Теория полезности и принятие решений реферат
Обновлено: 25.06.2024
Полезностью называют величину, которую в процессе выбора максимизирует личность с рациональным экономическим мышлением Можно сказать, что полезность — это воображаемая мера психологической и потребительской ценности различных благ.
Задачи принятия решений с рассмотрением полезностей и вероятностей событий были первыми, которые привлекли внимание исследователей.
Постановка таких задач обычно заключается в следующем Человек выбирает какие-то действия в среде, где на получаемый результат (исход) действия влияют случайные события, неподвластные ему. Но, имея некоторые знания о вероятностях этих событий, человек может рассчитать наиболее выгодную совокупность и очередность своих действий.
Основополагающим в теории полезности является линия поведения ЛПР, его субъективная оценка вероятности наступления события и сю полезности.
Потери или выигрыш могут оцениваться как количественно (например, через затраты разного вида ресурсов), так и качественно (утрата авторитета, престижа, имиджа организации, потери времени, ухудшение социаль- но-психологического климата в коллективе и др.).
Полезность выступает в качестве приведенного показателя, обобщенно выражающего потери или выигрыш, когда все ценности приведены к одной шкале. Для определенного события она будет соответствовать какой-то точке на этой шкале Причем шкала полезности определяется логикой руководителя, его выводами и предпочтительностью От руководителя зависит выбираемый критерий оценки решения. Предварительно строится матрица (таблица) решений на основе логических рассуждений.
Полезность измеряется в произвольных единицах, называемых единицами полезности. Они могут быть связаны с денежными единицами и означать для ЛПР величину полезности. В условиях риска ЛПР выбирает вариант, максимизирующий величину полезности
Итак, теория полезности строится на предположении, что некоторое число У(Р), выражает полезность события, которое может произойти Если, например, событие Р, может принести прибыль в размере 200 тыс руб, а событие Р2 — 100 тыс. руб., то КР, > УР2
Сущность теории полезности покажем на простейшем бытовом примере. Уходя на работу, мы задумываемся, брать с собой зонт или нет'' Возможность дождя от нас не зависит — это объективные условия внешней среды. Возможны два варианты решений взять зонт (а,) и не брать зонт (а2) На наш выбор повлияют внешние условия, пойдет дождь (у,) или не пойдет (у,). Допустим, мы считаем, что вероятность дождя рУ,
= 0,5, тогда вероятность хорошей погоды 1 - 0,5 = 0,5 (рУ2).
Далее необходимо дать оценку потерь (неудобств), которые можно иметь по вариантам возможных решений и влияния погодных условий.
Эта оценка у разных людей может быть различной (в данном случае в зависимости от отношения индивидуума к дождю и сохранению своей одежды). Но у большинства людей существует какое-то среднее мнение. При решении сложных проблем на данном этапе может быть использован метод экспертных оценок возможных потерь.
По варианту а2 соответственно возможны два события: дождь пойдет а2, оценивается числом 6 (опасность испортить одежду, прическу во время дождя при отсутствии зонта) и а22 — 0 — при отсутствии зонта и дождя. Составим таблицу потерь на основе рассуждений и принятых оценок.
Таблица 9.8 Линия поведения Объективные условия дождь (у,) | нет дождя (у,) Взять зонт (о,) I ю 2 ("и) Не брать зонт (а2) 6 К) о (в„) Далее определим математическое ожидание потерь при выборе альтернативных линий поведения. Так как математическое ожидание (Е) случайной величины равно Ех = то в нашем случае при вероятностир = 0,5, для а, и а2 оно будет равно соответственно:
1а, = 0,5 х 1+0,5х2=1,5,
Iа2 = 0,5 х 6 + 0,5 х 0 = 3,0
Чтобы минимизировать возможные потери, в пашем примере необходимо остановить выбор па линии поведения а,, т с взять зонт.
В развитие данной теории предлагается при выборе решений исходить из максимума ожидаемой полезности, используя для расчета формулу
П = (Ву х Оу) - (Вн х Пн),
где П — ожидаемая полезность,
Ву — вероятность успеха,
Оу — оценка удачи;
Вн — вероятность неудачи;
Пн — потери от неудачи
Формула логична и доступна. Часто ЛПР интуитивно в ходе принятия решений оценивает положительные и отрицательные исходы. Трудность состоит в точности определения вероятности объема удач и потерь При этом вероятность может быть установлена на основе экспертных оценок, проведения специальных исследований, логических умозаключений.
Кроме классической теории полезности при принятии решений^ используют также многокритериальную теорию полезности (MAUT) Я
Научное направление MAUT (Multi-Attribute Utility Theory) отлича-в ют следующие особенности 1)
строится функция полезности, имеющая аксиоматическое обосно^И вание; 2)
некоторые условия, определяющие форму этой функции, подвергаются проверке в диалоге с ЛПР, 3)
решается обычно задача из второй группы, а полученные результаты используются для оценки заданных альтернатив.
Логика решения задачи в MAUT такова.
Составляется перечень критериев; строится функция полезности по каждому из критериев; проверяются условия, определяющие вид общей функции полезности; находится зависимость между оценками альтернатив по критериям и общим качеством альтернативы (многокритериальная функция полезности); оцениваются имеющиеся альтернативы и выбирается наилучшая
Теория М AUT имеет аксиоматическое обоснование. Это означает, что выдвигаются некоторые условия (аксиомы), которым должна удовлетворять функция полезности ЛПР В случае если условия удовлетворяю 1СЯ, дастся математическое доказательство существования функции полезности Л в том или ином виде В MAUT эти условия можно разделить на две группы. ™ Первая группа — аксиомы общего характера, идентичные тем, которые использовались в теории полезности 1.
Аксиома, утверждающая, что может бы ть установлено отношение между полезностями любых альтернатив- либо одна из них превосходит другую, либо они равны. 2.
Аксиома транзитивности- из превосходства полезности альтернативы А над полезностью альтернативы В и превосходства полезности В над полезностью С следует превосходство полезности альтернативы/* над полезностью альтернативы С 3.
Для соотношений между полезностями альтернатив А, В, С, имеющими вид U(A) > ЩВ) > U(C), можно найти числа а,р, которые меньше I и больше 0, так что:
aU(A) + (1 - а) (ДО = (7(5), U(A)(l-p)+pU(B)>U(B)
Данная аксиома основана на предположении, что функция полезности непрерывна и можно использовать любые малые части полезности альтернатив.
Вторая группа условий специфична для MAUT. Они называются аксиомами (условиями) независимости, позволяющими утверждать, что некоторые взаимоотношения между оценками альтернатив по критериям не зависят от значений по другим критериям.
Приведем несколько условий независимости. 1
Независимость по разности. Предпочтения между двумя альтернативами, отличающимися лишь оценками по порядковой шкале одного критерия С,, не зависят от одинаковых (фиксированных) оценок по другим критериям С2. CN На первый взгляд, это условие кажется естественным п очевидным. Но возможны случаи, когда оно не выполняется Например, при выборе автомобиля при незначительно различающейся цене ЛПР предпочитает большую по размеру машину. Однако его предпочтение меняется ил обратное, когда он узнает, что у машины не гидравлическая, а механическая коробка передач, что усложняет управление. 2
Независимость по полезности Критерий С, называется независимым по полезности от критериев С2, . Сл, если порядок предпочтений ютерей, в которых меняются лишь уровни критерия С,, нс зависит от фиксированных значений по другим критериям. Такие лотереи используются при построении функций полезности по отдельным критериям 3.
Независимости по предпочтению являются одним из наиболее | лжных и часто используемых условий. Два критерия С, и С, независимы по предпочтению от других критериев С3, , С„, если предпочтения между альтернативами, различающимися лишь оценками по С,, С2, нс зависят от фиксированных значений по другим критериям
Если аксиомы первой группы и некоторые из условий независимости нмполпепы, то из этого следует строгий вывод о существовании много- ритсриальной функции полезности в определенном виде.
В качестве примера приведем широко известную теорему Р.
Кини I ели условия независимости по полезности и независимости по предпоч- 1 ению выполнены, то функция полезности является аддитивной Щх) = 2>((7,(*) при Iw, = 1, либо мультипликативной 1
+ кЩх) = П [1 + ЬлгЩх)] при 1н>, * 1,
где и, и, — функции полезности, изменяющиеся от О до 1,
уу, — коэффициенты важности (веса) критериев, причем 0 -1.
Пример 9.2. В городе N возникла необходимость в постройке нового аэропорта Экспертным путем были выбраны три основных критерия для оценки вариантов расположения аэропорта: стоимость постройки, расстоя*. ние от города; минимальное шумовое воздействие. Щ
Все критерии противоречивы Например, постройка аэропорта на большом расстоянии от города потребует меньших затрат, но время поездки будет больше Противоречивы и критерии расстояния от города, и число людей, подвергающихся шумовым воздействиям Для нахождения комн4 ромисса между критериями и выбора оптимального решения можно прн менить многокритериальную теорию полезности путем построения модсш ли, описывающей предпочтения ЛПР ?
Предположим, что после рассмотрения вариантов разброс оцен« по критериям может быть представлен табл. 9.9. Я
Разброс оценок вариантов постройки аэропорта Критерий Наихудшее Наилучшсс значение значение Стоимость постройки аэропорта (С,) 200 млн дол США 100 млн дол США Время поездки от центра города (С2) 90 мин 40 мин Количество людей, подвергающихся шумовым воздействиям (С,) 50 тыс человек 5 тыс человек Зная диапазон изменения оценок по каждому критерию, построим функцию, определяющую полезность для ЛПР каждой оценки из этого диапазона. Максимальное значение этой функции примем равным 1, а минимальное — 0.
Идентичным образом строятся функции полезности для каждого из критериев.
Рис. 9.2. Типовые лотереи, используемые при построении функции полезности по одному критерию Для определения общей функции полезности необходимо проверить1 условия независимости по полезности и независимости по предпочтению. Проверку первого условия можно совместить с предыдущим этапом построения однокритериальных функций полезности
На рисунке 9.3 приведена левая лотерея из рис. 9.2. Сначала лицу, принимающему решение, сообщается, что при нахождении эквивалента определенности он должен принять во внимание, что по остальным критериям имеются наилучшие значения (сверху справа на рис 9 3) Затем перед ЛПР ставится та же задача, но уже при предположении, что по прочим критериям имеются наихудшие значения (снизу справа на рис 9 3) Если эквивалент определенности в двух случаях одинаков, то делается вывод, что критерий не зависит по полезности от прочих критериев.
Рис. 9.3. Проверка условий независимости по полезности
Отметим, что для полноты проверки условия независимости по полезности следует осуществлять эту проверку для всех лотерей (например, для лотереи 2 на рис. 9.2). Однако часто довольствуются приближенной проверкой — только для первой из лотерей, используемых при построении однокритериальных функций полезности. J
При проверке условия независимости по предпочтению рассматривав ют плоскости, где по осям отложены значения двух критериев Пример такой плоскости для критериев С,, С2 приведен на рис 9 4 Сначала предполагается, что по прочим критериям (в нашем случае — по критерию С3) имеются наилучшие значения (С3 = 5 тыс. человек).
Первоначально ЛПР должен определить свое предпочтение между альтернативами [(C2)min; (C,)max] и [(C2)max, (C,)min]. В нашем случае ЛПР сравнивает площадки для постройки аэропорта с оценками (40 мин., 200 млн дол ) и (90 мин , 100 млн дол ) — две крайние точки АнВна. осях при условии, что С3 = 5 тыс. Предположим, что вариант А предпочтительнее. Это означает, что критерий стоимости более важен для ЛПР, чем критерий расстояния. л
100 млн дол США
200 млн дол США
Рис. 9.4. Проверка условия независимости по предпочтению
Далее определяется такая точка на шкале критерия С,, что варианты •I и К одинаково предпочтительны для ЛПР Иначе говоря, ищется такая стоимость строительства С,*, при которой одинаково предпочтительны варианты (90 мин , 100 млн дол) и (40 мин , С,*). Затем точно такой же поиск точки безразличия осуществляется при Cj =50 тыс. Если результаты совпадают, то делается вывод, что пара С,, С2 не зависит по предпочтению от третьего критерия
Для полной проверки условия независимости по предпочтениям следует рассмотреть все пары критериев. Однако при приближенной проверке выбираются один или два наиболее существенных критерия и прочие рассматриваются только в парс с ними.
Определение весовых коэффициентов (коэффициентов важности) критериев
В MAUT используется понятие весов (коэффициентов важности) кри- юриев. Считается, что ЛПР может найти коэффициенты — числа, которые определяют важность критериев. Отношения между весами критериев \ (^танавливаются поиском точек безразличия на плоскостях двух критериев. II
отличие от проверки условий независимости по предпочтению, по осям упорядочиваются значения критериев (от худших к лучшим)
На рисунке 9 5 показана плоскость критериев С, и С2 Альтернативы А и К находятся в отношении безразличия, которое определяется так же, как, и при проверке условия независимости по предпочтению (см. рис. 9.4).
Рис. 9.5. Определение отношения между весами критериев С, и С,
170 млн дол США
В точке равновесия полезности альтернатив равны, что позволяе1(И записать [/(200 млн дол. США, 40 мин ) = [/(170 млн дол США, 90 мин.).
Отсюда, используя полученные ранее однокритериальные функции полезности, находим 1У2 = 0,4И'1. Аналогичным образом определяется соотношение между весами критериев С, и Су
Для нахождения численного значения веса критерия С, (и, следовательно, всех критериев) ЛПР предлагается сравнить две стратегии, представленные на рис 9.6, и определить вероятность р, при которой обе стратегии равноценны.
Стратегия В С, = 100 млн дс С, = 90 мин
Стратегия А С, = 100 млн дол Си С, = 90 мин С3 = 50 тыс
С, = 200 млн дол США
Считая полученное значение достаточно близким к единице, выбирается аддитивная форма представления функции полезности:
Зная оценки альтернатив (вариантов площадок), можно подставить их в эту формулу, определить полезность каждой альтернативы, сравнить полезности и выбрать альтернативу с наибольшей полезностью.
Контрольные вопросы 1.
Как осуществляется разработка управленческих решений в условиях неопределенности и риска9 2.
Что такое теория игр? Когда она применяется? 3.
Какие критерии теории игр вы знаете? 4.
Какие критерии применяются для выбора оптимальной стратегии в условиях риска? 5.
Какие критерии применяются для выбора оптимальной стратегии в ситуации неопределенности? 6.
В чем заключается особенность принятия решений в условиях неопределенности? 7.
* Данная работа не является научным трудом, не является выпускной квалификационной работой и представляет собой результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебных работ.
Одной из характерных тенденций современного этапа развития науки является формирование новых направлений, объединяющих различные (иногда, казалось бы, далекие друг от друга по своему предмету и методам исследования) области научного знания. Именно к таким направлениям принадлежат исследования, относящиеся к проблеме принятия решений.
Возникнув как научно-практическая проблема в связи с нуждами построения и оптимизации автоматизированных систем управления в различных сферах народного хозяйства (промышленность, транспорт, строительство) и рассматриваемая первоначально лишь как раздел общей теории управления, проблема принятия решения постепенно приобрела самостоятельное значение. Это повлекло за собой выделение и разработку разных уровней и аспектов принятия решения — психофизиологических, технических, кибернетических, социологических и т. д. В частности, проблема принятия решения стала теоретическим “стыком” целого ряда наук биологического цикла, подключивших разные аспекты этой проблемы к решению кардинальных вопросов функциональной целесообразности и адаптивного поведения живых систем.
Заинтересованность представителей различных областей научного знания в разработке теории принятия решения, с одной стороны, создает определенные трудности, так как в каждой науке формируются свои специфические подходы к проблеме, используются различные языки, понятийные аппараты и методы исследования. С другой стороны, объединение в рамках общей теории представителей разных наук создает особенно благоприятные условия для плодотворных научных исследований.
1. Прежде всего, необходимо определить само понятие “принятие решения”, поскольку специалисты разных профилей вкладывают в этот термин разный смысл. Дело осложняется еще тем, что область явлений, о которых можно говорить как о принятии решения, еще не определена достаточно строго.
2. Очень важно определить те специфические аспекты проблемы принятия решения, которые должны разрабатываться отдельными специальными науками, и взаимоотношения между этими аспектами.
3. Общее и принципиальное значение имеет комплекс вопросов, который относится к механизмам принятия решения в деятельности человека и в биологических системах.
Данные, накопленные нейрофизиологией (и биологией в целом), а также психологией и психофизиологией в этом направлении, являются весьма полезными для разработки принципиальных аспектов данной проблемы.
Более того, изучение поведения биологических систем и целенаправленной деятельности человека, как нам представляется, должно быть основной линией в разработке проблемы принятия решения.
Столь же существенная роль принадлежит исследованиям коллективных решений, процессов и механизмов принятия решений группами людей, объединенных совместимой деятельностью.
4. Важнейший вопрос, имеющий общее значение,— вопрос о том, насколько полно можно формализовать процесс принятия решения и какими языками целесообразно при этом пользоваться.
5. В связи с прикладными аспектами проблемы принятия решения важное значение приобретает вопрос о взаимодействии человека и информационно-логических машин в процессах принятия решения.
Искусство принятия наилучших решений, основанное на опыте и интуиции, является сущностью любой сферы человеческой деятельности. Наука о выборе приемлемого варианта решения сложилась сравнительно недавно, а математической теории принятия решений - около 50 лет.
Основы теории принятия решений разработаны Джоном фон Нейманом и Отто Моргенштерном. По мере усложнения задач появилось много различных направлений этой науки, которые имеют дело с одной и той же проблемой анализа возможных способов действия с целью нахождения оптимального в данных условиях решения проблемы.
Как самостоятельная дисциплина общая теория принятия решений (ТПР) сформировалась в начале 60-х годов, тогда же была сформулирована основная цель этой теории - рационализировать процесс принятия решений. В последующие годы была создана и прикладная теория статистических решений, позволяющая анализировать и решать широкий класс управленческих задач, связанных с ограниченным риском - проблемы выбора, размещения, распределения и т.п.
В настоящее время теория принятия решений применяется преимущественно для анализа тех деловых проблем, которые можно легко и однозначно формализовать, а результаты исследования адекватно интерпретировать. Так, например, методы ТПР используют в самых различных областях управления - при проектировании сложных технических и организационных систем, планировании развития городов, выборе программ развития экономики и энергетики регионов, организации новых экономических зон и т.п.
Необходимость использования подходов и методов ТПР в управлении очевидна: быстрое развитие и усложнение экономических связей, выявление зависимости между отдельными сложными процессами и явлениями, которые раньше казались не связанными друг с другом, приводят к резкому возрастанию трудностей принятия обоснованных решений.
Затраты на их осуществление непрерывно увеличиваются, последствия ошибок становятся все серьезнее, а обращение к профессиональному опыту и интуиции не всегда приводит к выбору наилучшей стратегии. Использование методов ТПР позволяет решить эту проблему, причем быстро и с достаточной степенью точности.
В задаче ТПР человек (или группа лиц) сталкивается с необходимостью выбора одного или нескольких альтернативных вариантов решений (действий, планов поведения). Необходимость такого выбора вызвана какой-либо проблемной ситуацией, в которой имеются два состояния: желаемое и действительное, а способов достижения желаемой цели-состояния - не менее двух. Таким образом, у человека в такой ситуации есть некоторая свобода выбора между несколькими альтернативными вариантами. Каждый вариант выбора (выбор альтернативы) приводит к результату, который называется исходом. У человека есть свои представления о достоинствах и недостатках отдельных исходов, свое собственное отношение к ним, а, следовательно, и к вариантам решения. Таким образом, у человека, принимающего решение, есть система предпочтений.
Под принятием решений понимается выбор наиболее предпочтительного решения из множества допустимых альтернатив.
В общем случае процесс принятия решений включает в себя два этапа: подготовительный и деловой. На первом этапе формализуется и решается задача, а на втором результат предъявляется - Лицу Принимающему Решение (ЛПР), который одобряет его или отвергает. Таким образом, процесс принятия решений может быть циклическим, поэтому важно, чтобы сам ЛПР владел методом и мог сам поставить задачу, либо аналитик, который работает с задачей, был "в команде" и понимал суть решаемой проблемы.
Обычно активные субъекты, которые участвуют в процессе - ЛПР и его контрагенты, имеют различные интересы и стремятся воздействовать на ППР - Процесс Принятия Решений в своих целях. Это может выражаться в сокрытии истинного мнения и намерений при принятии решения, искажении информации и т.п. Такое поведение участников может привести к решению, далекому от оптимального или справедливого.
Участники ППР должны в общем случае обладать: памятью (способностью накапливать информацию), способностью к прогнозу (могут использовать информацию для предвидения результатов решения), индивидуальными предпочтениями (различные результаты оценивают по разному), могут быть благожелательны (из двух равных для себя решений субъект может выбрать тот, который устроит противника).
Основополагающий принцип ТПР, сформулировали Нейман и Моргенштерн: лицо, принимающее решение, должно всегда выбирать альтернативу с максимально ожидаемой полезностью.
Этот результат строится на ряде аксиом, его называют гипотезой ожидаемой полезности. Поэтому и задачи формулируются соответственным образом: чем полезнее, предпочтительнее альтернатива - тем выше численная оценка - “чем больше, тем лучше”.
Затем подбирается соответствующая модель и метод решения задачи. На сегодняшний день теория достигла состояния, когда разработаны модели для описания практически всех задач принятия решений. В рамках современной ТПР разработаны модели для описания практически всех типов задач принятия решений, каждому из которых отвечают определенные аналитические методы. Существует довольно много классификаций задач теории принятия решений: с учетом времени: статические и динамические, по количеству целей исследования: одна или несколько, по количеству критериев: один или несколько, по структуре участников: с одним участником, двумя, конечным числом и бесконечным, по характеру исходных данных: детерминированные и стохастические и т.д. Каждому классу задач соответствуют методы ТПР: линейное и нелинейное программирование, критериальный анализ, теория игр и вариационных рядов. Все эти классификации верны, но охватывают неравноценные области проблем, многие из дисциплин перекрывают друг друга по постановке задач и методам решения.
Классификация моделей по целям исследования и характеру исходных данных: детерминированные, стохастические и статистические, которым соответствуют методы критериального анализа и теории игр - стратегические, нестратегические и статистические игры.
Проблема принятия правильного, наилучшего в данной ситуации решения стоит перед человеком всегда. Искусством принятия решений владеют военоначальники и политики, их не менее проницательные и изворотливые подчиненные, в той или иной мере им владеет каждый человек, имеющий хотя бы минимальный жизненный опыт.
Важность владения таким искусством бесспорна: от правильности выбранной альтернативы может зависеть не только судьба конкретного человека, но и общества в целом.
Формализация самого процесса принятия решений - достаточно сложная проблема, но она вполне разрешима с помощью математических методов, разработанных к сегодняшнему дню. Однако, остается очевидный, казалось бы, вопрос: какое решение считать правильным?
Когда смоделирован процесс принятия решений остается только выбрать по каким либо формальным признакам один из вариантов действия. Такое решение должно быть "оптимальным" для данной ситуации, то есть наиболее благоприятным, наилучшим из возможных. Признаки, на основании которых производится сравнительная оценка возможных решений, образуют так называемые критерии оптимальности. Формально описать эти критерии "правильности решения" - оказывается затруднительно.
Во-первых, объекты, рассматриваемые теорией принятия решений настолько разнообразны, что установить единые принципы оптимальности для всех классов задач не представляется возможным.
В третьих, критерии правильности решения зависят не только от характера задачи, ее цели и т.п., но и от того, насколько беспристрастно они выбраны, в противном случае это будет подгонка под ответ.
В четвертых, трудности выбора решения могут скрываться и в самой постановке задачи, если требуется достижение нереальных результатов получение максимальной прибыли при минимальном риске.
В целом, все принимаемые в теории принятия решений принципы оптимальности прямо или косвенно отражают идеи устойчивости, выгодности и справедливости.
Понятия устойчивости и выгодности в экономике легко формализуются. В общем виде говорят об условных принципах устойчивости и выгодности: полученное решение устойчиво с той точки зрения, что участникам процесса принятия решений не выгодно от него отклоняться, а выгодно - потому, что все стремятся по возможности увеличить свой выигрыш или уменьшить проигрыш. Такое решение в ТПР называется равновесным, оно обеспечивает всем участникам максимально гарантированный выигрыш.
Если реализация принципов выгодности и устойчивости основана на исходных условиях задачи, то принцип справедливости устанавливается извне. Участники процесса принятия решений должны заранее их оговорить. Часто компромиссное решение, основанное на принципах справедливости не совпадает с равновесным.
В договоре между участниками может участвовать еще одно постороннее лицо: арбитр, который и предлагает компромиссное решение, отвечающее некоторым "принципам справедливости".
Арбитр, как всякий судья, должен обладать авторитетом и моральным правом принимать решения, то есть пользоваться безусловным доверием всех участников ППР. В противном случае принятое решение не будет выполняться, так как единственным стимулом к его выполнению является согласие, договоренность сторон
В качестве методов математического моделирования задач принятия решений в условиях определенности традиционно используются критериальный анализ, линейное и нелинейное программирование. Все эти подходы основаны на систематизированном анализе, в процессе которого используемые количественные оценки должны помочь ЛПР уяснить для себя, какой курс действий ему следует выбрать.
Линейное и нелинейное программирование используется в задачах с одним критерием выбора решения и набором ограничений на веденные переменные. В курсе ТПР эти задачи рассматриваются как задачи однокритериального анализа, то есть частный случай многокритериального анализа.
При постановке задачи критериального анализа предполагается, что у ЛПР есть несколько вариантов выбора, несколько альтернатив u U, где U - множество всевозможных альтернатив, включающее не менее двух элементов. В зависимости от характера задачи множество U может быть как непрерывным, так и дискретным.
Выбор из множества альтернатив происходит на основании заранее заданной системы или функции предпочтений Р(р). В критериальном анализе предпочтения р задаются в виде некоторого набора характеристик, которые обозначаются k и называются критериями.
В зависимости от условий внешней среды и степени информативности лица принимающего решение (ЛПР) производится следующая классификация задач принятия решений:
а) в условиях риска;
б) в условиях неопределённости;
в) в условиях конфликта или противодействия (активного противника).
Теория полезности и принятия решений.
Принятие решений в условиях риска.
Критерий ожидаемого значения.
Использование критерия ожидаемого значения обусловлено стремлением максимизировать ожидаемую прибыль (или минимизировать ожидаемые затраты). Использование ожидаемых величин предполагает возможность многократного решения одной и той же задачи, пока не будут получены достаточно точные расчётные формулы. Математически это выглядит так: пусть Х– случайная величина с математическим ожиданием MX и дисперсией DX . Если x 1 , x 2 . x n – значения случайной величины (с.в.) X , то среднее арифметическое их (выборочное среднее) значений имеет дисперсию . Таким образом, когда n ® ¥
Другими словами при достаточно большом объёме выборки разница между средним арифметическим и математическим ожиданием стремится к нулю (так называемая предельная теорема теории вероятности). Следовательно, использование критерия ожидаемое значение справедливо только в случае, когда одно и тоже решение приходится применять достаточно большое число раз. Верно и обратное: ориентация на ожидания будет приводить к неверным результатам, для решений, которые приходится принимать небольшое число раз.
Пример 1. Требуется принять решение о том, когда необходимо проводить профилактический ремонт ПЭВМ, чтобы минимизировать потери из-за неисправности. В случае если ремонт будет производится слишком часто, затраты на обслуживание будут большими при малых потерях из-за случайных поломок.
Так как невозможно предсказать заранее, когда возникнет неисправность, необходимо найти вероятность того, что ПЭВМ выйдет из строя в период времени t . В этом и состоит элемент ”риска”.
Математически это выглядит так: ПЭВМ ремонтируется индивидуально, если она остановилась из-за поломки. Через T интервалов времени выполняется профилактический ремонт всех n ПЭВМ. Необходимо определить оптимальное значение Т, при котором минимизируются общие затраты на ремонт неисправных ПЭВМ и проведение профилактического ремонта в расчёте на один интервал времени.
Пусть р t – вероятность выхода из строя одной ПЭВМ в момент t , а n t – случайная величина, равная числу всех вышедших из строя ПЭВМ в тот же момент. Пусть далее С 1 – затраты на ремонт неисправной ПЭВМ и С 2 – затраты на профилактический ремонт одной машины.
Применение критерия ожидаемого значения в данном случае оправдано, если ПЭВМ работают в течение большого периода времени. При этом ожидаемые затраты на один интервал составят
где M ( n t ) – математическое ожидание числа вышедших из строя ПЭВМ в момент t . Так как n t имеет биномиальное распределение с параметрами ( n , p t ), то M ( n t ) = np t . Таким образом
Необходимые условия оптимальности T * имеют вид:
ОЗ ( T * -1) ³ ОЗ ( T * ),
ОЗ ( T * +1) ³ ОЗ ( T * ).
Следовательно, начиная с малого значения T , вычисляют ОЗ( T ), пока не будут удовлетворены необходимые условия оптимальности.
Субъективные вероятности, рассмотренные ранее, являются фактически численным выражением мнения ЛПР и информации, которой он владеет. Понятие полезности, вводимое далее в этом параграфе, служит для численного выражения вкусов и предпочтений ЛПР. Современная экономическая теория изучает предпочтения с точки зрения их рациональности. Принятый в ней аксиоматический подход состоит в том, что критерии… Читать ещё >
Функция полезности. Теория принятия решений. Том 2 ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )
Субъективные вероятности, рассмотренные ранее, являются фактически численным выражением мнения ЛПР и информации, которой он владеет. Понятие полезности, вводимое далее в этом параграфе, служит для численного выражения вкусов и предпочтений ЛПР. Современная экономическая теория изучает предпочтения с точки зрения их рациональности. Принятый в ней аксиоматический подход состоит в том, что критерии математически выводятся из наборов условий (аксиом), накладываемых на предпочтения.
Обратите внимание!
Историческая справка
В 1738 г. была опубликована статья Даниила Бернулли (D. Bernoulli), швейцарского математика, работавшего в Петербурге, посвященная разрешению так называемого петербургского парадокса.
Рассматривается игра с начальной ставкой 1 руб. Бросается правильная монета (т.е. такая монета, для которой выпадение решетки или герба равновероятно). В случае выпадения герба игрок получает выигрыш, равный ставке, в случае выпадения решетки ставка удваивается. Игра ведется до выигрыша.
Напомним, что математическим ожиданием дискретной случайной величины [1] имеющей распределение рх = Р, i = 1, п> называется величина.
если число значений случайной величины конечно. Если число значений случайной величины счетно, то.
При этом, если ряд в правой части равенства расходится, то говорят, что случайная величина не имеет математического ожидания (26, "https://referat.bookap.info").
Таким образом, ожидаемый выигрыш бесконечен.
Вычислим математическое ожидание выигрыша в данной игре.
Для разрешения парадокса Бернулли ввел функцию (фактически функцию полезности денежного выигрыша) U (w), выражающую субъективную ценность богатства w (измеряемого в денежных единицах). Бернулли ввел также принцип уменьшения полезности денег в зависимости от уже имеющегося богатства. Проиллюстрируем этот принцип следующим примером. Человек, имеющий 10 000 долл., будет рад получить еще 10 000 долл.; но если у индивидуума есть 1 000 000 долл., то получение 10 000 долл, уже не будет иметь для него такого большого значения и, следовательно, не так сильно увеличит его полезность. Бернулли сделал конкретное предположение о том, что полезность прирастает пропорционально относительному, а не абсолютному приращению капитала, Таким образом, приращение капитала в 10 000 долл, для индивидуума, имеющего капитал 1 000 000 долл., составит kX 1% приращения полезности, что должно быть равнозначно приращению в 100 долл, для имеющего 10 000 долл. При пере;
ходе к бесконечно малым приращениям получим dU = к—, откуда очевидным.
образом получаем U (w) = k (w) + b, где k, b — некоторые постоянные коэффициенты, k > 0. Таким образом, функция полезности Бернулли имеет логарифмический вид.
Далее Бернулли предложил вместо математического ожидания самой величины X использовать для ее оценки математическое ожидание ее полезности EU (x). Таким образом, введенное Бернулли понятие полезности разрешило петербургский парадокс, установив одновременно нелинейный характер самой полезности. Другим ученым, предложившим аналогичное правило решения петербургского парадокса, был немецкий математик Г. Крамер, сделавший это даже на несколько лет раньше. Он использовал функцию полезности вида U (x) = л[х.
Таким образом, анализ рисковых альтернатив дал первый толчок возникновению теории полезности, впоследствии занявшей столь видное место в экономической теории. Анализу рисков посвящен материал гл. 15. Здесь займемся изучением теории полезности.
Читайте также: