплекс задач. 4

1.1. Замечательные точки треугольника, история и общая информация. 4

1.2. Замечательные точки треугольника, изучаемые в школе. 7

1.2.1. Точка пересечения высот (ортоцентр). 9

1.2.2. Точка пересечения биссектрис (ицентр). 11

1.2.3. Расстояние от вершины до ортоцентра и ицентра треугольника. 12

1.2.4. Расстояние между замечательными точками. 13

1.3. Замечательные точки треугольника, не изучаемые в школе. 21

1.3.1. Прямая Эйлера и окружность Эйлера (окружность девяти точек). 21

1.3.2. Теорема Лейбница. Теорема Чевы. Точка Жергонна. Точка Нагеля. 27

1.3.3. Точка Лемуана. Точка Ферма. Точка Торричелли. Первая и вторая точки Брокара. 33

1.3.4. Точка Микеля. 39

1.3.5. Треугольники Наполеона. 41

Список литературы 72

Введение

Треугольник, несмотря на свою кажущуюся простоту, является неисчерпаемым объектом изучения – никто даже в наше время не осмелится сказать, что изучил и знает все свойства треугольника.

Изучение школьной геометрии не может осуществляться без глубокого изучения геометрии треугольника. Одной из граней изучения треугольника как объекта являются сведения, относящиеся к геометрии замечательных точек треугольника. Причем при подборе этого материала не следует ограничиваться только лишь замечательными точками, предусмотренными в школьной программе Государственным образовательным стандартом, такими как центр вписанной окружности (точка пересечения биссектрис) , центр описанной окружности (точка пересечения серединных перпендикуляров), точка пересечения медиан, точка пересечения высот. Но для глубокого проникновения в природу треугольника и постижения его неисчерпаемости необходимо иметь представление и о других замечательных точках треугольника. Это не означает, что всем школьникам на уроках геометрии необходимо сообщать про точку Ферма или точку Жергона; но любой школьник должен иметь принципиальную возможность прикоснуться к этому кладезю идей – через факультативные занятия либо самостоятельно.

В виду вышесказанного, в данной дипломной работе обращается внимание не столько на тех сведениях, которые есть в любых школьных учебниках по геометрии, сколько на том, чего в них нет – это, прежде всего, замечательные точки треугольника, не изучаемые в школе.

Все вышесказанное обосновывает актуальность разработки темы данного дипломного исследования.

Цель дипломной работы:

систематизировать геометрический материал о замечательных точках треугольника как изучаемых, так и не изучаемых в школьном курсе планиметрии;

В связи с достижением цели возникла необходимость в решении следующих задач:

проанализировать возможности углубленного изучения замечательных точек в школьном курсе планиметрии в 7-9 классах.
упорядочить систему задач по теме, выделив опорные задачи, являющиеся основой для решения последующих задач
разработать факультативный курс по замечательным точкам на примере окружности Эйлера.

Глава 1. Теоретические основы по замечательным точкам треугольника и комплекс задач.

Замечательные точки треугольника, история и общая информация.

Свойства треугольника были хорошо изучены еще в древности греками.

На вышеназванные четыре точки было обращено особое внимание, и начиная с XVIII века они были названы "замечательными" или "особенными" точками треугольника. Исследование свойств треугольника, связанных с этими и другими точками, послужило началом для создания новой ветви элементарной математики – "геометрии треугольника" или "новой геометрии треугольника".

Начало открытий замечательных точек треугольника, не изучаемых в школе, положил в 17 веке Джованни Чева (1648 - 1734) – итальянский математик. Основной заслугой Чевы является построение учения о секущих, которое положило начало новой – синтетической геометрии; оно изложено в сочинении "О взаимнопересекающихся прямых" [16]. Во-первых, его теорема (знаменитая теорема Чевы) сама по себе представляет ценность, во-вторых, ее применение позволило открыть свойства замечательных точек треугольника, известных как точки Нагеля и Жергонна.

Следующим продвижением в истории математики является доказательство Готфридом Лейбницем теоремы о пересечении медиан в 1701 году в Берлине.В 1765 году Эйлер доказал, что в любом треугольнике ортоцентр, барицентр и центр описанной окружности лежат на одной прямой, названной позже "прямой Эйлера". В двадцатых годах XIX века французские математики Ж. Понселе, Ш. Брианшон и другие установили независимо друг от друга следующую теорему: основания медиан, основания высот и середины отрезков высот, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника, лежат на одной и той же окружности.Эта окружность называется "окружностью девяти точек", или "окружностью Фейербаха", или "окружностью Эйлера". К. Фейербах установил, что центр этой окружности лежит на прямой Эйлера.

В 19 веке появляется публикация молодого французского математика Ферма расчетов, связанных с минимальным суммарным расстоянием до вершин треугольника [4, 12, 16-20].

Уже в конце 19 века Брокар, Нагель и Торричелли, изучая труды Ферма и применяя теорему Чевы, замечают неопубликованные ранее никем некоторые свойства точки Ферма [4, 18].

В итоге центральное место в геометрии треугольника занимают так называемые замечательные точки, ими являются:

Точки пересечения:
- медиан—центроид, центр тяжести.
- биссектрис — инцентр, центр вписанной окружности.
- высот — ортоцентр.
- серединных перпендикуляров — центр описанной окружности.
- симедиан — точка Лемуана.
- перпендикуляров, восстановленных из вершин правильного, вписанного в исходный треугольник, — точка Аполония.
- биссектрис серединного треугольника (его инцентра) — точка Шпикера.
Точки пересечения отрезков, соединяющих вершины треугольника:
- c точками касания противоположных сторон и вписанной окружности — точка Жергона.
- c точками касания противоположных сторон и вневписанной окружности — точка Нагеля.
- c соответствующими свободными вершинами равносторонних треугольников, построенных на сторонах треугольника — точка Ферма, если в треугольнике ни один из углов не превосходит 120°, то точка Торричелли существует и совпадает с точкой Ферма.
- c соответствующими свободными вершинами треугольников, подобных исходному треугольнику и построенных на его сторонах — точки Брокара.
Центр окружности девяти точек [14].

1.2. Замечательные точки треугольника, изучаемые в школе.

Всем известно, что биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной в этот треугольник окружности. Также в одной точке пересекаются медианы и высоты треугольника, серединные перпендикуляры к его сторонам. Все точки, получающиеся в результате пересечения перечисленных наборов из трех прямых, назовем замечательными – замечательное в них, прежде всего то, что три различные прямые на плоскости, как правило, пересекаются в трех различных точках, а не в одной.

Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий его вершину с серединой противолежащей стороны. Биссектрисой треугольника называют отрезок прямой, делящей угол при вершине на две равные части. Высотой треугольника называют перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или ее продолжение.

Конец любого из этих отрезков, противолежащий вершине, из которой проведен отрезок, называется основанием.

Каждый треугольник имеет три медианы, три биссектрисы и три высоты, причем каждая тройка прямых пересекается в одной точке. Эти точки, вообще говоря, отличны друг от друга, однако для правильного треугольника совпадают с его центром.

Основное свойство медиан: в любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Мы будем обозначать эту точку буквой М. Ее также называютцентроидом или центроммасстреугольника.

Медиана разбивает треугольник на два равновеликих, то есть имеющих одинаковую площадь.

Три медианы разбивают треугольник на шесть равновеликих.

Отрезки, соединяющие точку пересечения медиан с вершинами треугольника, разбивают треугольник на три равновеликие части.

Основное свойство биссектрис:точка пересечения – центр вписанной окружности.

Биссектриса внутреннего угла треугольника есть геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла. Две биссектрисы обязательно пересекутся в одной точке.

Эта точка будет равноудалена от сторон углаА и от сторон угла В и, следовательно, от сторон угла С. Это означает, что точка I лежит также и на третьей биссектрисе и равноудалена от всех трех сторон треугольника – то есть является центром вписанной в него окружности.

Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в центре вписанной окружности.

Свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника: биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные заключающим ее сторонам.

Математика - очень интересная и увлекательная наука. Благодаря своей универсальности она стала использоваться в естественных, гуманитарных науках и во всех сферах жизни человека. Так, например, мы часто встречаемся с кривыми, которые не кажутся нам безобразными, а совсем наоборот, они привлекают наше внимание своими изящными формами и удивительными свойствами..Наш проект про замечательные точки и линии треугольника, известные как точки Нагеля и Жергонна.

Цель работы: рассмотреть замечательные точки в треугольнике и научиться научится решать задачи повышенной сложности, применяя свойства замечательных точек и линий.

Задачи: исследовать значение замечательных точек Жергонна, Нагеля, Рело. Найти применение точек на практике, показать красоту точек. . Подготовить подборку задач для элективного курса по данной теме.

Вложение	Размер
Цель работы: рассмотреть замечательные точки в треугольнике и научиться научится решать задачи повышенной сложности, применяя св	734.93 КБ

Предварительный просмотр:

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ГОРОДА МОСКВЫ

Тематическое направление: Физико-математическое

Исследовательская работа
на тему:

Выполнил: курсант 1курса 1 взвода Золотарев Станислав Владиславович

Руководитель: Караханова Инна Ивановна преподаватель математики ВКК

Введение
Свойства точки Жергонна.
Свойство точки Нагеля.
Треугольник Жергонна.
Треугольник Нагеля.
Треугольник Рёло.
Практическая часть.
Заключение.
Список используемых источников.

Творчество математика в такой же степени есть создание прекрасного, как творчество живописца или поэта, - совокупность идей, подобно совокупности красок и слов, должна обладать внутренней гармонией. Красота есть первый пробный камень для математической идеи; в мире нет места уродливой математике.
/Годфри Харди/

Цель работы: научится решать задачи повышенной трудности, применяя свойства замечательных точек и линий

Практическая значимость : расширить свои знания, особенно про свойства треугольника. Дополнительные знания помогут при подготовке к математическим олимпиадам.

Начало открытий замечательных точек треугольника, не изучаемых в школе, положил в 17 веке Джованни Чева (Ceva) (1648 - 1734) – итальянский математик. Основной заслугой Чевы является построение учения о секущих, 5 которое положило начало новой – синтетической геометрии; оно изложено в сочинении "О взаимнопересекающихся прямых". Его теорема позволила открыть свойства замечательных точек треугольника, известных как точки Нагеля и Жергонна.

Жозеф Диас Жергонн (JosephDiazGergonne, 19.06.1771 – 4.05.1859) — французский математик, геометр, на которого оказал большое влияние Монж, с 1830 по 1844 год был ректором университета Монпелье.

Жергонн дал элегантное решение задачи Аполлония: построить окружность, которая касается трех данных окружностей. Он ввел термин “поляра” и принцип двойственности в проективную геометрию.

Вот так Жергонн говорил о математических теориях:“Невозможно чувствовать удовлетворение от того, что в некоторой теории сказано все, пока она не может быть объяснена в нескольких словах любому прохожему, с которым вы встретитесь на улице’’.Красиво, не правда ли? Жаль, что это невозможно…

Христиан Генрих фон Нагель немецкий математик.Изучал теологию в Тюбингене , затем там же, а с 1830 г. в Ульме преподавал математику в гимназии. Известенрядом работпо геометрии :

в дальнейшем получившая название точки Нагеля .

Определение. Точкой Жергонна называется точка пересечения отрезков, которые соединяют вершины треугольника с точками касания сторон, противоположных этим вершинам, и вписанной в треугольник окружности.Пусть точка I — центр вписанной окружности треугольникаABC. Пусть вписанная окружность касается сторон треугольникаBC, AC и AB в точках D, E и F соответственно. Точка Жергонна — это точка пересечения отрезков AD, BE и CF.

Докажем, что эти три отрезка действительно пересекаются в одной точке. Заметим, что центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис углов треугольникаABC, а радиусы вписанной окружности ID, IE иIF перпендикулярны сторонам треугольника. Тем самым, имеемтри пары равных треугольников.
Произведения AF*BD*CE и AE*BE*CF равны, поскольку

следовательно, отношение этих произведений равно 1, и по теореме Чевы , отрезки пересекаются в одной точке.

Замечание. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой, лежащей на противоположной стороне или ее продолжении, называется чевианой .

Точка Жергонна является точкой Лемуана треугольника, образованного точками касания треугольника сторон треугольника со вписанной окружностью.

Точка Жергонна изотомически сопряженаточке Нагеля .
Точка Жергонна изогонально сопряжена с центром отрицательной гомотетии вписанной и описанной окружности .
Квадрат расстояния от точки Жергонна до центра вписанной окружности равен

Квадрат расстояния от точки Жергонна до центра описанной окружности равен

Точка Жергонна лежит внутри открытого ортоцентроидного круга с выколотым центром.
Полный набор свойств точки Жергонна можно найти в статье Декова.

Определение. Точка Нагеля — точка пересечения отрезков, соединяющих вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с соответствующими вневписанными окружностями.

Точка Нагеля лежит на одной прямой с инцентром и центроидом, при этом центроид делит отрезок между точкой Нагеля и инцентром в отношении 2 : 1. Эта прямая называется прямой Эйлера.
Если точки таковы, что каждый из отрезков, и делит периметр треугольника пополам, то эти отрезки пересекаются в одной точке — точке Нагеля.
Точка Нагеля изотомически сопряжена точке Жергонна.
Точка Нагеля изогонально сопряжена с центром положительной гомотетии вписанной и описанной окружности (точка Веррьера).
Расстояние между ортоцентром и точкой Нагеля равно диаметру

Треугольник Жергонна (для треугольника ABC) определяется тремя точками касания вписанной окружности на трёх сторонах. Эти вершины обозначим T A , T B и T C . Точка T A лежит напротив вершины A. Этот треугольник Жергонна T A T B T C известен также как треугольник касаний треугольника ABC.

Три прямые AT A , BT B и CT C пересекаются в одной точке — точке Жергонна и обозначается Ge — X(7) .
Точка Жергонна треугольника является точкой пересечения симедиан треугольника Жергонна .
Пусть, точки касания вписанной в данный треугольник окружности соединены отрезками, тогда получится треугольник Жергонна , и в полученном треугольнике проведены высоты. В этом случае прямые, соединяющие основания этих высот, параллельны сторонам исходного треугольника. Следовательно ортотреугольник треугольника Жергонна и исходный треугольник подобны.
Треугольник Жергонна (для треугольника ABC ) является подерным треугольником для инцентра в треугольнике ABC .

Теорема Жергонна. Пусть три чевианы AB, BE иCF пересекаются в точке K внутри треугольника ABC. Тогда выполняются следующие равенства:

Доказательство. Поскольку выполняются очевидные равенства

то равенства 1) и 2) эквивалентны. Докажем первое из них.

Рассмотрим отношения площадей треугольников

Здесь мы используем тот факт, что отношения площадей треугольников, имеющих общую сторону, равны отношениям их высот. Соответственно, отношение высот будет равно отношению длин параллельных отрезков, проведенных к общей стороне из противоположной вершины.

Теперь сложим отношения площадей:

Треугольник Нагеля для треугольника ABC определяется вершинами T A , T B и T C , которые являются точками касания вневписанных окружностей треугольника ABC и точка T A противоположна стороне A, и т. д.

Описанная вокруг треугольника T A ,T B ,T C ,окружность называется окружностью Мандарта (частный случай эллипса Мандарта ).
Три прямые AT A , BT B и CT C делят периметр пополам и пересекаются в одной точке Нагеля Na — X(8) .
Перпендикуляры, восставленные в трех вершинах треугольника Нагеля к сторонам основного треугольника (т. е. в точках касания вневписанных окружностей со сторонами основного треугольника), пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности.

Треуго́льник Рёло́ представляет собой область пересечения трёх равных кругов с центрами в вершинах правильного треугольника и радиусами, равными его стороне. Негладкая замкнутая кривая, ограничивающая эту фигуру, также называется треугольником Рёло.

Треугольник Рёло является простейшей после круга фигурой постоянной ширины. То есть если к треугольнику Рёло провести пару параллельных опорных прямых, то независимо от выбранного направления расстояние между ними будет постоянным. Это расстояние называется шириной треугольника Рёло.

Название фигуры происходит от фамилии немецкого механика Франца Рёло. Он, вероятно, был первым, кто исследовал свойства этого треугольника; также он использовал его в своих механизмах.

Рёло не является первооткрывателем этой фигуры, хотя он и подробно исследовал её. В частности, он рассматривал вопрос о том, сколько контактов (в кинематических парах) необходимо, чтобы предотвратить движение плоской фигуры, и на примере искривлённого треугольника, вписанного в квадрат, показал, что даже трёх контактов может быть недостаточно для того, чтобы фигура не вращалась.

Некоторые математики считают, что первым продемонстрировал идею треугольника из равных дуг окружности Леонард Эйлер в XVIII веке. Тем не менее, подобная фигура встречается и раньше, в XV веке: её использовал в своих рукописях Леонардо да Винчи. Треугольник Рёло есть в его манускриптах A и B, хранящихся в Институте Франции, а также в Мадридском кодексе.

Примерно в 1514 году Леонардо да Винчи создал одну из первых в своём роде карт мира. Поверхность земного шара на ней была разделена экватором и двумя меридианами (угол между плоскостями этих меридианов равен 90°) на восемь сферических треугольников, которые были показаны на плоскости карты треугольниками Рёло, собранными по четыре вокруг полюсов.

Ещё раньше, в XIII веке, создатели церкви Богоматери в Брюгге (Бельгия) использовали треугольник Рёло в качестве формы для некоторых окон.

Треугольник Рёло обладает осевой симметрией. Он имеет три оси симметрии второго порядка, каждая из которых проходит через вершину треугольника и середину противоположной дуги, а также одну ось симметрии третьего порядка, перпендикулярную плоскости треугольника и проходящую через его центр. Основные геометрические характеристики:

1) Если ширина треугольника Рёло равна, то его площадь равна:

3) Радиус вписанной окружности:

4) Радиус описанной окружности:

Треугольник Рёло можно построить с помощью одного только циркуля, не прибегая к линейке. Это построение сводится к последовательному проведению трёх равных окружностей. Центр первой выбирется произвольно, центром второй может быть любая точка первой окружности, а центром третьей — любая из двух точек пересечения первых двух

№1.Докажите, что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с соответствующими вневписанными окружностями, пересекаются в одной точке (точка Нагеля) .

Решение
Рассмотрим треугольник ABC . Обозначим BC=a , AC=b , AB=a . Пусть A" , B" , C" – точки касания вневписанных окружностей треугольника со сторонами BC , AC , AB соответственно, K – точка касания первой из этих окружностей с продолжением стороны AB , p – полупериметр треугольника. Тогда

BA"=BK = AK - AB = p-c.
Аналогично

A"C=p-b, CB"=p-a, B"A = p-c, AC"=p-b, C"B=p-a.
Поэтому

· · = · · =1
Следовательно, по теореме Чевы отрезки AA" , BB" и CC" пересекаются в одной точке.

№2.
В треугольник вписана окружность. Точки касания соединены с противоположными вершинами треугольника. Докажите, что полученные отрезки пересекаются в одной точке. ( точка Жергона ).

Нужно доказать, что два из этих отрезков делят третий в одном и том же отношении или воспользоваться теоремой Чевы.

Решение

Пусть M, N и K – точки касания вписанной в треугольник ABC окружности со сторонами BC, AB и AC соответственно. Обозначим BM = BN = x,
AN = AK = y, CM = CK =

Первый способ . Проведём через точку A прямую, параллельную стороне BC и продолжим отрезок CN до пересечения с этой прямой в точке T . Из подобия треугольников ANT и BNC следует, что Поэтому
Пусть P – точка пересечения AM и CN . Из подобия треугольников APT и MPC следует, что
Аналогично докажем, что если Q – точка пересечения AM и BK , то
Следовательно, точки P и Q совпадают.

Второй способ .
По теореме Чевы отрезки AM, CN и BK пересекаются в одной точке.

Точка С 1 делит сторону АВ треугольника АВС в отношении 2 : 1. точка В 1 лежит на продолжении стороны АС за точку С, и АС = СВ 1 . В каком отношении делит прямая В 1 С 1 сторону ВС? (на слайде 2).

Решение: По условию Используя теорему Менелая, находим: .

В треугольнике АВС АD – медиана, точка О – середина медианы. Прямая ВО пересекает сторону АС в точке К.

В каком отношении точка К делит АС, считая от точки А? (на слайде 3).

Решение: Пусть ВD = DС = а, АО = ОD = m. Прямая ВК пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника АDС . По теореме Менелая .

В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NС = 3ВN; на продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА = АС. Прямая МN пересекает сторону АВ в точке F. Найдите отношение . (на слайде 4).

Решение: По условию задачи МА = АС, NС = 3 ВN. Пусть МА = АС = b, BN = k, NC = 3k. Прямая МN пересекает две стороны треугольника АВС и продолжение третьей. По теореме Менелая

Для написания своей работы мы рассмотрели много теоретического материала.

Исследовали точки Жергонна и Нагеля, а также их треугольники и Треугольник Рёло, изучили биографию этих математиков и получил новые знания и использовал их при решении задач. Работая над темой, мы поняли, что, несмотря на то, что треугольник называют простейшей фигурой, он скрывает в себе еще много тайн, которые только предстоит разгадать ученым. Мы продолжим работать над этой темой и порешаем задачи на замечательные точки треугольника.

Жозеф Диас Жергонн (Joseph Diaz Gergonne, 19.06.1771 – 4.05.1859) — французский математик, геометр, на которого оказал большое влияние Монж, с 1830 по 1844 год был ректором университета Монпелье.

В 1810 году Жергонн начал издавать свой журнал, который имел официальное название Annales de mathématiques pures et appliquées, но стал известен как Annales de Gergonne. Этот журнал издавался в течение 22 лет, в основном в нем печатались работы, посвященные геометрии как основной области интересов Жергонна. В нем печатались работы многих известных математиков: Понселе, Плюкера, Брианшона, Галуа и др.

Вот так Жергонн говорил о математических теориях:

“Невозможно чувствовать удовлетворение от того, что в некоторой теории сказано все, пока она не может быть объяснена в нескольких словах любому прохожему, с которым вы встретитесь на улице.’’

Красиво, не правда ли? Жаль, что это невозможно…

Определение. Точкой Жергонна называется точка пересечения отрезков, которые соединяют вершины треугольника с точками касания сторон, противоположных этим вершинам, и вписанной в треугольник окружности.

Пусть точка — центр вписанной окружности треугольника . Пусть вписанная окружность касается сторон треугольника и в точках и соответственно. Точка Жергонна — это точка пересечения отрезков и .

Докажем, что эти три отрезка действительно пересекаются в одной точке. Заметим, что центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис углов треугольника , а радиусы вписанной окружности и перпендикулярны сторонам треугольника. Тем самым, имеем три пары равных треугольников ( и , и , и ).

Произведения и равны, поскольку

$BF = BD, CD = CE, AE = AF ,$

следовательно, отношение этих произведений равно , и по теореме Чевы, отрезки пересекаются в одной точке.

Замечание. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой, лежащей на противоположной стороне или ее продолжении, называется чевианой.

Теорема Жергонна. Пусть три чевианы и пересекаются в точке внутри треугольника . Тогда выполняются следующие равенства:

$\displaystyle \frac<KD> 1) +\frac+\frac=1 .$

$\displaystyle \frac<AK> 2) +\frac+\frac=2 .$

Доказательство. Поскольку выполняются очевидные равенства

$\frac<AK> +\frac=1, \frac+\frac=1, \frac+\frac=1 ,$

то равенства 1) и 2) эквивалентны. Докажем первое из них.

Рассмотрим отношения площадей треугольников

$\frac<S_<\Delta BKC> >>=\frac, \frac>>=\frac, \frac>>=\frac .$

Теперь сложим отношения площадей:

$\frac<KD> + \frac +\frac =\frac + S_ + S_>> = 1.$

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Медианы треугольника пересекаются в одной точке . Она является в треугольнике центром тяжести – центроид.

Точка пересечения медиан делит каждую из медиан в отношении 2:1 , считая от вершины треугольника.

Биссектрисой треугольника называется луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.

Биссектрисы треугольника пересекаются в точке O , которая равноудалена от трех сторон треугольника и потому является центром вписанной в треугольник окружности (инцентр).

Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке , она называется ортоцентром треугольника.

В треугольнике три медианы, три высоты, три биссектрисы, три серединных перпендикуляра.

Окружность, которая проходит через все три вершины треугольника называется описанной .

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке – центр описанной окружности.

Окружность внутри треугольника, касающаяся всех его сторон называется вписанной .

Рассмотрим треугольник АВС и отметим на его сторонах АВ, ВС и СА точки , , . Поставим такой вопрос: при каком расположении этих точек отрезки А, В и С пересекаются в одной точке?

Теорема Чевы: Если на сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС взяты

соответственно точки , , , то отрезки А, В и С (чевианы) пересекаются в одной точке тогда и только тогда когда

Доказательство:

Пусть отрезки А, В и С пересекаются в одной точке О. Докажем, что выполнено равенство (1). По теореме о пропорциональных отрезках в треугольнике имеем:

Левые части этих равенств одинаковы, значит, равны и правые части. Приравнивая их, получаем

Разделив обе части на правую часть, приходим к равенству (1).

Докажем обратное утверждение. Пусть точки , , взяты на сторонах АВ, ВС и СА так, что выполнено равенство (1). Докажем, что отрезки А, В и С пересекаются в одной точке. Обозначим буквой О точку пересечения отрезков А и В и проведем прямую СО. Она пересекает сторону АВ в некоторой точке, которую обозначим . Так как отрезки А, В и С пересекаются в одной точке, то по доказанному в первом пункте

Итак, имеют место равенство (1) и (2).

Сопоставляя их, приходим к равенству =, которое показывает, что точки и делят сторону АВ в одном и том же отношении. Следовательно, точки и совпадают, и, значит, отрезки А, В и С пересекаются в точке О.

Применим данную теорему к центроиду – точке пересечения медиан треугольника.

По теореме Чевы: , значит медианы пересекаются в одной точке.

Оказывается если соединить вершины треугольника с противоположными точками касания вписанной окружности, то эти прямые пересекаются в одной точке. Это и есть точка Жергонна!

Определение. Точку пересечения прямых, соединяющих вершины

треугольника с точками касания вписанной окружности, называют точкой Жергонна.

Пусть точка — центр вписанной окружности треугольника ABC . Пусть вписанная окружность касается сторон треугольника BC , AC и AB в точках DE и F соответственно. Точка Жергонна — это точка пересечения отрезков AD , BE и CF .

Докажем, что чевианы AD , BE и CF пересекаются в одной точке.

Рассмотрим треугольник АВС:

FB = BD = y отрезки касательных к окружности, проведенные из одной

CE = CD = z точки

Воспользуемся теоремой Чевы:

- следовательно, по теореме Чевы эти отрезки пересекаются в одной точке.

Задача 1(Теорема Жергонна).

Пусть три чевианы AD , BE и CF пересекаются в точке внутри треугольника ABC . Тогда выполняются следующие равенства:

а) Рассмотрим отношения площадей треугольников. Запишем следующие равенства:

Задача 2. В треугольнике АВС АВ= a , ВС= b , CA = c и

(полупериметр). Точки F , D , E – точки касания треугольника и вписанной окружности. Найти отрезки AF , FB , BD , DC , CE , EA .

Решение:

Рассмотрим треугольник АВС:

обозначим FB = BD = y отрезки касательных к окружности,

CE = CD = z проведенные из одной точки

(нашли отрезки CE и CD ).

(нашли отрезки AF и AE ).

(нашли отрезки FB и BD ).

Ответ: AF = AE =, FB = BD =, CE = CD =.

Задача 3.(олимпиадная задача)

В треугольной пирамиде проведены три биссектрисы плоских углов при вершине пирамиды, а также три биссектрисы основания пирамиды. Известно, что основания двух пар проведенных биссектрис совпадают. докажите, что основания и третьей пары биссектрис совпадают.

Пусть SABC – данная пирамида, SK , SL , SM – биссектрисы боковых граней SBC , SCA , SAB .

Тогда, По свойству биссектрис(отношение отрезков, на которые биссектриса делит сторону, равно отношению сответствующих сторон):

Перемножим левые и правые части этихравенств:

Следовательно, по теореме Чевы отрезки AK , BL , CM пересекаются в одной точке.

По условию, два отрезка есть биссектрисы углов в треугольнике ABC .

Три отрезка пересекаются в одной точке(доказано).Биссетрисы треугольника пересекаются в одной точке, значит и третий отрезок является биссектрисой.

Читайте также: