Статистическая обработка результатов измерений реферат

Обновлено: 05.07.2024

Название работы: Статистическая обработка результатов измерений

Предметная область: Социология, социальная работа и статистика

Описание: Статистическая обработка используется для повышения точности измерений с многократными наблюдениями а также определения статистических характеристик случайной погрешности. Характеристикой этого рассеяния является средний квадрат отклонения среднего арифметического.

Дата добавления: 2014-07-10

Размер файла: 307.5 KB

Работу скачали: 88 чел.

Статистическая обработка результатов измерений

Статистическая обработка результатов измерений обработка измерительной информации с целью получения достоверных данных. Разнообразие задач, решаемых с помощью измерений, определяет и разнообразие видов статистической обработки их результатов.

Задача статистической обработки результатов многократных измерений заключается в нахождении оценки измеряемой величины и доверительного интервала, в котором находится истинное значение.

Статистическая обработка используется для повышения точности измерений с многократными наблюдениями, а также определения статистических характеристик случайной погрешности.

Для прямых однократных измерений статистическая обработка менее сложна и громоздка, что значительно упрощает оценку погрешностей.

Статистическую обработку результатов косвенных измерений производят, как правило, методами, основанными на раздельной обработке аргументов и их погрешностей, и методом линеаризации.

Наиболее распространенные совместные измерения обрабатываются разными статистическими методами. Среди них широко известен и часто применяется метод наименьших квадратов.

Прямые измерения с многократными наблюдениями.

Необходимость в многократных наблюдениях некоторой физической величины возникает при наличии в процессе измерений значительных случайных погрешностей. При этом задача обработки состоит в том, чтобы по результатам наблюдений определить наилучшую (оптимальную) оценку измеряемой величины и интервал, в котором она находится с заданной вероятностью. Данная задача может быть решена способом статистической обработки результатов наблюдений, основанным на гипотезе о распределении погрешностей результатов по нормальному закону.

Порядок такой обработки должен соответствовать государственному стандарту и рекомендациям по метрологии.

Итак, рассмотрим группу из n независимых результатов наблюдений случайной величины x , подчиняющейся нормальному распределению. Оценка рассеяния единичных результатов наблюдений в группе относительно их среднего значения вычисляется по формуле:

Поскольку число наблюдений в группе, на основании результатов которых выполнено вычисление среднего арифметического, ограничено, то, повторив заново серию наблюдений этой же величины, мы получили бы новое значение среднего арифметического. Повторив многократно наблюдения и вычисляя каждый раз их среднее арифметическое значение, принимаемое за результат наблюдений (измерений), обнаружим рассеяние среднего арифметического значения.

Характеристикой этого рассеяния является средний квадрат отклонения среднего арифметического:

Среднее квадратичное отклонение среднего арифметического используется для оценки погрешности результата измерений с многократными наблюдениями.

Теория показывает, что если рассеяние результатов наблюдения в группе подчиняется нормальному закону, то и их среднее арифметическое тоже подчиняется нормальному закону распределения при достаточно большом числе наблюдений ( n >50). Отсюда при одинаковой доверительной вероятности доверительный интервал среднего арифметического в ỳже, чем доверительный интервал результата наблюдений. Теоретически случайную погрешность результата измерений можно было бы свести к 0, однако практически это невозможно, да и не имеет смысла, так как при уменьшении значения случайной погрешности определяющим в суммарной погрешности становится значение неисключенных остатков систематической погрешности.

При нормальном законе распределения плотности вероятностей результатов наблюдений и небольшом числе измерений среднее арифметическое подчиняется закону распределения Стьюдента с тем же средним арифметическим . Особенностью этого распределения является то, что доверительный интервал с уменьшением числа наблюдений расширяемся по сравнению с нормальным законом распределения при этой же доверительной вероятности. В формуле для оценки доверительных границ случайной погрешности это отражается введением коэффициента t q вместо t :

Коэффициент распределения Стьюдента зависит от числа наблюдений и выбранной доверительной вероятности и находится по таблице. Например, для n =4 и =0,95 t q =3,182; n =5 при =0,95 t q =2,776; для n =10 t q =2,262; n =15 t q =2,145 при той же =0,05.

Правила обработки результатов измерения с многократными наблюдениями учитывают следующие факторы:

обрабатывается группа из n наблюдений (то есть группа ограничена);
результаты наблюдений могут содержать систематическую погрешность;
в группе наблюдений могут встречаться грубые погрешности;
распределение случайных погрешностей может отличаться от нормального.

Обработка результатов наблюдения производится в следующей последовательности:

Исключить известные систематические погрешности из результатов наблюдения (введением поправки);
Вычислить среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений, принимаемое за результат наблюдений:

Вычислить оценку среднего квадратичного отклонения результата наблюдения:

Определив  , целесообразно проверить наличие в группе наблюдений грубых погрешностей, помня, что при нормальном законе распределения ни одна случайная погрешность , с вероятностью, практически равной 1, не может выйти за пределы . Наблюдения, содержащие грубые погрешности, исключают из группы и заново повторяют вычисления Х и  .

4) Вычислить оценку среднего квадратичного отклонения среднего арифметического по формуле:

5) Проверить гипотезу о том, что результаты измерений принадлежат нормальному распределению.

При числе наблюдений n

6) Вычислить доверительные границы  случайной погрешности результата измерения при заданной вероятности P :

где - коэффициенты Стьюдента

7) Вычислить границы суммарной неисключенной систематической погрешности (НСП) результата измерения.

НСП результата измерений образуется из неисключенных остатков измерений, погрешностей, поправок и т. д.

При суммировании эти составляющие рассматриваются как случайные величины. При отсутствии данных о виде распределений НСП, их распределения принимают за равномерные.

При равномерном распределении НСП границы НСП вычисляют по формуле:

где - граница i -той НСП, k коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью (при =0,95 =1,1); m число неисключенных составляющих систематической погрешности.

Доверительную вероятность для вычисления границ НСП принимают той же, что при вычислении границ случайной погрешности результата измерений.

8) Вычислить доверительные границы погрешности результата измерения.

Анализ соотношения между НСП и случайной погрешностью показывает, что если , то НСП можно пренебречь и принять границы погрешности результата .

Если , то случайной погрешностью можно пренебречь и принять .

Если оба неравенства не выполнены, вычисляют среднее квадратичное отклонение результата как сумму НСП и случайной погрешности в следующем виде:

а границы погрешности результата измерения в этом случае вычисляют по формуле:

где k коэффициент, определяемый как

9) Записать результат измерения в регламентированной стандартом форме:

а) при симметричном доверительном интервале погрешности результата измерения , где x результат измерения;

б) при отсутствии данных о виде функции распределения составляющих погрешности результата или при необходимости использования данных для дальнейшей обработки результатов, результат представляют в форме:

Из условия, что при случайной погрешностью можно пренебречь, следует оценка максимального целесообразного числа наблюдений в эксперименте:

Прямые однократные наблюдения.

Такой вид измерений является наиболее распространенным, когда речь идет о механических измерениях или физическом эксперименте. Однако они возможны лишь при следующих условиях:

объем априорной информации об объекте измерений такой, что аналитическая модель объекта и измеряемой величины не вызывают сомнений;
метод измерения достаточно изучен, и его погрешности либо заранее устранены, либо оценены;
средства измерения исправны, а их метрологические характеристики соответствуют установленным нормам;
применение методики обработки результатов прямых однократных измерений возможно, если известны составляющие погрешности измерения; закон распределения случайных составляющих - нормальный, а НСП равномерный с известными границами .

Сама методика описана в соответствующих нормативных документах.

Результатом прямого однократного измерения физической величины является показание, снятое непосредственно с используемого средства измерения. До измерения должна быть проведена априорная оценка составляющих погрешности с использованием всех доступных данных. При определении доверительных границ погрешности результата измерений доверительная вероятность принимается .

Погрешность результата прямого однократного измерения включает в себя погрешность средства измерения, методы измерения и субъективную погрешность оператора (которую можно легко устранить, применив цифровой прибор, но возникнет погрешность дискретизации). Любая из этих составляющих может иметь и НСП, и случайные составляющие.

Оценивание погрешностей прямых однократных измерений можно подразделить на точное и приближенное.

Методика точной оценки:

1) пусть число НСП m и каждая из них задана либо границами , либо доверительными границами . В первом случае доверительная граница систематической составляющей погрешности результата измерения вычисляется по формуле:

где k =1,1 (как и при =0,95), а во втором случае:

где при P =0,95 k =1,1, при P =0,99 и m >4 k =1,4

2) Если составляющие случайной погрешностей заданы их СКО  i , найденными предварительно опытным путем многократных наблюдений, то доверительные границы результирующей случайной погрешности

где t = 1,1 или можно брать коэффициент Стьюдента, соответствующий меньшему числу наблюдений. Если же случайные составляющие погрешности заданы доверительными границами , при одной и той же доверительной вероятности, то

После сопоставления значений  и  (как в случае многократных наблюдений), определяют наличие необходимости их суммирования, то есть если:

Любой процесс сопоставления меры с измеряемым объектом никогда не может быть идеальным в том смысле, что процедура, повторенная несколько раз, обязательно даст различные результаты. Поэтому, с одной стороны, невозможно в процессе измерения сразу получить истинное значение измеряемой величины, и, с другой стороны, результаты любых двух повторных измерений будут отличаться друг от друга.
Целью курсовой работы является освоение методики статистической обработки результатов прямых равноточных многократных измерений сопротивления резистора, предназначенного для аттенюатора.

Содержание

2. Систематические и случайные погрешности……………………………. 8

3. Описание случайных погрешностей с помощью функций распределения ……….9
4. Нормальное распределение при ограниченном числе наблюдений. Распределение Стьюдента……………. 12
5. Задание на выполнение работы.…………………………………………. 18

6. Обработка результатов измерений.………………………………………. 19

Работа состоит из 1 файл

Курсовая МОЯ.docx

Министерство образования и науки Российской Федерации

Саратовский государственный технический университет

имени Гагарина Ю. А.

Курсовая работа по дисциплине

Выполнил: студент группы МТС-41з

Работа выполнена с помощью пакета Microsoft Office

2. Систематические и случайные погрешности……………………………. 8

3. Описание случайных погрешностей с помощью функций

4. Нормальное распределение при ограниченном числе наблюдений. Распределение Стьюдента………………………………………………. 12

5. Задание на выполнение работы.…………………………………………. 18

6. Обработка результатов измерений.………………………………………. 19

Целью курсовой работы является освоение методики статистической обработки результатов прямых равноточных многократных измерений сопротивления резистора, предназначенного для аттенюатора.

Любой процесс сопоставления меры с измеряемым объектом никогда не может быть идеальным в том смысле, что процедура, повторенная несколько раз, обязательно даст различные результаты. Поэтому, с одной стороны, невозможно в процессе измерения сразу получить истинное значение измеряемой величины, и, с другой стороны, результаты любых двух повторных измерений будут отличаться друг от друга. Причины расхождений могут быть самыми разнообразными, но условно их можно разделить на две группы.

Первая группа расхождений результатов измерения - возможные изменения свойств самого измеряемого объекта. Например, при измерении длины размер предмета может измениться под действием температуры - хорошо известное свойство тел расширяться или уменьшаться при изменении температуры. В других видах измерения встречается та же самая ситуация, т. е. под влиянием температуры может измениться давление в замкнутом объеме газа, может измениться сопротивление проводника, коэффициент отражения поверхности и т. д.

Вторая группа расхождений - несовершенство средств измерений, несовершенство методики измерений или недостаточная квалификация и тщательность работы оператора. Этот тезис достаточно очевиден, тем не менее, оценивая погрешности измерений, нередко забывают о том, что эти факторы нужно учитывать в комплексе. Измерительная практика показывает, что грубым прибором можно получить достаточно близкие к истинным значениям результаты за счет совершенствования методики или искусства оператора. И наоборот, самый точный прибор даст ошибочные результаты, если в процессе измерения не соблюдаются предпосылки реализации метода.

Учитывая факторы обеих групп, невозможно получить абсолютно точно значение измеряемой физической величины. Во всех реальных ситуациях этого и ненужно. В измерительной технике существует критерий достаточности, то есть расхождение между результатом измерения и истинным значением всегда определяется конкретной задачей. Нет смысла, например, измерять климатические параметры в помещении с точностью лучше 1%. С другой стороны, при воспроизведении единиц длины такая точность явно не обеспечит необходимых требований.

Разброс результатов однократных измерений одной и той же величины, связанных либо с изменениями свойств измеряемого объекта, либо с неидеальностью процедуры измерения, заставляет относиться к получению каждого конкретного результата как к процессу вероятностному. Соответственно, к описанию и расчету погрешностей становится применима теория вероятности, а статистика становится неотъемлемым элементом процедуры оценки точности измерений при оценке погрешностей.

Рассматривая последовательно виды погрешностей и способы их минимизации, повторим определение погрешности.

Погрешности измерения, связанные с непостоянством размера измеряемого объекта и с несовершенством средств измерения, можно объединить в две группы.

Погрешности, связанные с факторами, которые изменяются при повторных измерениях хаотически, носят нерегулярный характер и их трудно предвидеть. Такие погрешности называются случайными. Иногда подобные изменения могут проявиться очень сильно, например при резком однократном изменении напряжения питания прибора. В этом случае погрешность значительно превышает границы, определяемые ходом процесса измерений в целом и ее называют грубой погрешностью или промахом.
Погрешности, определяемые факторами либо постоянно искажающими результат измерения, либо постоянно изменяющимися в процессе измерения называются систематическими погрешностями. Эти погрешности непросто определить, если их значение меньше или сопоставимо со случайными погрешностями.

Обозначим случайные погрешности как σ, систематические как Θ. Суммарную погрешность Δ можно представить как

Для получения результатов, минимально отличающихся от истинных значений величины, проводят многократные наблюдения за измеряемой величиной и затем проводят математическую обработку массива данных. В большинстве случаев проводят анализ результатов путем построения графика зависимости погрешности Δ от номера наблюдения, выстраивая такие номера как функцию времени наблюдения, или в порядке возрастания погрешности. Рассмотрим подробнее зависимость результата измерения от времени.

В этом случае погрешность Δ является случайной функцией времени, которая отличается от классических функций математического анализа тем, что нельзя точно сказать, какое значение она примет в момент времени t. Можно указать лишь вероятность появления ее значений в том или ином временном интервале. В серии экспериментов, состоящих из ряда последовательных наблюдений, мы получаем одну реализацию этой функции.

При повторении серии измерений, мы получаем новую реализацию, отличающуюся от первой.

Точность измерений - понятие, характеризующее качество измерений. Чем выше точность, тем меньше и систематическая и случайная погрешность. Иногда класс точности измерительного прибора выражают как погрешность, отнесенную к концу шкалы, т. е.

где Х - абсолютное значение измеряемой величины, отнесенное к концу шкалы.

Правильность измерений характеризует либо отсутствие, либо малость систематической погрешности, т. е. случай, когда

Воспроизводимость измерений характеризует малость случайной погрешности при повторных измерениях одной и той же величины в одинаковых условиях одним и тем же методом, т. е.

Сходимость измерений характеризует близость друг к другу результатов измерений, выполненных в различных условиях, различными методами, различным и экземплярам и однотипных приборов, на различных типах приборов.

Систематические и случайные погрешности

Систематические погрешности не изменяются при увеличении числа измерений, поскольку согласно определению остаются постоянными или изменяются по определенному закону в процессе измерения. Систематические погрешности могут быть выявлены на основе теоретических оценок результатов, путем сопоставления результатов, полученных разными методами, на разных приборах. Имеются возможности определить систематические погрешности путем тщательного исследования средства или метода измерений путем построения зависимости результатов от какого-либо изменяющегося параметра, например времени, климатических условий, электромагнитных полей, напряжения питания и т.д. В ряде случаев необходимо выполнить большой объем исследовательской работы для того, чтобы выявить условия, создающие систематические погрешности и, соответственно, представить либо график, либо таблицу поправок, либо определить аналитическую зависимость систематической погрешности от какого-либо параметра.

На результат измерения влияют несколько факторов, каждый из которых вызывает свою систематическую погрешность. В этом случае выявление аналитического вида погрешности значительно усложняется, приходится проводить трудоемкие тщательные исследования, которые иногда оканчиваются неудачей. Тем не менее, необнаруженная систематическая погрешность опаснее случайной, т.к. последняя может быть минимизирована соответствующей методикой измерения, а систематическая невыявленная погрешность исказит результат непредсказуемо.

Особую категорию систематических погрешностей составляют измеренные с недостаточной точностью фундаментальные и физические константы, используемые в процессе измерения. То же самое относится к неточностям в стандартных справочных данных, или к недостаточно точной аттестации стандартных образцов. Появление более точных справочных данных требует пересчета результатов всех измерений с их использованием, или переградуировки шкал приборов. Например, получение более точных данных о давлении насыщающих паров индивидуальных веществ может привести к необходимости переградуировки термометров, манометров, приборов для измерения концентраций и т. д.

Описание случайных погрешностей с помощью функций распределения

Случайный характер выпадения того или иного определенного результата измерения Х означает, что причины его появления настолько разнообразны, что невозможно заранее предсказать реализацию этого события. Можно говорить только в его вероятности появления при ограниченном или бесконечно большом числе измерений. Обозначая истинное значение измеряемой величины как Q, будем под символом X_i понимать результат измерения в опыте с номером i.

Задача, которая ставится перед метрологом, желающим приблизиться к истинному значению измеряемой величины Q и оценить вероятность определенного отклонения в единичном опыте или в серии измерений, состоит в отыскании закона распределения вероятности получения определенного результата от какого-либо аргумента, связанного с отклонением результата от истинного значения. Наиболее универсальным способом достижения этой цели является отыскание интегральных и дифференциальных функций распределения вероятности.

Под интегральной функцией распределения вероятности выпадения определенного результата во множестве повторяющихся измерений (F_x) понимается зависимость вероятности того, что результат наблюдения Х в i-ом опыте окажется меньше, чем некоторое значение х, т. е.

где знаком Р обозначена вероятность попадания результата в интервал, записанный в фигурных скобках.

Наглядное представление о смысле интегральной функции распределения может быть получено если рассматривать числовую ось, на которой отложены значения аргумента х. Интегральная функция распределения численно равна вероятности того, что случайная точка X_i , в результате i-го измерения займет положение левее точки х'.

При таком определении функция распределения F(x) не может уменьшаться, т. е. F(x) является функцией возрастающей. При движении точки х' влево по числовой оси очевидно, что искомая вероятность будет стремиться к нулю, а при движении х' вправо функция F(x) стремится к единице. Это практически означает, что любой результат измерения попадет в какое-либо значение на числовой оси. Вероятность попадания в бесконечно малое значение х' равно нулю.

Интегральная функция распределения имеет еще одно свойство - непрерывность. Оно выражает тот факт, что результат наблюдения может принять любое до опыта выбранное значение только с нулевой вероятностью.

На самом деле в реальных измерениях это не совсем так. Особенно понятно это с позиций современной квантовой теории. Квантовый (дискретный) характер изменения измеряемой величины, конечная разрешающая способность любого средства измерения, приводят к тому, что область значений измеряемой величины разбивается на ряд участков, в пределах которых данная величина постоянна или неразличима для наблюдателя. Поэтому интегральная функция распределения реально изменяется скачками на некоторое значение при переходе от одного участка числовой оси к другой.

Читайте также: