Симметрия в геометрии реферат

Обновлено: 02.07.2024

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Стоя пред черной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я вдруг был поражен мыслью: почему симметрия приятна глазу? Что такое симметрия?

С давних времен математика считается одной из главных наук. Математика одна из древнейших и необходимых для прогресса разных дисциплин наука.

Числа, формулы, геометрические фигуры в математике, внешне холодные и сухие, но полные внутренней красоты.

–"Можно ли с помощью симметрии создать порядок, красоту и совершенство?", "Во всём ли в жизни должна быть симметрия?"– эти вопросы я поставила перед собой уже давно, и попробую ответить на них в этой работе.

Предметом данного исследования является симметрия как одна из математических основ законов красоты, взаимосвязи науки математики с окружающими нас живыми и неживыми объектами.

Актуальность проблемы заключена в том, чтобы показать, что красота является внешним признаком симметрии и, прежде всего, имеет математическую основу.

Цель работы - на примерах найти и показать симметрию как основу красоты в природе, технике, архитектуре и искусстве.

На основе данной цели были сформулированы следующие задачи исследования:
- определить сущность симметрии;
- рассмотреть, как проявляется симметрия в окружающем нас мире.
Методы исследования:
- обработка, анализ научных источников;
- анализ научной литературы, учебников и пособий по исследуемой проблеме.

Многие люди даже не задумываются, проходя мимо обычных, на первый взгляд, вещей о том, какой удивительной формой эти объекты обладают и с какой точностью они созданы природой или человеком. Симметрия окружает нас, находя своё проявление, как в живой, так и в неживой природе.

В данной работе была сделана попытка систематизации литературных источников по данной проблематике в общее понятие симметрии и в теоретической главе рассмотрены гипотезы появления симметрии в природе, красота симметрии в архитектуре, необходимость симметрии в технике. В практической части данной работы были проведены небольшие опыты, доказывающие необходимость симметрии в технике и показывающие красоту симметрии в искусстве и народном творчестве народов Кузбасса.

На протяжении веков симметрия остается предметом, который очаровывает философов, астрономов, математиков, художников, архитекторов и физиков. Древние греки были совершенно одержимы ею – и даже сегодня мы, как правило, сталкиваемся с симметрией во всем от расположения мебели до стрижки волос.

Просто имейте в виду: как только вы осознаете это, вы, вероятно, испытаете непреодолимое желание искать симметрию во всем, что видите.

Глава 1. Теоретические аспекты симметрии

Возникновение симметрии

С симметрией мы встречаемся везде – в природе, технике, искусстве, науке. Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания; его широко используют все без исключения направления современной науки. Принципы симметрии играют важную роль в физике и математике, химии и биологии, технике и архитектуре, живописи и скульптуре, поэзии и музыке. Законы природы, управляющие неисчерпаемой в своём многообразии картиной явлений, в свою очередь, подчиняются принципам симметрии.

В научном мире существует несколько гипотез, с помощью которых пытаются объяснить, как возникла симметрия в пространстве нашего мира. Согласно одной из них, все, что растет вверх или вниз, подчинено закону радиально-лучевой симметрии. А то, что формируется параллельно земной поверхности или под наклоном к ней, принимает зеркально-симметричную форму. Эти свойства пытаются объяснить земным притяжением от центра планеты и различной степенью освещенности объектов солнечным светом в зависимости от их расположения.

Чтобы иметь более точное представление о том, что же такое симметрия, нужно рассмотреть её виды.

Виды симметрии

С точки зрения геометрии выделяют три основных вида симметрии: центральная, осевая и зеркальная.

Центральная симметрия (или симметрия относительно точки) – это преобразование плоскости (или пространства), при котором единственная точка (точка О – центр симметрии) остаётся на месте, остальные же точки меняют своё положение: вместо точки А получаем точку А1 такую, что точка О середина отрезка АА1. Чтобы построить фигуру Ф1, симметричную фигуре Ф относительно точки О, нужно через каждую точку фигуры Ф провести луч, проходящий через точку О (центр симметрии), и на этом луче отложить точку, симметричную выбранной относительно точки О. Множество построенных, таким образом, точек даст фигуру Ф1.

Большой интерес вызывают фигуры, имеющие центр симметрии: при симметрии относительно точки О любая точка фигуры Ф преобразуется опять же в некоторую точку фигуры Ф. Таких фигур в геометрии встречается много. Например: отрезок (середина отрезка – центр симметрии), прямая (любая её точка – центр её симметрии), окружность (центр окружности – центр симметрии), прямоугольник (точка пересечения его диагоналей – центр симметрии). Много центрально симметричных объектов в живой и неживой природе. Часто люди сами создают объекты, имеющие центр симметрии.

Осевая симметрия (или симметрия относительно прямой) – это преобразование плоскости (или пространства), при котором только точки прямой р остаются на месте (эта прямая является осью симметрии), остальные же точки меняют своё положение: вместо точки В получаем такую точку В1, что прямая р является серединным перпендикуляром к отрезку ВВ1. Чтобы построить фигуру Ф1, симметричную фигуре Ф, относительно прямой р, нужно для каждой точки фигуры Ф построить точку, симметричную ей относительно прямой р. Множество всех этих построенных точек и дают искомую фигуру Ф1. Много существует геометрических фигур, имеющих ось симметрии.

У прямоугольника их две, у квадрата – четыре, у круга – любая прямая, проходящая через его центр. Если присмотреться к буквам алфавита, то и среди них можно найти, имеющие горизонтальную или вертикальную, а иногда и обе оси симметрии. Объекты, имеющие оси симметрии достаточно часто встречаются в живой и неживой природе. В своей деятельности человек создаёт много объектов, имеющих несколько осей симметрии.

Плоскостная (зеркальная) симметрия (или симметрия относительно плоскости) – это преобразование пространства, при котором только точки одной плоскости сохраняют своё местоположение (α-плоскость симметрии), остальные точки пространства меняют своё положение: вместо точки С получается такая точка С1, что плоскость α проходит через середину отрезка СС1, перпендикулярно к нему.

Чтобы построить фигуру Ф1, симметричную фигуре Ф относительно плоскости α, нужно для каждой точки фигуры Ф выстроить симметричные относительно α точки, они в своём множестве и образуют фигуру Ф1.

Чаще всего в окружающем нас мире вещей и объектов нам встречаются объёмные тела. И некоторые из этих тел имеют плоскости симметрии, иногда даже несколько. И сам человек в своей деятельности создаёт объекты, имеющие плоскости симметрии.

Глава 2. Симметрия вокруг нас

2.1. Симметрия в природе

Симметрией обладают объекты и явления живой природы. Она позволяет живым организмам лучше приспособиться к среде обитания, защитить себя от недоброжелателей и просто выжить.

Для начала давайте рассмотрим, какие виды симметрии встречаются в растительном мире. Например, для листьев характерна зеркальная симметрия. Многие листья деревьев и лепестки цветов симметричны относительно среднего стебля.

Центральную симметрию можно наблюдать у следующих цветов: лук, цветок одуванчика, цветок кувшинки, цветок мать и мачехи. Цветок ромашки обладает центральной симметрией, только в случае четного количества лепестков. Её сердцевина представляет собой окружность, и поэтому центрально симметрична, так как мы знаем, что окружность имеет центр симметрии. Нередки случаи и переносной симметрии в растительном мире, например: веточки акации, рябины и многие другие.

Двусторонняя симметрия ярче всего представлена в биологии. Одним из примеров подобной симметрии являются красивые и конструктивно непростые узоры у бабочек на крыльях. Двусторонняя симметрия возникла в связи с потребностью организмов передвигаться в пространстве в соответствии с определёнными целями. В первую очередь, она затронула органы движения: ноги у пауков, ракообразных, амфибий, насекомых, млекопитающих и рептилий, крылья у летучих мышей и птиц, плавники у миног, кальмаров, тюленей, рыб, дельфинов и китов. Органы, которые управляют движением, нервная система человека и животных тоже имеют подобную симметрию. Очевидно, что так проще координировать работу ног, крыльев или плавников для того, чтобы активнее передвигаться в пространстве, не сталкиваясь с различными предметами, поддерживая равновесие тела, осуществлять точное приземление и совершать другие движения. Таким образом, мы рассмотрели некоторые виды симметрии.

Симметрия – базовое свойство большинства живых существ. Быть симметричным очень удобно. Подумайте сами: если у вас со всех сторон есть глаза, уши, носы, рты и конечности, то вы успеете вовремя почувствовать что-то подозрительное, с какой бы стороны оно ни подкрадывалось, и, в зависимости от того, какое оно, это подозрительное, — съесть его или, наоборот, от него удрать. Симметрия в животном мире определяется в соответствие размеров, форм и очертаний, а также относительное расположение частей тела, находящихся на противоположных сторонах разделяющей линии. Ярким примерами симметрии у животных можно считать бабочку, жука плавунца, морскую звезду, лягушку (см. Приложение 1).

2.2. Симметрия в архитектуре

Особенно интересно проявление симметрии в древнерусских постройках, в частности в деревянных церквах, которыми издавна славилась Россия. В XVII - XVIII вв. на Руси были распространены так называемые ярусные храмы, завершавшиеся поставленными друг на друга, уменьшающимися по величине срубами. Старая русская архитектура дает много и других примеров использования симметрии. Достаточно назвать колокольни, звонницы, сторожевые башни, внутренние опорные столбы. Более поздние каменные русские храмы, дворцы, садово-парковые ансамбли тоже несут на себе явный отпечаток симметрии.

От нее в первую очередь зависит впечатление, которое производит архитектурное сооружение.

Примером удивительного сочетания симметрии и асимметрии является храм Василия Блаженного на Красной площади в Москве. Эта причудливая композиция из десяти храмов, каждый из которых обладает центральной симметрией, в целом не имеет ни зеркальной, ни поворотной симметрии. Симметричные архитектурные детали собора кружатся в своем асимметричном, беспорядочном танце вокруг его центрального шатра: они то поднимаются, то опускаются, то, как бы набегают друг на друга, то отстают, создавая впечатление радости и праздника. Без своей удивительной асимметрии храм Василия Блаженного просто немыслим!

Архитектурные сооружения, созданные человеком, в большей своей части симметричны. Они приятны для глаза, их люди считают красивыми.

Здания симметричной формы характеризуют собой строгость, вызывает чувство организованности и скованности. Яркими примерами в архитектуре являются: Казанский собор в Санкт-Петербурге (выполнен в стиле классицизма); Кафедральный собор Дуомо в Милане (выполнен в стиле готики), обладает зеркальной - осевой симметрией; Собор Святого Петра в Риме; дворец Лувр; ну и, конечно же, Нотр-Дам-Де-Пари и Эйфелева Башня (см. Приложение 2).

2.3. Симметрия в технике

Симметрия в технике. Симметричная форма дирижабля, самолета, подводной лодки, автомобиля и т.д. обеспечивает хорошую обтекаемость воздухом или водой, а значит, и минимальное сопротивление движению. В технике красота, соразмерность механизмов часто бывает связана с их надежностью, устойчивостью в работе.

Что будет, если произойдет нарушение симметрии в технических устройствах, мы проверили опытным путем, результаты которых представлены в главе 4 (см. Приложение 3).

2.4. Симметрия кристаллов

Симметрия проявляется в многообразных структурах и явлениях неорганического мира и живой природы. В мир неживой природы очарование симметрии вносят кристаллы. Каждая снежинка - это маленький кристалл замерзшей воды. Форма снежинок может быть очень разнообразной, но все они обладают симметрией - поворотной симметрией 6-го порядка и, кроме того, зеркальной симметрией (см. Приложение 4).

2.5. Симметрия в живописи

2.6. Литература и симметрия

Вспомним хотя бы закон возмездия в греческой трагедии, где виновный становится жертвой такого же преступления.

Рассмотрим буквы русского языка с точки зрения симметрии:

А; Д; Л; М; П; Е; Ф; Ш. (вертикальная ось симметрии)
В; Е; З; К; С; Э; Ю. (горизонтальная ось симметрии)
Ж; Н; О; Х. (и вертикальные и горизонтальные оси симметрии)
Б; Г; И; Й; Р; У; Ц; Ч; Щ; Я. (ни вертикальные, ни горизонтальные оси)

Шалаш, казак, радар, Алла, Анна, кок, поп, топот

Могут быть палиндромическими и предложения. Написаны тысячи таких предложений.

А роза упала на лапу Азора. (А. Фет)
Я иду с мечем судия. (Т. Державин)

Симметрией обладают так называемые фигурные стихи, текст которых имеет очертание какого-либо предмета-звезды, креста, треугольника, пирамиды…

"О, где же те мечты? Где радости, печали,
Светившие нам столько долгих лет?
От их огней в туманной дали
Чуть виден слабый свет
И те пропали,
Их нет".
(А. Апухтин).

Сведение красоты только к симметрии ограничивало богатство ее внутреннего содержания, лишало красоту жизни. Истинную красоту можно постичь только в единстве противоположностей. Вот почему единство симметрии и асимметрии определяет сегодня внутреннее содержание прекрасного в искусстве. Симметрия воспринимается нами как покой, скованность, закономерность, тогда как асимметрия означает движение, свободу, случайность.

Глава 3. Симметрия родного края

3.1. Симметрия в архитектуре Кемеровской области

3.2. Симметрия национального узора

По материалам музейных коллекций и по имеющимся в научной литературе сведениям у народов Притомья можно выделить следующие типы народного декоративного искусства: вышивку, аппликацию, тканый орнамент, художественную обработку кости, рога и дерева, изготовление женских украшений. Преобладают характерные для северосибирского типа мотивы орнамента, выполненные тамбурным швом: зигзаг, зигзаг с петлей в изломе, прямые параллельные линии, узкие полосы, концентрические круги. В основном все рисунки симметричные. В вышивке кисета ярко проиллюстрировано характерное для шорского орнамента несоблюдение симметрии: на лицевой стороне беспорядочно расположены мифические фигурки наряду с пятилучевыми розетками. В орнаментации пряслиц и колец для нарт четко прослеживается одна из характерных черт шорского декора – нарушение симметрии. Она присутствует и в орнаменте подставки для ружья из рога марала, и в декоре рукояток ножей, плеток (см. Приложение 7).

Глава 4. Опыты применения симметрии

Содержание

Прикрепленные файлы: 1 файл

проект.docx

Муниципальное образовательное учреждение

Ковернинская средняя общеобразовательная школа №2

Изъянова А., Бакулина А.

Проверила: учитель алгебры и геометрии

Введение……………………………………………………….
Задачи………………………………………………………….
Что такое симметрия………………………………………….
Виды симметрии………………………………………………
Симметрия в литературе……………………………………..
Симметрия в архитектуре……………………………………
Симметрия в музыке…………………………………………
Симметрия в технике……………………………………….
Симметрия в природе……………………………………….

Найти симметричные фигуры и предметы в окружающей среде
Доказать, что действительно нас окружают симметричные предметы
Определить значение использования симметрии
Как применяет красоту симметрии в своих творениях человек

Симметрия представляет такую особенность природы, про которую принято говорить, что она фундаментальна, охватывает все формы движения и организации материи. Истоки понятия симметрии уходят в глубокую древность. В.И. Вернадский писал: ". представление о симметрии слагалось в течение десятков, сотен, тысяч поколений. Правильность его проверена реальным коллективным опытом и наблюдением, бытом человечества в разнообразнейших природных земных условиях. Этот опыт многих тысяч поколений ясно указывает на глубокую эмпирическую основу этого понятия и ее существования в той материальной среде, в которой жил человек, в биосфере. Переходя к историческому времени, мы видим, что понятие "симметрия" выросло на изучении живых организмов и живого вещества, в первую очередь человека". Само понятие "симметрия", связанное с понятием красоты или гармонии, произошло из Древней Греции (5 в. до н.э.). Греческое слово означает нечто гармоничное, однородное, соразмерное, пропорциональное в объекте, т.е. тот способ согласования многих частей, с помощью которого они объединяются в целое. Пифагору принадлежит бессмертная идея о всеобщей гармонии, лежащей в основе мироздания. Заложенная Пифагором вера в красоту и гармонию природы, в простоту и целесообразность ее законов, построенных на единых математических принципах, окрыляла творчество величайших ученых от И. Кеплера (1571-1630) до А. Эйнштейна (1879-1953). Это и есть путеводная звезда современного естествознания, тот вечный кладезь мудрости, который открыл человечеству Пифагор.

Существуют два представления о симметрии. Одно из них, идущее от античной культуры, связано с пропорциями; здесь "симметрия обозначает тот вид согласованности отдельных частей, которая объединяет их в единое целое". Это наиболее древнее представление до 19 века оставалось и наиболее распространенным в описании гармонии естественных систем и систем, созданных человеком. Второе представление о симметрии ведет начало с 1872 года, когда немецкий математик Ф.Клейн провозгласил знаменитую "Эрлангенскую программу". По современному определению "симметрия - понятие, характеризующее переход объектов в самих себя или друг в друга при осуществлении над ними определенных преобразований (преобразований симметрии); в широком плане - свойство неизменности (инвариантности) некоторых сторон, процессов и отношений объектов относительно некоторых преобразований".

Рассмотрим виды симметрии, которые встречаются в школьном курсе геометрии:

- центральная (относительно точки)

- осевая (относительно прямой)

- зеркальная (относительно плоскости).

Фигура называется симметричной относительно точки, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки также принадлежит этой фигуре. Точки называется центром симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией.

Фигура называется симметричной относительно прямой , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой , также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией.

Зеркальной симметрией (симметрией относительно плоскости) называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка переходит в симметричную ей относительно этой плоскости точку.

Симметрия является неотъемлемой частью мира, в котором мы живем. Мы восхищаемся красотой природы, архитектурными сооружениями, механическими приборами и шедеврами искусства, не задумываясь над тем, что в основе их создания лежит симметрия.

Существует два основных виды симметрии: осевая и центральная.

Осевая симметрия или зеркальная – это симметрия относительно оси. То есть одна половинка фигуры полностью соразмерна с другой относительно прямой. Так если согнуть листок пополам, то каждая точка одной половины листа будет иметь своего двойника на другой половине, а сам сгиб станет осью симметрии.

Зеркальную симметрию можно наблюдать в природе: листья растений симметричны относительно среднего стебля, крылья бабочки являются зеркальным отображением друг друга, человек и животные обладают симметрией в расположении частей тела. Архитектурные сооружения также являются ярким примером осевой симметрии. Фасады зданий, особенно античных, вызывают чувства строгости и восхищения красотой именно благодаря симметрии их частей. Симметрия в архитектуре служит не только для эстетического удовольствия наблюдателей, но и гарантирует зданиям и сооружениям прочность и надежность конструкции.

Центральная симметрия – это симметрия относительно точки. У такой симметрии обязательно есть неподвижный центр, при вращательных действиях на 180° относительно него фигура переходит сама в себя. Благодаря этому свойству центральная симметрия получила второе название – поворотная. С древнейших времен ее эталоном считается круг, и действительно, как бы мы не поворачивали его вокруг центра, каждая точка окружности переходит в соответствующую ей. В природе ярким примером центральной симметрии являются снежинки; цветы таких растений, как одуванчик, мать-и-мачеха, а также ромашки, если количество ее лепестков четное; шестеренки механизмов.

Вариант 2

Наверное, каждый слышал такие понятия, как "симметрия", "симметрично" и тому подобное. Но есть такие люди, которые не понимают значение данных синонимов. Так что же такое симметрия? Где ее применяют? И какие разновидности существуют?

Краткий экскурс о симметрии в общих чертах.

Постараюсь объяснить понятие симметрии на некотором примере. Представьте обыкновенную бабочку. Так, а теперь надо провести через нее линию. Когда линия окончательно проведена, необходимо посмотреть на правую и левую части рисунка. Если эти 2 части рисунка одинаковы по размерам и пропорциям, то это можно называть симметричной моделью. Короче говоря, симметрия – это полная соразмерность частей тела по отношению к линии. Где же применяется симметрия? Ну, симметрия встречается везде, где только можно. Геометрия, физика, биология, химия, культура – все это содержит симметрию, причем каждая отличается друг от друга. Еще существует понятие асимметрии. То есть, отсутствие правильной соразмерности. Еще стоит отметить, что симметрия не всегда бывает точной.

Некоторые виды симметрии, их характеристика и применение.

Всего наберется с десяток разных видов симметрий. Но рассмотреть необходимо только те, которые часто встречаются. Сразу стоит сказать, что обе из них находят применение в решении задач по геометрии. Итак, вот 2 главных вида симметрии:

Осевая симметрия.

Этот вид симметрии делится на 4 группы, отличающиеся друг от друга.

1) Отражательная симметрия – это зеркальное движение, в котором точки, не перемещающиеся никуда, соединены в одну линию – ось симметрии. Прямоугольник и параллелограмм – отличные примеры.

2) Вращательная симметрия – это осевая симметрия, которая относительна поворотам вокруг оси.

3) Осевая симметрия n – го порядка – это симметрия относительно поворотов на 360 градусов вокруг оси.

4) Зеркально поворотная осевая симметрия n – го порядка – то же самое, только перпендикулярно оси.

Центральная симметрия.

Это преобразование, при котором каждая точка А переходит в точку А1, при этом она симметрична предыдущей относительно оси О. Данная симметрия – это, по сути, тот же поворот на 180 градусов в планиметрии. Центральную симметрию от осевой отличает то, что в первом случае присутствует движение.

Вариант №2

Симметрия – вечная спутница жизни каждого человека. Предметы, природа, одежда, даже само тело человека симметрично. Идентичные половины изображений, объектов, предметов могут быть созданы как человеком специально, так и самой природой.

С точки зрения математической науки, симметрия подразделяется на симметричность по прямой линии – оси и симметричность по одной центральной точке.

Осевая симметрия

Теорема: Фигура является симметричной относительно линии A, если для любой точки фигуры симметричная для нее точка относительно линии Aтакже находится в пространстве этой фигуры.

Объектом с таким видом симметрии является тот предмет (тело, фигура), который, если зрительно или практически сложить пополам, то полученные половины относительно сгиба (оси предмета) будут идентичны.

Также стоит отметить, что если фигуры симметричны по прямой линии, то они будут равны между собой по размерам.

К таким предметам и фигурам относятся: круг (имеет одну ось), квадрат (четыре оси), прямоугольник (две оси), равнобедренный треугольник (одну ось), тело человека (одну ось), лист бумаги (одну ось), многие насекомые и растения, предметы искусства, отражения объектов в воде или на стекле, зеркале.

Внимание! Существуют фигуры, не имеющие осей симметрии. К ним относятся параллелограмм и большинство треугольников (оси имеет только равнобедренный), т.к. все их стороны разные.

Практически каждое здание имеет симметричность. А многие дворцы в мире построены симметрично специально – чтобы сложнее было ориентироваться незнакомым с пространством людям, попавшим во дворец. Это являлось своеобразной защитой от чужаков и нежелательных гостей. Всех ценных и желанных гостей встречали, а вот нежеланные посетители блуждали по замкам.

Центральная симметрия

Симметричность относительно одной точки называют центральной симметрией.

Теорема: Если фигура переходит в себя, будучи симметричной для точки A, то A будет являться точкой симметрии этой фигуры.

Если предмет относительно одной точки симметричен, то этот предмет обладает именно центральной симметрией.

Такой симметрией обладает шар, круг, параллелограмм, прямая линия, снежинка, цветок, паутина, пчелиные соты, иголки сосновой ветки, ракушки морских обитателей, круги на полях и даже наша галактика – Млечный путь!

Центры геометрических фигур и объектов вокруг нас:

для круга или шара центральной точкой является его центр;
для параллелограмма это точка, где пересекаются диагонали фигуры;
для прямой линии – точка, лежащая на самой прямой, т.е. прямая линия имеет бесконечное множество центральных точек симметрии;
у снежинки центром симметрии является место пересечения всех лучей снежинки;
у цветка – место пересечения лучей, проведенных через середину каждого лепестка;
для пчелиной соты – точка пересечения лучей из каждой вершины многоугольника;
веточка сосны с иголками – сама веточка. Иглы крепятся вокруг центрально стержня ветки.

Таким образом, симметрия становится постоянно спутницей жизни каждого человека. Окружая нас везде, мы сами не замечаем, что почти каждый предмет имеет определенную симметричность. Благодаря симметрии объекты выглядят более полными, объемными и аккуратными.

Осевая и центральная симметрия

Бусинки красные свисают, из кустов на нас глядят. Очень любят бусы эти, дети, птицы и медведи. Прочитав эти строки, можно догадаться, что речь пойдет о малине. Каждый человек лечил свою простуду при помощи малинового варенья.

Джейн Остин родилась в Англии 16 декабря 1775 года. С детства родители девочки привили ей любовь к классическим произведениям.

Драцена – довольно популярное декоративное растение. Часто модно встретить его на подоконниках квартир и офисов. Имеет несколько подвидов, различающихся размером и расцветкой, благодаря чему подходит как для небольшого уголка в квартире,

Читайте также: