Таблица производных правила дифференцирования реферат

Обновлено: 30.06.2024

Приведем сводную таблицу для удобства и наглядности при изучении темы.

Константа y = C

Степенная функция y = x p

( x p ) ' = p · x p - 1

Показательная функция y = a x

( a x ) ' = a x · ln a

В частности, при a = e имеем y = e x

( e x ) ' = e x

Логарифмическая функция

( log a x ) ' = 1 x · ln a

В частности, при a = e имеем y = ln x

( ln x ) ' = 1 x

Тригонометрические функции

( sin x ) ' = cos x ( cos x ) ' = - sin x ( t g x ) ' = 1 cos 2 x ( c t g x ) ' = - 1 sin 2 x

Обратные тригонометрические функции

( a r c sin x ) ' = 1 1 - x 2 ( a r c cos x ) ' = - 1 1 - x 2 ( a r c t g x ) ' = 1 1 + x 2 ( a r c c t g x ) ' = - 1 1 + x 2

Гиперболические функции

( s h x ) ' = c h x ( c h x ) ' = s h x ( t h x ) ' = 1 c h 2 x ( c t h x ) ' = - 1 s h 2 x

Разберем, каким образом были получены формулы указанной таблицы или, иначе говоря, докажем вывод формул производных для каждого вида функций.

Производная постоянной

Для того, чтобы вывести данную формулу, возьмем за основу определение производной функции в точке. Используем x 0 = x , где x принимает значение любого действительного числа, или, иначе говоря, x является любым числом из области определения функции f ( x ) = C . Составим запись предела отношения приращения функции к приращению аргумента при ∆ x → 0 :

lim ∆ x → 0 ∆ f ( x ) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Итак, производная постоянной функции f ( x ) = C равна нулю на всей области определения.

Даны постоянные функции:

f 1 ( x ) = 3 , f 2 ( x ) = a , a ∈ R , f 3 ( x ) = 4 . 13 7 22 , f 4 ( x ) = 0 , f 5 ( x ) = - 8 7

Необходимо найти их производные.

Решение

Опишем заданные условия. В первой функции мы видим производную натурального числа 3 . В следующем примере необходимо брать производную от а , где а - любое действительное число. Третий пример задает нам производную иррационального числа 4 . 13 7 22 , четвертый - производную нуля (нуль – целое число). Наконец, в пятом случае имеем производную рациональной дроби - 8 7 .

Ответ: производные заданных функций есть нуль при любом действительном x (на всей области определения)

f 1 ' ( x ) = ( 3 ) ' = 0 , f 2 ' ( x ) = ( a ) ' = 0 , a ∈ R , f 3 ' ( x ) = 4 . 13 7 22 ' = 0 , f 4 ' ( x ) = 0 ' = 0 , f 5 ' ( x ) = - 8 7 ' = 0

Производная степенной функции

Переходим к степенной функции и формуле ее производной, имеющей вид: ( x p ) ' = p · x p - 1 , где показатель степени p является любым действительным числом.

Приведем доказательство формулы, когда показатель степени – натуральное число: p = 1 , 2 , 3 , …

Вновь опираемся на определение производной. Составим запись предела отношения приращения степенной функции к приращению аргумента:

( x p ) ' = lim ∆ x → 0 = ∆ ( x p ) ∆ x = lim ∆ x → 0 ( x + ∆ x ) p - x p ∆ x

Чтобы упростить выражение в числителе, используем формулу бинома Ньютона:

( x + ∆ x ) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · ( ∆ x ) 2 + . . . + + C p p - 1 · x · ( ∆ x ) p - 1 + C p p · ( ∆ x ) p - x p = = C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · ( ∆ x ) 2 + . . . + C p p - 1 · x · ( ∆ x ) p - 1 + C p p · ( ∆ x ) p

( x p ) ' = lim ∆ x → 0 ∆ ( x p ) ∆ x = lim ∆ x → 0 ( x + ∆ x ) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 ( C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · ( ∆ x ) 2 + . . . + C p p - 1 · x · ( ∆ x ) p - 1 + C p p · ( ∆ x ) p ) ∆ x = = lim ∆ x → 0 ( C p 1 · x p - 1 + C p 2 · x p - 2 · ∆ x + . . . + C p p - 1 · x · ( ∆ x ) p - 2 + C p p · ( ∆ x ) p - 1 ) = = C p 1 · x p - 1 + 0 + 0 + . . . + 0 = p ! 1 ! · ( p - 1 ) ! · x p - 1 = p · x p - 1

Так, мы доказали формулу производной степенной функции, когда показатель степени – натуральное число.

Чтобы привести доказательство для случая, когда p - любое действительное число, отличное от нуля, используем логарифмическую производную (здесь следует понимать отличие от производной логарифмической функции). Чтобы иметь более полное понимание желательно изучить производную логарифмической функции и дополнительно разобраться с производной неявно заданной функции и производной сложной функции.

Рассмотрим два случая: когда x положительны и когда x отрицательны.

Итак, x > 0 . Тогда: x p > 0 . Логарифмируем равенство y = x p по основанию e и применим свойство логарифма:

y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x

На данном этапе получили неявно заданную функцию. Определим ее производную:

( ln y ) ' = ( p · ln x ) 1 y · y ' = p · 1 x ⇒ y ' = p · y x = p · x p x = p · x p - 1

Теперь рассматриваем случай, когда x – отрицательное число.

Если показатель p есть четное число, то степенная функция определяется и при x 0 , причем является четной: y ( x ) = - y ( ( - x ) p ) ' = - p · ( - x ) p - 1 · ( - x ) ' = = p · ( - x ) p - 1 = p · x p - 1

Тогда x p 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Если p есть нечетное число, тогда степенная функция определена и при x 0 , причем является нечетной: y ( x ) = - y ( - x ) = - ( - x ) p . Тогда x p 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y ' ( x ) = ( - ( - x ) p ) ' = - ( ( - x ) p ) ' = - p · ( - x ) p - 1 · ( - x ) ' = = p · ( - x ) p - 1 = p · x p - 1

Последний переход возможен в силу того, что если p - нечетное число, то p - 1 либо четное число, либо нуль (при p = 1 ), поэтому, при отрицательных x верно равенство ( - x ) p - 1 = x p - 1 .

Итак, мы доказали формулу производной степенной функции при любом действительном p .

f 1 ( x ) = 1 x 2 3 , f 2 ( x ) = x 2 - 1 4 , f 3 ( x ) = 1 x log 7 12

Определите их производные.

Решение

Часть заданных функций преобразуем в табличный вид y = x p , опираясь на свойства степени, а затем используем формулу:

f 1 ( x ) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 ' ( x ) = - 2 3 · x - 2 3 - 1 = - 2 3 · x - 5 3 f 2 ' ( x ) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 · x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 · x 2 - 5 4 f 3 ( x ) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3 ' ( x ) = - log 7 12 · x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 · x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 · x - log 7 84

Производная показательной функции

Выведем формулу производной, взяв за основу определение:

( a x ) ' = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x ( a ∆ x - 1 ) ∆ x = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Мы получили неопределенность. Чтобы раскрыть ее, запишем новую переменную z = a ∆ x - 1 ( z → 0 при ∆ x → 0 ). В таком случае a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a ( z + 1 ) = ln ( z + 1 ) ln a . Для последнего перехода использована формула перехода к новому основанию логарифма.

Осуществим подстановку в исходный предел:

( a x ) ' = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln ( z + 1 ) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln ( z + 1 ) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 ( z + 1 ) 1 z

Вспомним второй замечательный предел и тогда получим формулу производной показательной функции:

( a x ) ' = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 ( z + 1 ) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a

Даны показательные функции:

f 1 ( x ) = 2 3 x , f 2 ( x ) = 5 3 x , f 3 ( x ) = 1 ( e ) x

Необходимо найти их производные.

Решение

Используем формулу производной показательной функции и свойства логарифма:

f 1 ' ( x ) = 2 3 x ' = 2 3 x · ln 2 3 = 2 3 x · ( ln 2 - ln 3 ) f 2 ' ( x ) = 5 3 x ' = 5 3 x · ln 5 1 3 = 1 3 · 5 3 x · ln 5 f 3 ' ( x ) = 1 ( e ) x ' = 1 e x ' = 1 e x · ln 1 e = 1 e x · ln e - 1 = - 1 e x

Производная логарифмической функции

Приведем доказательство формулы производной логарифмической функции для любых x в области определения и любых допустимых значениях основания а логарифма. Опираясь на определение производной, получим:

( log a x ) ' = lim ∆ x → 0 log a ( x + ∆ x ) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x · log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a

Из указанной цепочки равенств видно, что преобразования строились на основе свойства логарифма. Равенство lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e является верным в соответствии со вторым замечательным пределом.

Заданы логарифмические функции:

f 1 ( x ) = log ln 3 x , f 2 ( x ) = ln x

Необходимо вычислить их производные.

Решение

Применим выведенную формулу:

f 1 ' ( x ) = ( log ln 3 x ) ' = 1 x · ln ( ln 3 ) ; f 2 ' ( x ) = ( ln x ) ' = 1 x · ln e = 1 x

Итак, производная натурального логарифма есть единица, деленная на x .

Производные тригонометрических функций

Используем некоторые тригонометрические формулы и первый замечательный предел, чтобы вывести формулу производной тригонометрической функции.

Согласно определению производной функции синуса, получим:

( sin x ) ' = lim ∆ x → 0 sin ( x + ∆ x ) - sin x ∆ x

Формула разности синусов позволит нам произвести следующие действия:

( sin x ) ' = lim ∆ x → 0 sin ( x + ∆ x ) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 · sin x + ∆ x - x 2 · cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

Наконец, используем первый замечательный предел:

sin ' x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Итак, производной функции sin x будет cos x .

Совершенно также докажем формулу производной косинуса:

cos ' x = lim ∆ x → 0 cos ( x + ∆ x ) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 · sin x + ∆ x - x 2 · sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

Т.е. производной функции cos x будет – sin x .

Формулы производных тангенса и котангенса выведем на основе правил дифференцирования:

t g ' x = sin x cos x ' = sin ' x · cos x - sin x · cos ' x cos 2 x = = cos x · cos x - sin x · ( - sin x ) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g ' x = cos x sin x ' = cos ' x · sin x - cos x · sin ' x sin 2 x = = - sin x · sin x - cos x · cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

Производные обратных тригонометрических функций

Раздел о производной обратных функций дает исчерпывающую информацию о доказательстве формул производных арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, поэтому дублировать материал здесь не будем.

Производные гиперболических функций

Вывод формул производных гиперболического синуса, косинуса, тангенса и котангенса осуществим при помощи правила дифференцирования и формулы производной показательной функции:

s h ' x = e x - e - x 2 ' = 1 2 e x ' - e - x ' = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h ' x = e x + e - x 2 ' = 1 2 e x ' + e - x ' = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h ' x = s h x c h x ' = s h ' x · c h x - s h x · c h ' x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h ' x = c h x s h x ' = c h ' x · s h x - c h x · s h ' x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

Рекомендуется выучить формулы из таблицы производных: они не столь сложны для запоминания, но экономят много времени, когда необходимо решать задачи дифференцирования.

Что такое производная функции

$\displaystyle f^\prime(x)\ =\lim_<\Delta x\to0> Например, при использовании производной в физике, мы знаем, что производная расстояния s по времени — это скорость. Потому что скорость — это величина, характеризующая быстроту изменения расстояния в зависимости от времени. А производная скорости — ничто иное как ускорение, так как ускорение — это величина, характеризующая быстроту изменения скорости. Поскольку производная находится по формуле: \frac<f(x+\Delta x)-f(x)>$
, то бесконечное количество различных функций усложняют задачу дифференцирования, так как удобно функцию, которую можно представить из различных элементарных функций, дифференцировать основываясь на уже выведенных выражениях для производных этих элементарных функций.

Таблица производных

Таким образом, чтобы работать с производными, необходима таблица производных элементарных функций. Руководствуясь этой таблицей, можно взять производную от какой угодно функции. Но прежде чем работать с таблицей — нужно знать как брать производную функции, есть определенные правила дифференцирования, которые представим в таблице.

Правила дифференцирования

№ правила	Название правила	Правило дифференцирования
1	Производная постоянной величины	, С-постоянная
2	Производная суммы	$(u+v-w)^\prime= u ^\prime +v ^\prime -w^\prime$ .
3	Производная произведения постоянной на функцию	, С — постоянная
4	Производная переменной x
5	Производная произведения двух функций
6	Производная деления двух функций	$\displaystyle (\frac<u>)$
7	Производная сложной функции

Таблица производных простых и сложных функций

Теперь таблица производных для элементарных и для сложных функций.

Номер формулы	Название производной	Основные элементарные функции	Сложные функции
1	Производная натурального логарифма по x
2	Производная логарифмической функции по основанию a
3	Производная по x в степени n
4	Производная квадратного корня	$(\sqrt <x>)$	$(\sqrt <u>)$
5	Производная a в степени x
6	Производная e в степени x
7	Производная синуса	$(\sin <x>)$	$(\sin <u>)$
8	Производная косинуса	$(\cos <x>)$	$(\cos <u>)$
9	Производная тангенса	$(\tan <x>)$	$(\tan <u>)$
10	Производная котангенса
11	Производная арксинуса
12	Производная арккосинуса
13	Производная арктангенса
14	Производная арккотангенса

Примеры нахождения производных

Пример 1

Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найти производную функции: .

Решение:

Мы использовали правило 2 дифференцирования суммы. Теперь найдем производную каждого слагаемого:

По правилам дифференцирования 3 и 4.

Итак, получим: .

Пример 2

$y=\frac<2x> Найти производную функции$

Решение:

Находим производную, пользуясь правилам дифференцирования 6.

$\[y$

Ответ:

Пример 3

Найти производную функции

Решение: здесь все просто, мы возьмем производную из таблицы производных.

Ответ:

Пример 4

Найдите производную функции

Решение: Здесь мы уже имеем не простую функцию, а сложную функцию и брать производную мы будем по формуле 8 таблицы производных для сложных функций.

$\[y$

Ответ:

Пример 5

$y=\sqrt<2x^2+5x+4> Пользуясь правилами дифференцирования и таблицей производных, найдите производную функции$

Решение: У нас сложная функция, так как под корнем стоит не просто , а квадратная функция.

$y=\sqrt<u(x)> То есть мы имеем функцию вида$
.

Возьмем производную этой функции:

Ответ:

Пример 6

Найдите скорость тела, если траектория его движения задана уравнением м

Решение: скорость тела — это первая производная траектории по времени: . м/с.

Находим скорость тела:

Ответ: 3 м/с.

Итак, таблица производных и правила дифференцирования дают возможность легко брать производные и простых, и сложных функций.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Реферат по математике

Группа 27эл

Студента 2 курса

Марченкова Дмитрия.

Преподаватель: Иванченко О. Н.

2017 год.

Производная функции

2.1 Определение производной функции через предел

2.2 Общепринятые обозначения производной функции y = f(x) в точке x ₀

5 Геометрический и физический смысл производной

5.1 Тангенс угла наклона касательной прямой

5.2 Скорость изменения функции

6 Производные высших порядков

7 Способы записи производных

9 Правила дифференцирования

10 Таблица производных некоторых функций

11 Производная вектор-функции по параметру

Иллюстрация понятия производной

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием . Обратный процесс — интегрирование.

В современном дифференциальном исчислении производная чаще всего определяется через понятия теории пределов, однако исторически теория пределов появилась позже дифференциального исчисления.

Русский термин "производная функции" впервые употребил В.И.Висковатов. [1]

2. Определение

Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции называется такое число , что функцию в окрестности U ( x ₀ ) можно представить в виде

f ( x ₀ + h ) = f ( x ₀ ) + Ah + o ( h )

если существует.

2.1. Определение производной функции через предел

Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции f в точке x ₀ называется предел, если он существует,

2.2. Общепринятые обозначения производной функции y = f ( x ) в точке x ₀

Заметим, что последнее обычно обозначает производную по времени (в теоретической механике).

3. Дифференцируемость

Производная функции f в точке x ₀ , будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция f является дифференцируемой в точке x ₀ тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна:

Для дифференцируемой в x ₀ функции f в окрестности U ( x ₀ ) справедливо представление

при

4. Замечания

Назовём Δ x = x − x ₀ приращением аргумента функции, а Δ y = f ( x ₀ + Δ x ) − f ( x ₀ ) приращением значения функции в точке x ₀ . Тогда

Пусть функция имеет конечную производную в каждой точке Тогда определена произво́дная фу́нкция

Функция, имеющая конечную производную в точке, непрерывна в ней. Обратное не всегда верно.

Если производная функция сама является непрерывной, то функцию f называют непреры́вно дифференци́руемой и пишут:

5. Геометрический и физический смысл производной

5.1. Тангенс угла наклона касательной прямой

Геометрический смысл производной. На графике функции выбирается абсцисса x ₀ и вычисляется соответствующая ордината f(x ₀ ) . В окрестности точки x ₀ выбирается произвольная точка x . Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло-серая линия C ₅ ). Расстояние Δx = x — x ₀ устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C ₅ — C ₁ ). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x ₀ .

Если функция имеет конечную производную в точке x ₀ , то в окрестности U ( x ₀ ) её можно приблизить линейной функцией

Функция f _l называется касательной к f в точке x ₀ . Число является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.

5.2. Скорость изменения функции

Пусть s = s ( t ) — закон прямолинейного движения. Тогда v ( t ₀ ) = s '( t ₀ ) выражает мгновенную скорость движения в момент времени t ₀ . Вторая производная a ( t ₀ ) = s ''( t ₀ ) выражает мгновенное ускорение в момент времени t ₀ .

Вообще производная функции y = f ( x ) в точке x ₀ выражает скорость изменения функции в точке x ₀ , то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью y = f ( x ).

6. Производные высших порядков

Понятие производной произвольного порядка задаётся рекуррентно. Полагаем

Если функция f дифференцируема в x ₀ , то производная первого порядка определяется соотношением

Пусть теперь производная n -го порядка f ( n ) определена в некоторой окрестности точки x ₀ и дифференцируема. Тогда

Если функция имеет в некоторой области D частную производную по одной из переменных, то названная производная, сама являясь функцией от может иметь в некоторой точке частные производные по той же или по любой другой переменной. Для исходной функции эти производные будут частными производными второго порядка (или вторыми частными производными).

или

Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Например,

7. Способы записи производных

В зависимости от целей, области применения и используемого математического аппарата используют различные способы записи производных. Так, производная n-го порядка может быть записана в нотациях:

Лагранжа f ( n ) ( x ₀ ), при этом для малых n часто используют штрихи и римские цифры:

f (1) ( x ₀ ) = f '( x ₀ ) = f I ( x ₀ ),

f (2) ( x ₀ ) = f ''( x ₀ ) = f II ( x ₀ ),

f (3) ( x ₀ ) = f '''( x ₀ ) = f III ( x ₀ ),

f (4) ( x ₀ ) = f IV ( x ₀ ), и т. д.

Такая запись удобна своей краткостью и широко распространена; однако штрихами разрешается обозначать не выше третьей производной.

Лейбница, удобная наглядной записью отношения бесконечно малых (только в случае, если x — независимая переменная; в противном случае обозначение верно лишь для производной первого порядка):

Ньютона, которая часто используется в механике для производной по времени функции координаты (для пространственной производной чаще используют запись Лагранжа). Порядок производной обозначается числом точек над функцией, например:

— производная первого порядка x по t при t = t ₀ , или — вторая производная f по x в точке x ₀ и т. д.

Эйлера, использующая дифференциальный оператор (строго говоря, дифференциальное выражение, пока не введено соответствующее функциональное пространство), и потому удобная в вопросах, связанных с функциональным анализом:

, или иногда .

В вариационном исчислении и математической физике часто применяется обозначение U с индексом x (без штрихов), что означает производная U по x.

Конечно, при этом необходимо не забывать, что служат все они для обозначения одних и те же объектов:

Пусть f ( x ) = x 2 . Тогда

Пусть f ( x ) = | x | . Тогда если то

f '( x ₀ ) = sgn x ₀ ,

где sgn обозначает функцию знака. Если x ₀ = 0, то а следовательно f '( x ₀ ) не существует.

9. Правила дифференцирования

[2]

[3]

… (g ≠ 0)

(g ≠ 0)

Если функция задана параметрически:

, то

Формулы производной произведения и отношения обобщаются на случай n-кратного дифференцирования (формула Лейбница):

где — биномиальные коэффициенты.

Следующие свойства производной служат дополнением к правилам дифференцирования:

если функция дифференцируема на интервале ( a , b ), то она непрерывна на интервале ( a , b ). Обратное, вообще говоря, неверно (например, функция y ( x ) = | x | на [ − 1,1]);

если функция имеет локальный максимум/минимум при значении аргумента, равном x , то f '( x ) = 0 (это так называемая лемма Ферма);

производная данной функции единственна, но у разных функций могут быть одинаковые производные.

y = f ( x ) g ( x )

ln y = g ( x )ln f ( x )

10. Таблица производных некоторых функций

Фиксируем , придадим приращение аргументу . Вычислим приращение функции: , т.о См.

11. Производная вектор-функции по параметру

Определим производную вектор-функции по параметру:

Если производная в точке существует, вектор-функция называется дифференцируемой в этой точке. Координатными функциями для производной будут .

Свойства производной вектор-функции (всюду предполагается, что производные существуют):

— производная суммы есть сумма производных.

— здесь — дифференцируемая скалярная функция.

— дифференцирование скалярного произведения.

— дифференцирование векторного произведения.

— дифференцирование смешанного произведения.

Производная суммы равна сумме производных

Отсюда, в частности, следует, что производная произведения функции и константы равна произведению производной этой функции на константу

Как известно, большинство функций можно представить в виде какой-то комбинации элементарных функций. Зная, как дифференцируются элементарные функции, можно продифференцировать и их различные комбинации. Поэтому рассмотрим таблицу производных элементарных функций.

1. .

Найдем производную, когда .

Зададим приращение аргументу , что даст . Так как

, а , то

Отсюда и ,

то есть . Если , результат тот же.

2. .

Зададим приращение аргументу , что даст . Так как , а , то

Отсюда и , то есть .

3. .

Зададим приращение аргументу , что даст . Так как , а , то

Отсюда и , то есть .

4. .

По определению . Будем дифференцировать как частное:

, то есть .

5. .

По определению . Будем дифференцировать как частное:

, то есть .

6. .

Зададим приращение аргументу , что даст . Так как , а , то

Отсюда и

то есть . Здесь была использована формула для второго замечательного предела.

7. .

Для вычисления производной воспользуемся предыдущей формулой, в которой положим : . Значит, .

8. .

Зададим приращение аргументу , что даст . Так как , а , то . Отсюда

и , то есть .

Здесь была использована формула для одного из следствий из второго замечательного предела.

9. .

Для вычисления производной воспользуемся предыдущей формулой, в которой положим : . Значит, .

Прежде чем перейти к вычислению производных от обратных тригонометрических функций, рассмотрим вопрос о дифференцировании обратных функций вообще. Как было сказано в п. 8.2, для каждого взаимно однозначного отображения существует обратное отображение, то есть если , то .

Теорема . Если для некоторой функции существует обратная ей , которая в точке имеет производную не равную нулю, то в точке функция имеет производную равную , то есть .

Доказательство. Рассмотрим отношение приращения функции к приращению аргумента: . Так как функция имеет производную, то согласно теореме 11.2.2 она непрерывна, то есть , откуда . Значит, .

Воспользуемся данной теоремой для вычисления производных обратных тригонометрических функций.

10. .

В данном случае обратной функцией будет . Для нее . Отсюда

то есть .

11. .

, то . .

В данном случае обратной функцией будет . Для нее

Отсюда , то есть .

13. .

, то .

2. Производная сложной функции

Пусть дана функция и при этом . Тогда исходную функцию можно представить в виде . Функции такого типа называются сложными. Например, .

В выражении аргумент называется промежуточным аргументом. Установим правило дифференцирования сложных функций, так как они охватывают практически все виды существующих функций.

Теорема . Пусть функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в соответствующей точке . Тогда сложная функция в точке также будет иметь производную равную производной функции по промежуточному аргументу умноженной на производную промежуточного аргумента по , то есть .

Для доказательства дадим приращение аргументу , то есть от перейдем к . Это вызовет приращение промежуточного аргумента , который от перейдет к . Но это, в свою очередь, приведет к изменению , который от перейдет к . Так как согласно условию теоремы функции и имеют производные, то в соответствии с теоремой о связи дифференцируемости и непрерывности функции (теорема 11.2.2) они непрерывны. Значит, если , то и , что, в свою очередь, вызовет стремление к нулю.

Составим . Отсюда,

и, следовательно, .

Если функция имеет не один, а два промежуточных аргумента, то есть ее можно представить в виде , где , а , или , то, соответственно, и так далее.

3. Дифференцирование параметрически заданной функции

Выше были рассмотрены производные элементарных функций и указано правило дифференцирования сложных функций, составленных из элементарных. Но существуют и другие способы задания функций, которые также необходимо дифференцировать. Одним из таких способов является параметрическое задание функции, с которым мы уже сталкивались при изучении уравнения прямой линии.

При обычном задании функции уравнение связывало между собой две переменных: аргумент и функцию. Задавая , получаем значение , то есть пару чисел, являющихся координатами точки . При изменении меняется , точка начинает перемещаться и описывать некоторую линию. Однако при задании линии часто бывает удобно переменные и связывать не между собой, а выражать их через третью переменную величину.

Пусть даны две функции: где . Для каждого значения из данного промежутка будет своя пара чисел и , которой будет соответствовать точка . Пробегая все значения, заставляет меняться и , то есть точка движется и описывает некоторую кривую. Указанные уравнения называются параметрическим заданием функции, а переменная – параметром.

Если функция взаимно однозначная и имеет обратную себе, то можно найти . Подставляя в , получим , то есть обычную функцию. Указанная операция называется исключением параметра. Однако при параметрическом задании функции эту операцию не всегда делать удобно, а иногда и просто невозможно.

Так, в механике принят способ изображения траектории точки в виде изменения ее проекций по осям и в зависимости от времени , то есть в виде параметрически заданной функции Такой способ значительно удобнее при решении целого ряда задач. В трехмерном случае сюда добавляется еще и уравнение .

В качестве примера рассмотрим несколько параметрически заданных кривых.

Возьмем точку на окружности с радиусом . Выражая и через гипотенузу прямоугольного треугольника, получаем:

Это и есть уравнение окружности в параметрической форме (рис. 3.1). Возводя каждое уравнение в квадрат, отсюда легко получить обычное уравнение окружности .

Известно, что уравнение эллипса – . Отсюда . Возьмем две точки и на окружности и эллипсе, имеющие одинаковую абсциссу (рис. 3.2). Тогда из уравнения окружности следует, что . Подставим это выражение в : . Значит, уравнение эллипса в параметрической форме имеет вид

Пусть по ровной горизонтальной поверхности катится без скольжения окружность с радиусом . Зафиксируем точку O ее соприкосновения с поверхностью в начальный момент. Когда окружность повернется на угол t , точка O перейдет в точку C (рис. 3.3). Найдем ее координаты:

Значит, параметрическое уравнение циклоиды имеет вид:

Пусть внутри окружности радиуса без скольжения катится другая окружность радиуса . Тогда точка меньшей окружности, которая в начальный момент времени была точкой соприкосновения с большей, в процессе движения опишет астроиду (рис. 3.4), параметрическое уравнение которой имеет вид:

Рассмотрев ряд примеров, перейдем теперь к вопросу о дифференцировании параметрически заданных функций.

Пусть функция от задана параметрически: где . Пусть на этом отрезке обе функции имеют производные и при этом . Найдем .

Составим отношение . Тогда

Следовательно, . Это и есть правило дифференцирования параметрически заданных функций.

2. Мироненко Е.С. Высшая математика. М: Высшая школа, 2002. – 109с.

4. Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах. В трех томах. ПОЛИТЕХНИКА, 2003.

ГОСТ

Таблица производных элементарных функций

Вычисление производной называют дифференцированием.

Обозначают производную $y'$ или $\frac$.

Для нахождения производной функции согласно основным правилам дифференцирования превращают в другую функцию.

Рассмотрим таблицу производных. Обратим внимание на то, что функции после нахождения их производных преобразуются в другие функции.

Рисунок 1. Таблица производных. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Исключение составляет лишь $y=e^x$, превращающаяся сама в себя.

Правила дифференцирования производной

Чаще всего при нахождении производной требуется не просто посмотреть в таблицу производных, а вначале применить правила дифференцирования и доказательство производной произведения, и только потом использовать таблицу производных элементарных функций.

1. Постоянная выносится за знак производной

$C$ – постоянная (константа).

Продифференцировать функцию $y=7x^4$.

Решение.

Находим $y'=(7x^4 )'$. Выносим число $7$ за знак производной, получаем:

используя таблицу, необходимо находить значение производной степенной функции:

Преобразуем результат к принятому в математике виду:

Ответ: $28x^3$.

2. Производная суммы (разницы) равна сумме (разнице) производных:

Продифференцировать функцию $y=7+x-5x^3+4 \sin x-9\sqrt[5]+\frac -11\cot x$.

Решение.

применим правило дифференцирования производной суммы и разницы:

отметим, что при дифференцировании все степени и корни необходимо преобразовать к виду $x^>$;

вынесем все постоянные за знак производной:

разобравшись с правилами дифференцирования, некоторые из них (например, как последние два) применяются одновременно во избежание переписывания длинного выражения;

мы получили выражение из элементарных функций, стоящих под знаком производной; воспользуемся таблицей производных:

преобразуем к виду, принятому в математике:

Обратим внимание, что при нахождении результата принято слагаемые с дробными степенями преобразовать в корни, а с отрицательными – в дроби.

Готовые работы на аналогичную тему

3. Формула производной произведения функций:

Продифференцировать функцию $y=x^ \ln x$.

Решение.

Сначала применим правило вычисления производной произведения функций, а затем используем таблицу производных:

Ответ: $x^ (11 \ln x-1)$.

4. Формула производной частной функции:

Продифференцировать функцию $y=\frac$.

Решение.

по правилам приоритета математических операций сначала выполним деление, а потом сложение и вычитание, поэтому применим сначала правило вычисления производной частного:

применим правила производных суммы и разности, раскроем скобки и упростим выражение:

Продифференцируем функцию $y=\frac$.

Решение.

Функция y является частным двух функций, поэтому можно применить правило вычисления производной частного, но в таком случае получим громоздкую функцию. Для упрощения данной функции можно почленно разделить числитель на знаменатель:

Применим к упрощенной функции правило дифференцирования суммы и разности функций:

Читайте также: