Способы вычисления интегралов реферат

Обновлено: 04.07.2024

Нахождение производной f’ (x) или дифференциала df=f’ (x) dx функции f(x) является основной задачей дифференциального исчисления. В интегральном исчислении решается обратная задача: по заданной функции f(x) требуется найти такую функцию F(x), что F’ (х)=f(x) или F(x)=F’ (x) dx=f(x) dx. Таким образом, основной задачей интегрального исчисления является восстановление функции F(x) по известной производной (дифференциалу) этой функции. Интегральное исчисление имеет многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и технике. Оно дает общий метод нахождения площадей, объемов, центров тяжести и т.д.

Курс математического анализа содержит разнообразный материал, однако, одним из его центральных разделов является определенный интеграл. Интегрирование многих видов функций подчас представляет собой одну из труднейших проблем математического анализа.

Вычисление определенного интеграла имеет не только теоретический интерес. К его вычислению сводятся иногда задачи, связанные с практической деятельностью человека.

Также понятие определенного интеграла широко используется в физике.

1. Нахождение площади криволинейной трапеции

Криволинейной трапецией называется фигура, расположенная в прямоугольной системе координат и ограниченная осью абсцисс, прямыми х = а и х = b и кривой , причем неотрицательна на отрезке . Приближенно площадь криволинейной трапеции можно найти так:

разделить отрезок оси абсцисс на n равных отрезков;

провести через точки деления отрезки, перпендикулярные к оси абсцисс, до пересечения с кривой ;

заменить получившиеся столбики прямоугольниками с основанием и высотой, равной значению функции f в левом конце каждого отрезка;

найти сумму площадей этих прямоугольников.

Но можно найти площадь криволинейной иначе: по формуле Ньютона-Лейбница. Для доказательства формулы, носящей их имена, докажем, что площадь криволинейной трапеции равна , где – любая из первообразных функции , график которой ограничивает криволинейную трапецию.

Вычисление площади криволинейной трапеции записывается так:

находится любая из первообразных функции .

записывается . - это формула Ньютона-Лейбница.

2. Нахождение площади криволинейного сектора

Рассмотрим кривую ρ = ρ (φ) в полярной системе координат, где ρ (φ) – непрерывная и неотрицательная на [α; β] функция. Фигура, ограниченная кривой ρ (φ) и лучами φ = α, φ = β, называется криволинейным сектором. Площадь криволинейного сектора равна

3. Нахождение длины дуги кривой

Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая AB, уравнение которой y = f(x), где a ≤ x ≤ b. (рис 2) [7]

Под длиной дуги AB понимается предел, к которому стремиться длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена ее стремиться к нулю.

Применим схему I (метод сумм).

Точками X = a, X, …, X = b (X ≤ X≤ … ≤ X) разобьем отрезок [a, b] на n частей. Пусть этим точкам соответствуют точки M = A, M, …, M = B на кривой AB. Проведем хорды MM, MM, …, MM, длины которых обозначим соответственно через ΔL, ΔL, …, ΔL.

Получим ломанную MMM … MM, длина которой равна L = ΔL+ ΔL+ … + ΔL = ΔL.

Длину хорды (или звена ломанной) ΔL можно найти по теореме Пифагора из треугольника с катетами ΔX и ΔY:

История появления и развития персональных компьютеров является одним из наиболее впечатляющих явлений нашего века. С момента появления первых образцов персональных компьютеров прошло меньше 25 лет, но сейчас без них уже немыслимо огромное количество областей человеческой деятельности - экономика, управление, наука, инженерное дело, издательское дело, образование, культура и т.д. Интерес к персональным компьютерам постоянно растет, а круг их пользователей непрерывно расширяется. В число пользователей ПЭВМ вовлекаются как новички в компьютерном деле, так и специалисты по другим классам ЭВМ.

Язык Паскаль - это один из наиболее распространённых языков программирования 80-90х годов , поддерживающий самые современные методологии проектирования программ (нисходящее, модульное проектирование, структурное программирование) имеют свою достаточно богатую историю развития.

Новую жизнь языку дала фирма Борланд, разработавшая на его базе семейство Паскаль – систем, называемых Турбо Паскалем. Интегрированная среда, обеспечивающая многооконную разработку программной системы, обширный набор встроенный в неё средств компиляции и отладки , доступный для работы через легко осваиваемое меню, - всё это обеспечивает высокую производительность труда программиста, недостижимую при работе со старыми средами.

Язык Турбо Паскаль хорошо подходит для обучения программированию.

Заданием на курсовую работу является создание программы на языке программирования Турбо Паскаль, которая должна осуществлять решение следующей задачи :

Вычислить приближённое значение интеграла функции f(x) на интервале с точностью до 0.01 методами Симпсона и трапеции с целью сравнения.

Определить метод, который решает поставленную задачу за минимальное число повторений.

Построить график функции f(x) на заданном интервале. Решить поставленную задачу с использованием функций и процедур алгоритмического языка Турбо Паскаль.

Интегрирование является одной из самых распространенных математических операций. За последние десятилетия значение вычислений очень сильно возросло во многих областях деятельности людей – научной, технической, организационной и т.д. Усилился и интерес к тому, чтобы научиться достаточно точно и с возможно малой затратой труда находить численные значения многообразных видов интегралов, с которыми приходится встречаться в самых разных вопросах.
Появилось много исследований по численному интегрированию, в частности опубликовано большое количество вспомогательных таблиц.

Введение…………………………………………………………………………3
Точное вычисление определенного интеграла – формула Ньютона-Лейбница……………………………………………………………………..4
Приближенное интегрирование…………………………………………….7
Формула прямоугольников……………………………………………7
Формула трапеций……………………………………………………..9
Формула парабол (Симпсона)………………………………………..10
3. Вычисление определенного интеграла……………………………………..13
3.1 Формула Ньютона-Лейбница………………………………………. 13
3.2 Метод прямоугольников……………………………………………. 13
3.3 Метод трапеций……………………………………………………….16
3.4 Метод парабол (Симпсона)…………………………………………..17
Заключение………………………………………………………………………18
Список литературы……………………………………………………………. 19

Файлы: 1 файл

Математика реферат.doc

Министерство сельского хозяйства и продовольствия Российской Федерации

Уральская государственная сельскохозяйственная академия

Кафедра математики

Реферат на тему:

Методы вычисления определенных интегралов. Численное интегрирование

Екатеринбург 2011

Точное вычисление определенного интеграла – формула Ньютона-Лейбница…………………………………… ………………………………..4
Приближенное интегрирование………………………………………… ….7
1. Формула прямоугольников……………………………………… ……7
2. Формула трапеций…………………………………………………….. 9
3. Формула парабол (Симпсона)………………………………………..10
3. Вычисление определенного интеграла………………… …………………..13

3.1 Формула Ньютона-Лейбница……………… ………………………. 13

3.2 Метод прямоугольников……………………………………… ……. 13

3.4 Метод парабол (Симпсона)……………… …………………………..17

Интегрирование является одной из самых распространенных математических операций. За последние десятилетия значение вычислений очень сильно возросло во многих областях деятельности людей – научной, технической, организационной и т.д. Усилился и интерес к тому, чтобы научиться достаточно точно и с возможно малой затратой труда находить численные значения многообразных видов интегралов, с которыми приходится встречаться в самых разных вопросах.

Появилось много исследований по численному интегрированию, в частности опубликовано большое количество вспомогательных таблиц.

Универсальных методов численного интегрирования практически не существует, и лицо, составляющее план вычислений, должно будет среди многих известных правил интегрирования избрать какое-либо одно. Так, если можно найти первообразную функции, то интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница. Однако при решении физических и технических задач приходится находить определенные интегралы от функции, первообразные которых не выражаются через элементарные функции. В этих и других случаях прибегают к приближенным формулам, с помощью которых определенный интеграл находится с любой степенью точности.

1. Точное вычисление определенного интеграла – формула Ньютона-Лейбница

Вычисление определенных интегралов методом, основанным на определении интеграла как предела интегральной сумы, как правило, связано с большими трудностями. Существует более удобный метод вычисления определенных интегралов, который основан на связи между неопределенным и определенным интегралами.

Пусть функция y = f (æ) интегрируема на отрезке [a;b].

Теорема. Если функция y = f (æ) непрерывна на отрезке [a;b] и F(æ) - какая-либо ее первообразная на [a;b] (F´(x) = f (æ)), то имеет место формула:

Доказательство. Разобьем отрезок [a;b] точками а = х₀, х₁,…, b = æ_n (æ₀

Преобразуем каждую разность в скобках по формуле Лагранжа

где с_i есть некоторая точка интервала (æ_i-1; x_i).

Так как функция y = f(æ) непрерывна на [a;b], то она интегрируема на [a;b]. Поэтому существует предел интегральной суммы, равный определенному интегралу от f(æ) на [a;b].

Переходя в равенстве (1.2) к пределу при λ = max Δ x_i→0, получаем

Равенство (1.1) называется формулой Ньютона-Лейбница. Если ввести обозначение F(b) – F(a) = F(æ)│ b _a, то формулу Ньютона-Лейбница (1.1) можно переписать так:

Формула Ньютона-Лейбница дает удобный и самый точный способ вычисления определенного интеграла. Чтобы вычислить определенный интеграл от непрерывной функции f (æ) на отрезке [a;b], надо найти ее первообразную функцию F(æ) и взять разность F(b) – F(a) значений этой первообразной на концах отрезка [a;b].

Формула Ньютона-Лейбница была выведена в предположении, что подинтегральная функция f (æ) непрерывна. При некоторых условиях формула Ньютона-Лейбница имеет место и для разрывных функций.

2. Приближенное интегрирование

Пусть требуется найти определенный интеграл от непрерывной функции f(æ). Если можно найти первообразную F(æ) функции f(æ), то интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:

Но отыскание первообразной функции иногда весьма сложно; кроме того, как известно, не для всякой непрерывной функции ее первообразная выражается через элементарные функции. В этих и других случаях (например, функция y = f(æ) задана графически или таблично) прибегают к приближенным формулам, с помощью которых определенный интеграл находится с любой степенью точности.

Рассмотрим три наиболее употребительные формулы приближенного вычисления определенного интеграла – формулу прямоугольников, формулу трапеций, формулу парабол (Симпсона), основанные на геометрическом смысле определенного интеграла.

2.1 Формула прямоугольников

Пусть на отрезке [a;b], а

В середине каждого такого отрезка построим ординату графика функции y = f(æ). Приняв эту ординату за высоту, построим прямоугольник с площадью .

Тогда сумма площадей всех n прямоугольников дает площадь ступенчатой фигуры, представляющую собой приближенное значение искомого определенного интеграла.

Формула (2.1) называется формулой средних прямоугольников.

Абсолютная погрешность приближенного равенства (2.1) оценивается с помощью следующей формулы:

где М₂ – наибольшее значение на отрезке [a;b],

Для линейной функции (f(æ) = ræ+b) формула (2.1) дает точный ответ, поскольку в этом случае .

2.2 Формула трапеций

Формулу трапеций получают аналогично формуле прямоугольников: на каждом частичном отрезке криволинейная трапеция заменяется обычной.

Разобьем отрезок [a;b] на n равных частей длины . Абсциссы точек деления а = æ₀, æ₁, æ₂, …,b = æ_n (рис. 3). Пусть y₀, y₁, …,y_n – соответствующие им ординаты графика функции. Тогда расчетные формулы для этих значений примут вид æ_i=a + h ∙i, y_i = f(æ_i),

Заменим кривую y = f(æ) ломаной линией, звенья которой соединяют концы ординат y_i и y_i+1 y_i (i = 0,1,2,…,n). Тогда площадь криволинейной трапеции приближенно равна сумме площадей обычных трапеций с основаниями y_i, y_i+1 и высотой :

Формула (2.2) называется формулой трапеций.

Абсолютная погрешность R_n приближения, полученного по формуле трапеций, оценивается с помощью формулы

где . Снова для линейной функции y = r æ+b формула (2.2) – точная.

Если заменить график функции y = f(æ) на каждом отрезке [æ_i-1; æ_i] разбиения на отрезками прямых, как в методах трапеций и прямоугольников, а дугами парабол, то получим более точную формулу приближенного вычисления интеграла .

Предварительно найдем площадь S криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком параболы y = аæ 2 + bæ + c, сбоку – прямыми æ = -h, æ = h и снизу – отрезком [-h;h].

Пусть парабола проходит через три точки М₁ (-h;y₀), M₂(0;y₁)_, M₃ (h;y₂), где y₀ = аh 2 – bh +c - ордината параболы в точке х = -h; y₁ = с – ордината параболы в точке æ = 0; y₂ = аh 2 + bh + c, - ордината параболы в точке æ = h (рис. 4) Площадь S равна

Выразим эту площадь через h, y₀, y₁, y₂. Из равенств для ординат y_i находим, что с = y₁, .

Подставляя эти значения с и а в равенство (2.3) получаем

Получим теперь формулу парабол для вычисления интеграла .

Для этого отрезок [a;b] разобьем на 7n равных частей (отрезков) длиной точками æ_i = æ₀ + ih (i = 0,1,2,…2n). В точках деления а = æ₀, æ₁, æ₂, …, æ_2n-2, æ_2n-1, æ_2n = b вычисляем значения подинтегральной функции f(æ): y₀, y₁, y₂, …,y_2n-2, y_2n-1, y_2n, где y₁ = f(æ) (рис.5). Аналогично находим

Интеграл в древности. Интегрирование прослеживается ещё в древнем Египте, примерно в 1800 г. до н. э., Московский математический папирус демонстрирует знание формулы объёма усечённой пирамиды. Первым известным методом для расчёта интегралов является метод исчерпывания Евдокса (примерно 370 до н. э.), который пытался найти площади и объёмы, разрывая их на бесконечное множество частей, для которых площадь или объём уже известны.

Содержание работы

1. Историческая часть. 3
2. Интегралы. 5
2.1. Теоретическая часть. 5
2.2. Практическая часть. 13
2.3. Применение темы в других дисциплинах. 21
3. Заключение. 24
Библиографический список. 26

Файлы: 1 файл

ГОТОВЫЙ РЕФЕРАТ.docx

Краевое государственное бюджетное учреждение СПО

"Хабаровский торгово-экономический техникум"

Реферат по теме: Интегралы

Составила: Черепнина В. Н.

Студентка группы Т-2

1. Историческая часть. . . . 3

2. Интегралы. . . . 5

2.1. Теоретическая часть. . . 5

2.2. Практическая часть. . . 13

2.3. Применение темы в других дисциплинах. . 21

3. Заключение. . . . 24

Библиографический список. . . 26

1. Историческая часть

ИНТЕГРАЛ (от лат. Integer - целый) - одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой - измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток времени и т. п.

Интеграл в древности. Интегрирование прослеживается ещё в древнем Египте, примерно в 1800 г. до н. э., Московский математический папирус демонстрирует знание формулы объёма усечённой пирамиды. Первым известным методом для расчёта интегралов является метод исчерпывания Евдокса (примерно 370 до н. э.), который пытался найти площади и объёмы, разрывая их на бесконечное множество частей, для которых площадь или объём уже известны. Этот метод был подхвачен и развит Архимедом, и использовался для расчёта площадей парабол и приближенного расчёта площади круга. Аналогичные методы были разработаны независимо в Китае в 3-м веке н. э. Лю Хуэйем, который использовал их для нахождения площади круга. Этот метод был впоследствии использован Дзю Чонгши для нахождения объёма шара.

Следующий значительный прогресс в исчислении интегралов появится лишь в XVI веке. В работах Кавальери с его методом неделимых, а также в работах Ферма, были заложены основы современного интегрального исчисления. Дальнейшие шаги были сделаны в начале XVII века Барроу и Торричелли, которые представили первые намеки на связь между интегрированием и дифференцированием.

2. Интегралы

2.1. Теоретическая часть

п. 1. Первообразная и неопределенный интеграл

Первообразной функцией для функции f(x) называется такая функция F(х), производная которой равна данной функции

где F'(x) = f(x). Функция f(x) называется подынтегральной функцией, а выражение f(x)dx - подынтегральным выражением.

п.2. Свойства неопределенного интеграла

1° Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

2° Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, т.е.

3° Постоянный множитель можно вынести из под знака интеграла, т.е. если k = const ≠ 0, то

4° Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности.

п.3. Таблица основных интегралов

п.4.Существуют следующие виды нахождения интегралов:

Вычисление интегралов с помощью непосредственного использования таблицы простейших интегралов и основных свойств неопределенных интегралов называется непосредственным интегрированием.
1. Интегрирование путем подведения под знак дифференциала
Необходимо иметь в виду простейшие преобразования дифференциала

Интегрирование путем введения новой переменной (метод подстановки) основано на формуле

где х = φ(t) - дифференцируемая функция переменной t.

Если u =φ(x) и v = y(х) - дифференцируемые функции, то

Эта формула применяется в случае, когда подынтегральная функция представляет произведение алгебраической и трансцендентной функции.

В качестве u обычно выбирается функция, которая упрощается дифференцированием, в качестве dv - оставшаяся часть подынтегрального выражения, содержащая dx, из которой можно определить v путем интегрирования.

п.5. Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен

1°. Интеграл вида

путем дополнения квадратного трехчлена до полного квадрата по формуле

сводится к одному из двух интегралов

сводится к интегралам вида (8.1) или (8.2) и интегралу

сводится к одному из интегралов:

4°. Интеграл вида

сводится к одному из двух интегралов

5°. Интеграл вида

сводится к разобранным выше интегралам.

6°. Интегралы вида

с помощью обратной подстановки

приводятся к интегралам вида 5°.

п.6. Интегрирование тригонометрических функций

1°. Интегралы вида

находятся с помощью тригонометрических формул

2°. Интегралы вида

где m и n - четные числа находятся с помощью формул понижения степени

Если хотя бы одно из чисел m или n - нечетное, то полагают (пусть m = 2k + 1)

3°. Если m = -m, n = -l - целые отрицательные числа одинаковой четности, то

В частности, к этому случаю сводятся интегралы

4°. Интегралы вида

где R - рациональная функция от sinx и cosx, приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной с помощью подстановки

п.7. Вычисление интеграла путем перебрасывания интеграла через знак равенства.

Обычно имеет место быть при решении интегралов вида sin(x)·exp(x) или cos(x)·exp(x).

Суть метода заключаеться в следующем: с помощью различных преобразований приходят к такой ситуации, когда слева от знака равенства стоит исходный интеграл, а справой какое-то выражение и тот же самый интеграл. Например:

Тогда все интегралы собирают в одной части, а в другой части равенства остается выражение, которое после нормировки ( приведение коэффициента при интеграле к 1) становится ответом.

2.2. Практическая часть

Здесь мы рассмотрим как находятся интегралы разными способами.
1. Интегрирование путем подведени я под знак дифференциала
Этот пример можно решить и по-другому см. п.5.

Чтобы избавиться от корня, положим
1. Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен
Здесь подынтегральная функция является рациональной функцией от sinx и cosx. Применяем подстановку

Подынтегральная функция не меняется от замены sinx на (-sinx), cosx на (-cosx), то есть R(-sinx,cosx) = R(sinx,cosx) . Применим подстановку tgx = t:
1. Вычисление интеграла путем пер ебрасывания интеграла через знак равенства.
Применим способ интегрирования по частям

Вынесли константу из-под знака интеграла.

Применим способ интегрирования по частям

Вот мы и пришли к ситуации, когда слева и справа от знака равенства стоит один и тот же интеграл.

Вычисляем интеграл и получаем

2.3. Применение темы в других дисциплинах

Различные методы изучения приложений интеграла в физике.

Авторы различных учебников по–разному выводят формулы при изучении приложений интеграла. Рассмотрим несколько различных методов получения (вывода) формул.

I. Составление интегральных сумм. Масса стержня переменной плотности. Будем считать, что отрезок [a; b] оси Ох имеет массу с переменной линейной плотностью ρ(х)0, где ρ(х) – непрерывная на отрезке [a; b] функция. Общая масса этого отрезка, где a=x₀

Читайте также:

Способы вычисления интегралов реферат

Оглавление

Файлы: 1 файл

Математика реферат.doc

Содержание работы

Файлы: 1 файл

ГОТОВЫЙ РЕФЕРАТ.docx

1. Историческая часть

2. Интегралы

2.1. Теоретическая часть

п.7. Вычисление интеграла путем перебрасывания интеграла через знак равенства.

2.2. Практическая часть

2.3. Применение темы в других дисциплинах