Теория эйлера о многогранниках реферат

Обновлено: 07.07.2024

Биография, вклад в развитие механики, физики, астрономии Л. Эйлера — швейцарского, немецкого и российского математика, автора исследований по математическому анализу, дифференциальной геометрии, приближённым вычислениям, кораблестроению, теории музыки.

Рубрика	Математика
Вид	реферат
Язык	русский
Дата добавления	26.03.2019
Размер файла	814,1 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

ПК и ФСО КБГУ им. Бербекова

Леонард Эйлер и многогранники

Введение
1. Биография
2. Многогранники. Теорема Эйлера о многогранниках
Список литературы

Введение

Эйлер принадлежит к числу гениев, чьё творчество стало достоянием всего человечества. До сих пор школьники всех стран изучают тригонометрию и логарифмы в том виде, какой придал им Эйлер. Студенты проходят высшую математику по руководствам, первыми образцами которых явились классические монографии Эйлера.

Леонард Эйлер внёс много нового в разделы математики изучающие тригонометрию, логарифмы, многогранники, комплексные числа, графы. Он ввёл много обозначений, которыми мы пользуемся в настоящее время:

1734г. - обозначение функции f(x),

1736г. - обозначение основания натурального логарифма е и отношение длины окружности к диаметру круга р,

1748г. - обозначение тригонометрических функций sinx и cosx,

1753г. - обозначение тригонометрической функции tgx,

1755г. - знак суммы ?,

1777г. - обозначение мнимой единицы i.

Имя Эйлера носит формула, связывающая число вершин (В), рёбер (Р) и граней (Г) выпуклого многогранника:

Эйлер - автор более чем 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и др. Многие его работы оказали значительное влияние на развитие науки.

Почти полжизни провёл в России, где внёс существенный вклад в становление отечественной науки. В 1726 году он был приглашён работать в Санкт-Петербург. В 1731--1741 и, начиная с 1766 года, был академиком Петербургской Академии Наук (в 1741--1766 годах работал в Берлине, оставаясь почётным членом Петербургской Академии). Хорошо знал русский язык, и часть своих сочинений (особенно учебники) публиковал на русском. Первые русские академики-математики (С.К. Котельников), и астрономы (С.Я. Румовский) были учениками Эйлера. Некоторые из его потомков до сих пор живут в России.

Швейцария (1707--1727)

Леонард Эйлер родился в 1707 году в семье базельского пастора, друга семьи Бернулли. Рано обнаружил математические способности. Начальное обучение получил дома под руководством отца, учившегося некогда математике у Якоба Бернулли. Пастор готовил старшего сына к духовной карьере, однако занимался с ним и математикой - как в качестве развлечения, так и для развития логического мышления. Одновременно с обучением в гимназии мальчик увлечённо занимался математикой под руководством Якоба Бернулли, а в последние гимназические годы посещал университетские лекции младшего брата Якоба, Иоганна Бернулли.

20 октября 1720 года 13-летний Леонард Эйлер стал студентом факультета искусств Базельского университета. Но любовь к математике направила Леонарда по иному пути. Вскоре способный мальчик обратил на себя внимание профессора Иоганна Бернулли. Он передал одарённому студенту математические статьи для изучения, а по субботам пригласил приходить к нему домой, чтобы совместно разбирать непонятное. В доме своего учителя Эйлер познакомился и подружился с сыновьями Бернулли - Даниилом и Николаем, также увлечённо занимавшимися математикой.

Первый приезд в Россию (1727--1741)

22 января 1724 года Пётр I утвердил проект устройства Петербургской Академии. 28 января вышел указ сената о создании Академии. Из 22 профессоров и адъюнктов, приглашённых в первые годы, оказалось 8 математиков, которые занимались также механикой, физикой, астрономией, картографией, теорией кораблестроения, службой мер и весов.

Одной из важнейших задач Академии стала подготовка отечественных кадров. Позднее при Академии были созданы университет и гимназия. В силу острой нехватки учебников на русском языке Академия обратилась к своим членам с просьбой составить такие руководства. Эйлер, хотя и числился физиологом, составил на немецком языке очень добротное "Руководство к арифметике", которое тут же было переведено на русский и служило не один год в качестве начального учебника. Перевод первой части выполнил в 1740 году первый русский адъюнкт Академии, ученик Эйлера Василий Адодуров. Это было первое систематическое изложение арифметики на русском языке. Ко всеобщему удивлению, Эйлер уже в следующем по приезде году стал бегло говорить по-русски.

В один из последних дней 1733 года 26-летний Леонард Эйлерженился на своей ровеснице, дочери живописца (петербургского швейцарца) Катарине Гзель (нем. Katharina Gsell). Молодожёны приобрели дом на набережной Невы, где и поселились. В семье Эйлера родились 13 детей, но выжили 3 сына и 2 дочери.

Эйлер отличался феноменальной работоспособностью. По отзывам современников, для него жить означало заниматься математикой. А работы у молодого профессора было много: картография, всевозможные экспертизы, консультации для кораблестроителей и артиллеристов, составление учебных руководств, проектирование пожарных насосов и т. д. От него даже требуют составления гороскопов, каковой заказ Эйлер со всем возможным тактом переадресовал штатному астроному. Но всё это не мешает ему активно проводить собственные исследования.

За первый период пребывания в России он написал более 90 крупных научных работ. Значительная часть академических "Записок" заполнена трудами Эйлера. Он делал доклады на научных семинарах, читал публичные лекции, участвовал в выполнении различных технических заказов правительственных ведомств.

В 1735 году Академия получила задание выполнить срочное и очень громоздкое астрономическое (по другим данным, картографическое) вычисление. Группа академиков просила на эту работу три месяца, а Эйлер взялся выполнить работу за 3 дня - и справился самостоятельно. Однако перенапряжение не прошло бесследно: он заболел и потерял зрение на правый глаз. Однако учёный отнёсся к несчастью с величайшим спокойствием: "Теперь я меньше буду отвлекаться от занятий математикой", - философски заметил он.

В 1730-е годы Эйлер становится известен и в Европе. Двухтомное сочинение "Механика, или наука о движении, в аналитическом изложении", изданное в 1736 году, принесло ему мировую славу. В этой монографии Эйлер блестяще применил методы математического анализа к решению проблем движения в пустоте и в сопротивляющейся среде. "Тот, кто имеет достаточные навыки в анализе, сможет всё увидеть с необычайной лёгкостью и без всякой помощи прочитает работу полностью", - заканчивает Эйлер своё предисловие к книге. Начиная с этого момента, теоретическая механика становится прикладной частью математики.

Обстоятельства ухудшились, когда в 1740 году умерла императрица Анна Иоанновна, и царём был объявлен малолетний Иоанн VI. "Предвиделось нечто опасное, - писал позднее Эйлер в автобиографии. - После кончины достославной императрицы Анны при последовавшем тогда регентстве… положение начало представляться неуверенным". В самом деле, в регентство Анны Леопольдовны Петербургская Академия окончательно приходит в запустение. Эйлер обдумывает возврат на родину. В конце концов он принимает предложение прусского короля Фридриха, который приглашал его в Берлинскую Академию на весьма выгодных условиях, на должность директора её Математического департамента. Академия создавалась на базе прусского Королевского общества, основанного ещё Лейбницем, но в те годы находившегося в удручающем состоянии.

В июле 1766 года 60-летний Эйлер, его семья и домочадцы (всего 18 человек) прибыли в российскую столицу. Сразу же по прибытии он был принят императрицей. Екатерина, теперь уже Вторая, встретила его как августейшую особу и осыпала милостями: пожаловала 8000 рублей на покупку дома на Васильевском острове и на приобретение обстановки, предоставила на первое время одного из своих поваров и поручила подготовить соображения о реорганизации Академии.

К несчастью, после возвращения в Петербург у Эйлера образовалась катаракта второго, левого глаза - он перестал видеть. Вероятно, по этой причине обещанный пост вице-президента Академии он так и не получил. Однако слепота не отразилась на его работоспособности. Эйлер диктовал свои труды мальчику-портному, который всё записывал по-немецки. Число опубликованных им работ даже возросло; за полтора десятка лет второго пребывания в России он продиктовал более 400 статей и 10 книг.

1767--1770: работа над двухтомной классической монографией "Универсальное арифметика" (издавалась также под названиями "Начала алгебры" и "Полный курс алгебры"). На русском языке этот замечательный труд выходит сразу же (первый том: 1768), на немецком - два года спустя. Книга была переведена на многие языки и переиздавалась около 30 раз (трижды - на русском). Все последующие учебники алгебры создавались под сильнейшим влиянием книги Эйлера.

В эти же годы выходит трёхтомник "Оптика" (лат. Dioptrica, 1769--1771) и фундаментальное "Интегральное исчисление" (лат. Institutiones calculi integralis), тоже в 3 томах.

В 1771 году в жизни Эйлера произошли два серьёзных события. В мае в Петербурге случился большой пожар, уничтоживший сотни зданий, в том числе дом и почти всё имущество Эйлера. Самого учёного с трудом спасли. Все рукописи удалось уберечь от огня; сгорела лишь часть "Новой теории движения луны", но она быстро была восстановлена с помощью самого Эйлера, сохранившего до глубокой старости феноменальную память. Эйлеру пришлось временно переселиться в другой дом.

В сентябре того же года, по особому приглашению императрицы, в Санкт-Петербург прибыл для лечения Эйлера известный немецкий окулист барон Вентцель. После осмотра он согласился сделать Эйлеру операцию и удалил с левого глаза катаракту. Эйлер снова стал видеть. Врач предписал беречь глаз от яркого света, не писать, не читать - лишь постепенно привыкать к новому состоянию. Однако уже через несколько дней после операции Эйлер снял повязку, и вскоре потерял зрение снова. На этот раз - окончательно. эйлер математический геометрия

В 1773 году умерла жена Эйлера, с которой он прожил почти 40 лет; у них было три сына (младший сын Христофор впоследствии был генерал-лейтенантом российской армии и командиром Сестрорецкого оружейного завода). Это было большой потерей для учёного, искренне привязанного к семье. Вскоре Эйлер женился на её сводной сестре Саломее.

1779: выходит "Всеобщая сферическая тригонометрия", первое полное изложение всей системы сферической тригонометрии.

Эйлер активно трудился до последних дней. В сентябре 1783 года 76-летний учёный стал ощущать головные боли и слабость. 7 (18) сентября после обеда, проведённого в кругу семьи, беседуя с астрономом А.И. Лекселем о недавно открытой планете Уран и её орбите, он внезапно почувствовал себя плохо. Эйлер успел произнести: "Я умираю", - и потерял сознание. Через несколько часов, так и не приходя в сознание, он скончался от кровоизлияния в мозг.

"Эйлер перестал жить и вычислять", - сказал Кондорсе на траурном заседании Парижской Академии наук (фр. Il cessa de calculer et de vivre).

Его похоронили на Смоленском лютеранском кладбище в Петербурге. Надпись на памятнике гласила: "Здесь покоятся бренные останки мудрого, справедливого, знаменитого Леонарда Эйлера".

В 1955 году прах великого математика был перенесён в "Некрополь XVIII века" на Лазаревском кладбище Александро-Невской лавры. Плохо сохранившийся надгробный памятник при этом заменили.

2. Многогранники. Теорема Эйлера о многогранниках

Многогранниками называются тела, поверхности которых состоят из конечного числа многоугольников, называемых гранями многогранника. Стороны и вершины этих многоугольников называются соответственно ребрами и вершинами многогранника.

Многогранники делятся на: выпуклые и невыпуклые.

Выпуклым многогранником называется такой многогранник, что если взять плоскость любой его грани, то весь многогранник окажется по одну сторону от этой плоскости.

Выпуклые многогранники делятся на: правильные и неправильные.

Правильный многогранник - выпуклый многогранник с максимально возможной симметрией.

Многогранник называется правильным, если:

- все его грани являются равными правильными многоугольниками;

- в каждой его вершине сходится одинаковое число ребер.

Например, все треугольные пирамиды являются топологически правильными многогранниками, эквивалентными между собой. Все параллелепипеды также являются эквивалентными между собой топологически правильными многогранниками. Четырехугольные пирамиды не являются топологически правильными многогранниками.

Сколько же существует не эквивалентных между собой топологически правильных многогранников.

Существует 5 правильных многогранников:

Тетраэдр - составлен из 4 равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине=180°. Т.о., тетраэдр имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер.

Куб - составлен из 6 квадратов. Каждая его вершина является вершиной трех квадратов. Сумма плоских углов при каждой вершине=270°. Т.о., куб имеет 6 граней, 8 вершин и 12 ребер.

Октаэдр - составлен из 8 равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной четырех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине=240°. Т.о., октаэдр имеет 8 граней, 6 вершин и 12 ребер.

Икосаэдр - составлен из 20 равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной 5 треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине=300°. Т.о., икосаэдр имеет 20 граней, 12 вершин и 30 ребер.

Додекаэдр - составлен из 12 равносторонних пятиугольников. Каждая его вершина является вершиной трех пятиугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине=324°. Т.о., додекаэдр имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер.

Правильные многогранники также называются платоновыми телами. Каждый из правильных многогранников Платон ассоциировал с 4 "земными" стихиями: земля (куб), вода (икосаэдр), огонь (тетраэдр), воздух (октаэдр), а также с "наземным" элементом - небом (додекаэдр).

Казалось бы, топологически правильных многогранников должно быть гораздо больше. Однако оказывается, что никаких других топологически правильных многогранников, не эквивалентных уже известным правильным, не существует.

Для доказательства этого воспользуемся теоремой Эйлера.

Теорема Эйлера для многогранников - теорема, устанавливающая связь между числами вершин, ребер и граней для многогранников, топологически эквивалентных сфере:

"Сумма числа граней и вершин = числу ребер, увеличенному на 2" -

(данная формула верна для любых выпуклых многогранников).

Пусть дан топологически правильный многогранник, гранями которого являются n - угольники, и в каждой вершине сходится m ребер. Ясно, что n и m больше или равны трем. Обозначим, как и раньше, В - число вершин, Р - число ребер и Г - число граней этого многогранника. Тогда

nГ = 2P; Г =2P/n; mB = 2P; В = 2P/m.

По теореме Эйлера,

Из полученного равенства, в частности, следует, что должно выполняться неравенство

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

по дисциплине Математика

Курсант 211 взвода:

Леонард Эйлер — 7 (18) сентября 1783 , Санкт-Петербург , Российская империя ) — швейцарский, немецкий и российский математик и механик , внёсший фундаментальный вклад в развитие этих наук (а также физики , астрономии и ряда прикладных наук). Эйлер — автор более чем 850 работ (включая два десятка монографий) по математическому анализу , дифференциальной геометрии , теории чисел , приближённым вычислениям , небесной механике , математической физике , оптике , баллистике , кораблестроению , теории музыки и другим областям. Он глубоко изучал медицину, химию, ботанику, воздухоплавание, теорию музыки, множество европейских и древних языков. Академик Петербургской , Берлинской , Туринской , Лиссабонской и Базельской академий наук, иностранный член Парижской академии наук .

Почти полжизни провёл в России, где внёс существенный вклад в становление российской науки. В 1726 году он был приглашён работать в Санкт-Петербург , куда переехал годом позже. С 1726 по 1741 , а также с 1766 года был академиком Петербургской академии наук (будучи сначала адъюнктом , а с 1731 года — профессором ); в 1741 — 1766 годах работал в Берлине (оставаясь одновременно почётным членом Петербургской академии). Уже через год пребывания в России, он хорошо знал русский язык и часть своих сочинений (особенно учебники) публиковал на русском. Первые русские академики-математики ( С. К. Котельников ) и астрономы были учениками Эйлера. Некоторые из его потомков до сих пор живут в России.

Леонард Эйлер родился в 1707 году в семье базельского пастора Пауля Эйлера, друга семьи Бернулли, и Маргариты Эйлер, урождённой Брукер. Вскоре после рождения Леонарда семья переехала в селение Рихен (в часе ходьбы от Базеля), куда Пауль Эйлер был назначен пастором; там и прошли первые годы детства мальчика. Начальное обучение Леонард получил дома под руководством отца (тот в своё время учился математике у Якоба Бернулли). Пастор готовил старшего сына к духовной карьере, однако занимался с ним и математикой — как в качестве развлечения, так и для развития логического мышления, и Леонард рано проявил математические способности.

20 октября 1720 года 13-летний Леонард Эйлер стал студентом факультета искусств Базельского университета. Но любовь к математике направила Леонарда по иному пути. Посещая дом своего учителя, Эйлер познакомился и подружился с его сыновьями — Даниилом и Николаем, которые также, по семейной традиции, глубоко изучали математику. В 1723 году Эйлер получил (по существовавшему в Базельском университете обычаю) первую награду. 8 июля 1724 года 17-летний Леонард Эйлер произнёс на латыни речь о сравнении философских воззрений Декарта и Ньютона и был удостоен учёной степени магистра искусств.

В начале зимы 1726—1727 гг. Эйлер получил известие из Санкт-Петербурга: по рекомендации братьев Бернулли он приглашён на должность адъюнкта (помощника профессора) по кафедре физиологии (эту кафедру занимал Д. Бернулли) с годовым жалованьем 200 рублей (сохранилось письмо Эйлера президенту Академии Л. Л. Блюментро от 9 ноября 1726 г. с благодарностью за принятие в Академию). Поскольку Иоганн Бернулли был известным врачом, то в России считали, что Леонард Эйлер как его лучший ученик — тоже врач. Свой отъезд из Базеля Эйлер отложил, однако, до весны, посвятив оставшиеся месяцы серьёзному изучению медицинских наук, глубоким знанием которых он впоследствии поражал своих современников. Наконец, 5 апреля 1727 года Эйлер навсегда покинул Швейцарию, хотя швейцарское (базельское) подданство сохранил до конца жизни.

22 января (2 февраля) 1724 года Пётр I утвердил проект устройства Петербургской академии. 28 января (8 февраля) 1724 года вышел указ Сената о создании Академии. Из 22 профессоров и адъюнктов, приглашённых в первые годы, оказалось 8 математиков, которые занимались также механикой, физикой, астрономией, картографией, теорией кораблестроения, службой мер и весов.

17 (28) июля 1766 года 60-летний Эйлер, его семья и домочадцы (всего 18 человек) прибыли в российскую столицу. Сразу же по прибытии он был принят императрицей. Екатерина II встретила его как августейшую особу и осыпала милостями: пожаловала 8000 рублей на покупку дома на Васильевском острове и на приобретение обстановки, предоставила на первое время одного из своих поваров и поручила подготовить соображения о реорганизации Академии.

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ ДЛЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ ЭЙЛЕРА О МНОГОГРАННИКАХ

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Теорема Эйлера о многогранниках - математическое утверждение, связывающее между собой число ребер, граней и вершин многогранников. Она заложила фундамент нового раздела математики — топологии. В области математики существует много разных методов исследования.

Метод математической индукции является одной из теоретических основ при решении задач на суммирование, доказательстве тождеств, доказательстве и решении неравенств, решении вопроса делимости, при изучении свойств числовых последовательностей. В работе рассмотрены достаточно известные приемы доказательства Теоремы Эйлера и доказано, что метод математической индукции как эффективный способ доказательства гипотез может быть с успехом применен и в геометрии.

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность:

15 апреля 2017 года исполнилось 310 лет со дня рождения Леонарда Эйлера- одного из величайших математиков мира, работы которого оказали решающее влияние на развитие многих современных разделов математики. Вряд ли найдется хоть одна значительная область математики, в которой не оставил бы след гений XVIII века. Эйлер долгое время жил и работал в России, был действительным членом Петербургской Академии наук, оказал большое влияние на развитие русской математической школы и в деле подготовки кадров ученых математики и педагогов России. Перу Эйлера принадлежат 865 работ. Ученый отлично знал русский язык и часть своих учебников издавал на нем. В них в одинаковой степени освещены как практические вопросы, так и вопросы чистой математики. Он многое сделал в алгебре, аналитической геометрии и сферической тригонометрии; успешно работал в области дифференциального и интегрального исчислений. Им были созданы новые разделы математики.

В 1750 году Леонард Эйлер доказал тождество для выпуклых многогранников. Теорема Эйлера о многогранниках - математическое утверждение, связывающее между собой число ребер, граней и вершин многогранников. Она хорошо известна и используется для выяснения того, какие многогранники могут существовать.

Новизна

В экспериментальных науках велика роль индуктивных выводов. В математике индукция часто позволяет угадать формулировку теорем, а в ряде случаев и наметить пути доказательств. В математике о фактах сначала догадываются, а затем их доказывают. Метод математической индукции не дает никаких указаний, как построить гипотезу. Любую подмеченную закономерность можно рассматривать как вполне разумную гипотезу, которая в результате последующих испытаний либо подтверждается, либо опровергается. Покажем, что такой способ доказательства гипотез может быть с успехом применен и в геометрии.

Цель:изучить Теорему Эйлера о многогранниках, ее применение. Доказать теорему, применив метод математической индукции.

Задачи:

Изучить теорию многогранников, их применение.

Рассмотреть различные известные способы доказательства Теоремы Эйлера и возможности ее применения в теории правильных многогранников.

Применить метод математической индукции для доказательства теоремы Эйлера в выпуклом многограннике.

Гипотеза: в любом выпуклом многограннике имеет место соотношение: В+ Г- Р = 2 ,

где В – число вершин многогранника, Г- число его граней и Р- число ребер.

Методы, используемые в работе:

1. Теоретические (анализ, синтез, обобщение).

2. Практический эксперимент.

Этапы исследования:

1.Анализ ситуации по проблеме, выдвижение гипотезы;

3.Обработка полученных результатов;

Объект исследования: теорема Эйлера о многогранниках.

Предмет исследования: возможности применения математической индукции в геометрии.

Ход работы

1 этап. Постановка задачи

1.1 Определение. Многогранником называется тело, поверхность которого составлена из многоугольников. Эти многоугольники называются гранями многогранника, их стороны -ребрами, а вершины - вершинами многогранника.

В школьном курсе рассматриваются выпуклые многогранники. Это многогранники, для которых верно следующее утверждение: для любой плоскости, проходящей через одну из граней многогранника, многогранник находится целиком по одну сторону от этой плоскости. Многогранник является выпуклым тогда и только тогда, когда отрезок, соединяющий любые две точки многогранника, полностью принадлежит многограннику. Каждая грань такого многогранника будет выпуклым многоугольником. При этом обратное утверждение не верно: если каждая грань многогранника - выпуклый многоугольником, то он необязательно выпуклый.

Правильный многогранник – выпуклый многогранник с максимально возможной симметрией. Многогранник называется правильным, когда

• все его грани являются равными правильными многоугольниками;

• в каждой его вершине сходится одинаковое число ребер.

Древнегреческий философ Платон очень интересовался такими многогранниками, у которых все грани являются одинаковыми правильными многоугольниками, а в каждой вершине сходится одно и то же число граней. Он нашел 55 таких многогранников. Разновидностей многогранников существует множество. Например, любая 3D-модель из компьютерной игры представляет собой некоторый (возможно, очень сложный) многогранник. Чем он сложнее, тем точнее описывает реальный объект. Однако изучать свойства многогранников легче на простых моделях. Устройство многогранников важно знать и понимать инженерам, дизайнерам и художникам, а также всем, кто хочет лучше понимать взаимосвязи объектов в пространстве.

Выпуклый многогранник называется топологически правильным, если его гранями являются многоугольники с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине сходится одинаковое число граней. Например, все треугольные пирамиды являются топологически правильным многогранниками, эквивалентными между собой. Все параллелепипеды также являются эквивалентными между собой топологически правильными многогранниками. Четырехугольные пирамиды не являются топологически правильными многогранниками.

Существует 5 правильных многогранников:

рис.1 рис.2 рис.3 рис.4 рис.5

Тетраэдр – составлен из 4 равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине=180°. Тетраэдр имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер.(рис1).

Куб –составлен из 6 квадратов. Каждая его вершина является вершиной трех квадратов. Сумма плоских углов при каждой вершине=270°.Куб имеет 6 граней, 8 вершин и 12 ребер.(рис.2).

Октаэдр –составлен из 8 равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной четырех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине=240°. Октаэдр имеет 8 граней, 6 вершин и 12 ребер.(рис.3).

Икосаэдр –составлен из 20 равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной 5 треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине=300°. Икосаэдр имеет 20 граней, 12 вершин и 30 ребер.(рис.4).

Додекаэдр –составлен из 12 равносторонних пятиугольников. Каждая его вершина является вершиной трех пятиугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине=324°. Додекаэдр имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер.(рис.5).

Рассмотрим многогранники, которые имеют вершины (В), ребра (Р) и грани (Г) :

Один молодой человек после прочтения книги Александра Яковлевича Хинчина " Три жемчужины теории чисел" спросил автора этих строк, а имеются ли жемчужины в геометрии. Последовал ответ: несомненно имеются. Прекрасных теорем в геометрии с лихвой бы хватило на великолепное ожерелье. Например, знаменитая теорема Эйлера о соотношении между количеством вершин, ребер и граней в выпуклом многограннике, которая несомненно является жемчужиной теории многогранников. Это жемчужина, и еще какая!

Именно этой теореме посвящена данная работа Яук Наталии.

Вложение	Размер
yauk_nataliya_eylerova_harakteristika_mnogogrannika_nou.doc	713 КБ

Предварительный просмотр:

Муниципальное образовательное учреждение

Седельниковского муниципального района Омской области

Эйлерова характеристика многогранника

Автор работы: Яук

общеобразовательная школа №1

§1. Биография Леонарда Эйлера и его вклад в развитие математики……………………………………….………………………………. 4

§2. Формула Эйлера для многогранников. Правильные многогранники…………………………………. ……………………….…..….10

§3. Доказательство Коши. Контрпримеры Люилье (полый куб, коронованный куб, картинная рама)………………………………………..……………………20

§4. Практическое применение формулы Эйлера для многогранников………24

Список используемой литературы………………………………………………28

Эта знаменитая теорема впервые появилась в 1752 году в журнале Петербургской академии наук в работах Леонарда Эйлера " Элементы учения о телах" и " Доказательство некоторых замечательных свойств, которым подчинены тела, ограниченные плоскими гранями".

Данная теорема встречается и в школьном курсе математики, но раскрыта не так полно, как хотелось бы мне. В своей работе я попытаюсь более подробно изучить вопрос об эйлеровой характеристике многогранника, показать применение данной теоремы на практике. Считаю, что данный вопрос актуален для каждого школьника, увлекающегося математикой и интересующегося теорией многогранников.

В связи с этим, можно определить объект и предмет данной исследовательской работы.

Объект исследования: теорема Эйлера.

Предмет исследования: решение задач с применением теоремы Эйлера.

Исходя из выше сказанного, я поставила следующие задачи и цель.

Цель: изучить вопрос об эйлеровой характеристике многогранника.

Рассмотреть научно-историческую литературу по теме.
Разобрать доказательство Коши, рассмотреть контрпримеры Люилье (полый куб, коронованный куб, картинная рама).
Самостоятельно решить задачи с применением теоремы Эйлера.

§1. Биография Леонарда Эйлера и его вклад в развитие математики.

Леонард Эйлер родился в семье небогатого протестантского священника Пауля Эйлера и Маргареты Брукер в швейцарском городе Базеле на живописном берегу Рейна. В то время Базель являлся центром образования и культуры европейского масштаба. Базельский университет, основанный папой-гуманистом Пием II за два века до появления на свет Леонарда, являлся очагом просвещения. В нем преподавал выдающийся гуманист эпохи Возрождения Эразм Роттердамский, а также многие известные естествоиспытатели того времени. Базель был центром книгопечатания и искусств.

В середине XVIв. в Базель из Голландии переехала семья Бернулли. Этот эмигрировавший в Швейцарию фламандский род дал впоследствии целый ряд выдающихся ученых, преимущественно в области математических наук. В XVIIIв. представителям этого рода было суждено сыграть положительную роль в судьбе гения [2].

Леонарду было около года, когда семья переехала в местечко Рихен, недалеко от Базеля, куда от Леонарда был переведен пастором.

Первоначальное образование Леонард получил от отца. Пастор, хотя и готовил своего сына для духовной карьеры, учил его также и математике. После домашнего обучения Леонард был отправлен в Базель, где помимо гимназии посещал лекции Иоганна Бернулли.

Профессор И. Бернулли очень скоро заметил в молодом человеке необыкновенный талант и стал выделять дополнительное время для индивидуальных занятий с Леонардом. Беседы с Иоганном Бернулли о математике часто проходили в кругу семьи профессора. Леонард познакомился, а затем и подружился с его сыновьями Николаем и Даниилом[6].

Петербургский период (1727-1741)

В 1725 г. императрица Екатерина I, исполняя волю внезапно скончавшегося супруга Петра I, открыла Петербургскую академию и заботилась о ней. Своих ученых в России тогда не было, и расчет строился на приглашении в Академию крупных европейских ученых. Создание благоприятных условий, высокие оклады ученых сыграли свою роль. Вскоре после открытия Академии в Петербурге работали немало хороших ученых, в частности, ученик Лейбница — Яков Герман, разносторонне образованный Христиан Гольдбах.

Иоганн Бернулли, находясь в почтенном возрасте и занимая кафедру математики в Базельском университете, уклонился от посланного ему приглашения. Однако поддержал поездку своих сыновей в Петербург, Даниила и Николая. Уезжая в Петербург, молодые Бернулли обещали Леонарду написать, если для него найдется подходящее место в России. На следующий год они сообщили, что для Эйлера есть место в Академии. Узнав об этом, талантливый математик немедленно записался студентом-медиком Базельского университета. Прилежно и успешно изучая дисциплины медицинского факультета, Эйлер находил время и для занятий математикой. В 1726 г. внезапно умирает молодой Николай Бернулли и на его место на математическом отделении Академии наук приглашают Эйлера.

Свой 20-й день рождения Леонард встретил где-то в Германии, на пути в Петербург. По приезде в российскую столицу Эйлер вошел в группу прекрасных ученых-математиков и физиков, какую в то время нигде больше в мире он бы не встретил. Эйлер немедленно активно начал работать над несколькими вопросами прикладной математики.

Едва ли не в день приезда Эйлера в Россию скончалась покровительница Академии Екатерина I. Несколько иностранных академиков начали подумывать о возвращении на родину. В 1730 г. Эйлеру предложили освободившееся место профессора физики, которое он и занял. Это позволило ему стать в возрасте 23 лет петербургским академиком. В 1733 г. он был выбран академиком по математическому отделению вместо уехавшего на родину его друга Даниила Бернулли.

Финансовое положение вследствие этого значительно улучшилось. В 1734 г. он женился на Екатерине Гзель. У них было тринадцать детей, но только пять пережили детский возраст. Леонард Эйлер был замечательным семьянином. Он не только полностью обеспечивал семью материально, не только заботился о карьере своих детей, но и делал все необходимое по уходу за ними. Эйлер писал, что некоторые свои результаты он получил, когда носил на руках младенца, в то время как другие дети возились у его ног[4].

Обладая громадным талантом, Эйлер был необыкновенно трудолюбив. Соединением этих качеств объясняется многочисленность, глубина и полнота его трудов. Рассказать о научных работах Эйлера, даже только самых выдающихся, в рамках данной работы — задача абсолютно невыполнимая. Назовем лишь основные направления, в развитие которых Эйлер внес вклад: теория чисел; геометрия; математический анализ; дифференциальные уравнения; вариационное исчисление; теория вероятности; механика. Эйлер чувствовал внутреннюю неразрывность этих областей математики. Исследования в теории чисел и геометрии порождали новые задачи в математическом анализе. Математический анализ обеспечивал математическим аппаратом дифференциальные уравнения и специальные функции, которые оказывались существенными в механике. Механика в свою очередь ставила содержательные задачи перед математикой.

В 1740 г. скончалась императрица Анна Иоанновна. Эйлер к этому времени достиг пика своего положения в Академии. Он имел непререкаемый научный авторитет, получал максимальный оклад. Благодаря природному таланту ладить с людьми у него были хорошие отношения с влиятельными вельможами. Но подорванное изнурительными трудами здоровье, общая усталость, напряжение из-за политической нестабильности стране — все это ввергло 33-летнего Леонарда Эйлера в состояние депрессии. В это тяжелое для Эйлера время приходит личное приглашение от прусского короля Фридриха II, переехать на работу в Берлин. Эйлер принимает приглашение. В прошении об отставке он обещает поддерживать отношения с Петербургской академией и вернуться, когда поправится здоровье. В июне 1741 г. Эйлер уезжает в Берлин. С Эйлера берется обещание продолжать сотрудничество с Академией.

Берлинский период (1741-1766)

Совершенно очевидно, что, приглашая крупного ученого, Фридрих II хотел прежде всего оживить в стране научную жизнь, пришедшую в упадок вследствие недавних войн. Предполагалось на основе существующего Берлинского научного общества создать Берлинскую академию. Эйлер был польщен тем, что король предложил ему одну из главных ролей в этом процессе. Берлинская академия наук была образована 1744 г. Эйлер назначается директором ее математического отделения.

Эйлер и в Берлинской академии имел поручений не меньше, чем в Петербургской. Он руководил обсерваторией и ботаническим садом. Просматривал различные финансовые бумаги, руководил изданием разнообразных географических карт и календарей. Король поручал Эйлеру решение различных практических задач, в том числе надзор за работой насосов и труб в королевской резиденции Сан-Суси. И это далеко не полный список его берлинских обязанностей.

В 1759 г. умирает президент Академии. Эйлер предполагал, что ему поручат пусть и не пост президента, но руководство Академией. Однако король приглашает на это место Даламбера. И хотя Даламбер отклонил предложение короля, после окончания семилетней войны, в которой Россия и Пруссия были противниками, Эйлер решает вернуться в Россию.

Возвращение в Россию навсегда (1766-1783)

В 1771 г. дом Эйлера вместе с имуществом был полностью уничтожен пожаром. Эйлер после этой беды и полной потери зрения продолжал работать и как обычно, интенсивно. Блестящие умственные способности и фантастическая работоспособность не покинули его вплоть до последнего дня.

Похоронен Леонард Эйлер был на Смоленском кладбище в Петербурге. Сейчас его останки покоятся в некрополе Александро-Невской лавры. Трое сыновей и их дети остались в России.

Петербургская академия продолжала издавать неопубликованные работы в течение еще 50 лет. Леонард Эйлер был самым плодотворным автором в математике за всю историю[2].

§2. Формула Эйлера для многогранников. Правильные многогранники.

Определение: Многогранник – это часть пространства, ограниченная совокупностью конечного числа плоских многоугольников соединенных таким образом, что каждая сторона любого многоугольника является стороной ровно одного другого многоугольника (называемого смежным), причем вокруг каждой вершины существует ровно один цикл многоугольников. Эти многоугольники называются гранями, их стороны - ребрами, а вершины - вершинами многогранника.

На рис. 1 представлены несколько известных многогранников.

Многогранник называется простым , если:

1) все его грани являются простыми многоугольниками;

2) никакие две его несмежные грани не имеют общих точек (внутренних или граничных), за исключением, быть может, одной общей вершины;

Рисунок 4. Разбиение на тетраэдры

Теорема 1 . Для всякого простого многогранника нулевого рода

Рисунок 5. Простой многогранник рода 1

Простой многогранник рода 1 можно получить из двух простых многогранников рода 0, приставляя друг к другу двумя несмежными гранями и ликвидируя эти грани у полученного нового многогранника. Простой многогранник рода 2 можно получить из двух многогранников рода 1, приставив их друг к другу таким же образом; например, используя два одинаковых многогранника. Вообще, простой многогранник рода р + 1 можно получить из простого многогранника рода р, приставив к нему двумя несмежными гранями простой многогранник рода 0 (Как?). Если последовательно проследить за нашими примерами построения многогранников рода р и проанализировать изменение величины V - Е + F, то мы получим подтверждение нового результата.

Теорема 2 . Для всякого простого многогранника рода р справедливо соотношение

Подчеркнем, что теоремы 1 и 2, конечно, нельзя считать доказанными нашими рассуждениями, так как не доказано, что любой многогранник рода р может быть получен указанным выше способом из некоторого многогранника рода р - 1. Но не будем на этом останавливаться.

Более того, при таком изложении, например, само соотношение V - Е + F = 2 следовало бы считать определением простого многогранника нулевого рода, так как определения сквозных дыр и доказательства соотношения Эйлера для простых многогранников, не имеющих сквозных дыр, нами не приведено[7].

Определение: Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многогранниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

Всего существует пять видов правильных выпуклых многогранников. Их гранями являются правильные треугольники, правильные четырёхугольники (квадраты) и правильные пятиугольники.

Докажем, что не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и, вообще, n – угольники при n ≥ 6.

В самом деле, угол правильного n - угольника при n ≥ 6 не меньше . С другой стороны, при каждой вершине многогранника должно быть не менее трёх плоских углов. Поэтому если бы существовал правильный многогранник, у которого грани – правильные n -угольники при n ≥ 6, то сумма плоских углов при каждой вершине такого многогранника была бы не меньше чем . Но это невозможно, так как сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше .

По этой же причине каждая вершина правильного многогранника может быть вершиной либо трёх, четырёх или пяти равносторонних треугольников, либо квадратов, либо трёх правильных пятиугольников. Других возможностей нет. В соответствии с этим получаем следующие правильные многогранники, их всего 5.

Правильный тетраэдр (рис. 6) составлен из четырёх равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна .

Рисунок 6. Правильный тетраэдр.

Правильный октаэдр (рис. 7) составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине .

Рисунок 7. Правильный октаэдр.

Правильный икосаэдр (рис. 8) составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна .

Рисунок 8. Правильный икосаэдр.

Куб (гексаэдр) (рис. 9) составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трёх квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна .

Рисунок 9. Куб (гексаэдр).

Правильный додекаэдр (рис. 10) составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна .

Читайте также: