Решето эратосфена реферат 5 класс

Обновлено: 02.07.2024

Математика. Арифметика. Геометрия. 5 класс [Текст]: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова [и др.]; Рос. акад. наук, Рос. акад. образования. — М.: Просвещение, 2016. — 223 с.

ТЕМА УРОКА : Решето Эратосфена.

ЗАДАЧИ:

обучающая : ввести понятия, связанные с делимостью чисел, формировать умение распознавать простые и ставные числа, пользуясь таблицей простых чисел; ознакомить с Решетом Эратосфена.

развивающая : расширить представление о натуральных числах, способствовать развитию логического мышления, исторического кругозора, математической интуиции, умению анализировать;

воспитательная : воспитывать у учащихся коммуникативные компетенции - культуру общения, навыки выступления, развивать умение делать выводы, выполнять упражнение самостоятельно с последующей самопроверкой.

ТИП УРОКА: Урок усвоения новых знаний, умений и навыков. ОБОРУДОВАНИЕ : Портрет Эратосфена. Решето Эратосфена. Ноутбук и проектор.

МЕТОДЫ : словесные, наглядные, практические, поисковые, познавательные игры, устный опрос, самопроверка.

Здравствуйте ребята! Присаживайтесь. Желаю сегодня на уроке всем плодотворной работы.

2.Актуализация опорных знаний учащихся. (Устная работа)

Ребята, давайте вспомним, с какими группами чисел мы познакомились на предыдущих уроках? (Простые и составные числа)

С чем связано разбиение на эти группы?

Какие числа называются простыми? Приведите примеры.

Какие числа называются составными? Приведите примеры.

К какой группе чисел относится число один? Почему?

Откройте учебник на стр.98. Посмотрите на мальчика, который растерял числа.

Назовите просыпавшиеся числа. (16,8,32,15,108,46,20,111).

Как их можно назвать? Почему? (Составные)

3.Мотивация учебной деятельности.

Ребята, еще раз повторим: как же узнать является число простым или составным?

А если число большое, например, 753, как поступить в таком случае?

Для того чтобы узнать каким является число простым или составным, кроме способа подсчета числа делителей, существует способ получения простых чисел, названный в честь древнегреческого ученого Эратосфена.

А как называется способ, полученный Эратосфеном и тему нашего урока, узнаете, отгадав ребус:

Конечно, это решето!

Какую цель мы поставим перед собой? Какие задачи? (в чем суть способа получения простых чисел, почему он получил такое название, практическое применение способа.)

4. Изучение нового материала.

Пришло время передохнуть!

На зарядку становись!

Влево, вправо повернись…..

Раз, два, три – не отставай.

Раз, два, три, четыре, пять.

Тот, кто делает зарядку,

Может нам сплясать вприсядку.

А теперь поднимем руки

И опустим их рывком,

Будто прыгаем мы с кручи

Летним солнечным деньком!

А теперь ходьба на месте,

Левой, правой, стой, раз, два.

Мы за парты сядем вместе,

Вновь возьмемся за дела!

6. Продолжаем работу. Практическая часть работы по теме.

Ребята, мы достигли цели урока? Все поставленные задачи решены?

Запишите на листах, чему вы научились на уроке в ходе выполнения практической работы?

7. Подведем итоги урока:

1.Что нового вы сегодня узнали на уроке?

2.В чем заключается способ Эратосфена?

3.Каково практическое применение способа?

Применяется для получения таблицы простых чисел. Таким же образом находятся таблицы простых чисел до 100, до 1000. Самая большая таблица простых чисел была вычислена на ЭВМ Лемером и содержит все простые числа до 100 000 000. Для чего необходимы таблицы простых чисел? Для определения группы, к которой относится число; применяется для сокращения дробей, для нахождения НОД и НОК. Поэтому не теряйте полученную таблицу, мы будем использовать ее в дальнейшем. В учебнике тоже есть таблица простых чисел.

В некоторых публикациях встречаются таблицы простых чисел в цвете. В них некоторые числа выделяют, синим или зеленым цветом. Эти числа носят название числа-близнецы – простые числа, которые в натуральном ряде отличаются на один. Например, 11 и 13.

8. Работаем по таблице:

Назовите по таблице еще примеры чисел-близнецов.

Среди чисел 2,3,5,7,12,17,40 назовите простые и скажите в названиях, каких художественных произведений они встречаются?

Определить каким является число 809? Делится ли оно на 19?

9. Домашнее задание: п. 21. Т.т. № 142 выучить простые числа от 1 до 50.

10. Рефлексия. Урок закончен. Уходя каждый из вас оставьте впечатление об уроке и понимание темы. Если вас понравилось, вы поняли материал, то закрепите на доске улыбку, а если нет, грустное выражение лица. Спасибо. До свидания!

Дополнительно:

Простые числа в Музыке.

Альфред Гарриевич Шнитке ( 1934 — 1998 ) — советский и российский композитор, теоретик музыки и педагог (автор статей о русских и советских композиторах), один из наиболее значительных музыкальных деятелей второй половины XX века . Написал свой знаменитый Двойной концерт для гобоя, арфы и струнного оркестров конце 70 года с использование простых

чисел нотного ряда .Вот как он сам это комментирует:

Материал содержит конспект урока и презентацию к нему.

Вложение	Размер
otkrytyy_urok_resheto_eratosfena.doc	55.5 КБ
resheto_eratosfena.ppt	573 КБ

Предварительный просмотр:

Урок в 5 классе

ТЕМА УРОКА : Решето Эратосфена.

МЕТОДЫ : словесные, наглядные, практические, поисковые, познавательные игры, устный опрос, самопроверка.

1.Организационный момент ( Слайд 1 ).

2.Актуализация опорных знаний учащихся. (Устная работа)

С чем связано разбиение на эти группы? Что называется делителем числа? Назовите все делители 30.

Какие числа называются простыми? Приведите примеры.

Какие числа называются составными? Приведите примеры.

К какой группе чисел относится число один? Почему?

Среди чисел: 3, 7, 9, 35, 12, 11,1, 100 назвать простые и составные числа; объяснить свой выбор. (Слайд 2)

3.Самостоятельная работа с последующей самопроверкой.

Молодцы, ребята! А теперь проверим как каждый из вас усвоил понятие делителя числа, простых и составных чисел. На выполнение работы отводится 3 минуты. ( Слайд 3)

1) Найдите все делители 20.

2) Простым или составным является число 13?

3) Верно ли, что 5 является делителем 45.

4) Верно ли, что 27 кратное 3?

5) Верно ли, что 1- составное число?

Время вышло. Закончили работу. Выполняем самопроверку с карандашом в руках. Выполняем честно, ничего не дописываем к своим ответам. Проверяем ответы следующим образом: если ваш ответ совпадет с ответом на экране, ставим цифру 1, если не совпадает, ставим цифру 0. После подсчитываем число единиц, выставляем оценку.

1, 2, 4, 5,10,20.
Простое число.
Да
Да
Нет

4.Мотивация учебной деятельности.

Ребята, еще раз повторим: как же узнать является число простым или составным?

А если число большое, например 683, как поступить в таком случае?

А как называется способ, полученный Эратосфеном и тема нашего урока, узнаете, отгадав загадку ( Слайд 6 ):

Хоть оно и ново, но –

В мелких дырочках все дно.

5. Изучение нового материала.

Наша задача на уроке ответить на ряд вопросов: в чем суть способа получения простых чисел, почему он получил такое название, практическое применение способа.

В отличие от Эратосфена, который использовал восковые таблички, мы будем использовать листы бумаги, на котором написаны числа от 1 до 30, лежащие у каждого из вас на столе . (Слайд 9) Способ получения простых чисел в следующем: числа относящиеся к простым вычеркиваем, числа простые обводим кружком следующим образом: 1- не относится ни к простым, ни к составным – вычеркиваем; число 2 – простое, обводим (Слайд 10) и вычеркиваем все числа, которые делятся на два . (Слайд 11) Т.о. продолжаем выполнять для всех чисел, начиная с числа 3 .(Слайд 12) (Один из учащихся продолжает работу на доске, остальные на местах). Каждый самостоятельно выполняет работу.

6. (Физкультминутка) Пришло время передохнуть! (Слайд 14)

На зарядку становись!

Влево, вправо повернись…..

Раз, два, три – не отставай.

Раз, два, три, четыре, пять.

Тот, кто делает зарядку,

Может нам сплясать вприсядку.

А теперь поднимем руки

И опустим их рывком,

Будто прыгаем мы с кручи

Летним солнечным деньком!

А теперь ходьба на месте,

Левой, правой, стой, раз, два.

Мы за парты сядем вместе,

Вновь возьмемся за дела!

7. Продолжаем работу. В некоторых публикациях встречаются таблицы простых чисел в цвете. ( Слайд 15 ). В них некоторые числа выделяют, синим или зеленым цветом. Эти числа носят название числа-близнецы – простые числа, которые в натуральном ряде отличаются на один. Например, 11 и 13.

8. Работаем по таблице:

1.Назовите по таблице еще примеры чисел-близнецов.

2.Среди чисел 2,3,5,7,12,17,40 назовите простые и скажите в названиях, каких художественных произведений они встречаются?

3.Определить каким является число 809? Делится ли оно на 19?

4.Выяснить истинность утверждений ( Слайд 16):

Проверить ответы. ( Слайд 16)

9. Подведем итоги урока:

1.Что нового вы сегодня узнали на уроке?

2.В чем заключается способ Эратосфена?

3.Практическое применение способа.

10. В заключении предлагаю выполнить тест (Приложение 1)

11. Оценивание. Оценки за работу на уроке будут выставлены после проверки ваших тестов, за работу на уроке и за самостоятельную работу. Но все спасибо за работу на уроке! Молодцы!

12. Д.з. п. 21. Т.т. № 131 выучить простые числа от 1 до 50.

13. Рефлексия. Урок закончен. Уходя каждый из вас оставьте впечатление об уроке и понимание темы. Если вас понравилось, вы поняли материал, то закрепите на доске улыбку, а если нет, грустное выражение лица. Спасибо. До свидания!

Решето Эратосфена

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Сейчас простые числа используются в разных областях: шифрование, нанотехнологии, программирование и во многих других. Простые числа помогают людям быть точнее в этих областях, а сейчас точность очень важна. В нанотехнологиях, например: в эти проекты вложены большие деньги, одно неверное действие – и эти вложения не принесут пользы.
Программирование: набрал не ту цифру – и придётся программировать заново. Многодневную работу одна ошибка может запросто поломать.
Данная работа посвящена простым числам и их вычислению.

Изучить сопутствующую теорию и историческое развитие данной темы;

Исследовать современное состояние изучаемого вопроса.

Гипотеза: существует ли самое большое простое число?

Методы исследования

1. Теоретический (изучение литературы);

Ожидаемый результат:

Составленная таблица простых чисел;

Глава 1. Простые и составные числа

Просто́е число́ — натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя — единицу и самого себя. Другими словами, число Х хххх хххххХХъххххххххххххххххххххххх
Х ХХХ является простым, если оно больше 1 и при этом делится без остатка только на 1 и на Х Х .К примеру, 5 — простое число, а 6 является составным числом, так как, помимо 1 и 6 , также делится на 2 и на 3 .

Составно́е число́ — натуральное число , бо́льшее 1, не являющееся простым . Каждое составное число является произведением двух или более натуральных чисел, бо́льших 1.

Число 1 имеет только один делитель: само это число. Поэтому оно не относится ни к простым, ни к составным числам.

Таким образом, все натуральные числа разбиваются на три класса: единицу (имеющую один натуральный делитель), простые числа (имеющие два натуральных делителя) и составные числа (имеющие больше двух натуральных делителей) [1] . Изучением свойств простых чисел занимается теория чисел 1 . Как простых, так и составных чисел бесконечно много.

Глава 2. Краткая биография Эратосфена

2.1 Кто такой Эратосфен?

Считается, что этот человек вычислил достаточно точные размеры Земли, но были у этого древнегреческого ученого и главы знаменитой Александрийской библиотеки и другие достижения. Круг его интересов поражает: от филологии и поэзии до астрономии и математики. Вклад Эратосфена в географию поражает воображение по сей день. Это во многом обусловлено неординарностью личности древнегреческого ученого. Необходимо раскрыть наименее известные факты в биографии этого загадочного человека и выдающегося ученого, чтобы ответить на вопрос о том, кто такой Эратосфен.

2.2 Краткие общие сведения о личности

2.3 Что значит быть древним греком?

Древние греки были искусными путешественниками, воинами и торговцами. Новые страны и земли манили их, обещая выгоду и знания. Древняя Греция, разделённая на множество полисов, и существующий пантеон богов, где каждый из них был покровителем определённого полиса, была скорее геополитическим пространством. Греки были не национальностью, это была культурная эллинистическая общность людей, считающая все остальные народы варварскими, которым необходимо помочь, познакомив их с культурой и цивилизацией.

Поэтому Эратосфен, как и большинство древнегреческих философов, так увлечённо любил путешествовать. Тяга к новому и привела его в Афины, где он продолжил своё обучение.

2.4 Жизнь в Афинах

В Афинах он не терял времени даром и продолжил обучение. Поэзию ему в своё время, помогал постигать великий Каллимах грамматику – Лисаний. Кроме этого, он ознакомился с философскими учениями и школами стоиков и платонистов. Себя он называл приверженцем последней. Впитывая знания в двух знаменитейших центрах науки и культуры Древней Греции, он лучше всех подходил на роль наставника для наследника. Птолемей III, не скупясь на посулы и обещания, уговорил ученого вернуться в Александрию. И Эратосфен не смог устоять перед возможностью поработать в Александрийской библиотеке, а впоследствии он стал её главой.

Александрийская библиотека

Библиотека была не просто академией или местом собрания древних

знаний. Она была сосредоточием науки того времени. Задаваясь вопросом о том, кто такой Эратосфен, нельзя не упомянуть о той деятельности, которую он развернул, будучи назначенным главным хранителем Александрийской библиотеки.

Здесь жили и работали многие знаменитейшие философы античности, а также готовились кадры для администрации Птолемеев. Огромный штат переписчиков и наличие папируса позволяли пополнять фонды на месте. Александрийская библиотека достойно соперничала с Пергамской. Были предприняты ещё некоторые шаги, направленные на увеличение фонда. Все найденные на кораблях свитки и пергаменты бережно копировались. Ещё одно нововведение Эратосфена – это учреждение целого отдела, изучающего Гомера и его наследие. Немало он тратил и своих личных средств на покупку древних свитков. По некоторым сохранившимся до наших дней сведениям, здесь хранилось свыше семисот тысяч рукописей и пергаментов. Эратосфен продолжил дело своего учителя Каллимаха, который основал научную библиографию. И до 194 года до н. э. верно исполнял возложенные на него обязательства, пока с ним не случилось несчастье – он ослеп и не мог заниматься любимым делом. Это обстоятельство лишило его тягу к жизни, и он умер, перестав принимать пищу.

Крёстный отец географии

была произведена попытка систематизировать полученные на тот момент знания об изучении Земли. Так зародилась новая наука – география. Эратосфена считают и создателем первой карты мира. В ней земную поверхность он разделил условно на 4 зоны. Одну из этих зон он выделил для проживания людей, поместив её строго на севере. По его представлениям и на основании известных тогда данных человек чисто физически не мог существовать южнее. Слишком горячий климат сделал бы это невозможным.

2.8 Измерение размеров Земли

Наблюдательные египтяне заметили один интересный факт, который потом лёг в основу принципа измерения Земли Эратосфеном. В дни солнцестояния в разных уголках Египта солнце освещает дно глубоких колодцев (Сиена), а в Александрии такого явления не наблюдается.

Какой инструмент использовал Эратосфен, чтобы вычислить размеры Земли? 19 июня 240 года до н. э. в Александрии в день летнего солнцестояния при помощи чаши с иглой он определил угол нахождения солнца на небе. Отталкиваясь от полученного результата, ученый высчитал радиус и окружность Земли. Она составила по разным источникам от 250000 до 252000 стадий. В переводе на современную систему исчислений получается, что средний радиус Земли составил 6287 километров. Современная наука вычисляет такой радиус и даёт величину, составляющую 6371 км. Стоит отметить, что для того времени такая точность вычисления была просто феноменальной.

2.9 Мезолябия

Прибор состоял из трех равных прямоугольных треугольников и двух реек. Одна из фигур закреплена, а остальные две могут передвигаться по рейкам (AB и CD). При условии, что точка K находится на середине стороны DB, а два свободных треугольника расположены таким образом, что пункты пересечения их сторон (L и N) совпадают с прямой AK, объем куба с ребром ML будет в два раза больше куба с ребром DK.

Глава 3. Решето Эратосфена

Этот прием, применяемый ученым, описан в трактате Никомаха Геразенского и служит для определения простых чисел. Было замечено, что некоторые числа можно разделить на 2, 3, 4 и 6, а иные делятся без остатка только сами на себя. Последние (к примеру, 7, 11, 13) и называются простыми. Если нужно определить небольшие числа, то, как правило, проблем не возникает. В случае с большими руководствуются правилом Эратосфена. Во многих источниках до сих пор оно называется решетом Эратосфена, и других способов определения простых чисел не изобретено.

Суть метода заключается в следующем. Все числа выписываются в квадратной таблице (например, 10 х 10) и дальше зачеркиваются те, что делятся на 2, на 3, на 5 (т.к. те, что делятся на 4, уже зачеркнуты, раз они делятся на 2), на 7 (так как те, что делятся на 6, зачеркнуты, четные) и т.д.

На форзаце нашего учебника математики приведена таблица простых чисел от 2 до 997. Следуя выше названному алгоритму, я искала простые числа. Я составила таблицу простых чисел от 2 до 1999. Процесс нахождения простых чисел представлен в приложении.

ГОСТ

Решето Эратосфена — это алгоритм определения всех простых чисел до заданного целого числа N, который разработал древнегреческий учёный Эратосфен Киренский.

Введение

Решетом Эратосфена назван разработанный им алгоритм, который позволяет найти все простые числа вплоть до заданного целого числа n. Как это часто бывает, в названии алгоритма заложен принцип его функционирования. Термин решето имеет в виду фильтр, который пропускает все числа кроме простых. Список всех чисел фильтруется и при этом ненужные, составные числа отсеиваются, а искомые простые числа оставляются. Метод, как гласит легенда, был назван решетом, поскольку Эратосфен использовал для записи чисел дощечку, которая была покрыта воском, и он делал отверстия там, где писал составные числа. Эта доска стала аналогом решета, через которое отсеивались только составные числа, а простые, естественно, не отсеивались. Эратосфенам была составлена таблица простых чисел вплоть до тысячи.

Алгоритм решето Эратосфена

Чтобы найти все простые числа вплоть до некоторого числа n согласно способу Эратосфена, необходимо осуществить такие действия:

Записать в целочисленный ряд все числа, начиная от двойки и заканчивая n (2, 3, 4, …, n).
Предположим, что некая переменная р сначала равняется двум (это первое простое число).
Далее необходимо выполнить зачёркивание чисел от 2р до n, отсчитывая шагами, равными р. То есть это числовой ряд, кратных р значений: 2р, 3р, 4р, …).
Затем нужно выполнить поиск первого не зачёркнутого числа в списке, большего чем р, и назначить переменной р это числовое значение.
Далее необходимо выполнять повторение этапов три и четыре до тех пор, пока это ещё можно сделать.

После завершения этого алгоритма, список будет состоять только из простых чисел от двух до n, имея в виду только те числа, которые не зачёркнуты. При практической реализации, возможны следующие улучшения алгоритма. В пункте номер три возможно выполнять зачёркивание чисел, начав сразу с $p^2$, поскольку составные числа, которые меньше этого числа, к этому моменту будут уже зачёркнуты. И, следовательно, прекращать работу алгоритма можно, когда $p^2$ примет значение большее, чем n. И кроме того, все простые числа, исключая двойку, являются нечётными числами, и значит для них начинать отсчёт шагов по 2р возможно, начиная с $p^2$.

Готовые работы на аналогичную тему

Рассмотрим конкретный пример выполнения этого алгоритма для n = 30. Выпишем ряд натуральных чисел от двух до тридцати:

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Первым в списке стоит простое число два. Выполним проход по числовому ряду и будем зачёркивать все кратные двум числа. Фактически это будет каждое второе число, начиная с четвёрки, поскольку это два в квадрате:

Рисунок 1. Числовой ряд. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Следующим не зачёркнутым числом будет простое число три. Выполним проход по числовому ряду и зачеркнём все кратные трём числа. А именно каждое третье число, начиная с девятки, поскольку три в квадрате это девять:

Рисунок 2. Числовой ряд. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Очередным не зачёркнутым числом теперь будет простое число пять. Выполним проход по числовому ряду и зачеркнём все числа, которые кратны пяти. А именно каждое пятое число, начав с двадцати пяти, поскольку это пять в квадрате:

Рисунок 3. Числовой ряд. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Далее очередным не зачёркнутым числом будет семёрка. Но семь в квадрате это сорок девять, что уже больше тридцати. Значит действие алгоритма закончено и все не простые числа мы уже зачеркнули:

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29

Модифицированные варианты решета Эратосфена

Существует версия решета Эратосфена, которая называется неограниченным или постепенным вариантом. Здесь вычисление простых чисел осуществляется последовательно, без верхнего ограничения. Определяются числа, которые находятся в интервалах между составными числами, найденными для всех простых чисел р, начиная с р в квадрате и с шагом р (или 2р, если это нечётные простые числа). Алгоритм может быть представлен в следующем виде:

Рисунок 4. Алгоритм. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Здесь \ является обозначением разницы среди арифметических прогрессий. Первым простым числом является двойка, что заранее определено, поэтому нет никаких логических ошибок.

Решето Эратосфена иногда могут спутать с алгоритмами поэтапной фильтрации составных чисел, где выполняется тестирование каждого числа, подозреваемого в не простоте, применяя одно простое число на каждом шаге. Одним из таких вариантов является очень популярный функциональный код Дэвида Тёрнера, который часто путают с решетом Эратосфена. Но фактически это не оптимизированный вариант, основанный на переборе делителей. В псевдокоде он записывается так:

В данном проекте вы можете узнать информацию о числах, входящих в "Решето Эратосфена" и практически выполнить изготовление модели решета с простыми числами.

Полное наименование образовательного учреждения

МБОУ им.Героя Советского Союза В.И.Аулова с.Первомайское

Лев-Толстовского муниципального района Липецкой области

Решето Эратосфена

Фамилия, имя, отчество обучающегося

Толстушенко Виктор Сергеевич

Ученик 6 класса

Фамилия, имя, отчество руководителя

Шуваева Светлана Борисовна

Учитель математики

II. Основная часть

2.1. Анкетирование учащихся 6-9 классов……………………………………………………………4

2.3. Значение слова РЕШЕТО в Толковых словарях………………………………………………. 4

2.4.Краткое описание основных используемых понятий (простые и составные числа)…………..4

III. Практическая часть проекта: изготовление решета Эратосфена………………………………..6

V.Список используемой литературы и интернет- ресурсов………………………………. 8

VI. Приложение 1 Простые числа от 2 до 997…………………………………………..…………. 9.

Приложение 2 Простые числа от 2 до 2803…………………………………..……. 10

Приложение 3 Работы и сочинения Эратосфена в математике, астрономии,

Изучить сопутствующую теорию и историческое развитие данной темы.

Выяснить существует математическая формула для их отыскания.

Исследовать современное состояние изучаемого вопроса.

Гипотеза: можно ли найти формулу для расчёта простых чисел.

II. Основная часть

2.1 Анкетирование учащихся 6-9 классов

2.2. Биография Эратосфена

2.3. Значение слова РЕШЕТО в Толковых словарях

Я рассмотрел значение слова решето в толковых словарях Ефремовой, Ушакова, Ожегова, и в большом энциклопедическом словаре. Значение слова РЕШЕТО в Толковом словаре Ефремовой решето- это предмет хозяйственной утвари в виде широкого деревянного обода с натянутой на одну сторону крупной сеткой. В толковом словаре Ушаковой решето- это утварь для просеивания муки. В толковом словаре Ожегова решето - обруч с натянутой на него частой мелкой сеткой для процеживания, просеивания. В большом энциклопедическом словаре решето – это устройство для разделения сыпучих масс по размеру частиц просеиванием через сетки. Различают сита плоские (вибрационные, качающиеся) и барабанные (вращающиеся).

2.4. Краткое описание основных используемых понятий (простые и составные числа)

В зависимости от того, сколько делителей имеет число, числа делятся на простые и составные. Знание наизусть простых чисел или проверка их по таблице используется для сокращения дробей, нахождения наибольшего общего кратного и наименьшего общего знаменателя и в других вычислениях. Простое число — это число, у которого только два делителя: 1 и само число. Например: 13,17,19 и другие.

Все простые числа сведены в таблицу простых чисел, из которой желательно знать наизусть однозначные и двузначные простые числа, что упростит вычисления по многим темам школьной программы.

Составные числа кратны трем и более натуральным числам. Натуральное число, имеющее натуральный делитель, отличный от него самого и 1, называется составным числом.Например:6,8,12 и другие. Среди простых чисел встречаются числа-близнецы. Числа- близнецы это простые числа, отличающиеся на 2, например 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13…

В Научно-исследовательской лаборатории Лос-Аламоса были получены все простые числа до

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1 — не простое число, вычеркивается.

2 — подчеркиваем. Находим числа, кратные 2, и вычеркиваем их (4, 6. 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20).

3 — подчеркиваем. Вычеркиваем в поле все числа, которые кратны 3 (9, 15).

5 — подчеркиваем. Числа, кратные 5, уже вычеркнуты с поля (10,15.20).

7 — подчеркиваем. Число, кратное 7, уже вычеркнуто с поля (14).

Числа 11.13,17 и 19 в нашем поле не имеют кратных чисел, подчеркиваем их.

Следовательно, из чисел первых двух десятков простыми будут числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13. 17, 19.

2.6. Формула простого числа

Леонард Эйлер указал формулу: p = x * x – x + 41, позволяющую вычислять сорок одно простое число, если х = 0, 1, 2… 40. Но по этой формуле нельзя определить все простые числа, а всего лишь 41 число. Пьер Ферма высказал предположение, что все числа вида 2 m +1, где m=2 n , простые.
И в самом деле первые 4 числа (n=1,2,3,4)
2 2 +1=5, 2 4 +1=17, 2 8 +1=257, 2 16 +1=65537
простые, но пятое число 2 32 +14294967297 - составное.

1) 0 х 0 - 0 + 41 = 41.

2) 5 х 5 – 5 + 41 = 61.

3) 20 х 20 – 20 + 41 = 421.

4) 3 х 3 – 3 + 41 = 47.

5) 40 х 40 – 40 = 1601

Марен Марсен заинтересовался числами вида 2 p -1, где p простое число.
При p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19 мы получим простые числа: 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287. Но М₁₁= 2047 = 23*89 - составное. Составными будут и числа М₂₃ и М₂₉
Леонарду Эйлеру удалось доказать, что простым является число М₃₁ = 2147 483 647.
В 1883 г.

Иван Михеевич Первушин сумел доказать, что простым является
М₆₁=2 305 843 002 913 693 951. В наше время при помощи ЭВМ найдено еще несколько простых чисел этого вида. Одно из последних - 2 216091 – 1 . Но и сейчас никто не знает формул, по которым можно было бы вычислить все новые простые числа. Их поиск напоминает поиск новых звезд на ночном небе, при этом роль телескопов исполняют самые мощные и совершенные из всех современных ЭВМ.

Ш. Практическая часть проекта: изготовление решета Эратосфена

Для изготовления модели решета Эратосфена я взял кусок фанеры размером 40*40 сантиметров квадратных. Расчертил 100 клеток шириной по 4 сантиметра. Выписал все целые числа от 1 до 100 в виде прямоугольной таблицы. Вычеркнул все числа, кратные 2 (за исключением самой 2), проведя вертикальные черты во втором, четвертом и шестом столбцах. Вычеркнул все числа, кратные 3, (за исключением самой 3), проведя вертикальную черту в третьем столбце. Следующее за 3 не вычеркнутое число 5. Чтобы вычеркнуть все числа, кратные 5, провёл диагонали, идущие вниз и влево. Чтобы вычеркнуть все числа, кратные 7, провёл диагонали, идущие с наклоном вправо и вниз. Числа 8,9 и 10 – составные, их кратные уже были вычеркнуты раньше. Моя работа по составлению списка простых чисел, не превосходящих 100, на этом закончилась. В вычеркнутых числах я сделал на уроке технологии отверстия, а оставшиеся простые числа с помощью прибора для выжигания обвёл, чтобы их было отчетливо видно, и покрыл простые числа лаком. Данную модель я изготовил своими руками.

IV. Заключение.

Решето Эратосфена работает, как вычислительная машина. Так, значит, Эратосфен изобрел счётную машину. А ведь для простых чисел не существует даже формулы, по которой их можно вычислить все. Формулы нет, а Решето есть. И создав модель Решета Эратосфена, я построил таблицу простых чисел от 2 до 97. Есть какая-то странность в этих простых числах. Вроде бы в Решете Эратосфена нет никаких случайностей и должна получаться точная и легко записываемая формулой последовательность. Но как, ни странно: формулы нет! Моя гипотеза о том, можно ли найти формулу для расчёта простых чисел оказалась не полностью осуществимой. Сколько столетий уже искали, но никто не может создать. В это настолько не верится, что и сегодня современные математики начинают искать несуществующую формулу. Но эти поиски не заканчиваются успехом. Может я со временем смогу вывести эту формулу и мне повезёт?

V.Список литературы и интернет-ресурсы:

3.Толковый словарь Ефремовой, 2012 г

4. Толковый словарь Ушакова, 2012 г

5.Толковый словарь Ожегова, 2012 г

6. "Квант" №1, 1974 г

Работы и сочинения Эратосфена

Работы по математике

Работы по астрономии

Для своих астрономических наблюдений Эратосфен установил под портиком здания Мусейона большие армиллярные сферы.

Эратосфен определил угловое расстояние от экватора до тропика: он нашёл его равным 11/83 от 180°.

Работы по геодезии и географии

Измерение Земли по Эратосфену

Эратосфен говорит, что Сиена и Александрия лежат на одном меридиане. И поскольку меридианы в космосе являются большими кругами, такими же большими кругами обязательно будут и меридианы на Земле. И поскольку таков солнечный круг между Сиеной и Александрией, то и путь между ними на Земле с необходимостью идёт по большому кругу. Теперь он говорит, что Сиена лежит на круге летнего тропика. И если бы летнее солнцестояние в созвездии Рака происходило ровно в полдень, то солнечные часы в этот момент времени с необходимостью не отбрасывали бы тени, поскольку Солнце находилось бы точно в зените; дела и в самом деле обстоят таким образом в [полосе шириной] в 300 стадиев. А в Александрии в этот же час солнечные часы отбрасывают тень, поскольку этот город лежит к северу от Сиены. Эти города лежат на одном меридиане и на большом круге. На солнечных часах в Александрии проведём дугу, проходящую через конец тени гномона и основание гномона, и этот отрезок дуги произведёт большой круг на чаше, поскольку чаша солнечных часов расположена на большом круге. Далее, вообразим две прямые, опускающиеся под Землю от каждого гномона и встречающиеся в центре Земли. Солнечные часы в Сиене находятся отвесно под Солнцем, и воображаемая прямая проходит от Солнца через вершину гномона солнечных часов, производя одну прямую от Солнца до центра Земли. Вообразим ещё одну прямую, проведённую от конца тени гномона через вершину гномона к Солнцу на чаше в Александрии; и она будет параллельна уже названной прямой, поскольку уже сказано, что прямые от разных частей Солнца к разным частям Земли параллельны. Прямая, проведённая от центра Земли к гномону в Александрии, образует с этими параллельными равные накрестлежащие углы. Один из них — с вершиной в центре Земли, при встрече прямых, проведённых от солнечных часов к центру Земли, а другой — с вершиной на конце гномона в Александрии, при встрече с прямой, идущей от этого конца к концу его же тени от Солнца, там где эти прямые встречаются наверху. Первый угол опирается на дугу от конца тени гномона до его основания, а второй — на дугу с центром в центре Земли, проведённую от Сиены до Александрии. Эти дуги подобны между собой, поскольку на них опираются равные углы. И какое отношение имеет дуга на чаше к своему кругу, такое же отношение имеет и дуга от Сиены до Александрии [к своему кругу]. Но найдено, что на чаше она составляет пятидесятую часть своего круга. Поэтому и расстояние от Сиены до Александрии с необходимостью будет составлять пятидесятую часть большого круга Земли. Но оно равно 5 000 стадиев. Поэтому весь круг будет равен 250 000 стадиям. Таков метод Эратосфена.

Позднее полученное Эратосфеном число было увеличено до 252 000 стадиев. Определить, насколько эти оценки близки к реальности, трудно, поскольку неизвестно, каким именно стадием пользовался Эратосфен. Но если предположить, что речь идёт о греческом (178 метров), то его радиус земли равнялся 7 082 км, если египетским (157,5), то 6 287 км. Современные измерения дают для усреднённого радиуса Земли величину 6 371 км, что делает вышеописанный расчёт выдающимся достижением и первым достаточно точным расчётом размеров нашей планеты.

В сравнительно больших отрывках дошло до настоящего времени сочинение Эратосфена о географии. В полном своём составе оно делилось, по свидетельству Страбона, на три книги. В первой автор дал критический обзор истории географии, от первого появления географических понятий у Гомера до своих непосредственных предшественников, то есть до историков и географов, воспользовавшихся походами Александра Македонского и их описаниями. Вторая книга излагает основы географии по взглядам самого автора. Предмет третьей книги составляет суша.

Другие работы Эратосфена

Читайте также: