События вероятность события реферат

Обновлено: 18.05.2024

Функция "чтения" служит для ознакомления с работой. Разметка, таблицы и картинки документа могут отображаться неверно или не в полном объёме!

Случайное событие и его вероятность

Марийский государственный технический университет

Йошкар-Ола 2004 год.

Случай, случайность — с ними мы встречаемся повседневно: случайная встреча, случайная поломка, случайная находки, случайная ошибка. Этот ряд можно продолжать бесконечно. Казалось бы, тут лет места для математики—какие уж законы в царстве Случая! Но и здесь наука обнаружила интересные закономерности—они позволяют человеку уверенно чувствовать себя при встреча со случайными событиями.

1. Случайное событие. Его вероятность.

- это значит свести его к другим, более известным. Очевидно, процесс определения одних понятий через другие должен где-то кончаться, дойдя до самых первичных понятий, к которым сводятся все остальные и которые сами не определяются, а только поясняются. Такие понятия существуют и в теории вероятностей. Здесь мы рассмотрим некоторые из них.

Под опытом (экспериментом, испытанием) мы будем понимать некоторую воспроизводимую совокупность условий, в которых наблюдается то или другое явление, фиксируется тот или другой результат. Заметим, что "опыт" не обязательно должен быть поставлен человеком; он может протекать независимо от него; при этом человек выступает в роли наблюдателя или фиксатора происходящего. от него зависит только решение: что именно наблюдать и какие явления фиксировать.

Теоретические аспекты понятия "случайное событие" и характеристика вспомогательных терминов. Вероятность происхождения события: ее свойства и частота, правила математических действий с нею, основные принципы использования вероятностных расчетов.

Рубрика	Математика
Вид	реферат
Язык	русский
Дата добавления	19.07.2010
Размер файла	81,8 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

КИЕВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Шевченко

Факультет физики и астрономии

ПО АСТРОМЕТРИИ

НА ТЕМУ: Случайные события. Вероятность события. Свойства вероятностей. Частота (статистическая вероятность) события

Выполнила: студентка ІV курса

Махно Наталия

СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

Аналогичный вопрос можно поставить по отношению к любому случайному событию. Является ли оно действительно случайными или определяются неизвестными нам закономерностями? Оставим обсуждение этого вопроса философии. Для нас ясно, что имеют место разнообразные события, причины которых плохо изучены или вообще неизвестны (а может быть, просто отсутствуют?). Такие события мы можем рассматривать только как случайные и при их изучении исходить из результатов теории вероятностей и статистики. Заметим, что эти науки рассматривают не произвольные случайные события, а лишь такие, про которые можно предположить, что они обладают так называемой статистической устойчивостью (см. § 1.4).

Случайное событие (или просто событие) является основным понятием теории вероятностей. При проведении некоторого эксперимента каждый конкретный исход опыта можно рассматривать как событие. В частности, в процессе измерений получение данного конкретного числа является событием. Введем некоторые связанныес событием вспомогательные понятия.

Полная группа событий - это совокупность всех событий, которые могут иметь место в данном эксперименте. Так, при проведении одного измерения полную группу образуют все возможные значения измеряемой величины. В данном случае полная группа включает, вообще говоря, бесконечное число событий. Легко представить себе конечную полную группу событий. Так, например, если при измерении температуры некоторого тела нас интересует только ее знак, то полная группа включает лишь три события: получение отрицательной, нулевой или положительной температур.

Отсюда видно, что введение второго канала существенно уменьшает вероятность отказа устройства в целом. Особенно эта будет заметно для устройств, состоящих из надежных элементов (р мало).

Аналогичным образом может быть проанализирована работа устройства, состоящего из трех и большего числа параллельных каналов. Таким образом, зная надежность исходных элементов, можно выбрать конструкцию, удовлетворяющую заданным требованиям по надежности устройства в целом. Подобные методы широко используются в' настоящее время при проектировании различных устройств, состоящих из большого числа Элементов, При этом решаются задачи, во много раз превосходящие по сложности рассмотренную выше.

Приведенный пример расчета надежности методами теории вероятностей базируется на ряде допущений. Укажем основные из них.

Статистическая устойчивость результатов заводских испытаний используемых элементов.

Допустимость перехода от частоты к вероятности (при определении вероятности отказа одного элемента) и от вероятности к частоте (при практических использованиях найденной вероятности безотказной работы устройства в целом).

Независимость вероятности отказа одного элемента от различия между условиями заводских испытаний и условиями работы элементов в устройстве.

4 Взаимная независимость отказов элементов в устройстве.

5. Безотказность остальных частей устройства (соединяющих элементов, коммуникационных линий, различных переключателей и т. п.).

Существенное нарушение хотя бы одного из этих условий может быть причиной пру бой ошибочности найденных результатов. Так, например, какой-либо внешний фактор (сотрясение, изменение температуры, вспышка на Солнце) может повысить вероятность отказа всех элементов устройства. При этом возникает зависимость между отказами различных элементов и резервирование каналов иногда становится практически бесполезным. Следует иметь в виду, что небольшие отклонения от принятых допущений всегда имеют место. Поэтому в ответственных случаях (например, при передаче изделий в массовое производство) результаты предварительных проектных расчетов надежности проверяются испытаниями готовых изделий.

Приведенный пример хорошо иллюстрирует основные принципы использования вероятностных расчетов для практических целей. При этом решение рассматриваемой прикладной выдачи можно разделить на следующие этапы:

определение вероятностей некоторых исходных событий (по данным статистических испытаний или по схеме равновозможных случаев);

пересчет вероятностей исходные событий в вероятности интересующих исследователя окончательных событий;

- переход от вероятностей окончательных событий к их частотам или другим, имеющим практическое значение параметрам.

Таким образом, устанавливается близость понятий частоты и вероятности. А именно, частоту статистически устойчивого случайного события следует рассматривать как измеренное значение его вероятности и использовать в числе исходных данных для вероятностных расчетов. Получаемая в результате этих расчетов вероятность некоторого другого события может рассматриваться как его частота при многократном повторении эксперимента. Такой переход имеет смысл даже в том случае, когда эксперимент проводится всего один раз (например - при запуске космического аппарата на другую планету). В этом случае многократное повторение эксперимента следует рассматривать как гипотетическую возможность. Если вероятность некоторого события мала, то при единичном эксперименте мы можем с большой уверенностью считать, что оно не произойдет. По сути, этим мы все время руководствуемся в обыденной жизни. Пешеход, выходящий на улицу большого города, и пехотинец, идущий в атаку на пулемет, испытывают совершенно различные чувства. Но ведь в обоих случаях можно погибнуть. Только с разной вероятностью!

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Измерительная информация: сколько ее нужно? как ее обрабатывать? Эльясберг П.Е. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. - 208 с.

Подобные документы

Случайные события, их классификация. Свойство статистической устойчивости относительной частоты события. Предельные теоремы в схеме Бернулли. Аксиоматическое и геометрическое определение вероятности. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.

реферат [1,4 M], добавлен 18.02.2014

Случайное событие и его вероятность. Теорема сложения вероятностей. Закон равномерной плотности вероятности. Случайные величины. Функция распределения и ее свойства. Как наука теория вероятности зародилась в 17 веке.

реферат [96,2 K], добавлен 12.02.2005

Определение вероятности наступления заданного события. Расчет математических величин по формуле Бернулли и закону Пуассона. Построение эмпирической функции распределения, вычисление оценки математического ожидания и доверительных интегралов для него.

курсовая работа [101,9 K], добавлен 26.03.2012

Зарождение теории вероятностей и формирование первых понятий этой ветви математики произошло в середине 17 века, когда Паскаль, Ферма, Бернулли попытались осуществить анализ задач связанных с азартными играми новыми методами.

реферат [18,4 K], добавлен 24.12.2002

Типы событий и их общая характеристика: достоверные, невозможные и случайные. Вероятность как количественная характеристика степени возможности наступления события, теорема их сложения и умножения. Свойства случайных величин и их числовые характеристики.

презентация [2,1 M], добавлен 20.09.2014

Вероятность события. Теоремы сложения и умножения событий. Теорема полной вероятности события. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли, формула Пуассона, формула Муавра-Лапласа. Закон распределения вероятностей случайных дискретных величин.

контрольная работа [55,2 K], добавлен 19.12.2013

Теория вероятности как математическая наука, изучающая закономерность в массовых однородных случаях, явлениях и процессах, предмет, основные понятия и элементарные события. Определение вероятности события. Анализ основных теорем теории вероятностей.

* Данная работа не является научным трудом, не является выпускной квалификационной работой и представляет собой результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебных работ.

Случайное событие и его вероятность

Любая наука, развивающая общую теорию какого-нибудь круга явлений, содержит ряд основных понятий, на которых она базируется. Таковы, например, в геометрии понятия точки, прямой, линии; в механике - понятия силы, массы скорости, ускорения. Естественно, что не все основные понятия могут быть полностью определены, ибо "определить" понятие это значит свести его к другим, более известным. Очевидно, процесс определения одних понятий через другие должен где-то кончаться, дойдя до самых первичных понятий, к которым сводятся все остальные и которые сами не определяются, а только поясняются. Такие понятия существуют и в теории вероятностей. Здесь мы рассмотрим некоторые из них.

Под опытом (экспериментом, испытанием) мы будем понимать некоторую воспроизводимую совокупность условий, в которых наблюдается то или другое явление, фиксируется тот или другой результат. Заметим, что "опыт" не обязательно должен быть поставлен человеком; он может протекать независимо от него; при этом человек выступает в роли наблюдателя или фиксатора происходящего от него зависит только решение: что именно наблюдать и какие явления фиксировать.

Если результат опыта варьируется при его повторении, говорят об опыте со случайным исходом. Именно такие опыты мы будем здесь рассматривать и добавление "со случайным исходом" для краткости опускать. Тот факт, что при повторении опыта его основные условия сохраняются, и, значит, мы вправе ожидать устойчивости частот, тоже не будет каждый раз оговаривать.

Случайным событием (или, короче, просто событием) называется всякий факт, который в опыте со случайным исходом может произойти или не произойти. События мы будем обозначать большими буквами латинского алфавита.

Рассмотрим несколько примеров событий.

Опыт - бросание монеты; событие A - появление герба.

Опыт - бросание трех монет; событие B - появление трех гербов.

Опыт передача группы из n сигналов; событие C - искажение хотя бы одного из них.

Опыт - выстрел по мишени; событие D попадание.

Опыт - вынимание наугад одной карты из колоды; событие Е - появление туза.

Тот же опыт, что в при мере 5; событие F - появление карты червонной масти.

Рассматривая перечисленные в наших примерах события A, B, C, видим, что каждое из них обладает какой-то степенью возможности - одни большей, а другие меньшей, причем для некоторых из них мы сразу можем решить, какое из них более, а какое менее возможно. Например событие A более воз можно (вероятно), чем B, а событие F более возможно, чем

Е. Любое случайное событие обладает какой-то степенью возможности, которую в принципе можно измерить численно. Что бы сравнивать события по степени их возможности, нужно связать с каждым из них какое-то число, которое тем больше, чем больше возможность события. Это число мы и назовем вероятностью события.

Отметим, что сравнивая между собой по степени возможности различные события, мы склонны считать более вероятными те события, которые происходят чаще, менее вероятными - те, которые происходят реже; маловероятными - те, которые вообще не происходят. Например, событие "выпадение дождя в Москве 1-го июня предстоящего года" более вероятно, чем "выпадение снега в Москве тот же день", а событие "землетрясения в Москве, превышающее по интенсивности 3 балла, в течение предстоящего года" крайне мало вероятно (хотя такое землетрясение и наблюдалось в 1977 г., и статистика говорит, что подобные события происходят раз в 100 лет). Таким образом, понятие вероятности события с самого начала тесно увязывается с понятием его частоты.

Характеризуя вероятности событий числами, нужно установить какую-то единицу измерения. В качестве такой единицы естественно взять вероятность достоверного события, т.е. такого события, которое в результате опыта неизбежно должно произойти. Пример достоверного события - выпадение не более шести очков при бросании игральной кости. Другой пример достоверного события: " камень, брошенный вверх рукой вернется на Землю, а не станет её искусственным спутником ".

Противоположностью достоверного события является невозможное событие - то, которое в данном опыте вообще не может произойти. Пример: " выпадение 12 очков при бросании одной игральной кости ".

Если приписать достоверному событию вероятность, равную единице, а невозможному - равную нулю, то все другие события - возможные, но не достоверные будут характеризоваться вероятностями, лежащими между нулем и единицей, составляющими какую то долю единицы.

Таким образом, установлены единица измерения вероятности - вероятность достоверного события и диапазон вероятностей - числа от нуля до единицы.

Какое бы событие A мы бы ни взяли, его вероятность P (A) удовлетворяет условию:

Очень большую роль в применении вероятностных методов играют практически достоверные и практически невозможные события.

Событие A называется практически невозможным, если его вероятность не в точности равна нулю, но очень близка к нулю:

Опыт: 32 буквы разрезной азбуки смешали между собой; наугад вынимается одна карточка, стоящая на ней буква записывается, карточка возвращается обратно и смешивается с другими. Такой опыт производится 25 раз. Событие A состоит в том, что после 25 выниманий мы запишем первую строчку "Евгения Онегина":

"Мой дядя самых честных правил". Событие A не является физически невозможным, но вероятность его настолько мала, что событие с такой вероятностью можно смело считать практически невозможным. Аналогично, практически достоверным является событие, вероятность которого не в точности равна единице, но очень близка к единице:

Собрала для вас похожие темы рефератов, посмотрите, почитайте:

Введение

Теория вероятности — это отрасль математики, в которой исследуются законы случайных явлений: Случайные события, случайные переменные, их свойства и операции над ними.

Появление теории вероятностей как науки относится к средневековью и к первым попыткам математического анализа азартных игр (орлы, кости, рулетка). Первоначально его базовые понятия не имели строго математической формы, их можно было трактовать как некие эмпирические факты, как свойства реальных событий, и они формулировались в визуальных представлениях. Яков Бернулли внес важный вклад в теорию вероятности: он предоставил доказательства закона больших чисел в простейшем случае независимых тестов. В первой половине 19 века теория вероятности начала применяться для анализа ошибок наблюдения; Лаплас и Пуассон доказали первые предельные теоремы. Во второй половине XIX века основной вклад в это дело внесли русские ученые П. Л. Чебышев, А. А. Марков и А. М. Ляпунов. В то время был доказан закон больших чисел, центральная предельная теорема и теория цепей Маркова. Современный тип теории вероятностей был выигран на основе аксиоматизации, предложенной Колмогоровым Андреем Николаевичем. В результате теория вероятностей приняла строгую математическую форму и в конечном итоге стала восприниматься как один из разделов математики.

Теория вероятности возникла как наука из убеждения, что массовые случайные события основываются на детерминистических законах. Теория вероятности исследует эти законы.

Тест представляет собой выполнение определенного набора условий, которые могут быть воспроизведены неограниченное количество раз. В этом случае набор условий включает случайные факторы, реализация которых приводит к неоднозначности результата теста для каждого теста.

Достоверный (всегда результат теста).

Невозможно (никогда не бывает).

Столь же вероятно (та же вероятность возникновения), менее вероятно и более вероятно.

Случайность (может произойти или не произойти в результате теста).

Например: Когда кубик брошен, невозможное событие — кубик стоит на краю, случайное событие — падение с любого края, случайность — кубик стоит на прямой кромке.

Определенный результат теста называется элементарным событием.

В результате проверки происходят только элементарные события.

Сочетание всех возможных, различных, специфических результатов испытаний называется элементарным пространством событий.

Набор элементарных событий — это пространство элементарных событий.

Сложное событие — это произвольное подмножество пространства элементарных событий.

Сложное тестовое событие возникает тогда и только тогда, когда тест приводит к элементарному событию, принадлежащему сложному событию.

Таким образом, если в результате теста может произойти только одно элементарное событие, то все сложные события, составляющие эти элементарные события, происходят.

Например: Тест — это бросок кубиков.

Введите следующие описания:

Р — случайное событие;
Рик — событие, заслуживающее доверия;
U — невозможное событие.

Классическое определение вероятности

Если пространство элементарных событий состоит из их конечного числа, то все элементарные события равны, т.е. ни одно из них не может быть предпочтительным перед тестом, поэтому их можно считать равными.

Если элементарные события равны и, следовательно, равны, то вероятность наступления произвольного события равна доле, числитель которой равен количеству элементарных событий, содержащихся в спецификации, и знаменателем которой является общее количество элементарных событий. Такое определение вероятности впервые дано в работах французского математика Лапласа и считается классическим.

Вероятное событие находится между нулем и единицей.

2o P(E)=1 Вероятность надежного события равна единице.

3o P(U)=0 Вероятность невозможного события равна нулю.

Рассмотрим случайный эксперимент, который может закончиться одним из возможных исходов, все из которых одинаково вероятны.

Бросаются сразу три монеты.

Определите вероятность этого:

3 орла выпадут;
2 орла и 1 хвост выпадут
две балки и выпал орел
Три батончика выпадают.

Частота наступления события

Пространство элементарных событий должно естественным образом состоять из m элементарных событий. В этом случае в качестве возможных результатов тестирования рассматриваются многие подмножества пространства элементарных событий и невозможное событие V.

Назовем систему этих событий F. Возьмем случайное событие A F. Выполним серию тестов в количестве n, где n — это количество тестов в каждом из которых произошло событие A.

Частота наступления события A в n экспериментах — это отношение числа наступлений этого события к общему числу проведенных экспериментов.

Разрешите результат теста для случая А. Подводя итог, можно сказать, что в этом тесте произошло событие Аи. Так как все события несовместимы парами, это означает, что никакое другое событие Aj (i j ) не может произойти в этом тесте.

С помощью теории вероятности описываются только те те тесты, для которых сделано следующее предположение: Для каждого события А частота, с которой это событие происходит в бесконечной серии тестов, имеет один и тот же предел, который называется вероятностью наступления события А.

Поэтому, когда мы рассматриваем вероятность возникновения произвольного события, то понимаем это число следующим образом: Это частота возникновения события в бесконечной (достаточно длинной) серии тестов.

К сожалению, попытка определить вероятность как предел частоты не увенчалась успехом, а количество тестов нацелилось на бесконечность. Хотя американский ученый Мизес создал теорию вероятности на основе этого определения, она не была принята из-за большого количества внутренних логических противоречий.

В повседневной жизни мы часто сталкиваемся с проблемами, для которых есть не одно, а несколько различных решений. Для принятия правильных решений очень важно не пропустить ни одного из них. Для этого необходимо просмотреть все возможные варианты или, по крайней мере, рассчитать их количество. Такие задачи называются комбинаторными.

Но прежде чем мы обратимся к задаче, мы должны познакомиться с комбинаторными элементами.

Однако существует единый подход к решению разнообразных комбинаторных задач путем создания специальных правил. Внешне эта схема напоминает дерево, отсюда и название — дерево возможных вариантов. Если дерево построено правильно, то ни один из возможных вариантов решения не теряется.

Рассмотрим это в качестве примера для следующей задачи: Сколько двухзначных чисел я могу сформировать из цифр 1, 4 и 7?

Может существовать огороженная территория G, в которой находится территория g. Точка А спонтанно расположена в области G. Эта точка может войти в область g. В этом случае вероятность того, что точка A войдет в область g, определяется по формуле.

Вероятности, определяемые измерениями, называются геометрическими.

Существует целый ряд задач, где, как говорят математики, определение вероятности случайного события может быть подведено по-разному по геометрическим соображениям.

Операции по событиям

С-событие называется суммой A+B, если оно состоит из всех элементарных событий, которые содержатся как в A, так и в B

В этом случае, если элементарное событие происходит как в A, так и в B, то оно происходит один раз в C. В результате теста возникает событие С, когда событие происходит либо в A, либо в B. Сумма любого количества событий состоит из всех элементарных событий, содержащихся в одном из Ай, i=1, …, m.

Событие С называется растением А и В, если оно состоит из всех элементарных событий, которые содержатся как в А, так и в В. Работа с любым количеством событий — это событие, состоящее из элементарных событий, которые содержатся во всех Ai, i=1, …, m.

Различие событий A-B называется событием C, которое состоит из всех элементарных событий, входящих в A, но не входящих в B.

Событие называется противоположным событию A, если оно соответствует двум характеристикам.

События A и B называются несовместимыми, если они никогда не могут произойти в результате одного и того же теста и если они не имеют одинаковых элементарных событий.

События A и B считаются независимыми, если вероятность наступления одного события не зависит от наступления другого.

Заключение

Теория вероятности применялась не только в математике, но и в таких науках, как физика и статистика.

Список литературы

Образовательный сайт для студентов и школьников

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Цель работы: донести до слушателя основные сведения об этой теории, показать, как правильно производить расчёты, как нужно рассуждать при решении задачи.

Задачи работы: рассказать о принципах теории, формулах вычисления вероятностей, интересных фактах и практическом применении.

Проблемные вопросы:

Чем занимается теория вероятностей?

Каковы её основные принципы?

С какими другими разделами математики граничит?

Где она применяется?

Актуальность исследования состоит в том, что теория вероятностей имеет практическое применение, в некоторых случаях может встретиться в обыденных ситуациях, таких как участие в лотерее, розыгрыш призов и пр.

Объект исследования: теория вероятностей как раздел математики.

Методы исследования: просмотр сайтов в Интернете, чтение книги, применение собственных знаний, полученных ранее.

Определение

Теория вероятностей – один из разделов математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр, таких как кости, рулетка и др.

Исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей. Под влиянием поднятых и рассматриваемых ими вопросов решением тех же задач занимался и Христиан Гюйгенс. При этом с перепиской Паскаля и Ферма он знаком не был, поэтому методику решения изобрёл самостоятельно. Также важный вклад в развитие теории вероятностей внесли Якоб Бернулли, Пьер-Симон Лаплас, Симеон Пуассон и некоторые другие. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.

Якоб Бернулли Пьер-Симон Лаплас Симеон Пуассон

27 декабря 1654 - 16 августа 1705 23 марта 1749 — 5 марта 1827 21 июня 1781, — 25 апреля 1840

Суть этого раздела математики

Теория вероятностей в общем виде показывает, каковы шансы определенного случая (на математическом языке такие случаи называются благоприятными исходами ). Например, у нас есть монета с орлом и решкой. Какова вероятность того, что, подкинув монету, выпадет орёл? Очевидно, что ½. А какова вероятность того, что выпадет решка? Опять же, ½. Как видим, шансы выпадения орла и решки равны. В таком случае говорят, что события равновероятны. В общем виде равновероятными событиями называются такие события, которые могут случиться с одинаковой вероятностью. Вот еще пример: игральная кость. Если она является правильной фигурой, и её грани отличаются лишь количеством очков, то вероятность выпадения любого числа равна 1/6.

Результаты представлены в таблице:

Как мы знаем, ½ = 50%. Из таблицы видно, что с бОльшим числом бросков отношение выпавших решек и орлов к общему количеству бросков стремится к 50%, то есть к ½.

Комбинаторика и формулы

Определение комбинаторики как раздела математики довольно трудное для понимания, поэтому приведу несколько примеров, чтобы стало понятно, чем же она занимается. Также разберём некоторые формулы, которые помогут нам в дальнейшем.

Пример 1. У нас есть 2 книги, назовём их А и В. Сколько существует способов их размещения по порядку вертикально на пустой полке? Очевидно, можно поставить сначала А, потом В. Или же сначала В, потом А. А еще как-то можно? Нет, больше никак. Значит, существует 2 способа их размещения. Идём дальше.

Пример 3. В забеге участвуют 5 спортсменов. Сколько существует вариантов первых пришедших к финишу троек? Будем считать, что никакие 2 и более участников не пришли одновременно, и все дошли до финиша.

Где А – искомое число благоприятных исходов; n _1, n _2, n _k – количество возможных отдельных событий (под каждым множителем стоит отдельное событие).

По формуле получаем: А (троек первых мест) = 5*4*3 = 60

В приведённых выше примерах порядок участников на пьедестале имел значение. Нам было важно, кто будет первым, вторым и третьим. Однако существуют ситуации, когда порядок выбора не важен, и на эти ситуации тоже есть своя формула. Снова для начала рассмотрим пример, затем – формулу.

Сократим числитель и знаменатель, получим 14*13*12*11 / 4*3*2*1

Продолжим преобразование: 7*13*11 = 1001

Как видим, число получилось намного меньше того, которое мы рассчитали вначале. Поэтому, следует различать случаи в комбинаторике, которые называются РАЗМЕЩЕНИЯМИ и СОЧЕТАНИЯМИ. Размещение требует учёта порядка каких-либо предметов (под этим словом будем понимать элементы множества , множество же – совокупность каких-либо предметов, объединённых общим свойством ); сочетание не требует порядка. Как видно из прошлого примера, это очень важно понимать. А чтобы выяснить, какой из этих случаев содержится в задаче, нужно просто немного подумать, логически поразмышлять: нужно ли учитывать порядок или нет ?

А теперь перейдём к формуле. Приводить ещё один пример не стану, остановимся на этом.

В общем виде выражение выглядит так: 14*13*12*…*5 / 10*9*8*…*1

В некоторых случаях удобно использовать факториал – произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно. Записывается факториал с помощью значка восклицательного знака (!). Например, факториал числа 4 пишется так: 4!. Применим это и к нашему выражению: 14*…*5/10!

Итак, чем же занимается комбинаторика? Комбинаторика занимается вычислением (нахождением) возможных исходов события. Это может помочь находить вероятности каких-либо исходов.

Как подсчитать вероятность?

Для того чтобы найти вероятность какого-либо случая, нужно тоже применять некоторые формулы. Но для начала разберём свойства в теории вероятностей, принимаемые как аксиомы.

1) Любая вероятность, принадлежащая данному множеству, больше либо равна 0.

2) Вероятность достоверного события равна 1.

3) Для совокупности несовместных событий из множества исходов случайного эксперимента справедливо следующее равенство:

где P ( S _k ) – вероятность какого-либо события, S ₁ , S ₂ , S _n – события какого-либо эксперимента.

Разберём эти аксиомы.

Первая гласит о том, что любая вероятность события либо равна 0, то есть событие невозможно, либо больше 0, т.е. событие может случиться.

Вторая говорит о том, что событие, которое произойдёт в абсолютно всех экспериментах, имеет вероятность, равную 1.

Третья аксиома о том, что вероятность некоторых несовместных событий (т.е. тех, которые не могут случиться в одних и тех же экспериментах одновременно) можно определить как сумму отдельных вероятностей этих событий. Например, вероятность того, что, подбросив игральный кубик, выпадет либо 1 очко, либо 2 очка, равна сумме отдельных вероятностей этих исходов:

P (1 или 2 очка) = P (1 очко) + P (2 очка) = 1/6 + 1/6 = 1/3

Исходя из этих аксиом, можно найти и другие важные свойства:

1) Вероятность какого-либо события равна 1 минус вероятность противоположного ему события:

где S _a и S _b – противоположные события.

2) Вероятность любого события меньше либо равна 1, так как достоверное событие обладает наибольшей вероятностью по определению, а оно равно 1.

3) Вероятность невозможного события равна 0:

P ( ) = 0,

где - невозможное событие.

4) Для двух произвольных событий определённого множества исходов какого-либо эксперимента справедливо следующее равенство:

где S ₁ и S ₂ – произвольные события, P ( S ₁ ∪ S ₂ ) – вероятность того, что произойдёт либо S ₁ , либо S _2, P ( S ₁ ⋂ S ₂ ) – вероятность того, что эти два события произойдут одновременно.

Теперь, зная аксиомы и свойства событий и вероятностей, перейдём к рассмотрению примеров и формул, с помощью которых мы будем находить искомые вероятности.

Пример 1. Снова возьмём игральный кубик. Вероятность того, что выпадет 1 очко (равно как и 2 или 3 или 4 и т.д.), равна 1/6. Как мы нашли это число? Разделили число благоприятных исходов (а именно 1) на число всех возможных исходов (их 6). Чтобы понять, почему производились такие расчёты, давайте снова нарисуем чертёж. Мы знаем, что все исходы броска кубика равновероятны. Помним, что вероятность достоверного события равна 1. Получается, нахождение вероятности сводится к решению уравнения: 6х=1, где х – искомая вероятность. Отсюда х = 1/6.

Чтобы не прибегать к составлению уравнения и решению его, выведем формулу для подсчёта вероятности:

где n – число благоприятных исходов

m – число всех возможных исходов.

ак видим, нам нужно найти вероятность выпадения ОДНОЙ из ВСЕХ сторон, т.е. число благоприятных исходов равно 1, всех возможных – 6 (так как сторон в кубике 6). Отсюда получаем ту же самую вероятность, 1/6.

Если мы захотим рассчитать вероятность для выпадения либо 1, либо 2, либо 3 очков, можем сделать это с помощью тех же формул:

2) 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2

Напомню, формулы из 3-ей аксиомы действует в том случае, если события НЕ могут произойти одновременно.

Итак, мы разобрали основные формулы нахождения общего числа исходов и вероятностей. С их помощью можно решать различные задачи, не забывая при этом, в каком случае мы применяем тут или иную формулу.

Практическое применение

Страхование

Как мы знаем, страховые компании выплачивают деньги застрахованному лицу, если произошёл какой-либо несчастный случай. Сумма, которую должен заплатить человек страховой компании и застраховать тем самым что-либо или кого-либо, рассчитывается определённым образом. Основой, на которую опираются страховые компании, является статистика - отрасль знаний, в которой излагаются общие вопросы сбора, измерения и анализа массовых статистических данных. Эти данные несут информацию о том, сколько за прошедшее время произошло несчастных случаев одного вида (например, аварий, ДТП и пр.), вероятность того, что они произойдут и некоторые другие сведения. Таким образом, для подсчёта стоимости страхового полиса и компенсации, выплачиваемой страховой компанией, требуются накопленные ранее знания о случившихся несчастных случаях, о теории вероятностей и т.д.

Также применение теории вероятностей, статистики, различных таблиц используется, как я уже сказал, в медицине, в механике и инженерном деле. Например, таблицы смертности в медицине, срок полезного функционирования детали или механизма в механике, инженерии. Как видим, математика может пригодиться в вышеприведённых сферах государства, промышленности и т.д.

Интересные факты

Парадокс Монти Холла

Вы попали в финал телевизионного конкурса, и перед вами – три закрытые двери. За одной из них – главный приз, автомобиль, за двумя другими – козы. Нужно выбрать одну из трёх дверей. Когда вы указали на одну из дверей, ведущий должен открыть одну из оставшихся дверей, за которой находится коза. Он даёт вам шанс изменить выбор. Вы можете воспользоваться этим, а можете оставить своё решение без изменения. Как нам поступить, чтобы увеличить шансы на выигрыш? Или же они не изменятся, и от нашего решения вероятность не зависит?

Сперва покажется, что вероятность одинакова и равна ½. Рассуждения таковы: так как перед нами 2 закрытых дверей, и за одной из них находится приз, значит, мы можем с одинаковой вероятностью как выиграть, так и проиграть (не будем принимать козу за выигрыш). Но такой ход мыслей неверен. Рассуждения с математической точки зрения следующие: перед нами 3 двери, на каждую приходится вероятность выигрыша по 1/3. Когда мы выбираем дверь, ведущий показывает, за какой дверью приза нет. Значит, если он открыл именно эту дверь, то, скорее всего, приз находится за той, которую он не открыл. На эту невыбранную закрытую дверь приходится вероятность 2/3. Чтобы лучше понять эту ситуацию интуитивно, изменим количество дверей. Пусть их будет не 3, а 1000. Мы выбрали одну из них, вероятность победы – 1/1000. Ведущий убрал 998 дверей. Скорее всего, приз окажется за той дверью, которую он не открыл. Сначала была вероятность выигрыша 1/1000, теперь, изменив выбор, можно увеличить её на 998/1000. Я думаю, это число показывает, что выгоднее изменить выбор, нежели оставить. Напомню, он открывает только ту дверь или те двери, которые выбраны не были, и за которыми находятся коза или несколько коз. Для подтверждения этих рассуждений можно провести подобный опыт со своим напарником: взять, к примеру, 3 коробка от спичек, 2 монеты по 50 копеек и 1 монету в 1 рубль (можно взять и другие, лишь бы 2 были одинаковы, а 1 – либо больше, либо меньше). Один человек играет роль ведущего, другой – участника. Далее правила ясны: ведущий наугад располагает монеты под коробками, участник не знает, где какая монета. Игрок выбирает любой из них. Ведущий убирает тот коробок, под которым меньшая по достоинству монета, и который не был выбран игроком. Далее участник меняет свой выбор. Если он выиграл, на листок записать букву В, если проиграл – букву П. Желательно проводить этот опыт большое число раз (вспомните закон больших чисел: чем больше количество проводимых экспериментов, тем ближе практическая вероятность будет к теоретической). Лично я со своим папой однажды провёл его 50 раз. Получилось так, что выиграл 31 раз, а проиграл – 19. Не стоит забывать, что монеты желательно располагать в случайном порядке под коробками после проведения очередного опыта.

Парадокс о днях рождения

В классе учатся 23 человека. Какова вероятность того, что хотя бы 2 ученика этого класса родились в один и тот же день?

В очередной раз интуиция подсказывает, что вероятность крайне мала. Но на самом деле это не так. Давайте разберёмся.

Примем, что число дней в году равно 365. Рассмотрим общую ситуацию для N человек, N не больше 365.

Возьмём первого человека, он мог родиться в любой из 365 дней, равно как и второй, третий и т.д. до N . Следовательно, число всех возможных вариантов дней рождений равно 365^ N . Из этих случаев найдём такие, в которых нет совпадающих дат рождения. В таких случаях первый человек мог родиться в любой из 365 дней, второй – в любой из 364, третий – в любой из 363 и т.д. до N человека, отмечающего день рождения в любой из 365 – N + 1 дней. Получается, что число случаев с несовпадающими датами рождения равно 365 * 364 * 363 * … * (365 – N + 1) = 365! / (365 – N )!

Напомню, что для нахождения вероятности нужно число благоприятных исходов разделить на число всех возможных исходов. Поэтому, вероятность того, что все ученики будут отмечать дни рождения в разные дни, равна

. Но нас интересует вероятность рождения как минимум 2 учеников в одинаковые дни. Так как найденная нами вероятность противоположна той, которую мы собираемся найти, то нам нужно из 1 вычесть это выражение, подставить вместо N число 23 и произвести расчёты.

При N = 23 вероятность равна 0,507, т.е. 50,7 %. Именно при этом значении вероятность больше 1/2. При N = 30 она становится больше 70 %, а при N = 45 она примерно равна 94 %. Не так уж всё и очевидно на первый взгляд!

Теория вероятностей – довольно интересный, хотя в некоторых случаях и непростой для понимания, раздел математики. Он связан со многими важными для общества отраслями: медициной, страхованием, статистикой и др. Для понимания теории вероятностей нужно владеть азами некоторых других разделов математики, таких как комбинаторика, теория множеств.

Читайте также: