Собственные векторы матрицы реферат

Обновлено: 05.07.2024

Перед тем как определить понятие собственные вектора, покажем его на наглядном примере. На рисунке 1, красным цветом обозначен собственный вектор. Он, в отличие от синего, при деформации не изменил направление и длину, поэтому является собственным вектором, соответствующим собственному значению λ = 1. Любой вектор, параллельный красному вектору, также будет собственным, соответствующим тому же собственному значению. Множество всех таких векторов (вместе с нулевым) образует собственное подпространство.

Определение. Ненулевой вектор x называется собственным вектором линейного оператора , если найдется такое число λ, называемое собственным значением линейного оператора, что

(x) = λ·x (1)

Равенство (1) означает, что вектор x, подвергнутый действию линейного оператора, умножается на число λ. Появляется коллинеарный вектор. Среди векторов линейного векторного пространства могут существовать такие, воздействие оператора на которые переводит эти векторы в коллинеарные самим себе. Если на таких векторах построить базис, преобразования линейной алгебры значительно упростятся.

Не всякий линейный оператор обладает собственными векторами. Например, в геометрической плоскости R 2 оператор поворота на угол, не кратный π, не имеет ни одного собственного вектора, поскольку ни один ненулевой вектор после поворота не останется коллинеарным самому себе.

Решим задачу нахождения собственных векторов оператора. Запишем равенство (1) в матричной форме:

Преобразуем матричное уравнение:

Матричное уравнение всегда имеет нулевое решение:

X=0=

Для существования ненулевых решений ранг матрицы коэффициентов должен быть меньше числа переменных r -1 PT – λE|=|T -1 PT- λ T -1 ET|=|T -1 P- λ ET|=|T -1 ||P- λ ET||T|=|P- λ ET|

Следовательно, при переходе к новому базису собственные числа сохраняются.

Пример. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей P= в пространстве R 2 .

Решение. Составим характеристическое уравнение:

|P – λ·E|= = λ 2 -5 λ+4=0

Из квадратного уравнения найдем собственные значения линейного оператора λ₁=1, λ₂=4. Чтобы найти собственные векторы, решим матричные уравнения:

В развернутом виде

Соответствующие однородные системы:

Общие решения систем:

и , где с₁, с₂ є R

Таким образом, множество собственных векторов, отвечающих собственным значениям λ₁=1, λ₂=4, имеет вид ; , где с₁, с₂ є R. Векторы a₁=(1, 1), a₂=(-2, 1), например, являются линейно независимыми. Они могут быть приняты в качестве нового базиса в пространстве R 2 .

Пусть e₁, e₂, …, e_n – собственные векторы линейного оператора в пространстве R n , которые примем в качестве базиса. Тогда разложение векторов (e₁), (e₂), …, (e_n) по базису e₁, e₂, …, e_n примет вид

Отсюда следует, что a_ij= λ_i, если i=j и a_ij=0, если i≠j. Поэтому в базисе, составленном из собственных векторов, матрица оператора будет иметь диагональный вид:

Симметричный оператор

Определение. Линейный оператор в евклидовом пространстве R n называется симметричным, если для любых векторов x и y из пространства R n выполняется равенство

( (x), y)= (x, (y))

Для того чтобы линейный оператор был симметричен, необходимо и достаточно, чтобы его матрица в ортонормированном базисе была симметрична.

Рассмотрим для простоты евклидово пространство R 2 . Пусть в ортобазисе e₁, e₂ заданы векторы x=(x₁, x₂), y=(y₁, y₂). Линейные операторы ₁ и ₂ определены своими матрицами:

и .

Вычислим векторы ₁(x) и ₂(y):

Найдем скалярные произведения ( (x), y) и (x, (y)):

( (x), y)=(a₁₁x₁+a₁₂x₂) y₁+(a₂₁x₁+a₂₂x₂) y₂=a₁₁y₁x₁+a₁₂y₁x₂+a₂₁y₂x₁+a₂₂y₂x₂,

(x, (y))= (b₁₁y₁+b₁₂y₂) x₁+(b₂₁y₁+b₂₂y₂) x₂=b₁₁x₁y₁+b₁₂x₁y₂+b₂₁x₂y₁+b₂₂x₂y₂.

Найдем разность скалярных произведений:

( (x), y) – (x, (y)) = (a₁₁-b₁₁) x₁y₁+(a₂₁-b₁₂) x₁y₂+(a₁₂-b₂₁) x₂y₁+(a₂₂-b₂₂) x₂y₂.

Если для любых векторов x и y из пространства R 2 равенство

( (x), y) – (x, (y))=0 (3)

Выполнено (необходимость), то верна система

и обратно: если условия (4) соблюдены для любых векторов x и y, то равенство (3) выполнено (достаточность). Система равенств (4) означает, что ₁= ₂= .

Ортогональность собственных векторов

Собственные векторы симметричного линейного оператора, соответствующие различным собственным числам, взаимо ортогональны.

Пусть x и y – собственные векторы оператора , соответствующие собственным числам λ₁ и λ₂, причем λ₁ ≠ λ₂. По определению симметричного оператора:

( (x), y)= (x, (y))

Подставив сюда правые части равенства ( (x))= λ₁x, ( (y))= λ₁y, получим

Поскольку λ₁ ≠ λ₂, получаем (x, y)=0, что и означает взаимную ортогональность векторов x и y.

Отметим другие важные свойства симметричного оператора.

Положительные матрицы

Квадратная вещественная матрица A = (a_ij) называется положительной, если все её элементы положительны: a_ij > 0.

Теорема Перрона (частный случай теоремы Перрона-Фробениуса): Положительная квадратная матрица A имеет положительное собственное значение r, которое имеет алгебраическую кратность 1 и строго превосходит абсолютную величину любого другого собственного значения этой матрицы. Собственному значению r соответствует собственный вектор e_r, все координаты которого строго положительны. Вектор e_r – единственный собственный вектор A (с точностью до умножения на число), имеющий неотрицательные координаты.

Список литературы

1. Арутюнов Ю.C. и др. Высшая.математика: Методические указания и контрольные задания (с программой) для студентов-заочников инженерно-технических специальностей вузов. 3-е изд. М.: Высш. шк., 2005. 144 с.

2. Высшая математика: Программа, методические указания и контрольные задания для студентов-заочников иижеиерио-техиических специальностей сельскохозяйственных вузов. 4-е изд., перераб. М.: Высш.шк., 2005. 110 с.

3. Мироненко Е.С. Высшая математика: методические указания и контрольные задания для студентов-заочников инженерных специальностей вузов. М.: Высш. шк., 2008. 110 с.

4. Зимина О.В. и др. Высшая математика. 2-е изд., испр. М.: Физматлит, 2009. 368 с. (Решебиик).

* Данная работа не является научным трудом, не является выпускной квалификационной работой и представляет собой результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебных работ.

Министерство Образования Российской Федерации

Марийский Государственный Технический Университет

Кафедра Высшей математики

Расчетно-графическая работа

По дисциплине “Вычислительная математика”

"Нахождение собственных значений и собственных векторов матриц"

Выполнил: студент гр. МИЭ 31

Проверил: доцент каф. ВМ

Пайзерова Ф. А.

Йошкар Ола, 2001г.

1 Собственные значения и собственные векторы. 3

1.1 Математическое обоснование метода. 3

1.2 Метод итераций. 5

1.3 Метод Леверрье-Фаддеева. 6

1.3.1 Основные пункты алгоритма метода Леверрье-Фаддеева. 7

1.4 Численное решение задачи нахождения собственных значений матриц методом Леверрье-Фаддеева. 7

2 Приложение 10

2.1 Структурная схема алгоритма метода Леверрье-Фаддеева. 10

2.2 Листинг программы на алгоритмическом языке "Pascal". 13

Собственные значения и собственные векторы.

Задачи нахождения собственных значений и соответствующих им собственных векторов возникают в самых различных научных задачах. Например, при анализе динамических систем собственные значения определяют частоты колебаний, а собственные векторы характеризуют их форму. В электро-радиотехнических устройствах собственные значения матриц определяют характеристические постоянные времени и режимы работы этих устройств.

Математическое обоснование метода.

Рассмотрим квадратную матрицу n-ого порядка:

Собственные значения _i квадратной матрицы A есть действительные или комплексные числа, удовлетворяющие условию:

E – единичная матрица,

- собственный вектор матрицы A, соответствующий некоторому собственному значению .

Матрица матрицы соответствует свой собственный вектор . Переписав его в векторном виде и выполнив умножение, получим систему линейных однородных уравнений:

, получаем n собственных векторов.

При определении собственных значений и принадлежащих им собственных векторов решается одна и двух задач:

Определение все собственных значений и принадлежащих им собственных векторов матриц;

Определение одного или нескольких собственных значений и принадлежащих им собственных векторов.

Первая задача состоит в развертывании характеристического определителя в многочлен n-й степени (т.е. в определении коэффициентов и, наконец, в определении координат собственного вектора , при , где P – неособая матрица, имеют одинаковые собственные значения, их собственные вектора связаны соотношением:

решается ранее изложенными методами решения нелинейных уравнений. Однако задача осложняется тем, что среди собственных значений часто встречаются кратные. Кроме того, для произвольной матрицы непросто вычислить сами коэффициенты характеристического многочлена.

Ряд задач требует нахождения только наибольшего или наименьшего собственных значений. В общем случае ставится задача о нахождении всех собственных значений и собственных векторов, т.е. полная проблема собственных значений.

Предположим, что поставлена задача определения наибольшего собственного числа матрицы и наибольшего собственного вектора при нем. Наиболее подходящим методом для нахождения наибольшего собственного числа и собственного вектора является метод итераций.

Метод итераций.

Для решения частичной проблемы собственных значений (отыскания наибольших и наименьших собственных чисел), применяется метод простой итерации решения систем уравнений

- его корни, являющиеся собственными значениями матрицы . Предположим, что

Таким образом, взяв достаточно большой номер итерации m, можно с любой степенью точности вычислить наибольший по модулю корень , в частности можно взять среднее арифметическое соответствующих отношений для разных координат.

Метод Леверрье-Фаддеева.

Этот метод относится к группе тех, которые решаются методами развертывания определителей. Этот метод был предложен Леверрье и упрощен советским математиком Фаддеевым. Метод Леверрье основан на формулах Ньютона для сумм степеней корней алгебраического уравнения и заключается в следующем. Пусть

характеристический многочлен матрицы , и справедливы формулы Ньютона:

Видоизмененный метод Леверрье, предложенный Фаддеевым, заключается в вычислении последовательности матриц по следующей схеме:

Решение характеристического уравнения (определение ). В качестве метода решения характеристического уравнения выбран уединения корней уравнения и метод хорд.

Задание начальных единичных векторов , соответствующего .

При решении данной задачи использовались и некоторые вспомогательные процедуры, - например процедура возведения в степень.

Численное решение задачи нахождения собственных значений матриц методом Леверрье-Фаддеева.

Используя метод Леверрье-Фаддеева, найти собственные числа матрицы, а так же наибольший собственный вектор.

Содержание:
Введение. …………………………………………………………….…2
1. Собственные векторы и собственные значения квадратной матрицы. 3
2. Встроенные функции MathCad для вычисления собственных векторов и собственных значений матриц. 6
3. О некоторыхчастных проблемах при решении задач на собственные значения. 11
4. Заключение …………………………………………………………..13
5. Литература …………………………. ………………………………14

Введение.
При решении теоритических и практических задач часто
возникает надобность определять собственные значения даннойматрицы А, т.е. вычислить корни ее характеристического
(векового) уравнения
Det(A – λE)=0, (1)
также найти соответствующие собственные векторы матрицы А.
Вектор x=(x1,x2…xn) ϵ En называется собственным вектором
матрицы А=(aij)nn, если существует такое число λ ϵ R, что имеет
место равенство: Ax = λx (2)
Число λ называется собственным значением матрицы А.
Вторая задача является более простой, так как если корни
характеристического уравнения известны, то нахождение
собственных векторов сводится к отысканию ненулевых
решений некоторых однородных линейных систем. Поэтому мы в
первую очередь будем заниматься первой задачей –
вычислением корней характеристического уравнения(1).
Здесь в основном применяется прием развертывания векового
определителя в полином n – й степени
D(λ)= det(A - λE)
с последующим решением уравнения D(λ)=0 одним из
известных приближенных способов.

1. Собственные векторы и собственные значения квадратной матрицы
Большое число научно технических задач, а также некоторых исследований вобласти вычислительной математики требуют нахождения собственных значений и собственных векторов матриц.
Вектор x=(x1,x2…xn) ϵ En называется собственным вектором матрицы А=(aij)nn, если существует такое число λ ϵ R, что имеет место равенство:
(1)
Число λ называется собственным значением матрицы А. Поскольку при умножениисобственных векторов на скаляр он остается собственным вектором той же матрицы, его можно нормировать. В частности, каждую координату собственного вектора можно разделить на максимальную из них или на длину вектора. В последнем случае получится единичный собственный вектор.
Характеристической матрицей С данной матрицы А называется матрица вида:
(2)
где Е –единичная матрица.
Заметим, что равенство (1) можно записать в следующем виде:
(3)
Если перейти к координатной форме записи вектора x, то получим
(4)
Системы (3) и (4) являются однородной системой n линейных уравнений c n неизвестными. Она имеет ненулевое решение лишь тогда, когда её определительравен нулю. Det(C) = 0 (5)
Определитель матрицы С является многочленом n-й степени относительно λ
(6)
и называется характеристическим многочленом. Корни этого многочлена являются собственными значениями матрицы А.
Для нахождения собственных векторов матрицы требуется решить систему линейных алгебраическихуравнений, решение которой не единственно. Из линейной алгебры известно, что в этом случае структура общего решения системы имеет следующий вид: одно или несколько неизвестных, называемых свободными, могут принимать любые значения, а общие неизвестные выражаются через свободные. Число свободных неизвестных равно числу уравнений системы являющихся следствием.

Понятие собственных векторов и собственных значений, их свойства и характеристики, порядок нахождения собственных векторов оператора. Критерии определения независимости и ортогональности собственных векторов. Факторы и теоремы положительных матриц.

Рубрика	Математика
Вид	реферат
Язык	русский
Дата добавления	22.04.2010
Размер файла	350,1 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

"Собственные вектора и собственные значения линейного оператора"

Понятие собственные векторы и собственные значения

Перед тем как определить понятие собственные вектора, покажем его на наглядном примере. На рисунке 1, красным цветом обозначен собственный вектор. Он, в отличие от синего, при деформации не изменил направление и длину, поэтому является собственным вектором, соответствующим собственному значению ? = 1. Любой вектор, параллельный красному вектору, также будет собственным, соответствующим тому же собственному значению. Множество всех таких векторов (вместе с нулевым) образует собственное подпространство.

Определение. Ненулевой вектор x называется собственным вектором линейного оператора , если найдется такое число ?, называемое собственным значением линейного оператора, что

(x) = ?·x (1)

Равенство (1) означает, что вектор x, подвергнутый действию линейного оператора, умножается на число ?. Появляется коллинеарный вектор. Среди векторов линейного векторного пространства могут существовать такие, воздействие оператора на которые переводит эти векторы в коллинеарные самим себе. Если на таких векторах построить базис, преобразования линейной алгебры значительно упростятся.

Не всякий линейный оператор обладает собственными векторами. Например, в геометрической плоскости R 2 оператор поворота на угол, не кратный ?, не имеет ни одного собственного вектора, поскольку ни один ненулевой вектор после поворота не останется коллинеарным самому себе.

Решим задачу нахождения собственных векторов оператора. Запишем равенство (1) в матричной форме:

P·X = ?·X

Преобразуем матричное уравнение:

P·X - ?·X = 0 или (P - ?·E) X =0

Матричное уравнение всегда имеет нулевое решение:

Для существования ненулевых решений ранг матрицы коэффициентов должен быть меньше числа переменных r -1 PT - ?E|=|T -1 PT- ? T -1 ET|=|T -1 P- ? ET|=|T -1 ||P- ? ET||T|=|P- ? ET|

Следовательно, при переходе к новому базису собственные числа сохраняются.

Решение. Составим характеристическое уравнение:

|P - ?·E|== ? 2 -5 ?+4=0

Из квадратного уравнения найдем собственные значения линейного оператора ?₁=1, ?₂=4. Чтобы найти собственные векторы, решим матричные уравнения:

(P - ?₁ E) X=0 и (P - ?₂ E) X=0

В развернутом виде

Соответствующие однородные системы:

Общие решения систем:

Таким образом, множество собственных векторов, отвечающих собственным значениям ?₁=1, ?₂=4, имеет вид ; , где с₁, с₂ є R. Векторы a₁=(1, 1), a₂=(-2, 1), например, являются линейно независимыми. Они могут быть приняты в качестве нового базиса в пространстве R 2 .

Пусть e₁, e₂, …, e_n - собственные векторы линейного оператора в пространстве R n , которые примем в качестве базиса. Тогда разложение векторов (e₁), (e₂), …, (e_n) по базису e₁, e₂, …, e_n примет вид

Отсюда следует, что a_ij= ?_i, если i=j и a_ij=0, если i?j. Поэтому в базисе, составленном из собственных векторов, матрица оператора будет иметь диагональный вид:

Симметричный оператор

Найдем скалярные произведения ((x), y) и (x, (y)):

( (x), y)=(a₁₁x₁+a₁₂x₂) y₁+(a₂₁x₁+a₂₂x₂) y₂=a₁₁y₁x₁+a₁₂y₁x₂+a₂₁y₂x₁+a₂₂y₂x₂,

(x, (y))= (b₁₁y₁+b₁₂y₂) x₁+(b₂₁y₁+b₂₂y₂) x₂=b₁₁x₁y₁+b₁₂x₁y₂+b₂₁x₂y₁+b₂₂x₂y₂.

Найдем разность скалярных произведений:

( (x), y) - (x, (y)) = (a₁₁-b₁₁) x₁y₁+(a₂₁-b₁₂) x₁y₂+(a₁₂-b₂₁) x₂y₁+(a₂₂-b₂₂) x₂y₂.

Если для любых векторов x и y из пространства R 2 равенство

( (x), y) - (x, (y))=0 (3)

Выполнено (необходимость), то верна система

Ортогональность собственных векторов

Пусть x и y - собственные векторы оператора , соответствующие собственным числам ?₁ и ?₂, причем ?₁ ? ?₂. По определению симметричного оператора:

Подставив сюда правые части равенства ((x))= ?₁x, ((y))= ?₁y, получим

(?₁x, y)=(x, ?₂y). Вынесем числа ?₁ и ?₂, за знак скалярного произведения, перенесем слагаемые влево и разложим на множители: (?₁ - ?₂) (x, y)=0

Поскольку ?₁ ? ?₂, получаем (x, y)=0, что и означает взаимную ортогональность векторов x и y.

Отметим другие важные свойства симметричного оператора.

1) Характеристическое уравнение симметричного оператора имеет только действительные корни.

2) Если в евклидовом пространстве R n задан симметричный оператор , то в R n существует ортонормированный базис e₁, e₂, …, e_n, составленный из собственных векторов .

3) Если все собственные числа ?₁, ?₂, …, ?_n симметричного оператора положительны, то ((x), x) > 0 для любого ненулевого вектора x.

Положительные матрицы

Квадратная вещественная матрица A = (a_ij) называется положительной, если все её элементы положительны: a_ij > 0.

Теорема Перрона (частный случай теоремы Перрона-Фробениуса): Положительная квадратная матрица A имеет положительное собственное значение r, которое имеет алгебраическую кратность 1 и строго превосходит абсолютную величину любого другого собственного значения этой матрицы. Собственному значению r соответствует собственный вектор e_r, все координаты которого строго положительны. Вектор e_r - единственный собственный вектор A (с точностью до умножения на число), имеющий неотрицательные координаты.

Список литературы

4. Зимина О.В. и др. Высшая математика. 2-е изд., испр. М.: Физматлит, 2009. 368 с. (Решебиик).

Подобные документы

Нахождение собственных значений и собственных векторов матриц. Нетривиальное решение однородной системы линейных алгебраических уравнений. Метод нахождения характеристического многочлена, предложенный А.М. Данилевским. Получение формы Жордано: form.exe.

курсовая работа [53,4 K], добавлен 29.08.2010

Задачи нахождения собственных значений и соответствующих им собственных векторов. Математическое обоснование метода итераций. Алгоритм метода Леверрье-Фаддеева, численное решение оценки собственных значений матриц. Листинг программы на языке "Pascal".

курсовая работа [221,8 K], добавлен 05.11.2014

Выбор эффективного метода определения собственных значений и собственных векторов для конкретной инженерной задачи. Степенной метод вычисления максимального по модулю собственного значения матрицы A и его модификациями. Умножение матрицы на вектор.

методичка [122,0 K], добавлен 01.07.2009

Основные сведения, необходимые при решении задач на собственные значения. Итерационные методы. Определение собственных значений методами преобразований подобия. Определение собственных значений симметричной трехдиагональной матрицы.

реферат [42,9 K], добавлен 19.05.2006

Определение собственного вектора матрицы как результата применения линейного преобразования, задаваемого матрицей (умножения вектора на собственное число). Перечень основных действий и описание структурной схемы алгоритма метода Леверрье-Фаддеева.

презентация [55,2 K], добавлен 06.12.2011

Нахождение собственных значений и векторов линейного преобразования, заданных в некотором базисе матрицей. Составление характеристического уравнения и нахождение семейства векторов и их значения при решении, корни характеристического уравнения.

контрольная работа [44,9 K], добавлен 29.05.2012

Форма записи и методы решения системы алгебраических уравнений с n неизвестными. Умножение и нормы векторов и матриц. Свойства определителей матрицы. Собственные значения и собственные векторы. Примеры использования числовых характеристик матриц.

Читайте также: