Теорема хана банаха реферат
Обновлено: 05.07.2024
Линейный функциональный анализ базируется на трех китах(теоремах):
- теорема Хана-Банаха о продолжении линейного функционала;
- теорема Банаха об обратном операторе;
- теорема Штейнгауза о равномерной ограниченности.
Ранее мы установили, что если на линейном всюду плотном множестве определен линейный функционал, то можно продолжить его на все множество. В теореме Хана-Банаха мы отбросим условие всюду плотности.
Пусть [math]X[/math] — линейное пространство, [math]p[/math] — полунорма на нем, [math]Y[/math] — линейное подмножество [math]X[/math] , [math]f: Y \to \mathbb R[/math] удовлетворяет условию подчиненности [math]p[/math] .
Тогда существует линейный функционал [math]g: X \to \mathbb R[/math] такой, что:
- [math]g|_Y = f[/math]
- [math]x \in X \to |g(x)| \le p(x)[/math]
Пусть [math]X[/math] — линейное нормированное пространство, [math]Y[/math] — подпространство [math]X[/math] , [math]f: Y \to \mathbb R[/math] — линейный ограниченный функционал. Тогда существует линейный ограниченный функционал [math]g: X \to \mathbb R[/math] такой, что [math]g|_Y = f[/math] , [math]\|g\| = \|f\|[/math] .
Мы не будем доказывать теорему в таком виде, вместо этого докажем ее частный случай:
Пусть [math]X[/math] — сепарабельное нормированное пространство, [math]Y[/math] — линейное подмножество [math]X[/math] , [math]f: Y \to \mathbb R[/math] — линейный ограниченный функционал. Тогда существует линейный ограниченный функционал [math]g: X \to \mathbb R[/math] такой, что [math]g|_Y = f[/math] , [math]\|g\| = \|f\|[/math] .
Доказательство разбиваем на две части.
Рассмотрим [math]z \notin Y[/math] , [math]L = \< y + tz, t \in \mathbb R, y \in Y\>[/math] [math]L[/math] — линейное подпространство [math]X[/math] , [math]Y \subset L[/math] .
Продолжим [math]f[/math] с сохранением нормы на [math]L[/math] . Пусть [math]g[/math] — искомый линейный функционал.
[math]g(y + tz) = g(y) + tg(z) = f(y) + tg(z)[/math]
Идея: мы рассматриваем множество [math]Y[/math] и пополняем его до линейной оболочки [math]L = \mathcal(Y,z)[/math] . По линейности, для того, чтобы можно было считать [math]f[/math] на [math]L[/math] , нужно доопределить его всего в одной точке. Например, в [math]z[/math] : [math]g(z)=-c[/math] .
Пусть [math]g(z) = -c[/math] , подберем [math]c[/math] так, чтобы нормы [math]f[/math] и [math]g[/math] совпадали. В силу ограниченности [math]f[/math] , [math]|f(y)| \le \|f\|\|y\|[/math] , мы хотим найти такое [math]c[/math] , чтобы выполнялось [math]|g(y+tz)| \le p(y+tz)[/math] , где [math]p(x) = \|f\|\|x\|, x \in X[/math] . Заметим, что [math]p[/math] является полунормой.
Добьемся того, чтобы [math]|g(y+tz)| \le p(y+tz)[/math] , из этого будет следовать, что [math]\|g\| = \|f\|[/math] , так как при продолжении функционала его норма уменьшиться не может.
[math]|f(y) - tc| \le p(y+tz)[/math] распишем модуль:
[math]f(y) - p(y+tz) \le tc \le f(y) + p(y+tz)[/math] поделим на [math]t[/math]
[math]f(\frac) - p(\frac + z) \le c \le f(\frac) + p(\frac + z)[/math]
Пусть [math]A = \sup\limits_(f(\frac y t) - p(\frac y t + z)), B = \inf\limits_(f(\frac y t) + p(\frac y t + z))[/math] .
Проверим, что [math]A \le B[/math] .
Для этого достаточно, чтобы выполнялось [math]\forall y_1, y_2 \in Y: f(y_1) - p(y_1 + z) \le f(y_2) + p(y_2 + z)[/math] :
[math]f(y_1 - y_2) \le p(y_1+z) + p(y_2+z)[/math] - верно, так как:
[math]f(y_1 - y_2) \le p(y_1 - y_2) = p((y_1+z) - (y_2+z)) \le p(y_1+z) + p(y_2+z)[/math] .
Значит, можно взять любое [math]c[/math] из отрезка [math][A; B][/math] , а значение [math]g[/math] на [math]z \notin Y[/math] позволяет доопределить значение функционала на всем [math]L[/math] по линейности.
Так как мы рассматриваем сепарабельное НП, то существует последовательность [math]e_1, e_2 \dots e_n \dots[/math] , замыкание линейной оболочки которой совпадает со всем пространством [math]X[/math] .
Пользуясь пунктом 1, мы можем выстроить последовательность линейных подпространств в [math]X[/math] , [math]L(e_1) \subset L(e_1, e_2) \subset \ldots \subset L(e_1, \ldots, e_n) \subset \ldots[/math]
Пусть [math]X[/math] — нормированное пространство. Тогда [math]\forall x \in X \exists f: X \to R:\ f(x) = \|x\|, \|f\| = 1[/math] .
[math]Y = \[/math] — линейное подмножество в [math]X[/math] .
[math]f(tx) = t \|x\|[/math] - линейный функционал в [math]Y[/math] . Очевидно, [math]f[/math] удовлетворяет необходимым условиям.
Пусть [math]X[/math] - нормированное пространство, [math]e_1, e_2, \ldots, e_n[/math] — линейно независимый набор в [math]X[/math] . Тогда в [math]X[/math] существует биортогональная система функционалов [math]f_1, f_2, \ldots f_n, f_i(e_j) = \delta_
Пусть [math]Y = L(e_1, e_2, \ldots, e_n)[/math] , возьмем [math]f_j(e_i) = \delta_[/math] .
Тогда для [math]y = \sum\limits_^ \alpha_k e_k \in Y[/math] , [math]f_j(y) = \sum\limits_^ \alpha_k f_j(e_k)[/math] .
Задача о том, достаточно ли много на нормированном пространстве линейных ограниченных функционалов, сводится к задаче о продолжении линейного функционала с подпространства на все пространство. Утверждение о возможности такого продолжения (теорема Хана – Банаха) дает решение этих задач. Эта теорема, как уже отмечалось, относится к числу трех основных принципов функционального анализа.
Определение 4.3. Пусть X – множество, < fa > – семейство отображений fa : X ® R. Будем говорить, что это семейство отображений разделяет точки пространства X, если для любой пары x1 ¹ x2 точек из X существует функция f Î < fa > такая, что f (x1) ¹ f (x2).
Нужно выяснить, разделяют ли ограниченные линейные функционалы точки нормированного пространства, т. е. достаточно ли много таких функционалов.
Близкая к этой задаче – задача о продолжении линейного ограниченного функционала.
Определение 4.4. Пусть L Ì X – подпространство нормированного пространства X и пусть на L задан линейный ограниченный функционал f0. Продолжением функционала f0 называется линейный ограниченный функционал f на X такой, что f (x) = f0 (x) для x Î L.
Если для ограниченного функционала продолжение существует, то для x1 ¹ x2 Î X разделяющий их функционал построим следующим образом: на подпространстве L = t (x1 – x2) : t Î K > зададим функционал f [ t (x1 – x2) ] = t. Его продолжение разделяет точки x1 и x2.
Отметим, что если f – продолжение f0, то
т. е. при продолжении норма не может уменьшиться. Представляют интерес такие продолжения, при которых норма не увеличивается.
Покажем, как эти задачи решаются в случае гильбертова пространства H на основе теоремы Рисса.
1. Если x1 ¹ x2, то для функционала f (x) = (x, x1 – x2) имеем f (x1) – f (x2) =
= || x1 – x2 || 2 ¹ 0, т. е. линейные ограниченные функционалы разделяют точки пространства H.
2. Пусть L Ì H – подпространство в H и f0 – функционал на L. Согласно теореме Рисса, f0 (x) = (x, u0), где u0 Î L. Тогда формула f (x) = (x, u0) определяет линейный ограниченный функционал на H, являющийся продолжением f0, причем || f || = || f0 ||.
Основную теорему Хана – Банаха докажем в более общей формулировке.
Определение 4.5. Пусть X – линейное пространство. Полунормой на X называется отображение p : X ® R, удовлетворяющее следующим условиям:
1) p(x) ³ 0;
2) p(l x) = |l| p(x);
3) p(x + y) £ p(x) + p(y).
Примером полунормы является норма.
Теорема 4.2 (Х. Хан, С. Банах) (действительный случай). Пусть X – линейное пространство над R, p – полунорма на X, L0 Ì X – линейное подпространство и на L0 задан линейный функционал f0, удовлетворяющий условию
| f0 (x)| £ p(x), x Î L0.
Тогда существует линейный функционал F : X ® R такой, что F (x) = f0 (x) для x Î L0 и | F (x)| £ p(x) для всех x Î X.
Доказательство. Так как из неравенства F (x) £ p(x) следует | F (x)| £ p(x) (если F (x) 0, то | F (x)| = F (– x) £ p(x) ), докажем существование продолжения, удовлетворяющего условию F (x) £ p(x).
Пусть x1 Ï L0. Множество L1 = l x1 + x : x Î L0, l Î R > является подпространством в X.
Построим продолжение f1 функционала f0 на L1. В силу линейности f1 (l x1 + x) = l f1 (x1) + f1 (x), поэтому для определения f1 достаточно задать только число f1 (x1) = c. Нужно подобрать c так, чтобы выполнялось условие f1 (l x1 + x) £ p (l x1 + x), или
l c + f0 (x) £ p (l x1 + x) " x Î L0, l Î R. (4)
При l > 0 неравенство (4) переписывается следующим образом:
c £ p (x /l + x1) – f0 (x /l), (5)
а при l 0 так:
– p ( – x /l – x1) + f0 ( – x /l) £ c. (6)
Покажем, что найдется постоянная c Î R, удовлетворяющая условиям (5) и (6). Пусть y', y" – произвольные элементы из L0. Тогда
f0 (y') + f0 (y") = f0 (y' + y") £ p (y' + y") £ p (y' – x1) + p (y" + x1),
– p (y' – x1) + f0 (y') £ p (y" + x1) – f0 (y"), (7)
Тогда из (7) вытекает, что c' £ c". Выбрав c так, чтобы c' £ c£ c", получаем, что c удовлетворяет условиям (5) и (6), т. е. функционал f1, определенный на L1 формулой f1 (l x1 + x) = l c + f0 (x), удовлетворяет условию подчинения f1 (l x1 + x) £ p (l x1 + x).
Рассмотрим теперь множество M всех продолжений g функционала f0, удовлетворяющих неравенству g(x) £ p(x). Продолжение fa функционала f0 задается парой (La, fa), состоящей из подпространства La и функционала fa, определенного на нем. В множестве продолжений вводим отношение порядка: будем говорить, что (La, fa) (Lb, fb), если La Ì Lb и fa (x) = fb (x) на La. Если в множестве M всех продолжений взять линейно упорядоченное подмножество (La, fa)a Î A, то, положив и f (x) = fa (x), для x Î La будем иметь, что (L, f) является верхней гранью для этого подмножества. Значит, согласно лемме Цорна, в множестве всех продолжений существует максимальный элемент . Если , то функционал F, согласно первой части теоремы, может быть продолжен и продолжение не является максимальным. Значит, максимальное продолжение есть продолжение на все пространство. Теорема доказана.
Теорема 4.3 (Х. Хан, С. Банах) (комплексный случай). Пусть X – линейное пространство над C, p – полунорма на X, L – линейное подпространство и на L задан линейный функционал f, удовлетворяющий условию
| f (x)| £ p(x) " x Î L.
Тогда существует линейный функционал F : X ® C такой, что 1) F (x) = f (x) для всех x Î L и 2) | F (x)| £ p(x) для всех x Î X.
Доказательство. Отметим, что если в комплексном линейном пространстве ограничиться умножением лишь на действительные числа, то это пространство можно рассматривать как действительное линейное пространство. Запишем f (x) = g (x) + i h (x), где g (x) и h (x) – действительная и мнимая части f (x) соответственно. Тогда g и h – действительные функционалы на L. Так как для каждого x Î L
g (i x) + i h (i x) = f (i x) = i f (x) = i [g (i x) + i h (i x)] = – h (x) + i g (x),
то h (x) = – g (i x), поэтому f (x) = g (x) – i g (i x). Так как | g (x)| £ | f (x)| £ p(x), то по теореме 4.2 продолжим g до действительного функционала G : X ® R, удовлетворяющего условию G(x) £ p(x) при x Î X. Следовательно, – G(x) =
= G(– x) £ p(– x) = p(x) и поэтому | G (x)| £ p(x). Определим теперь функционал
F (x) = G (x) – i G (i x).
Это комплексный аддитивный функционал, определенный на X, однородный относительно умножения на действительные числа (ибо G – действительный линейный функционал). Чтобы доказать, что F – комплексный линейный функционал, достаточно показать, что F (i x) = i F (x) для всех x Î X. Действительно, F (i x) = G (i x) – i G (– x) = i G (x) + G (i x) = i [G (x) – i G (i x)] = i F (x). Функционал F является продолжением f, так как G является продолжением g. Осталось доказать неравенство | F (x)| £ p(x). Запишем F (x) в виде F (x) = | F (x)| e i j , где j = arg F (x). Тогда | F (x)| = F (x) e – i j = F (e – i j x) ³ 0. Выражение F (e – i j x) является действительным и неотрицательным, поэтому
F (e – i j x) = | G (e – i j x)| £ p (e – i j x) = | e – i j | p(x) = p(x),
т. е. | F (x)| £ p(x). Теорема доказана.
Как следствие доказанных выше теорем получаем классическую теорему Хана – Банаха.
Теорема 4.4. Пусть X – нормированное пространство, L – его линейное подпространство. Тогда для любого ограниченного линейного функционала f : L ® C существует определенный на всем пространстве X ограниченный линейный функционал F такой, что 1) F является продолжением f; 2) || F || = || f ||.
Доказательство. Условие ограниченности | f (x)| £ || f || || x || есть частный случай условия 2) теоремы 4.3, так как p (x) = || f || || x || есть полунорма. Согласно теореме Хана – Банаха, существует продолжение F на все X такое, что | F (x)| £ || f || || x ||. Значит, || F || £ || f ||. Так как при продолжении норма не может уменьшиться, то получаем || F || = || f ||. Теорема доказана.
Следствие 4.1. Пусть x0 ¹ 0 – точка нормированного пространства X. Тогда существует линейный ограниченный функционал f на X такой, что f (x0) = || x0 || и || f || = 1.
Доказательство. Пусть L = t x0 : t Î R > – одномерное подпространство, порожденное вектором x0. Определим на L функционал по формуле f0 (t x0) = t || x0 ||. Тогда f0 (x0) = || x0 || и так как | f0 (t x0)| = | t || x0 || | = 1×| t x0 ||, то || f0 || = 1. Согласно теореме 4.4, функционал f0 продолжается на все пространство с сохранением нормы. Следствие доказано.
Следствие 4.2. Линейные ограниченные функционалы разделяют точки нормированного пространства X, т. е. если x1 ¹ x2, то существует функционал f Î X' такой, что f (x1) ¹ f (x2).
Доказательство. Согласно следствию 4.2, для x0 = x1 – x2 существует функционал f такой, что f (x0) = || x0 || ¹ 0, тогда f (x1) – f (x2) = f (x0) ¹ 0. Следствие доказано.
Следствие 4.3. Пусть L – линейное подпространство нормированного пространства X и x0 Î X – внешняя точка для L. Тогда существует функционал f Î X' такой, что f (x) = 0 для x Î L и f (x0) ¹ 0.
Доказательство. Пусть L0 – линейное подпространство, порожденное L и x0, т. е. L0 = y : y = t x0 + x, x Î L, t Î R >. Положим f0 (y) = t. Тогда f0 (x) = 0 для x Î L и f0 (x0) = 1 ¹ 0. Покажем, что функционал f0 ограничен. Для этого воспользуемся условием, что x0 – внешняя точка для L, т. е. существует r > 0 такое, что шар x : || x – x0 || r> не содержит точек из L. Значит, для любой точки x Î L выполнено неравенство || x – x0 || ³ r > 0. Тогда имеем || y || = || x + t x0 || =
= | t | || – x / t – x0 || ³ | t | r. Последнее неравенство справедливо потому, что – x / t Î L. Разделив на r это неравенство (так как r > 0), получаем | f0 (y)| = | t | £ (1 / r) || y ||, т. е. функционал f0 ограничен. По теореме Хана – Банаха его можно продолжить на все пространство X. Следствие доказано.
Замечание 4.1. Если L – замкнутое линейное подпространство в X, то x0 является внешней точкой тогда и только тогда, когда x0ÏL.
Определение 4.6. Последовательность функционалов < fn> Ì X' называется биортогональной к последовательности < xn> Ì X, если
Следствие 4.4. Для любой конечной последовательности линейно независимых элементов x1, x2, ¼, xn в нормированном пространстве существует биортогональная последовательность ограниченных функционалов.
Доказательство. На подпространстве функционал fi зададим формулой fi (x) = ci, i = 1,¼, n. По теореме Хана – Банаха для нормированных пространств fi можно продолжить на все X. Следствие доказано.
Следствие 4.5. Пусть x1, x2, ¼ – бесконечная последовательность точек нормированного пространства X и точка xn не принадлежит замкнутому подпространству Ln, порожденному всеми остальными элементами последовательности. Тогда существует последовательность f1, f2, ¼ Î X', биортогональная к исходной.
Доказательство. Зафиксируем номер n. Пусть Ln – подпространство, порожденное xk при k ¹ n. Точка xn по условию не принадлежит Ln. Согласно следствию 4.4, существует функционал fn такой, что fn (Ln) = 0 и fn (xn) = l. Следствие доказано.
Замечание 4.2. В случае сепарабельного нормированного пространства теорема Хана – Банаха (теорема 4.4) может быть получена без использования леммы Цорна.
Пусть M Ì X'. Множество M ^ = < x : f (x) = 0 " f Î M > называется по аналогии со случаем гильбертова пространства ортогональным дополнением к M. Для множества N Ì X аналогично вводится ортогональное дополнение N ^ = < f : f Î X', f (x) = 0 " x Î N >.
Выпуклые множества. Выпуклый функционал или функционал, определенный на векторном линейном пространстве и обладающий тем свойством, что его надграфик является выпуклым множеством. Функционал Минковского. Доказательство теорем Хана-Банаха и отделимости.
Подобные документы
Однородные системы линейных неравенств и выпуклые конусы. Применение симплекс-метода для отыскания опорного решения системы линейных неравенств, ее геометрический смысл. Основная задача линейного программирования. Теорема Минковского, ее доказательство.
курсовая работа, добавлен 03.04.2015
Фундаментальные понятия теории квадратичных форм. Линейные, квадратичные и билинейные функционалы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Классификация комплексных квадратичных функционалов. Определенные вещественные квадратичные функционалы.
контрольная работа, добавлен 24.08.2015
Составление уравнения Эйлера, нахождение его общего решения. Нахождение с использованием уравнения Эйлера-Лагранжа оптимального управления, минимизирующего функционал для системы. Использование метода динамического программирования для решения уравнений.
контрольная работа, добавлен 01.04.2010
Выпуклая геометрия в трудах О. Коши, Я. Штейнера и Г. Минковского. Кривые постоянной ширины и их применение. Свойства кривых постоянной ширины. линейное программирование. значение выпуклых экстремальных задач.
курсовая работа, добавлен 04.09.2007
Выпуклые многогранники, теорема Эйлера. Свойства выпуклых многогранников. Определение правильного многогранника. Понятие полуправильных многогранников. Свойства ромбокубооктаэдра, кубооктаэдра, тетраэдра, октаэдра, икосаэдра, додекаэдра и куба.
методичка, добавлен 30.04.2012
Понятие функционала и оператора. Задачи, приводящие к экстремуму функционала, и необходимые условия его минимума. Связь между вариационной и краевой задачами. Функционалы, зависящие от нескольких функций. Вариационные задачи с подвижными границами.
курсовая работа, добавлен 23.05.2010
Основная задача геометрии чисел. Теорема Минковского. Доказательство теоремы Минковского. Решётки. Критические решётки. "Неоднородная задача". Герман Минковский (Minkowski) (1864 - 1909) - выдающийся математик, еврей, родом из России, профессор.
курсовая работа, добавлен 29.05.2006
Определённый интеграл — аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, его компоненты, свойства. Вычисление определённого интеграла; формула Ньютона-Лейбница. Геометрические приложения: площадь, длина дуги, объем тела вращения.
презентация, добавлен 30.05.2013
Обобщенная функция, заданная на прямой, - всякий непрерывный линейный функционал на пространстве основных функций. Комплекснозначная функция действительного переменного, называемая оригиналом. Характеристика функции Грина. Линейное неоднородное уравнение.
реферат, добавлен 23.01.2011
Исследование геометрии поверхностей четырехмерного псевдоевклидова пространства индекса один (пространства Минковского). Определение пространства Минковского, его основные особенности, типы прямых и плоскостей. Развертывающиеся и линейчатые поверхности.
Теорема Хана — Банаха — Теоремой Хана Банаха называют несколько связанных между собой классических результатов функционального анализа: теорему о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты, теорему о разделении выпуклых множеств и теорему о непрерывном… … Википедия
Теорема Хана—Банаха — … Википедия
Теорема хана-банаха — Жарг. студ. Шутл. Что л. непонятное, странное. Golds, 2001 … Большой словарь русских поговорок
ХАНА - БАНАХА ТЕОРЕМА — линейный функционал f(x), определенный на линейном многообразии Lдействительного или комплексного векторного пространства X, может быть продолжен до линейного функционала F(X), определенного на всем X, если существует полунорма р(х)такая, что для … Математическая энциклопедия
Теорема Крейна — Мильмана — важный факт из выпуклого анализа в линейных топологических пространствах. Для бесконечномерных пространств данная теорема, как и многие другие результаты, не может быть доказана без применения аксиомы выбора … Википедия
ТЕОРЕМА — Пифагора. Жарг. шк. Шутл. Учительница математики. ВМН 2003, 131. Теорема Пофигатора. Жарг. шк. Шутл. Теорема Пифагора. ВМН 2003, 108. Теорема Фаллоса. Жарг. студ. (матем.). Шутл. Теорема Фалеса. (Запись 2003 г.). Теорема хана банаха. Жарг. студ.… … Большой словарь русских поговорок
Теорема Крейна — Мильмана важный факт из выпуклого анализа в линейных топологических пространствах. Для бесконечномерных пространств данная теорема … Википедия
Банах, Стефан — Стефан Банах польск. Stefan Banach … Википедия
Функциональный анализ — У этого термина существуют и другие значения, см. Анализ. Функциональный анализ раздел высшей математики, в котором изучаются бесконечномерные топологические векторные пространства (в основном пространства функций[1]) и их отображения.… … Википедия
Функан — Функциональный анализ раздел математики, в котором изучаются бесконечномерные пространства (в основном пространства функций) и их отображения. Например пространства непрерывных функций, пространства интегрируемых функций. Важную роль играют… … Википедия
Задача о продолжении линейного функционала часто встречается в анализе. Основную роль в этом круге вопросов играет следующая теорема:
Теорема (Хан - Банах). Пусть вещественное линейное пространство и вещественная функция, заданная на и удовлетворяющая следующим условиям:
Пусть вещественное линейное подпространство в вещественный линейный функционал, заданный на :
Пусть удовлетворяет неравенству . Тогда существует вещественный линейный функционал определенный на такой, что 1) служит продолжением т.е. для всех 2) .
Доказательство. Предположим сначала, что пространство натянуто на и некоторый элемент , т.е.
Так как , представление элементов в виде определяются однозначно. Следовательно, полагая
где произвольное вещественное число, мы получим вещественный линейный функционал на , являющийся продолжением . Мы должны теперь выбрать таким, что , т.е. . Последнее неравенство эквивалентно следующим условиям:
Чтобы выполнялись эти условия, мы выберем так, что
для всех , . Такой выбор возможен, поскольку
Итак, остается лишь выбрать между двумя числами
Рассмотрим теперь семейство всех вещественных линейных продолжений функционала , для которых при всех на области определения выполняется неравенство ). Мы можем частично упорядочить это семейство, полагая функционал продолжением . Тогда по лемме Цорна существует максимальное линейное продолжение функционала , для которого неравенство ) выполняется при всех из области определения Остается показать, что область определения функционала совпадает с пространством . Если бы это было не так, мы могли бы, приняв за подпространство , а сам функционал за , построить продолжение функционала , удовлетворяющее неравенству для всех из области определения . Но это противоречит максимальности линейного продолжения .
Следствие из теоремы 2.1. Если на вещественном линейном пространстве задана функция , удовлетворяющая условиям (1) и (2), то существует определенный на линейный функционал , такой, что
Доказательство. Возьмем произвольную точку и определим множество любые вещественные числа>. Положим Тогда представляет собой вещественный линейный функционал с областью определения . На множестве неравенство выполняется. В самом деле, если , то а если то поскольку Значит, существует линейный функционал определенный на линейном пространстве такой, что Поскольку мы получаем
2.2.Комплексный вариант теоремы Хана – Банаха
Неотрицательный функционал на комплексном линейном пространстве называется однородно-выпуклым, если для всех и всех комплексных чисел
Теорема 3.1. Пусть однородно-выпуклый функционал на комплексном линейном пространстве , а линейный функционал , определенный на некотором линейном подпространстве и удовлетворяющий на нем условию
Тогда существует линейный функционал , определенный на всем и удовлетворяющий условиям
Доказательство. Обозначим через и пространство и рассматриваемые как действительные линейные пространства. Ясно, что однородно-выпуклый функционал на , а действительный линейный функционал на , удовлетворяющий условию
и, тем более, условию
В силу Теоремы Хана-Банаха о продолжении линейных функционалов в вещественных линейных пространствах, существует действительный линейный функционал определенный на всем и удовлетворяющий условиям
Читайте также: