Системы с запаздыванием особенности поведения реферат

Обновлено: 06.07.2024

Системами с запаздыванием называются системы, структурные схемы которых содержат хотя бы одно звено запаздывания. Это звено характеризуется зависимостью между входной величиной U(t) и выходом x(t) вида

x(t)=U(t-), где: τ является постоянной величиной— время запаздывания. Система с запаздыванием может рассматриваться как система, состоящая из последовательного соединения большого числа инерционных звеньев с малыми постоянными времени. Пусть система состоит из n последовательно включ равных инерционных звеньев с постоянным временем ΔT заменим его на /n. Тогда перед функция разомкнутой системы при коэфф. усиления =1 имеет вид:

Тогда при n ∞ в пределе получим величину W(s)=exp(-sτ) т.е. функция звена с запаздыванием.

Звено с запаздыванием является одним из простейших типов систем с распределенными параметрами.

Нелинейные системы, общие понятия, особенности динамики, типовые нелинейности.

Нелинейная САУ – имеет хотя бы одно звено системы описывается нелинейным уравнением. Различают статические и динамические нелинейности. Статические нелинейности представляются в виде статических нелинейных характеристик. Динамические характеристики в виде нелинейных дифференциальных характеристик.

-В нелинейной системе выходная реакция может стремиться к бесконечности на конечном интервале времени

-выходной сигнал при отсутствии входного сигнала не обязательно стремится к нулю.

-возможны устойчивые колебания определенной амплитуды и частоты независимо от начальных условий

- при синусоидальном входном сигнале на выходе могут присутствовать дополнительные гармоники, поэтому частота выходного сигнала кратна частоте входного.

-может наблюдаться скачкообразный резонанс частоты выходного сигнала.

Основные виды нелинейностей

Звено с зоной нечувствительности: при малых изменениях значений входа, выход не меняется.

Звено с ограничением: при малых значениях входа линейно, при больших нет:->

Метод малых отклонений. Первый метод Ляпунова. Типы особых точек

Составляя уравнения для малых отклонений от состояния равновесия либо установившегося движения, можно исследовать устойчивость данного состояния равновесия (движения). Исследование обычно ведется с помощью устойчивости по Ляпунову и 1-му методу Ляпунову.

Дифференциальное уравнение замкнутой системы 2-го порядка можно преобразовать в систему из 2-ух уравнений 1-го порядка:

Это уравнение фазовой траектории интегральной прямой на фазовой плоскости. Вблизи начала координат фазовая траектория (1) раскручивается и стремится к предельному циклу. Фазовая траектория (2) начинается вне предельного цикла, может со временем к нему сходиться, следовательно, система описываемая (1) – неустойчива относительно положения равновесия, но при этом всякое равновесие со временем переходит в предельный цикл. Если амплитуда предельного цикла мала, то такое поведение системы при больших сигналах приемлемо, т.е. система неустойчива при малых отклонениях от положения равновесия, и устойчива при значительных отклонениях.

Ляпунов: если 1-ое приближение системы устойчиво, то и нелинейная система – устойчива.

Типы особых точек: точки равновесия – из них могут исходить многие траектории

Ранее (в гл. VII кн. 1) было введено понятие запаздывающего звена, имеющего передаточную функцию вида

Запаздывающее звено представляет собою частный случай динамических элементов с распределенными параметрами.

Физически запаздывающее звено можно рассматривать как длинную электрическую линию без потерь, на конце которой включен импеданц, равный ее волновому сопротивлению, причем в этом случае

где I — индуктивность;

с — емкость на единицу длины;

Такого рода длинная линия передает энергию в одном направлении без отражений, причем форма сигнала на входе и выходе линии остается одной и той же (рис. XI.5), но сдвигается во времени.

Понятие запаздывания оказывается полезным для описания процессов в длинных трубопроводах, в двигателях ракет, в теплообменниках, а также для построения приближенной модели многих сложных процессов, строгое математическое описание которых затруднительно.

Рис. XI.5. Форма сигналов на входе и выходе длинной линии

Рис. XI.6. Переходная функция динамического элемента с запаздыванием

В этих случаях переходные функции имеют вид, показанный на рис. XI.6. Так, например, система, имеющая переходную функцию, изображенную на рис. XI.6, приближенно может быть описана передаточной функцией

Часто представляет собой интерес обратная задача приближенного представления запаздывающего звена динамическим элементом с сосредоточенными параметрами. Решение этой задачи уже было рассмотрено в гл. VIII (табл. VIII. 1). В ряде случаев подобного рода замена упрощает задачу анализа и синтеза систем с распределенными параметрами.

Перейдем к рассмотрению передаточных функций и частотных характеристик систем автоматического регулирования с постоянным запаздыванием (рис. XI.7). Обозначим передаточную функцию разомкнутой системы без учета запаздывающего звена в виде где — полиномы от

Передаточная функция всей системы с запаздыванием в разомкнутом состоянии имеет вид

Рис. XI.7. Структурная схема автоматического регулирования с запаздыванием

а для передаточной функции замкнутой системы имеем

Выражение для амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы можно найти из соотношения (XI.37), заменив через Полагая

Рассмотрение амплитудно-фазовой характеристики (XI.40) приводит к заключению, что запаздывание не влияет на вид амплитудной характеристики

Системы, отличающиеся друг от друга лишь величиной запаздывания, имеют, как это видно из формулы (XI.40), одинаковые амплитудные и различные фазовые характеристики. Следовательно, в таких системах не существует однозначной связи между амплитудными и фазовыми частотными характеристиками и они не относятся к числу минимально-фазовых систем.

Характеристическое уравнение с запаздыванием

отличается от характеристического уравнения системы без запаздывания

тем, что левая его часть является, так же как и в общем случае систем с распределенными параметрами, не полиномом, а трансцендентной функцией от X.

Для анализа устойчивости систем с запаздыванием целесообразно воспользоваться частотным критерием устойчивости, применимым, как это было показано выше, к системам с распределенными параметрами и, в частности, к системам с постоянным запаздыванием.

Фазовая характеристика разомкнутой системы с запаздыванием по сравнению с системой без запаздывающего звена имеет отрицательное приращение, пропорциональное частоте со, где коэффициентом пропорциональности является время запаздывания. Поэтому, вследствие отрицательного приращения фазы, с возрастанием со возможно нарушение устойчивости системы, вызываемое запаздыванием.

Назовем времена запаздывания и соответствующие им частоты при которых амплитудно-фазовая характеристика проходит через точку критическими.

При этом заметим, что если амплитудно-фазовая характеристика, проходя через точку не охватывает ее, то характеристическое уравнение имеет два корня, действительная часть которых равна нулю. Остальные корни имеют отрицательные действительные части.

Критические времена запаздывания и частоты определяются равенствами [5], [6]

Определив из уравнения (XI.42), найдем из равенства (XI.43) критические времена запаздывания.

Приведенное выше решение достаточно просто выполняется графически, путем определения в точке пересечения годографа с единичной окружностью, имеющей центр в начале координат (рис. XI.8).

Рис. XI.8. Графический метод определения критического времени запаздывания на плоскости

Рис. XI.9. Амплитуднофазовая частотаая характеристика абсолютно-устойчивой системы

Тогда критическое время запаздывания определяется по формуле

Исследуем ряд случаев:

1) пусть при в этом случае критические частоты отсутствуют; система будет устойчива при любом (рис. X 1.9);

2) пусть (XI.8) в некотором диапазоне частот, тогда имеем несколько критических частот

Рассмотрим в порядке убывания последовательно критические частоты Очевидно, для частоты угол будет наименьшим.

Следовательно, начиная с система с временем запаздывания будет неустойчивой.

Система с постоянным запаздыванием будет неустойчивой до тех пор, пока величина не будет превышать При значениях равных и больших система автоматического регулирования с запаздыванием будет устойчивой, так как в диапазоне частот амплитудно-фазовая характеристика по модулю будет меньше единицы. Очевидно, что при любых значениях в пределах где система (с запаздыванием ) будет устойчивой. В дальнейшем при система становится снова неустойчивой. Чередование явлений устойчивости и неустойчивости системы при непрерывном изменении а также других параметров является характерной особенностью многих систем с запаздыванием.

В заключение необходимо сделать следующие замечания: в системах автоматического регулирования для увеличения быстродействия и точности время запаздывания стремятся уменьшить;

система автоматического регулирования устойчива, если время запаздывания меньше минимального граничного времени запаздывания

Пример. Рассмотрим устойчивость системы автоматического регулирования давления, содержащую длинный трубопровод, соединяющий чувствительный элемент с исполнительным механизмом (рис. XI.10).

Рис. XI. 10. Принципиальная схема системы автоматического регулирования давления с длинным трубопроводом между чувствительным элементом и приводом исполнительного механизма; — перемещение регулирующей заслонки; — давление

Система регулирования состоит из датчика в виде мембранного чувствительного элемента, управляющего дросселированием сжатого воздуха, подаваемого из внешней сети. Воздух после дросселирования подается по длинному трубопроводу к мембранному серводвигателю, перемещающемуся пропорционально величине давления в пневматической сети. Перемещение мембранного серводвигателя вызывает перемещение клапана на выходном трубопроводе из объекта регулирования и тем самым изменение в нем давления. Применение в системе регулирования длинного трубопровода вызывает перемещение регулирующего органа через некоторое время с запаздывания т. Запишем уравнение процесса в регуляторе и объекте в следующем виде: для объекта

и для регулятора

где — время запаздывания.

Амплитудно-фазовая характеристика рассматриваемой системы имеет вид

Вводя обозначения амплитудно-фазовую характеристику (XI.44) можно представить в следующем виде [5], [6]:

Исследование влияния параметров системы на устойчивость процесса регулирования можно произвести графическим способом, приведенным выше.

Рис. XI.11. Амплитудно-фазовая частотная характеристика системы, имеющей критическое время запаздывания

Рис. XI.12. Области устойчивых и неустойчивых состояний системы автоматического регулирования в зависимости от параметров Т и

Годограф представляет полуокружность. Для определения критической частоты и критического времени запаздываний имеем

а для безразмерной величины соответствующей

Найдем пересечение этой полуокружности с единичным кругом и проследим влияние параметров Т и на устойчивость системы (рис. XI.11).

Величина определяет критическое время Для данной системы регулирования это единственное значение критической постоянной запаздывания. Если время запаздывания систем то процесс регулирования устойчив, и наоборот.

Влияние статического передаточного коэффициента на устойчивость системы можно установить, учитывая, что при весь годограф располагается внутри единичной окружности и пересечения с ней не имеет. Следовательно, если , то система будет устойчивой при любом времени запаздывания . При система будет устойчивой, если постоянная

времени запаздывания Чем больше статический передаточный коэффициент, тем при меньшей постоянной запаздывания система теряет устойчивость (см. рис. XI.11). В случае нахождения системы на границе устойчивости в системе возникнут колебания с частотой

Построим границу устойчивости в области параметров (рис. XI.12). Значения критических частот и времени запаздывания определим по формулам

На рис. XI. 12 показана граница устойчивости в области параметров Т и . Область, лежащая ниже этой границы, соответствует параметрам устойчивой системы, так как при неизменном граничном значении статического коэффициента передачи постоянная времени системы для данной области всегда меньше граничного времени запаздывания.

Автор: Б.Т. Федосов

Уравнения состояния динамических объектов с запаздыванием

Проведено обобщение записи уравнений состояния на нелинейные многомерные динамические объекты и системы управления, имеющие протяжение в пространстве и элементы транспортного запаздывания. Обобщение осуществлено путем включения звеньев запаздывания, наряду с интеграторами, в состав простейших динамических, т.е. таких, выходные величины которых трактуются как самостоятельные переменные состояния.

1. Инерционные динамические объекты

Традиционное математическое описание динамического объекта в переменных состояния включает векторное уравнение состояния, связывающее скорости изменения переменных состояния с воздействиями на объект и значениями самих переменных состояния, а также векторное уравнение, связывающее значения выходных величин объекта (или результатов их измерений) с его переменными состояния и воздействиями на него [1 - 9]:

где
x – вектор переменных состояния;
u – вектор воздействий на объект;
y – вектор выходных величин объекта;
z – вектор помех;
f(.) и g(.) – некоторые, довольно общего вида функции.

Система (К.1.1) - это система векторных дифференциально-алгебраических уравнений переменных состояния многомерного нестационарного сосредоточенного в пространстве (точечного) нелинейного инерционно-динамического объекта управления.

Из уравнений (К.1.1) нетрудно видеть, что описание динамического объекта без запаздываний структурно содержит всего три типа операторов: линейный дифференцирующий (собственно динамический, инерционный) и два безинерционных нелинейных: элемент связи и элемент композиции:

Линейный дифференцирующий оператор описывает инерцию потому, что задает мгновенную скорость изменения переменной состояния, а, следовательно, определяет значение известной на текущий момент переменной на некоторый, пусть небольшой интервал времени вперед. Это и следует трактовать как инерцию, т.е. некоторую предопределенность поведения.

Рис. К.1.1. Описание инерционного объекта и его структурная модель. Дифференциальное уравнение, отражает причинно–следственную связь воздействия х и реакции (отклика) y простейшего инерционного звена: воздействие х приводит к изменению выходной величины y такому, что скоростьэтого изменения прямо пропорциональна воздействию. Интегратор – модель простейшего, фундаментального динамического (инерционного) элемента. Структурная модель отображает то, как причина, воздействие, преобразуется в следствие, выходную величину: модель простейшей (фундаментальной) инерционности обеспечивает накопление и сохранение воздействия

В линеаризованной модели объекта справедлив принцип суперпозиции и поэтому оператор композиции переменных представляет собой их взвешенную сумму, а оператор связи становится линейным:

Уравнения динамического объекта в переменных состояния можно представить и в интегральном виде, более наглядном для структурного моделирования:

Уравнение состояния описывает собственную, внутреннюю инерционность динамического объекта. Уравнение выхода учитывает помехи измерению компонент вектора выходных величин.

Состояние и тенденция поведения хотя бы на бесконечно малый интервал вперед чисто инерционного динамического объекта определяется набором значений всех переменных состояния объекта в некоторый момент времени и отображается соответствующим положением изображающей точки в многомерном пространстве состояний. Поскольку эта информация для инерционного объекта без запаздывания исчерпывающая, то координаты любой точки траектории изображающей точки могут рассматриваться как начальные условия для интегрирования уравнений состояния, т.е. для определения всей последующей траектории движения изображающей точки, оценке поведения динамического объекта под внешними воздействиями или в отсутствие таковых.

В качестве иллюстрации этого приведем фазовые портреты (траектории движения изображающих точек объектов в двумерном пространстве состояний) для модели свободной колебательной системы с отличающимися начальными условиями:

Рис. К.1.1. Фазовые портреты свободной инерционной колебательной системы при разных начальных условиях, соответствующих одной и той же фазовой траектории совпадают, т.е. координаты любой точки фазовой траектории могут рассматриваться как начальные условия, полностью определяющие дальнейшее свободное поведение объекта

Таким образом, поведение точечных (исключительно инерционных, не имеющих элементов запаздывания) динамических объектов полностью описывается уравнениями состояния и выхода, а также начальными условиями, представляющими собой значения всех переменных состояния объекта в некоторый момент времени, и отображается некоторой траекторией, а текущее состояние объекта характеризуется точкой в многомерном пространстве переменных состояния.

2. Уравнения состояния протяженных объектов с элементами запаздывания

Учет звеньев запаздывания в моделях объектов как второго, самостоятельного вида простейших динамических элементов, наряду с инерционными (интеграторами), позволяет единообразно описывать в переменных состояния динамические объекты практически любой сложности и на этой основе проводить их анализ и оптимизацию.

2.1. Уравнения и структура моделей протяженных динамических объектов

Дифференциальная форма уравнений состояния протяженного объекта

Наличие элементов задержки в некоторых ветвях модели динамического объекта существенно, а часто и принципиально, изменяет динамические свойства объекта по сравнению с объектом без элементов запаздывания. Поэтому пространство состояний соответствующих только выходным величинам инерционных элементов (интеграторов) не в полной мере задает состояние и поведение объекта, имеющего звенья запаздывания.

Элемент запаздывания динамического объекта, также, как и инерционный, следует рассматривать как динамический, а его выходную величину – как отдельную переменную состояния.

Основание для отнесения звена задерживающего сигнал на конечный интервал времени к элементарным динамическим опирается на сходство и различия двух видов простейших динамических элементов моделей реальных объектов и состоит в следующем.

Внешнее отличие состоит в том, что инерционный элемент описывается элементарным дифференциальным уравнением, в то время как запаздывающий – алгебраическим.

Нестационарный элемент запаздывания, обладающий дисперсией, и его частный случай, элемент чистой задержки, также как и простейший инерционный элемент является динамическим потому, что его выходной сигнал своеобразен, не может быть получен безинерционной композицией других, только инерционных переменных состояния. Это результат задержки по времени такой композиции.

Для обобщения уравнений состояния точечных объектов, представленных в форме Коши, на протяженные объекты и объекты с транспортным запаздыванием формально введем оператор прогнозирования Fwd [7]:

Итак, запишем векторные уравнения переменных состояния протяженного динамического объекта в виде:

Отметим, что обобщенная система уравнений состояния динамического объекта имеет только одну независимую переменную – время t. Пространственные же характеристики объекта в (К.2.1.2) описываются косвенно, путем учета вектора времен задержек τ, обусловленных распространением воздействий в пространстве с конечной (не бесконечной) скоростью или транспортным запаздыванием.

Рассмотрение динамических объектов с запаздыванием на основе описания их уравнениями состояния проводилось некоторыми авторами и ранее [8, 10, 11].

Форма уравнений (К.2.1.2) отличается от предложенной в [8, п. 2.1, (2.1.2)] введением специальных переменных состояния, соответствующих выходным величинам звеньев запаздывания. Этим самым звенья запаздывания отнесены с простейшим динамическим и описание динамических объектов становится универсальным.

В предлагаемом в настоящей статье представлении динамического объекта текущее внутреннее состояние объекта полностью определяется вектором значений переменных состояния, соответствующих выходным величинам интеграторов и звеньев запаздывания, и предысторией их поведения.

Интегральная форма уравнений состояния протяженного объекта

где операторы задержки:

осуществляют обратное по действию по отношению к оператору прогноза Fwd .

Начальные условия уравнений состояния протяженного объекта

В уравнениях (К.2.1.3) начальные условия для звеньев (операторов) задержки это не просто значения комбинаций переменных состояния и входных воздействий в нулевой момент времени, как это имеет место для интеграторов. Для однозначного решения уравнений (К.2.1.3) требуется задать начальные условия для звеньев запаздывания в виде функций, определяющих историю поведения входных величин этих звеньев на тот интервал времени назад, на который они осуществляют задержку.

Аналогичное утверждение для традиционной формы представления уравнений состояния объектов с запаздыванием приводится и в [8] п. 2.1:

Таким образом, для точечных объектов положение изображающей точки в пространстве состояний в некоторый момент времени полностью определяет состояние динамического объекта и тенденцию его поведения в ближайшее время. Для объектов, протяженных в пространстве, имеющих в своей структуре звенья транспортного запаздывания, их состояние и последующее поведение определяется не только текущим положением изображающей точки, но и траекторией ее движения в пространстве состояний в предшествующий, может быть достаточно большой, интервал времени.

Структура модели динамического объекта с запаздываниями

Структура модели динамического объекта с запаздываниями, соответствующая системе (К.2.1.3) в укрупненном виде представлена на рисунке:

Рис. К.2.1.2. Укрупненное схематическое изображение основных структурных элементов модели наблюдаемого многомерного нестационарного протяженного в пространстве нелинейного динамического объекта управления. Собственные динамические свойства объекта определяются структурой, характеристиками и параметрами левого блока, блок преобразователя осуществляет преобразование переменных состояния в величины, которые могут быть измерены (или непосредственно в результаты измерений)

2.2. Простейшие структурные элементы протяженных объектов

Как видно из уравнений (K.2.1.2) и (K.2.1.3) состояния и выхода динамических объектов с запаздыванием, для их описания достаточно всего четырех операторов. Математическое описание всех четырех простейших элементов (виртуальных аналогов этих операторов) динамических систем и объектов, имеющих пространственное протяжение и (или транспортное запаздывание), опосредованно опирающихся на физические законы их описывающие, сводится к простым уравнениям, одно из которых линейное дифференциальное, а три остальные – алгебраические:

где
х – воздействие на элемент,
y – его реакция,
t – время,
τ – некоторая задержка во времени.

Рис. K.2.2.2. Простейшие (фундаментальные) элементы общего вида структурной схемы динамического объекта как его математической модели насчитывают только четыре разного типа элементов. Элементов этих типов достаточно для моделирования сколь угодно сложного динамического объекта (технологической установки, системы управления ей и т.п.)

2.3. Наблюдаемость и управляемость объектов с запаздыванием

Из проведенного выше рассмотрения следует, что однозначное состояние динамического объекта с запаздыванием определяется не только текущими значениями переменных состояния, но и историей их изменения в предыдущие моменты времени, на конечном и достаточно протяженном интервале. Поэтому для таких объектов следует уточнить понятия наблюдаемости и управляемости.

Управляемость динамического объекта с элементами запаздывания состоит в том, чтобы имелась возможность за конечное время конечным изменением вектора воздействий перевести объект из текущего состояния, которому предшествовало некоторое определенное поведение, в новое, требуемое состояние, которому предшествует заданная траектория изображающей точки в пространстве состояний.

Наблюдаемость объекта с запаздыванием определим как возможность нахождения текущего вектора переменных состояния в любой момент времени и конечный участок траектории в пространстве состояний, по которой изображающая точка попадает в текущее положение, по измерениям выходных величин объекта и их поведения в течение некоторого предшествующего интервала времени.

2.4. Состояние и начальные условия динамического объекта с запаздыванием

Текущее состояние динамического объекта с запаздыванием должно однозначно определять его поведение в последующие моменты времени, хотя бы на весьма короткий интервал. В отсутствие внешних воздействий на объект (свободное движение), или при известных внешних воздействиях, это время простирается до бесконечности.

Рис. К.2.4.1. Фазовые портреты и поведение переменных состояния динамического объекта с запаздыванием в отсутствие внешних воздействий. Если рассматривать звено с запаздыванием как элементарное динамическое, т.е. считать его выходную величину как самостоятельную переменную состояния, то для полного описания состояния и тенденции поведения динамического объекта с запаздыванием требуется задать не только значения переменных состояния в некоторый момент времени, но и предысторию их изменения, помещенную в данном случае в буфер звена запаздывания. Разные предыстории приводят к разным траекториям фазового портрета, т.е. к разному поведению объекта. Прогноз поведения выходной переменной звена запаздывания (переменной состояния х3) эквивалентен предыстории поведения его входной величины, поскольку представляет собой задержанную на время запаздывания, в данном случае τ = 1 сек, эту самую предысторию. Интервал, на котором следует знать предысторию определяется величиной задержки в звене запаздывания

Как видно, для задания начальных условий уравнений состояний, а также, что эквивалентно, для однозначного описания текущего состояния динамического объекта с запаздыванием необходимо знать не только значения переменных состояния, но и их предысторию.

Таким образом, для описания объектов с запаздыванием требуется значительно больше информации, чем для просто инерционных объектов, что усложняет их анализ и оптимизацию.

2.5. О полном пространстве состояний цифровой модели динамического объекта с запаздыванием и его состоятельном подпространстве

Модели реальных непрерывных инерционных динамических объектов без запаздывания могут быть построены как с использованием исключительно интеграторов (W(p) – модель), так и с использованием только элементарных звеньев запаздывания ( W(z)–модель):

Отметим, что интеграторами (апериодическими звеньями) нельзя даже приближенно промоделировать звенья с достаточно большим запаздыванием, в то время как любое запаздывание без проблем с любой точностью моделируется звеньями задержки на такт, достаточно только выбрать их достаточное число.

Рис. 2.5.2. Непрерывное звено запаздывания и его цифровые модели. Переменная состояния, несущая содержательную, исчерпывающую информацию это выходная величина звена запаздывания с учетом предыстории поведения его входного воздействия. Выходные сигналы промежуточных элементов дискретной модели звена запаздывания формально можно отнести к переменным состояния, однако, поскольку информация в них повторяется со сдвигом, достаточно ограничиться только выходной величиной всего звена и рассматривать его как элементарное унитарное динамическое, состояние которого определяется не только значением выходной величины, но и ее прогнозом (предысторией входной величины). Буфер унитарной дискретной модели заполнен предысторией входной величины, поэтому прогноз переменной состояния жестко определяется этой предысторией

Определение переменной состояния, отнесенной к звену запаздывания, собственно, равной последней величине микрозвеньев буфера запаздывания, позволяет использовать в качестве состоятельного подпространства состояний такое, которое включает только выходные величины элементарных звеньев, составляющих цифровую модель звена запаздывания. Относительно малое число эффективных переменных состояния особенно важно при аналитическом исследовании динамического объекта и графическом представлении его результатов.

Заключение

Звено запаздывания на конечную величину может рассматриваться в дополнение к интегратору как простейший динамический элемент, выходная величина которого является самостоятельной переменной состояния, причем для полного и однозначного описания состояния объекта необходимо знать как положение изображающей точки в пространстве состояний, так и часть ее предыдущей траектории, т.е предысторию поведения объекта.

Оптимальная система управления, если она уже реализована, существует объективно и ее характеристики не зависят от того, каким математическим аппаратом она была описана и с помощью каких математических методов и инструментов она была оптимизирована. Поэтому простота математического описания системы управления, в частности САР, должна определяться сложностью системы, ей соответствовать.

Литература и Интернет

Благодарности

Автор выражает признательность к.т.н., доценту Клиначёву Н.В (ЮУрГТУ, Челябинск) и д.т.н., профессору Колесову Ю.Б. (С–ПбГПУ ,С–Петербург) за полезное обсуждение вопросов, рассматриваемых в статье.

Динамическая модель первого порядка с запаздыванием представляет собой неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка:

(2.4)

где T - постоянная времени объекта;

k - коэффициент передачи при 50% номинального режима;

- время запаздывания.

Решением уравнения (2.1) будет экспоненциальная зависимость сигнала на выходе от времени:

(2.5)

где y₀=0 - начальное состояние выхода объекта;

k . x=y_уст.=10 - установившееся состояние выхода объекта.

Проведем преобразования, аналогичные модели без запаздывания

или запишем в виде системы :

(2.6)

где берется из табл. 7.

Так как , и , то все уравнения содержащие эти элементы в расчете участвовать не будут.

Решим систему (2.6) методом наименьших квадратов. Составим матрицы:

- искомых величин:

- правой части системы:

- левой части системы:

- произведение

Таким образом получили матричное уравнение:

Находим главный определитель:

Подставляя матрицу поочередно в первый и второй столбец матрицы , находим вспомогательные определители:

Находим постоянную времени и время задержки:

Таким образом динамическая характеристика первого порядка с запаздыванием будет иметь вид:

Вычислим аналитические значения функции, их отклонения от экспериментальных значений, а также квадраты отклонений, причем значения функции при учитывать не будем. Результаты сведем в табл. 8.

y_i

Далее находим сумму квадратов отклонений:

Так как сумма квадратов отклонений у модели с запаздыванием меньше, чем у модели без запаздывания, то ее использование позволяет более точно описывать протекание переходного процесса.

Расчет на ЭВМ моделей более высоких порядков показывает, что наименьшее значение суммы квадратов отклонений будет у модели второго порядка. Поэтому в дальнейших расчетах будем выполнять все действия именно для модели второго порядка.

Ниже приведен проверочный расчет динамической модели объекта первого порядка с запаздыванием и модели второго порядка с запаздыванием на ЭВМ в системе MathCad.

Читайте также: