Теплопроводность шаровой стенки реферат

Обновлено: 04.07.2024

Имеем полый шар с внутренним ( ) и внешним ( ) радиусами и постоянным коэффициентом теплопроводности . Температура на внутренней поверхности – , а на внешней – , причём . Дифференциальное уравнение теплопроводности при стационарном режиме записывается в сферических координатах в виде (см. 2.11). Считаем, что температура меняется только вдоль радиуса r и не зависит от широты и долготы, поэтому дифференциальное уравнение теплопроводности преобразовывается в вид:

Для решения данного дифференциального уравнения второго порядка запишем граничные условия:

Если температура меняется вдоль радиуса шара, то закон Фурье имеет вид:

Поверхность шара равна

После двойного интегрирования уравнения (5.1) и определения постоянных интегрирования получаем выражение для теплового потока через шаровую стенку

Плотность теплового потока через внутреннюю поверхность шара

Плотность теплового потока через наружную поверхность шара

Решением дифференциального уравнения (5.1) для температурного поля в шаровой стенке является

Подставляя в уравнение (5.5) радиус r в метрах, можно определить температуру t в любой точке шаровой поверхности. Изотермические поверхности в этом случае являются шаровыми, т.е. температура в шаровой стенке меняется по закону гиперболы.

Для многослойной шаровой стенки из n-слоёв тепловой поток определяется из выражения:

Значения и в (5.6) задаются.

Гидромеханическое подобие конвективного теплообмена

Найдём условия подобия двух потоков несжимаемой жидкости, которые описываются уравнением движения Навье-Стокса. Рассмотрим только уравнение движения для проекции скорости на ось Х:

Аналогично запишем для второй подобной системы (13.2) (всё с двумя штрихами). Вводим постоянные подобия (константы):

Выражаем уравнение движения Навье-Стокса для второй подобной системы через первую с учётом постоянных подобия

Из (13.3) выделим пять комплексов подобия:

Для получения числа подобия разделим второй комплекс на первый: .

Комплексы, составлены из констант подобия, когда справа или слева стоит 1, получили название индикатора подобия, заменяя в индикаторе подобия безразмерные константы подобия , , на размерные величины w, t, , получаем число подобия гомохронности или Струхаля: , (13.4)

где Но выражает меру переносного или конвективного ускорения к ускорению в данной точке.

Разделив II на III получаем число подобия Фруда:

где Fr характеризует отношение инерционной силы в потоке к силе тяжести.

Разделив IV на II, мы получаем число подобия Эйлера:

где Eu отношение перепада давления в потоке жидкости к динамическому давлению потока.

где Re характеризует режим движения потока, и представляет собой меру отношения сил инерции к силам вязкости.

Архимед, Галилей и Грасгоф являются производными числами подобия.

Тепловое подобие

Тепловое подобие – это подобие температурных полей и тепловых потоков. Рассмотрим две подобные системы (', "). Запишем уравнение энергии для одномерной задачи (температура меняется вдоль координаты Х), и уравнение теплообмена:

Введём постоянные подобия (константы).

Константы подобия коэффициентов температуропроводности:

Заменяя переменные второй системы через переменные первой, мы получаем дифференциальное уравнение энергии и теплообмена для второй системы, записанное через переменные первой:

Выделим пять констант подобия:

Подставляя вместо постоянных подобия их размерные величины и произведя разделение переменных, мы получаем числа теплового подобия

Т.е. получили число подобия Фурье . (13.8)

Это безразмерное время, которое характеризует временное развитие процесса теплопроводности (относительная форма текущего времени).

– Число подобие Пекле , (13.9)

Pe выражает соотношение между переносом теплоты за счёт конвекции и за счёт молекулярной теплопроводности.

Разделив Pe/Re получаем число Прандтля Pr:

Pr характеризует физические свойства среды, он табулирован в зависимости от температуры.

Разделим – получим основное число теплового подобия числа Нуссельта Nu (безразмерный коэффициент теплоотдачи):

Nu характеризует интенсивность теплообмена на границе раздела тепловых сред и связывает интенсивность теплоотдачи a, и температурное поле l в пограничном слое потока.

(13.8 – 13.11) – основные числа числового подобия.

Дадим вспомогательные числа гидродинамического и теплового подобия.

Комбинируя Re и Fr можно получить число подобия Галилея:

Комбинируя Ga с параметрическим числом, характеризующим неоднородное поле плотностей , получим число подобия Архимеда:

Комбинируя Nu и Pe, получаем число подобия Стантона

St есть отношение конвективного теплового потока к тому тепловому потоку, который может быть перенесён потоком жидкости.

При свободной конвекции вызывается неоднородностью поля температур, т.к. плотность газа зависит от температур. Поэтому в числе подобия Ar заменяется на , где b – температурный коэффициент объёмного расширения. В результате из Ar получаем число Грасгофа Gr: , (13.15)

Gr характеризует подъёмную силу, возникающую в жидкости вследствие разности плотностей (учёт свободной конвекции).

Число подобия Маха – отношение скорости потока к местной скорости звука. , (13.16)

где – для идеального газа,

– для реального газа.

М характеризует сжимаемость жидкости, если , то жидкость (газ) считаем несжимаемой;

St пользуется при рассмотрении развитого турбулентного течения;

Pr характеризует подобие полей скоростей и температуры в движущейся среде.

Число подобия Релея: . (13.17)

Ra представляет собой критерий тепловой неустойчивости или нестабильности при свободной конвекции.

Число гомохромности или Струхаля: .

При изучении процессов гидродинамики и теплообмена могут встретиться следующие числа подобия.

Число подобие Кирпичёва: .

(мера отношения потока тепла подводимой к поверхности тела, к потоку отводится с поверхности внутрь тела за счёт теплопроводности).

Число подобия Кондратьева: .

(характеризует отставание изменения температуры какой-либо точки тела от изменения температуры окружающей среды, m – темп охлаждения).

Число подобия Вебера: .

(критерий поверхности натяжения).

We характеризует процесс дробления вязких жидкостей при распыле их воздухом или паром в горелочных устройствах. (отношение сил поверхностного натяжения к силам тяжести).

где s – коэффициент поверхностного натяжения, Н/м;

r_к – плотность капли, кг/м 3 ;

r – плотность воздуха или пара, кг/м 3 ;

– размер капли (d), м.

Число подобия Лященко: .

(характеризует гидродинамическую обстановку в слое зернистого материала (кипящего слоя) при течении жидкости или газа сквозь слой твёрдого зернистого материала).

Число подобия Стокса:

характеризует процесс обтекания тел запылённым потоком газа. Является мерой отношения сил инерции и сил вязкости на движущуюся в потоке частицу. Всего обобщенных переменных в теории переноса порядка 140.

Переходя от размерных физических величин или первичным к безразмерным комплексам или критериям, исходя из второй теоремы подобия, можно записать критериальные зависимости следующего вида:

Теплопроводность как один из способов изменения внутренней энергии тела. Стационарная теплопроводность через шаровую стенку. Уравнение температурной кривой внутри однородной шаровой стенки. Роль и значение закона Фурье в отношении теплового потока.

Рубрика	Физика и энергетика
Вид	презентация
Язык	русский
Дата добавления	18.02.2015
Размер файла	150,3 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

HTML-версии работы пока нет.
Cкачать архив работы можно перейдя по ссылке, которая находятся ниже.

Подобные документы

Стационарная теплопроводность шаровой (сферической) стенки. Обобщенный метод решения задач стационарной теплопроводности. Упрощенный расчет теплового потока через плоскую, цилиндрическую и шаровую стенки (ГУ 1 рода). Методы интенсификации теплопередачи.

презентация [601,4 K], добавлен 15.03.2014

Явление передачи внутренней энергии от одного тела к другому, от одной его части к другой. Теплопроводность через однослойную, многослойную и цилиндрическую стенки. Определение параметров теплопроводности в законе Фурье. Примеры теплопроводности в жизни.

презентация [416,0 K], добавлен 14.11.2015

Исследование распределения температуры в стенке и плотности теплового потока. Дифференциальное уравнение теплопроводности в цилиндрической системе координат. Определение максимальных тепловых потерь. Вычисление критического диаметра тепловой изоляции.

презентация [706,5 K], добавлен 15.03.2014

Стационарная теплопроводность безграничной многослойной плоской стенки. Эквивалентный коэффициент теплопроводности многослойной стенки. Коэффициент теплопередачи, уравнение теплопередачи, температура на границах слоев. Температура многослойной стенки.

презентация [354,9 K], добавлен 15.03.2014

Стационарная передача через плоскую стенку. Плотность теплового потока через стальную стенку и слой накипи. Расчет тепловой изоляции стальной трубки по заданным параметрам. Нестационарный нагрев длинного круглого вала. Сложный теплообмен, потеря тепла.

контрольная работа [479,6 K], добавлен 16.11.2010

Условия однозначности дифференциального уравнения теплопроводности. Распределение температуры нестационарных процессов. Стационарная теплопроводность безграничной плоской стенки. Распределение температур в пластине при постоянном и переменном процессе.

презентация [311,0 K], добавлен 15.03.2014

Разделение теплопереноса на теплопроводность, конвекцию и излучение. Суммарный коэффициент теплоотдачи. Определение лучистого теплового потока. Теплопередача через плоскую стенку. Типы теплообменных аппаратов. Уравнение теплового баланса и теплопередачи.

1. Однородная шаровая стенка. Рассмотрим полый шар с внутренним радиусом гг и внешним . Стенка шара состоит из однородного материала, коэффициент теплопроводности которого постоянен. Известны температуры внутренней и внешней поверхностей шара , причем (рис. 1-14). Изотермические поверхности представляют собой концентрические шаровые поверхности.

Выделим внутри стенки шаровой слой радиусом и толщиной , ограниченный изотермическими поверхностями. Согласно закону Фурье тепловой поток, проходящий через этот слой, равен:

Разделив переменные, получим:

После интегрирования этого уравнения имеем:

Подставляя в уравнение (в) значения переменных величин на границах стенки (при и при ) и исключая постоянную С, получаем следующую расчетную формулу:

где — толщина стенки.

Уравнение температурной кривой внутри однородной шаровой стенки выводится из уравнения (в). Подставляя сюда значение Q и С, получаем:

Уравнение (1-23) представляет собой уравнение гиперболы. С учетом же зависимости коэффициента теплопроводности от температуры уравнение температурной кривой принимает следующий вид:

Пример 1-8. Определить тепловой поток через стенку вращающегося шарообразного варочного котла, внутренний диаметр которого , а общая толщина стенки котла и слоя изоляции мм. Температура внутренней поверхности , внешней — , эквивалентный коэффициент теплопроводности .

Согласно условию задачи внешний диаметр котла . Тепловой поток определяется по формуле (1-22):

2. Тела неправильной формы. Каждая из расчетных формул (1-2), (1-10) и (1-22) применима лишь для одного вида геометрически правильного тела — плоского, цилиндрического или шарового.

Расчет теплопроводности всех этих тел можно охватить одной формулой, которая имеет следующий вид:

где — расчетная поверхность тела.

В зависимости от геометрической формы тела определяется различно; если — внутренняя и — внешняя поверхности, то:

а) для плоской, цилиндрической стенки и шаровой стенки при

б) для цилиндрической стенки при

в) для шаровой стенки при

Преимущество формулы (1-25) заключается в том, что по ней можно также приближенно рассчитать теплопроводность ряда тел неправильной геометрической формы, например теплопроводность плоской стенки, у которой т. е. когда поперечное сечение в направлении теплового потока представляет собой переменную величину, теплопроводность любых цилиндрических сечений, ограниченных плавными кривыми, теплопроводность всяких замкнутых тел, у которых все три линейных размера между собой близки.

Рис. 1-14. Однородная шаровая стенка.

В практике часто встречаются случаи, когда объектом расчета является сложное сочетание различных тел, например, бетонное перекрытие с замурованными железными балками, изолированные трубопроводы с открытыми фланцами, барабаны паровых котлов и др. Расчет теплопроводности таких сложных объектов обычно производят раздельно по элементам, мысленно разрезая их плоскостями параллельно и перпендикулярно направлению теплового потока. Однако вследствие различия термических сопротивлений отдельных элементов, а также вследствие различия их формы в местах соединения элементов распределение температур может иметь очень сложный характер, и направление теплового потока может оказаться неожиданным.

Поэтому указанный способ расчета Объектов имеет лишь приближенный характер. Более точно расчеты сложных объектов можно провести лишь в том случае, если известно распределение изотерм и линий тока, которое можно определить опытным путем при помощи методов гидро- или электроаналогии. В ряде случаев достаточно точный расчет можно получить путем последовательного интегрирования дифференциального уравнения теплопроводности (см. § 2-2 и 7-1) для различных элементов сложной конструкции. Однако для таких расчетов необходимо использовать современную вычислительную технику. Наиболее надежные данные по теплопроводности сложных объектов можно получить только путем непосредственного эксперимента, который проводится или на самом объекте или на его уменьшенной модели.

При выводе расчетных формул принималось, что температуры поверхностей тела постоянны. В практических расчетах это условие не всегда удовлетворяется. В таких случаях поступают следующим образом. Если в отдельных точках поверхности температуры отличаются незначительно, то производят осреднение температур по поверхности, и с этой средней температурой расчет производится, как с постоянной. Осреднение температуры по поверхности осуществляется либо по формуле

где — отдельные участки поверхности с постоянной температурой; — температуры этих участков, либо путем интегрирования:

Если же температура по поверхности изменяется резко, то такой приближенный расчет может приводить к заметным погрешностям. В этом случае необходим более сложный расчет, связанный с интегрированием дифференциального уравнения теплопроводности, либо непосредственный эксперимент.

Теплота играет важную роль в жизни человека, в том числе и в функционировании его организма. Часть химической энергии, содержащейся в пище, превращается в теплоту, благодаря чему температура тела поддерживается вблизи 37 градусов Цельсия. Тепловой баланс тела человека зависит также от температуры окружающей среды, и люди вынуждены расходовать много энергии на обогрев жилых и производственных помещений зимой и на охлаждение их летом. Большую часть этой энергии поставляют тепловые машины, например котельные установки и паровые турбины электростанций, работающих на ископаемом топливе (угле, нефти) и вырабатывающих электроэнергию.

Содержание

Введение ………………………………………………..
3
1
Основные виды передачи тепла……………………….
4
2
Роль теплоты и ее использование………………….
7
3
Теплопроводность плоской стенки……………………
8
3.1
Однородная стенка…………………………………….
8
3.2
Многослойная стенка…………………………………..
11
4
Теплопроводность цилиндрической стенки…………..
15
4.1
Однородная стенка…………………………………….
15
4.2
Многослойная стенка…………………………………..
18
5
Теплопроводность шаровой стенки и тел неправильной формы………………………………….

21
5.1
Однородная шаровая стенка……………………….
21
5.2
Тела неправильной формы……………………………..
23
6
Теплопроводность тел с внутренними источниками теплоты…………………………………………………..

25
6.1
Теплопроводность плоской стенки……………………
26
6.2
Теплопроводность круглого стержня…………………
28
6.3
Теплопроводность цилиндрической стенки………

Прикрепленные файлы: 1 файл

РЕФ ХЛАДОТЕХНИКА контрольный.doc

Хабаровская Государственная Академия

Экономики и Права

Торгово-технологический факуль тет

Реферат

на тему: Теплопроводность

Основные виды передачи тепла……………………….

Роль теплоты и ее использование………………….

Теплопроводность плоской стенки……………………

Теплопроводность цилиндрической стенки…………..

Теплопроводность шаровой стенки и тел неправильной формы………………………………….

Однородная шаровая стенка…………… ………….

Тела неправильной формы……………………………..

Теплопроводность тел с внутренними источниками теплоты…………………………………………………..

Теплопроводность плоской стенки……………………

Теплопроводность круглого стержня…………………

Теплопроводность цилиндрическо й стенки…………..

Теплота, кинетическая часть внутренней энергии вещества, определяемая интенсивным хаотическим движением молекул и атомов, из которых это вещество состоит. Мерой интенсивности движения молекул является температура. Количество теплоты, которым обладает тело при данной температуре, зависит от его массы; например, при одной и той же температуре в большой чашке с водой заключается больше теплоты, чем в маленькой.

Теплообмен или теплопередача – это процесс переноса теплоты внутри тела или от одного тела к другому, обусловленный разностью температур. Интенсивность переноса теплоты зависит от свойств вещества, разности температур и подчиняется экспериментально установленным законам природы. Чтобы создавать эффективно работающие системы нагрева или охлаждения, разнообразные двигатели, энергоустановки, системы теплоизоляции, нужно знать принципы теплопередачи. В одних случаях теплообмен нежелателен (теплоизоляция плавильных печей, космических кораблей и т.п.), а в других он должен быть как можно больше (паровые котлы, теплообменники, кухонная посуда).

Существуют три основных вида теплообмена: теплопроводность, конвекция и лучистый теплообмен или тепловое излучение.

Теплопроводность. Если внутри тела имеется разность температур, то тепловая энергия переходит от более горячей его части к более холодной. Такой вид теплопередачи, обусловленный тепловыми движениями и столкновениями молекул, называется теплопроводностью; при достаточно высоких температурах в твердых телах его можно наблюдать визуально. Так, при нагревании стального стержня с одного конца в пламени газовой горелки тепловая энергия передается по стержню, и на некоторое расстояние от нагреваемого конца распространяется свечение (с удалением от места нагрева все менее интенсивное). Интенсивность теплопередачи за счет теплопроводности зависит от градиента температуры, т.е. отношения DТ/Dx разности температур на концах стержня к расстоянию между ними. Она зависит также от площади поперечного сечения стержня (в м 2 ) и коэффициента теплопроводности материала [в соответствующих единицах Вт/(м ·К)].

Соотношение между этими величинами было выведено французским математиком Ж.Фурье и имеет следующий вид

где Q, q – тепловой поток и плотность теплового потока, в Вт и Вт/м 2 , – коэффициент теплопроводности, Вт/(м·К), F– площадь поперечного сечения, м 2 .

Из закона Фурье следует, что тепловой поток можно понизить, уменьшив одну из величин – коэффициент теплопроводности, площадь или градиент температуры. Для здания в зимних условиях последние величины практически постоянны, а поэтому для поддержания в помещении нужной температуры остается уменьшать теплопроводность стен, т.е. улучшать их теплоизоляцию.

Теплопроводность металлов обусловлена колебаниями кристаллической решетки и движением большого числа свободных электронов (называемых иногда электронным газом). Движение электронов ответственно и за электропроводность металлов, а потому неудивительно, что хорошие проводники тепла (например, серебро или медь) являются также хорошими проводниками электричества.

Тепловое и электрическое сопротивление многих веществ резко уменьшается при понижении температуры ниже температуры жидкого гелия (1,8 K). Это явление, называемое сверхпроводимостью, используется для повышения эффективности работы многих устройств – от приборов микроэлектроники до линий электропередачи и больших электромагнитов.

Конвекция. При подводе тепла к жидкости или газу увеличивается интенсивность движения молекул, а вследствие этого повышается давление. Если жидкость или газ не ограничены в объеме, то они расширяются; локальная плотность жидкости (газа) становится меньше, и благодаря выталкивающим (архимедовым) силам нагретая часть среды движется вверх (именно поэтому теплый воздух в комнате поднимается от батарей к потолку). Данное явление называется конвекцией. Иными словами перенос теплоты из области с одной температурой в область с другой температурой, сопровождающийся переносом самой среды называется конвекцией. Конвекция в основном встречается только в жидкостях и газах. Чтобы не расходовать тепло отопительной системы впустую, нужно пользоваться современными обогревателями, обеспечивающими принудительную циркуляцию воздуха.

Конвективный тепловой поток от нагревателя к нагреваемой среде зависит от начальной скорости движения молекул, плотности, вязкости, теплопроводности и теплоемкости и среды; очень важны также размер и форма нагревателя. Соотношение между соответствующими величинами подчиняется закону Ньютона

где q – тепловой поток, (измеряемый в ваттах), F – площадь поверхности источника тепла (в м 2 ), – температуры источника и его окружения (в кельвинах). Коэффициент конвективного теплопереноса (коэффициент теплоотдачи) α зависит от свойств среды, начальной скорости ее молекул, а также от формы источника тепла, и измеряется в единицах Вт/(м 2 ·К).

Конвекцию необходимо учитывать при проектировании теплообменников, систем кондиционирования воздуха, высокоскоростных летательных аппаратов и многих других устройств. Во всех подобных системах одновременно с конвекцией имеет место теплопроводность, причем как между твердыми телами, так и в окружающей их среде. При повышенных температурах существенную роль может играть и лучистый теплообмен.

Лучистый теплообмен. Третий вид теплопередачи – лучистый теплообмен – отличается от теплопроводности и конвекции тем, что теплота в этом случае может передаваться через вакуум. Сходство же его с другими способами передачи тепла в том, что он тоже обусловлен разностью температур. Тепловое излучение – это один из видов электромагнитного излучения (происходит за счет распространения электромагнитных волн). Другие его виды – радиоволновое, ультрафиолетовое и гамма-излучения – возникают в отсутствие разности температур. Тепловое излучение может сопровождаться испусканием видимого света, но его энергия мала по сравнению с энергией излучения невидимой части спектра. Интенсивность теплопередачи путем теплопроводности и конвекции пропорциональна температуре, а лучистый тепловой поток пропорционален четвертой степени температуры и подчиняется закону Стефана – Больцмана

Жилые и офисные помещения часто обогревают небольшими электрическими теплоизлучателями; красноватое свечение их спиралей – это видимое тепловое излучение, близкое к границе инфракрасной части спектра. Помещение же обогревается теплотой, которую несет в основном невидимая, инфракрасная часть излучения. В приборах ночного видения применяются источник теплового излучения и приемник, чувствительный к ИК-излучению, позволяющий видеть в темноте.

Мощным излучателем тепловой энергии является Солнце; оно нагревает Землю даже на расстоянии 150 млн. км. Интенсивность солнечного излучения, регистрируемая год за годом станциями, расположенными во многих точках земного шара, составляет примерно 1,37 Вт/м 2 . Солнечная энергия – источник жизни на Земле. Ведутся поиски способов наиболее эффективного ее использования. Созданы солнечные батареи, позволяющие обогревать дома и получать электроэнергию для бытовых нужд.

2 Роль теплоты и ее использование

Глобальные процессы теплообмена не сводятся к нагреванию Земли солнечным излучением. Массивными конвекционными потоками в атмосфере определяются суточные изменения погодных условий на всем земном шаре. Перепады температуры в атмосфере между экваториальными и полярными областями совместно с кориолисовыми силами, обусловленными вращением Земли, приводят к появлению непрерывно изменяющихся конвекционных потоков, таких, как пассаты, струйные течения, а также теплые и холодные фронты. Перенос тепла (за счет теплопроводности) от расплавленного ядра Земли к ее поверхности приводит к извержению вулканов и появлению гейзеров. В некоторых регионах геотермальная энергия используется для обогрева помещений и выработки электроэнергии. Теплота – непременный участник почти всех производственных процессов. Упомянем такие наиболее важные из них, как выплавка и обработка металлов, работа двигателей, производство пищевых продуктов, химический синтез, переработка нефти, изготовление самых разных предметов – от кирпичей и посуды до автомобилей и электронных устройств. Многие промышленные производства и транспорт, а также теплоэлектростанции не могли бы работать без тепловых машин – устройств, преобразующих теплоту в полезную работу. Примерами таких машин могут служить компрессоры, турбины, паровые, бензиновые и реактивные двигатели. Важным источником теплоты для таких целей, как производство электроэнергии и транспортные перевозки, служат ядерные реакции. В 1905 А.Эйнштейн показал, что масса и энергия связаны соотношением E = mc 2 , т.е. могут переходить друг в друга. Скорость света c очень велика и равна 300 тыс. км/с. Это означает, что даже малое количество вещества может дать огромное количество энергии. Так, из 1 кг делящегося вещества (например, урана) теоретически можно получить энергию, которую за 1000 суток непрерывной работы дает электростанция мощностью 1 МВт.

При установившемся тепловом режиме температура тела не изменяется с течением времени, поэтому в уравнении (2.5) производная . Распределение температуры в теле описывается уравнением (2.6). Решение такого уравнения сопряжено со значительными трудностями.

Рассмотрим теплопроводность в телах простейшей формы, которые позволяют получить точные решения уравнения теплопроводности.

4.1. Теплопроводность плоской стенки

Рассмотрим плоскую стенку, высота и ширина которой значительно больше её толщины. В этом случае такую стенку можно считать бесконечной (рис. 5). Тепло будет передаваться только в одном направлении – вдоль оси х. Если считать, что теплопроводность стенки величина постоянная, то уравнение теплопроводности в

Рис.5. Плоская стенка

этом случае можно записать в виде . (4.1) Решение (4.1) имеет вид , где С₁ и С₂ – постоянные. Для их определения нужно задать два граничных условия. а) граничные условия первого рода при х=0 ; при .

Получим два уравнения для определения С₁ и С₂

из которых найдём и . Таким образом,

Количество тепла, проходящего через стенку, определим по закону Фурье.

Разность температур называется температурным напором, а – термическим сопротивлением теплопроводности плоской стенки, м 2 град/Вт.

Из формулы (4.2) следует, что распределение температуры в плоской стенке представляет собой прямую линию, а из (4.3) следует, что плотность теплового потока через плоскую стенку не зависит от координаты х.

Рассмотрим теплопроводность многослойной плоской стенки, состоящей из n слоёв различной толщины из разных материалов с разной теплопроводностью . При стационарном тепловом режиме тепловой поток одинаков в каждом слое.

Рис.6. Многослойная плоская стенка

; ; ………………… . Из этих уравнений найдём температурные напоры в каждом слое.

Сложив уравнения, получим

б) граничные условия третьего рода

Рис. 7. Граничные условия третьего рода

Передача тепла от одной жидкости к другой через разделяющую их стенку называется теплопередачей. Расчётная схема приведена на рис.7. С одной стороны стенки находится жидкость с температурой , с другой стороны – жидкость с температурой . Примем для определённости, что > . Перенос тепла между жидкостями и стенкой рассчитывается по формуле Ньютона – Рихмана. Будем считать коэффициенты теплоотдачи постоянными и не завися-

щими от температуры. В соответствии с формулой Ньютона тепловой поток между жидкостью и левой стороной стенки определяется как

В стационарных условиях этот же тепловой поток пройдёт через стенку и передастся к другой жидкости.

Найдём из (а) – (в) разности температур, сложим получившиеся выражения и найдём q.

Тогда (4.4) можно переписать в виде

Величина k называется коэффициентом теплопередачи и имеет ту же размерность, как и коэффициент теплоотдачи, Вт/м 2 К. Величина обратная k называется полным термическим сопротивлением теплопередачи

а отношение называется термическим сопротивлением теплоотдачи.

Общее термическое сопротивление равно сумме частных сопротивлений, поэтому для многослойной стенки полное термическое сопротивление можно записать в виде

и плотность теплового потока в случае многослойной стенки запишем в виде

Температуры на поверхностях стенки и найдём из (а) и (в)

Температура на границе слоёв i и i+1 можно найти следующим образом

4.2. Теплопроводность цилиндрической стенки

Рис.8. Расчётная схема

Перенос тепла в цилиндре описывается уравнением теплопроводности в цилиндрических координатах – r, , z (см. рис.8).

Если коэффициент теплопроводности не зависит от температуры и при отсутствии источников внутреннего тепловыделения уравнение (4.5) можно упростить.

Если цилиндр находится в среде, температура которой по окружности цилиндра постоянна, то вдоль координаты переноса тепла не будет, поскольку в этом направлении . Если длина цилиндра стремится к бесконечности, то перенос тепла вдоль оси z также равен нулю. В таком цилиндре изотермические поверхности будут представлять соосные цилиндры (см. рис.8) и перенос тепла будет происходить только в направлении радиуса r. В стационарном тепловом режиме температура не зависит от времени и будет изменяться только по радиусу цилиндра. В результате уравнение примет вид

Рассмотрим процесс переноса тепла в цилиндрической стенке (трубе) с внутренним диаметром и наружным диаметром (см. рис.9). Обозначим . Уравнение примет вид

Интегрируя (4.7) получим

и . Заменяя u на dt/dr получим

После интегрирования найдём

Для определения постоянных С₁ и С₂ необходимо задать граничные условия.

а) граничные условия первого рода

Рис.9. Теплопроводность цилиндрической стенки

В этом случае при r=R₁ и при r=R₂ . ; . Отсюда ; . Таким образом, решение данной задачи имеет вид .

Как следует из (4.8), распределение температуры внутри цилиндрической стенки представляет собой логарифмическую кривую. Найдём плотность теплового потока.

Таким образом, для цилиндрической стенки плотность теплового потока через любую изотермическую поверхность зависит от радиуса (диаметра). Тепловой поток через цилиндрическую поверхность равен

Для единицы длины изотермической поверхности

Тепловой поток, отнесённый к единице длины поверхности, называется линейной плотностью теплового потока – . Таким образом, , где и плотности теплового потока на поверхностях диаметра и . Отсюда следует связь между линейной плотностью теплового потока и плотностями теплового потока.

Величина , мК/Вт называется линейным термическим сопротивлением теплопроводности цилиндрической стенки. В случае многослойной цилиндри-

Рис.10. Многослойная цилиндрическая стенка

ческой стенки (рис.10) линейное термическое сопротивление равно сумме термических сопротивлений слоёв и линейная плотность теплового потока равна . Температура на границе любого слоя есть .

б) граничные условия третьего рода

Рис.11. цилиндрическая стенка

Будем считать, что цилиндр бесконечно длинный, поэтому можно пренебречь потерями тепла с торцов. Температуры жидкостей внутри и снаружи трубы, а также коэффициенты теплоотдачи постоянны. В таком случае тепло будет передаваться только по радиусу. В стационарном случае количество тепла, переданное от одной жидкости к стенке равно количеству тепла переносимо-

го теплопроводностью через стенку и равно количеству тепла, воспринятому другой жидкостью. Для единицы длины поверхности можно записать

Выразим из (4.9) разности температур и сложим получившиеся уравнения.

где называется линейным коэффициентом теплопередачи

Величина называется линейным термическим сопротивлением теплоотдачи. Для многослойной цилиндрической стенки

4.3. Критический диаметр цилиндрической стенки

Рис. 12. К критическому диаметру изоляции

Рассмотрим трубу, диаметром , покрытую слоем тепловой изоляции (см. рис.12). Выясним влияние диаметра изоляции на термическое сопротивление всей системы. Запишем термическое сопротивление системы труба-изоляция. (4.10) Построим график изменения R_l в зависимости от диаметра изоляции. Обозначим ; ; Построим графики изменения термических сопротивлений в зависимости от диаметра изоляции (см. рис.13). Как следует из рис. 13, при некотором

значении , термическое сопротивление системы имеет минимум, а тепловые потери – максимум (рис.14). Для определения значения исследуем (4.10) на экстремум.

Рис.13. Зависимость термических сопротивлений от диаметра изоляции

Рис. 14. Зависимость тепловых потерь от диаметра изоляции

Если , то с ростом диаметра изоляции тепловые потери растут и достигают максимального значения при . Затем при дальнейшем увеличении потери тепла начинают уменьшаться и при потери тепла становятся равным потерям неизолированной трубы и только при потери тепла начинают уменьшаться. Таким образом слой изоляции толщиной не выполнял функции тепловой изоляции.

Следовательно, критический диаметр изоляции должен быть меньше наружного диаметра изолируемой трубы, т.е. . В этом случае слой изоляции сразу же будет уменьшать тепловые потери. Найдём допустимую величину коэффициента теплопроводности изоляционного материала, положив .

4.4. Передача тепла через шаровую стенку

Поле температур в шаре описывается уравнением теплопроводности в сферических координатах. Связь сферических и декартовых координат задаётся соотношениями

Рис. 15. К шаровой стенке

Уравнение теплопроводности в сферических координатах имеет следующий вид. Пусть имеется полый шар с радиусами и . Если температура на поверхностях шара одинакова во всех точках поверхностей, перенос тепла будет происходить только в направлении радиуса. В стационарном тепловом режиме при постоянном коэффициенте теплопроводности уравнение можно упростить.

Обозначив преобразуем (4.11) к виду

Решение имеет вид

Заменяя u получим уравнение

интегрируя которое получим общее решение уравнения.

а) граничные условия первого рода

При ; при , . Для определения постоянных и получим два уравнения.

из которых найдём

Распределение температуры в шаровой стенке есть

Тепловой поток через шаровую стенку равен

б) граничные условия третьего рода

При – тепло, которое передаётся от первой жидкости к стенке.

– тепло, которое переносится теплопроводностью через стенку;

При – тепло, которое передаётся от стенки ко второй жидкости.

4.5. Теплопроводность стержня постоянного поперечного сечения

Рис. 16. Теплопроводность стержня

Будем считать стержнем тело, длина которого намного больше двух других размеров. Форма сечения может быть любой, таким образом сечение характеризуется площадью сечения f и периметром сечения u. Будем считать, что коэффициент теплопроводности стержня достаточно велик, так что можно считать, что температура стержня в сечении изменяется незначительно и её изменением можно пренебречь. Стержень находится в среде с постоянной температурой. Коэффициент теплоотдачи между стержнем и средой будем считать постоянным по длине стержня.

Таким образом, при данных предположениях температура стержня будет изменяться только по длине.

Рассмотрим элемент стержня длиной dx (см. рис. 16) и запишем для него уравнение баланса тепла.

По закону Фурье и . (б)

С другой стороны, количество тепла, поступающего из стержня через поверхность элемента dx есть (предполагается, что температура стержня больше температуры окружающей среды)

где – избыточная температура. Приравнивая (б) и (в), получим дифференциальное уравнение

где . Решение уравнения (4.13) записывается в виде

Постоянные интегрирования и определяются при помощи граничных условий. Рассмотрим случай, когда в начальном сечении можно поддерживать постоянной температуру стержня, т.е. граничное условие при x=0 можно задать в виде или . Граничное условие на другом конце стержня можно задать различными способами.

а) стержень бесконечной длины

Если стержень достаточно длинный, то температура на его конце будет мало отличаться от температуры окружающей среды, что точно выполняется, если длина стержня . В этом случае второе граничное условие можно записать в виде: при . Получим два уравнения для определения и .

Отсюда и , и распределение температуры по длине стержня имеет следующий вид.

Количество тепла, которое стержень передаёт в окружающую среду проходит через сечение х=0. Поэтому его можно определить как

б) стержень конечной длины

В этом случае граничное условие при x=l может быть задано в следующем виде

где – коэффициент теплоотдачи на торце стержня. Если площадь сечения стержня намного меньше площади его боковой поверхности, то теплоотдачей с торца стержня можно пренебречь. В этом случае граничное условие при x=l запишется в виде

Для определения постоянных и получим два уравнения

Таким образом, распределение температуры по длине стержня есть

Умножим и разделим правую часть на .

Количество тепла, отдаваемое поверхностью стержня равно

Если теплоотдачей с торца стержня нельзя пренебречь, то распределение температуры по длине стержня есть

Количество тепла, отдаваемое стержнем

4.7. Теплопередача через ребристую плоскую стенку

Оребрение применяется для увеличения площади поверхности теплообмена с целью увеличения количества передаваемого тепла. При этом рёбра располагаются с той стороны стенки, на которой меньше коэффициент теплоотдачи.

Ребристая стенка обтекается жидкостями (см. рис. 17) с температурой и коэффициентом теплоотдачи с одной стороны и температурой и коэффициен-

Рис.17. Ребристая плоская стенка

том теплоотдачи с другой. Для определённости примем > и > . Необходимо найти тепловой поток через ребристую стенку. Обычно b>> , поэтому приближённо периметр поперечного сечения ребра u=2(b+ )=2b. Площадь сечения есть . Следовательно . Подставим это выражение в (4.14) и умножим и разделим на 2l.

Обозначим – критерий подобия Био. Он представляет собой отношение внутреннего термического сопротивления теплопроводности к внешнему термическому сопротивлению теплоотдачи , т.е. . Окончательно

В (4.15) – площадь боковой поверхности ребра.

Обозначим – коэффициент эффективности ребра. Тогда (4.15) принимает вид

Тепло, отдаваемое гладкой частью оребрённой поверхности, т.е. поверхностью, не занятой рёбрами есть , где – коэффициент теплоотдачи от гладкой части стенки. Таким образом, общее количество тепла со стороны оребрённой поверхности есть

Здесь называется приведённым коэффициентом теплоотдачи. Количество тепла, передаваемого к неоребрённой стенке есть

Через стенку теплопроводностью передаётся количество тепла

Оребрённая сторона стенки передаёт к второй жидкости количество тепла

Из этих уравнений получаем

Отношение оребрённой поверхности к гладкой называется коэффициентом оребрения.

4.8. Круглое ребро постоянной толщины

Круглые рёбра применяются при оребрении труб (см. рис. 18). Заданы внутренний радиус ребра , наружный , толщина ребра и коэффициент теплопроводности . Температура окружающей среды равна и одинакова вдоль ребра. Температура у основания ребра равна . Коэффициент теплоотдачи одинаков вдоль всей поверхности ребра.

Рис. 18. Круглое ребро постоянной толщины

Обозначим через избыточную температуру ребра. Запишем уравнение баланса тепла для кольцевого элемента ребра толщиной dr.

Таким образом, из уравнения баланса получим дифференциальное уравнение теплопроводности для круглого ребра

Обозначим ; mr=z; и подставим в (4.16). Получим уравнение

которое называется уравнением Бесселя. Решение этого уравнения имеет вид

где – модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка мнимого аргумента, а – модифицированная функция Бесселя второго рода нулевого порядка мнимого аргумента.

Рис. 19 Модифицированные функции Бесселя

На рис. 19 приведены графики модифицированных функций Бесселя.

Граничные условия задаются аналогично граничным условиям в задаче о прямоугольном ребре, т.е. при ; при . В результате изменение температуры по радиусу определяется как

Количество тепла равно

Теплоотдачу с торца ребра можно учесть, условно увеличив радиус ребра на половину его толщины.

4.9. Теплопроводность пластины с внутренними источниками тепла

Рис.20. Пластина с внутренними источниками тепла

Тепло в твёрдом теле может выделяться, например, при прохождении электрического тока или в результате химических реакций. Рассмотрим бесконечную пластину толщиной , которая находится в среде с температурой . Коэффициент теплоотдачи с обеих сторон одинаков и равен . Источники тепла равномерно распределены по объёму пластины. Будем считать, что теплофизические свойства пластины не зависят от температуры. При данных условиях распределение температуры по толщине пластины будет симметрично относительно середины. Уравнение теплопроводности имеет следующий вид. .

Граничное условие на поверхности пластины зададим в виде

Второе условие задаётся в центре пластины в виде

Решение уравнения имеет вид:

Постоянные и находим из граничных условий:

, откуда получим , и

Таким образом, распределение температуры в пластине есть

Тепловой поток в пластине есть .

Решение (4.17) получено при условии . При больших перепадах температур в пластине может возникнуть необходимость учесть зависимость от температуры. Во многих случаях с достаточной точностью эту зависимость можно принять линейной . Тогда . После интегрирования получим . Постоянную С найдём из условия при х=0 : . Получим распределение температуры в пластине в виде

4.10. Теплопроводность цилиндра с внутренними источниками тепла

Читайте также: