Случайные величины и их характеристики реферат
Обновлено: 02.07.2024
Пример готового реферата по предмету: Теория вероятности
Содержание
Математическое ожидание дискретной случайной величины …..…………… 6
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение …………………………… 14
Ковариация и коэффициент корреляции ……………………………………… 21
Выдержка из текста
При экспериментальном изучении какого-либо явления с целью установления его закономерностей приходится наблюдать его многократно в одинаковых условиях. При этом под одинаковыми условиями мы понимаем одинаковые значения всех количественных характеристик контролируемых факторов. Все неконтролируемые факторы будут при этом различными. Вследствие этого действие контролируемых факторов будет практически одинаковым при разных наблюдениях одного и того же явления. В этом как раз и проявляются законы данного явления. Случайные же отклонения от закономерности, вызванные действием неконтролируемых факторов, будут различными при разных наблюдениях, причем предвидеть заранее, какими они будут при данном конкретном наблюдении, принципиально невозможно. Роль случайностей в разных явлениях различна.
В некоторых явлениях случайные отклонения от закономерностей настолько малы, что их можно не учитывать. Однако есть и такие явления, в которых невозможно подметить никаких закономерностей, и случайность играет основную роль. Примером такого явления может служить движение малой частицы твердого вещества, взвешенной в жидкости, так называемое броуновское движение. Под действием толчков огромного количества движущихся молекул жидкости частица движется совершенно беспорядочно, без всякой видимой закономерности. В подобных явлениях сама случайность является закономерностью. При многократном наблюдении случайных явлений в них самих можно заметить определенные закономерности. Изучив эти закономерности, человек получает возможность в известной степени управлять случайными явлениями, ограничивать их влияние, предсказывать результаты их действия и даже целенаправленно использовать их в своей практической деятельности.
Не вдаваясь в философские дебри, назовем случайной величиной всякую характеристику, значение которой не известно заранее. В этой лекции мы рассмотрим понятие случайной величины применительно к финансовым рынкам, а также узнаем о способах ее описания, таких как плотность вероятности, функция распределения, квантильная и характеристическая функции.Целью данной работы является изучение видов и примеров случайных величин, исходя из поставленной цели, были определены следующие задачи:
Как известно, случайная величина Х описывается интегральной F(x) и дифференциальной f(x) функциями распределения. Зная одну из этих функций, можно предсказать поведение случайной величины во времени. Обе функции связаны между собой
Случайная величина — это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причем появление того или иного значения этой величины до её измерения нельзя точно предсказать.Частично задать случайную величину, описав этим все её вероятностные свойства как отдельной случайной величины, можно с помощью функции распределения, плотности вероятности и характеристической функции, определяя вероятности возможных её значений.Рассмотреть числовые характеристики случайных величин и их свойства при исследовании холестерина,
В повседневной жизни часто приходится сталкиваться с событиями, состоящими в появлении некоторой величины (число дождливых дней в августе; время, на которое задерживается поезд; количество свободных мест в зрительном зале и т.д.).
Величины, которые могут принимать в результате опыта какое-либо одно возможное значение, заслуживают особого внимания и являются предметом дальнейшего изучения.
В данной контрольной работе представлены случайные величины, наиболее часто встречающиеся в сфере экономики и управления, понятие и виды случайных величин, а также определены и изучены их важнейшие характеристики: функции распределения вероятностей, ряды распределения, математическое ожидание и дисперсия.
1) найти законы распределения случайных величин X и Y;
4. Вычислить выборочные числовые характеристики < , S2(X), S(X), Аs*(Х), Ex*(Х)>.6) Выдвинуть гипотезу о том, что выборка извлечена из нормальной гене-ральной совокупности, и проверить её с помощью критерия Колмогорова — Смирнова и с помощью критерия Пирсона, выбрав уровни значимости = 0,1 и 0,05.
Метод Монте-Карло оказал и продолжает оказывать существенное влияние на развитие методов вычислительной математики (например, развитие методов численного интегрирования) и при решении многих задач успешно сочетается с другими вычислительными методами и дополняет их. Его применение оправдано в первую очередь в тех задачах, которые допускают теоретико-вероятностное описание. Это объясняется как естественностью получения ответа с некоторой заданной вероятностью в задачах с вероятностным содержанием, так и существенным упрощением процедуры решения.
Физическая величина подчиняется нормальному распределению, когда она подвержена влиянию огромного числа случайных помех.Целью работы является изучение нормального закона распределения случайных величин.
2. значительно больше М(Х).
Это объясняется тем, что после возведения в квадрат возможное значение величины Х 2, соответствующее значению х=100 величины Х, стало равным 10 000, т.е. значительно увеличилось; вероятность же этого значения мала (0,01).
3) Лекция, как метод обучения, её характеристика
Инфляция — это процесс, о механизме которого нужно знать как можно больше, с которым необходимо бороться. Этим и характеризуется выбор темы курсовой работы, которая несомненно является одной из самых актуальных для нашего времени.
Список литературы
1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2001.
2. Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика.-М.: Физматлит, 2002.
3. Хохлов Ю.С. Теория вероятностей и математическая статистика: Ч./М-во общ. И проф. Образован. РФ; ТГУ. Тверь:[ТГУ], 1997.
6. Ермаков В.А. Теория вероятностей и математическая статистика:
7. Кибзун А.И., Горяинова Е.Р., Наумов А.В., Сиротин А.И. Теория вероятностей и математическая статистика. – М. Физматлит, 2002.
8. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятности – М.: Наука, 1986.
9. Розанов Ю.А. Лекции по теории вероятностей – М.: Наука, Гл. ред. Физю-мат. Лит., 1986.
10. Захаров В.К., Севастьянов Б.А., Чистяков В.П. Теория вероятностей – М.: Наука, 1983.
Случайные величины и их классификация, числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсия. Статистические гипотезы и способы их проверки: сравнение двух генеральных совокупностей, двух биномиальных распределений, критерий согласия Пирсона.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 12.01.2013 |
| Размер файла | 289,1 K |
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
1. Случайные величины
2. Классификация случайных величин
3.Закон распределения случайной величины
4.Функция распределения случайной величины и ее свойства
5. Плотность распределения вероятностей
6. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал
7. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
7.1 Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства
7.2 Дисперсия случайной величины и ее свойства
8. Статистические гипотезы
8.1 Способы проверки некоторых статистических гипотез
8.2 Сравнение двух средних генеральных совокупностей
8.3 Сравнение двух вероятностей биномиальных распределений
8.4 Критерий согласия Пирсона
9. Практическая часть
Введение
Одним из основных понятий в теории вероятностей является понятие случайной величины. Случайная величина является числовой характеристикой результата эксперимента, которая принимает свои значения в зависимости от элементарного события. Примером случайной величины могут быть: число очков, выпадающих при одном бросании игральной кости, число граждан, которые имеют высшее образование среди взятых наугад n человек, число бракованных изделий в партии из N штук, время безотказной работы прибора и т.д.
1.Случайные величины
случайный величина распределение математический
Одним из важнейших понятий теории вероятностей является понятие случайной величины.
Случайной величиной называется переменная величина, которая в зависимости от исхода испытания случайно принимает одно значение из множества возможных значений.
Случайная величина обычно обозначается прописной латинской буквой , ее конкретные значения - строчными буквами .
Случайной величиной называется функция , определенная на множестве элементарных событий , .
2.Классификация случайных величин
Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные. Величина называется дискретной, если она может принимать определенные, фиксированные значения.
Случайная величина называется непрерывной, если она может принимать значения, сколь угодно мало отличающиеся друг от друга.
Пусть дискретная случайная величина может принимать значений: . Для полной характеристики этой случайной величины должны быть заданы еще и вероятности появления указанных значений .
3.Закон распределения случайной величины
Соответствие между всеми возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями называется законом распределения
данной случайной величины.
Законом распределения случайной дискретной величины называется совокупность пар чисел (), где - возможные значения случайной величины, а - вероятности, с которыми она принимает эти значения, причем .
В простейших случаях закон распределения случайной величины удобно задавать таблицей:
Заметим, что таблицу значений дискретной случайной величины , если это целесообразно, формально всегда можно пополнить конечным набором любых чисел, считая их значениями с вероятностями, равными нулю.
Случайные величины и называются независимыми, если возможные значения и закон распределения каждой из них один и тот же при любом выборе допустимых значений другой и не зависит от того, какое возможное значение приняла другая величина. В противном случае эти величины называются зависимыми. Несколько случайных величин называются взаимно независимыми, если возможные значения и законы распределения любой из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные случайные величины.
4. Функция распределения случайной величины и ее свойства
Как для дискретной величины, так и для непрерывной вводится понятие функции распределения.
Пусть - случайная величина, определенная на множестве элементарных событий , , а - произвольное действительное число. В общем случае функция должна быть такова, чтобы для любых событие , состоящее в том, что случайная величина попадает в интервал , принадлежала полю событий и, таким образом, для любого такого события была определена вероятность .
Тогда вероятность того, что примет значение, меньшее, чем , равна значению функции распределения вероятностей данной случайной величины , соответствующее значению аргумента , т.е. функция распределения вероятностей данной случайной величины представляет собой вероятность события , где - задаваемые непрерывно изменяющиеся значения, т.е. .
Рассмотрим функцию распределения случайной дискретной величины , принимающей значения .
Если , то , так как в этом случае событие является невозможным.
Если , то событие наступит тогда и только тогда, когда наступит событие , поэтому .
Если , то событие равно сумме событий , и .
Аналогично, если , то .
Таким образом, функция распределения случайной дискретной величины равна , где , и суммирование производится по тем , для которых .
Если дискретные значения случайной величины расположены в порядке возрастания, то каждому значению этих величин ставится в соответствие сумма вероятностей всех предыдущих значений и вероятности .
В точках функция распределения имеет скачки, равные вероятности того, что случайная величина примет соответствующее значение.
Свойства функции распределения
Функция распределения принимает значения из промежутка : .
Вероятность того, что случайная величина примет значение из полуинтервала , равна разности : .
Функция распределения - неубывающая функция, т.е. при.
5. Плотность распределения вероятностей
Определение и свойства функции распределения сохраняются и для непрерывной случайной величины, для которой функцию распределения можно считать одним из видов задания закона распределения. Но для непрерывной случайной величины вероятность каждого отдельного ее значения равна 0. Это следует из свойства 4 функции распределения: р(Х = а) = F(a) -- F(a) = 0. Поэтому для такой случайной величины имеет смысл говорить только о вероятности ее попадания в некоторый интервал.
Вторым способом задания закона распределения непрерывной случайной величины является так называемая плотность распределения (плотность вероятности, дифферен-циальная функция).
Функция f(x), называемая плотностью распределения непрерывной случайной величины, определяется по формуле:
f (x) = F?(x), то есть является производной функции распределения.
График плотности распределения представляет собой кривую, расположенную выше оси Ох, причем эта ось является ее горизонтальной асимптотой при (последнее справедливо только для случайных величин, множеством возможных значений которых является все множество действительных чисел). Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции, равна единице.
Замечание. Если все возможные значения непрерывной случайной величины сосредоточе-ны на интервале [a, b], то все интегралы вычисляются в этих пределах, а вне интервала [a, b] f(x) ? 0.
6. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал
Вероятность попадания случайной величины X в интервал а D (Y), то критическая область правосторонняя:
Критическая точка находится по таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора. Если нулевая гипотеза принимается, в противном случае - отвергается.
2) При конкурирующей гипотезе H1: D (X) ? D (Y) критическая область двусторонняя: При этом достаточно найти Тогда, если нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу, если нулевую гипотезу отвергают.
8.2 Сравнение двух средних генеральных совокупностей
1) Генеральные совокупности Х и Y распределены нормально, причем известны их дисперсии. Из этих генеральных совокупностей извлечены выборки объемов соответственно т и п, для которых найдены выборочные средние и . При заданном уровне значимости б проверяется нулевая гипотеза о равенстве математических ожиданий генеральных совокупностей: Но: М (Х) = М (Y).
Статистическим критерием для проверки этой гипотезы является нормированная нормально распределенная случайная величина
Наблюдаемое значение критерия . Вид критической области зависит от типа конкурирующей гипотезы:
а) Н1: М (Х) ? М (Y) - критическая область двусторонняя, zкр определяется как аргумент функции Лапласа, при котором и критическая область задается неравенством |Z| >zкр.
б) Н1: М (Х) >М (Y) - критическая область правосторонняя, zкр определяется как аргумент функции Лапласа, при котором и критическая область определяется неравенством Z>zкр.
в) Н1: М (Х) tдвуст.кр., где tдвуст.кр.(б, k) находится из таблицы критических точек распределения Стьюдента.
б) Н1: М (Х) >М (Y) - критическая область правосторонняя, определяемая условием T>tправ.кр.. Критическая точка вновь находится по таблице критических точек распределения Стьюдента.
в) Н1: М (Х) uкр.
б) при конкурирующей гипотезе Н1: р1>р2uкр для правосторонней критической области находится из условия , и вид критической области: U>uкр.
в) при конкурирующей гипотезеНо: р1 2 с числом степеней свободы k = s - 1 - r, где s - число частичных интервалов выборки, r - число параметров предполагаемого распределения. Критическая область выбирается правосторонней, и граница ее при заданном уровне значимости б находится по таблице критических точек распределения ч 2 .
Теоретические частоты вычисляются для заданного закона распределения как количества элементов выборки, которые должны были попасть в каждый интервал, если бы случайная величина имела выбранный закон распределения, параметры которого совпадают с их точечными оценками по выборке, а именно:
а) для проверки гипотезы о нормальном законе распределения = п• Рi, где п - объем выборки, xi и xi + 1 - левая и правая границы i-го интервала, - выборочное среднее, s - исправленное среднее квадратическое отклонение. Поскольку нормальное распределение характеризуется двумя параметрами, число степеней свободы k = n - 3;
б) для проверки гипотезы о показательном распределении генеральной совокупности в качестве оценки параметра л принимается . Тогда теоретические частоты = п• Рi, . Показательное распределение определяется одним параметром, поэтому число степеней свободы k = n- 2;
в) для проверки гипотезы о равномерном распределении генеральной совокупности концы интервала, в котором наблюдались возможные
значения Х, оцениваются по формулам:
Тогда плотность вероятности
Число степеней свободы k = n- 3, так как равномерное распределение оценивается двумя параметрами.
9. Практическая часть
9.1 Часть I
Построить ряд распределения числа попаданий мячом в корзину при четырех бросках, если вероятность попадания равна 0,7.
Случайная величина - второе основное понятие теории вероятностей.
Случайная величина - величина, которая может принимать от случая к случаю то или иное значение.
Случайные величины - делятся на величины, распределенные дискретно и непрерывно.
Дискретная случайная величина может принимать лишь определенные значения. Ее возможные значения отделены друг от друга конечными промежутками, т.е. отрезками числовой оси.
Прикрепленные файлы: 1 файл
случайные величины.doc
Содержание
Случайные величины
Случайная величина - второе основное понятие теории вероятностей.
Случайная величина - величина, которая может принимать от случая к случаю то или иное значение.
Случайные величины - делятся на величины, распределенные дискретно и непрерывно.
Дискретная случайная величина может принимать лишь определенные значения. Ее возможные значения отделены друг от друга конечными промежутками, т.е. отрезками числовой оси.
Переменная величина х, принимающая в результате испытания одно из конечной или бесконечной последовательности значений х1, х2 …хк …, называется дискретной случайной величиной, если каждому значению хк соответствует определенная вероятность рк, что переменная величина примет значение хк.
Случайная непрерывная величина имеет ту особенность, что ее значения не могут быть заранее перечислены и составляют все значения, которые заполняют некоторый промежуток.
Случайные дискретные величины принимают каждое свое значение с определенной вероятностью, в то время как случайные непрерывные величины характеризуются точностью вероятности.
Для полной характеристики случайной величины - необходимо прежде всего знать те значения, которые она - может принимать и помимо этого нужно знать, с какой вероятностью случайная величина принимает то или иное значение. Перечисление возможных значений случайной величины и их вероятностей называется распределением случайной величины. Так, если для случайной величины X известны все значения X ,X2,…Xm которые она может принимать, и все вероятности P ,P2,…Pm, с которыми эти значения принимаются, то говорят, что задан закон распределения дискретной случайной величины X или просто распределение величины X. Соответствие между возможными значениями и их вероятностями можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.
Рассмотрим m случайных событий: А1 - случайная величина X приняла значение X1 А2 - случайная величина X приняла значение X2,
Аm - случайная величина X приняла значение Xт.
События А1, А2. Аm несовместны, так как случайная величина при однократном осуществлении опыта может принять только одно из значений X1,X2,…,Xm. Очевидно также, что сумма событий А1, А2, . Ат является достоверным событием
А1 +A2 +…+ Am = U, так как одно из значений xlt x2 . xm случайная величина обязательно принимает. По теореме сложения для несовместных событий:
P (A1+А2+. +Аm) = P(U) = 1. Р(A1) + Р(A2) +. + Р(Am) = 1, следовательно P1+P2+…+Pm = 1
Математическое ожидание. Дисперсия.
Многие свойства случайных дискретных величин описываются математическим ожиданием и дисперсией.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на вероятности этих значений:
При неограниченном возрастании числа испытаний среднее арифметическое значений случайной величины стремится к ее математическому ожиданию.
Математическое ожидание - одна из важнейших числовых характеристик случайной величины. Обозначим математическое ожидание через М (Х). Для случайной дискретной величины X, заданной значениями X1, X2, …, Xm и соответствующими этим значениям вероятностями р1, р2, . рm имеет М (Х) = X1P1 + X2P2 + … + XmPm . Часто математическое ожидание называют средним значением случайной величины, так как оно указывает некоторое "среднее число", около которого группируются все значения случайной величины.
Вообще, математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности этого события.
Вероятностный смысл математического ожидания характеризуется приближенным равенством = М (Х), т.е. математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.
Если произведено m испытаний, в которых случайная величина X приняла m1 раз значение х1 m2 раз значение х2, . mk раз значение хk причем m1 +m2 +. +mk = п. Тогда сумма всех значений, принятых X равна x1m1 + х2 m2+. + xk mk .
X = или = x1 + x2 + … + xk
-есть относительная частота W1 значения X1 ,
- есть относительная частота W2 значения X2 ,
- есть относительная частота Wk значения Xk.
Следовательно, = x1Wt + хг W2+. + xk Wk.
Допустим, что число испытаний достаточно велико. Тогда относительная частота приближенно равна вероятности появления события W1~P1,W2~P2,…,Wk~Pk.
Заменив относительные частоты соответствующими вероятностями, получим
Х= х1 р,+ х2р2+. + xk pk где x1 p1+ х2 р2+. +xkpk = М(Х).
Другой важной числовой характеристикой случайной величины X является ее дисперсия. Обозначим дисперсию через D (X).
Дисперсия характеризует степень рассеянности (квадрат отклонения) значений случайной величины относительно математического ожидания М (Х) случайной величины..
Отклонение - это разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием.
D(X) = М(Х-М(Х))2, здесь М - обозначение математического ожидания. Пусть случайная величина X принимает значения х1,x2. xm соответственно с вероятностями p1,р2. pm: Тогда квадрат отклонения случайной величины X от ее математического ожидания (Х-М(Х))2 с вероятностью р есть случайная величина, которая принимает значения (х1 -М(Х))2,
(х2-М(Х))2. (х2-М(Х))2 соответственно с вероятностями p1,p2. pm. Поэтому математическое ожидание так распределенной случайной дискретной величины
D(K)= (х1-М(Х))2'р1+ (х2-М(Х))2'р2+. + (хm -М(Х))2-рm .
Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей теоремой.
Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом ее математического ожидания D (X) = M (Х2) - (М (Х))2 .
Функциональная зависимость вероятности рк от хк называется законом распределения вероятностей дискретной случайной величины.
И функция, и случайная дискретная величина могут быть заданы тремя способами:
Графически (график, гистограмма);
Аналитически (уравнение). p = f(x).
Графическое представление закона распределения.
Итак, на оси абсцисс представлены ЗНАЧЕНИЯ случайной дискретной величины, расположенные в порядке возрастания; на оси ординат – ВЕРОЯТНОСТЬ, с которой в нашем опыте могут встретиться эти значения. Из данного графика видно, что, к примеру, значение х2 – самое вероятное, а х4 – наименее вероятное.
Если опыты уже проведены, а значения получены, то уместнее говорить не о ВЕРОЯТНОСТИ появления значений, а о ЧАСТОТЕ (частости) их встречаемости в данном эксперименте. В этом случае на графике следовало бы заменить букву Р на букву f, которой обычно частота и обозначается.
Нормальное распределение, его характеристика и графическое представление. Выбросы. Распределения, отличные от нормального.
Сходность данного эмпирического распределения с нормальным – важное обстоятельство, использующееся в различных статистических методах, относящихся к категории т.н. ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ, о чем будет сказано ниже.
Обычно за выбросы принимаются те значения, которые отстоят от среднего более чем на три сигмы (среднеквадратических отклонения).
Ной J (к) =? — называется плотностью распределения. Она характеризует частость повторений данного значения случайной величины. В задачах надежности ее широко используют в качестве плотности вероятности. В вероятностных задачах математическое ожидание определяют в зависимости от плотности распределения /(х) (для непрерывных величин) или вероятности р, появления значений х, (для дискретных величин. Читать ещё >
Случайные величины и их характеристики ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )
Внезапные отказы определяются случайными неблагоприятными сочетаниями нескольких факторов. Случайность связана с тем, что причины события остаются для нас скрытыми. Рассеяние ресурсов по критерию усталости (оцениваемое отношением наибольшего ресурса к наименьшему) для подшипников достигает 40, для зубчатых передач 10… 15. Рассеяние ресурсов по износу также весьма значительно. Существенные рассеяние имеют действующие нагрузки, механические характеристики материалов и деталей, зазоры и натяги. Поэтому в расчетах надежности многие параметры должны рассматриваться случайными величинами, т. е. такими, которые могут принять то или иное значение, неизвестное заранее. Они могут быть непрерывного или прерывного (дискретного) типа.
Для каждого числа х в диапазоне изменения случайной величины Xсуществует определенная вероятность р (Х
Для оценки рассеяния с помощью безразмерной (относительной) величины используют коэффициент вариации, равный отношению среднего квадратического отклонения к математическому ожиданию:
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение являются гораздо более репрезентативными характеристиками рассеяния, например среднее арифметическое абсолютных значений отклонений.
Квантиль — это среднее значение случайной величины, соответствующее заданной вероятности. Квантиль, соответствующая вероятности 0,5, называется медианой. Медиана характеризует расположение центра группирования случайной величины. Площадь под графиком функции плотности распределения делится медианой пополам.
Для характеристики рассеяния случайной величины используют также вероятностное отклонение, равное половине разности квантилей *0,75 и ль, 25, т. е. значений случайной величины, соответствующих вероятностям 0,75 и 0,25.
Мода случайной величины — наиболее вероятное значение или, иначе, то ее значение, при котором плотность вероятности максимальна.
Аналогично с предыдущими характеристиками трансформируются термины мода и медиана в статистической трактовке. Для симметричного модального (т. е. имеющего один максимум) распределения математическое ожидание, мода и медиана совпадают.
Выше рассматривались эксперименты, результаты которых являются случайными событиями. Однако часто возникает необходимость количественного представления результатов эксперимента в виде некоторой величины , которая называется случайной величиной. Случайная величина является вторым (после случайного события) основным объектом изучения теории вероятностей и обеспечивает более общий способ описания опыта со случайным исходом, чем совокупность случайных событий.
Рассматривая эксперименты со случайным исходом, мы уже имели дело со случайными величинами. Так, число успехов в серии из испытаний - пример случайной величины. Другими примерами случайных величин являются: число вызовов на телефонной станции за единицу времени; время ожидания очередного вызова; число частиц с заданной энергией в системах частиц, рассматриваемых в статистической физике; средняя суточная температура в данной местности и т.д.
Случайная величина характерна тем, что невозможно точно предсказать ее значение, которое она примет, но с другой стороны, множество ее возможных значений обычно известно. Так для числа успехов в последовательности из испытаний это множество конечно, поскольку число успехов может принимать значения . Множество значений случайной величины, может совпадать с вещественной полуосью , как в случае времени ожидания и т.д.
Рассмотрим примеры экспериментов со случайным исходом, для описания которых обычно применяются случайные события и введем эквивалентное описание с помощью задания случайной величины.
1). Пусть результатом опыта может быть событие или событие . Тогда этому эксперименту можно поставить в соответствие случайную величину , которая принимает два значения, например, и с вероятностями и , причем имеют место равенства: и . Таким образом, опыт характеризуется двумя исходами и с вероятностями и , или этот же опыт характеризуется случайной величиной , принимающей два значения и с вероятностями и .
2). Рассмотрим опыт с бросанием игральной кости. Здесь исходом опыта может быть одно из событий , где - выпадение грани с номером . Вероятности , . Введем эквивалентное описание этого опыта с помощью случайной величины , которая может принимать значения с вероятностями , .
3). Последовательность независимых испытаний характеризуется полной группой несовместных событий , где - событие, состоящее в появлении успехов в серии из опытов; причем вероятность события определяется формулой Бернули, т.е. . Здесь можно ввести случайную величину - число успехов, которая принимает значения с вероятностями . Таким образом, последовательность независимых испытаний характеризуется случайными событиями с их вероятностями или случайной величиной с вероятностями того, что принимает значения : , .
4). Однако, не для всякого опыта со случайным исходом существует столь простое соответствие между случайной величиной и совокупностью случайных событий. К примеру, рассмотрим эксперимент, в котором точка наугад бросается на отрезок . Здесь естественно ввести случайную величину - координату на отрезке , в которую попадает точка. Таким образом, можно говорить о случайном событии , где - число из . Однако вероятность этого события . Можно поступить иначе - отрезок разбить на конечное число непересекающихся отрезков и рассматривать случайные события, состоящие в том, что случайная величина принимает значения из интервала . Тогда вероятности - конечные величины. Однако и этот способ имеет существенный недостаток, поскольку отрезки выбираются произвольным образом. Для того, чтобы устранить этот недостаток рассматривают отрезки вида , где переменная . Тогда соответствующая вероятность
Читайте также: