Решение квадратных уравнений в древнем вавилоне реферат

Обновлено: 02.07.2024

Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется найти одну или несколько неизвестных, зная при этом результаты некоторых действий, произведённых над искомыми и данными величинами. Такие задачи сводятся к решению одного или системы нескольких уравнений, к нахождению искомых с помощью алгебраических действий над данными величинами. В алгебре изучается общие свойства действий над величинами.

Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне. Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земельными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Как было сказано ранее, квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилонянами. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются как неполные, так и полные квадратные уравнения.

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современными, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решением, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствует понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратного уравнения.

Делись добром ;)

Похожие главы из других работ:

1.1 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера.

1.2 Тригонометрия в Древнем Мире

1.1 Возникновение и понятие функции в древнем мире

Понятие функции уходит своими корнями в ту далекую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны. Они еще не умели считать, но уже знали, что, чем больше оленей удастся убить на охоте.

1.2 Возникновение и понятие функции в древнем Египте

Но когда возникли первые цивилизации, образовались большие (по тогдашним масштабам), армии, началось строительство гигантских пирамид, то понадобились писцы, которые учитывали поступающие налоги, определяли количество кирпичей.

1.3 Возникновение и понятие функции в Древнем Вавилоне

Высокого уровня достигла математика в Древнем Вавилоне. Чтобы облегчить вычисления, вавилоняне составили таблицы обратных значений чисел, таблицы квадратов и кубов чисел и даже таблицы для суммы квадратов чисел их кубов.

II. Развитие математики в Древнем Китае

2.1 Уравнения вида

Пример 1. Решить уравнение . Решение. Возведем обе части исходного уравнения в квадрат.. О т в е т: . Пример 2. Решить уравнение . Решение. В левой части исходного уравнения стоит арифметический квадратный корень - он по определению неотрицателен.

2.2 Уравнения вида

1.3 Уравнения в Индии

§2 Вид: простейшие логарифмические уравнения. Метод решения: по определению логарифма. Логарифмо-показательные уравнения

Пример 1. Решите уравнение . Решение: Область допустимых значений - множество всех действительных чисел, так как при всех . По определению логарифма имеем . Получим показательное уравнение, которое решим методом приведения к алгебраическому.

3.2 Сингулярные интегральные уравнения и уравнения типа свертки с монотонной нелинейностью

Пример 3.1. Нелинейные уравнения с ядром Гильберта: (3.12) (3.13) Имеют единственное решение в гильбертовом пространстве . В 1977 году Г.М. Магомедов рассмотрел нелинейные сингулярные интегральные уравнения с ядром Коши вида (3.

2.1 Уравнения типа

Пусть дано уравнение , (8) не содержащее искомой функции и её производной первого порядка . Здесь порядок понижается непосредственно путём последовательного интегрирования. Действительно, учитывая, что , уравнение (8) можно записать в виде.

6. УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАССА И ПУАСОННА (УРАВНЕНИЯ ЭЛЛЕПТИЧЕСКОГО ТИПА) В КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ

Напомним уравнение Пуассона (4) (4) На практике к построению конечноразностных схем применяют несколько шаблонов. 1. Конечноразностная схема "крест".

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

История квадратных уравнений

Необходимость решать уравнения не только первой степени, но и второй ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков, с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне. Правила решения этих уравнений, изложенные в вавилонских текстах, совпадает по существу с современными, но в этих текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

«Обезьянок резвых стая

А двенадцать по лианам Всласть поевши, развлекалась

Стали прыгать, повисая

Их в квадрате часть восьмая

Сколько ж было обезьянок,

На поляне забавлялась

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что автор знал о двузначности корней квадратных уравнений. Соответствующее задаче уравнение Бхаскара пишет под видом x2 - 64x = - 768 и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 322, получая затем: x2 - б4х + 322 = -768 + 1024, (х - 32)2 = 256, х - 32= ±16, x1 = 16, x2 = 48.

Квадратные уравнения в Европе XVII века

Определение квадратного уравнения

Уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a, b, c - числа, , называется квадратным.

Коэффициенты квадратного уравнения

Числа а, b, с – коэффициенты квадратногоуравнения.а – первый коэффициент (перед х²), а ≠ 0;b - второй коэффициент (перед х);с – свободный член (без х).

Какие из данных уравнений не являются квадратными?

1. 4х² + 4х + 1 = 0;2. 5х – 7 = 0;3. - х² - 5х – 1 = 0;4. 2/х² + 3х + 4 = 0;5. ¼ х² - 6х + 1 = 0;6. 2х² = 0;

7. 4х² + 1 = 0;8. х² - 1/х = 0;9. 2х² – х = 0;10. х² -16 = 0;11. 7х² + 5х = 0;12. -8х²= 0;13. 5х³ +6х -8= 0.

– Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.
Сегодня на уроке мы будем решать квадратные уравнения, которые уже решали на уроках алгебры в 8 классе. Только познакомимся с теми способами, которые не представлены в Вашем учебнике. Сегодня у нас урок-путешествие.

Древний Вавилон
Античный мир
Эпоха Возрождения в Европе
Средневековый Восток

– Посмотрим, каким же образом решали квадратные уравнения в различные времена и похожи ли эти решения на современное.
Вспомним стандартный алгоритм решения квадратного уравнения.

2. Алгоритм решения квадратного уравнения:

Алгоритм строится на доске учителем, помогают учащиеся. По ходу построения схемы можно задавать наводящие вопросы:
– На что обращаем внимание, увидев квадратное уравнение?
– Стандартный вид, полное или неполное, приведенное или нет?
– Отмечаем другим цветом общий случай решения квадратного уравнения Повторяем теорему Виета.
– Теперь же отправимся в глубину веков и сначала посетим древний Вавилон.

3. Древний Вавилон (I тысячелетие до н.э.)

– Имена математиков этого времени не сохранились. Вся информация у современных ученых заимствована из клинописных табличек. Математика в то время считалась знанием для избранных, ей владели жрецы, которые тщательно оберегали информацию от непосвященных. Основным принципом того времени было указание к действию (делай как Я). Объяснение при решении уравнений в то время отсутствует. Вывода формул нет. Дается только рецепт решения конкретного квадратного уравнения, алгоритм носит общий характер. Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.
При разборе задачи удобно разделить доску на две части. На одной записывать указания с клинописных табличек, на другой – стандартный алгоритм решения квадратного уравнения.

Задача 1.

Взял эту одну и разделил пополам

Умножил на саму себя.

Что является квадратом 29 ?

Сложим то, что получили с первой половиной ()

Прибавили то, что было

добавили свободный член

Отсутствует второй корень квадратного уравнения x₂ = – 29 (его легко найти по теореме, обратной теореме Виета). В древнем Вавилоне не оперировали с отрицательными числами, все задачи определялись практической жизнью. Поэтому получен только положительный корень.

Задача 2.

Длина и ширина вместе 14. Площадь 40. Найди длину и ширину.

Длина и ширина вместе 14. Площадь 40. О какой фигуре идет речь?

Можно догадаться, что речь идет о прямоугольнике со сторонами х и у.

Записываем систему уравнений, используя условие задачи.

– Каким образом можно решить систему?

1) Можно использовать способ подстановки.
2) Можно записать по теореме Виета квадратное уравнение и решить его.

Найди квадрат длины и ширины, взятых вместе:

Квадрат длины и ширины, взятых вместе равен 196. (Раскрываем скобки)

Возьми четыре площади – это 160.

Вычти из квадрата эти четыре площади, получишь 36.

Найди корень. Это 6. x – y = 6

Предполагается, что длина больше ширины ( х > у). Это значит, что длина превосходит ширину на 6. Сложи длину и ширину с их разностью.

(x + y) + (x – y) =14 + 6. Это будет 20.
2x = 20. Две длины равны 20, значит одна длина 10.
x = 10.
Из суммы вычти разность.
(x + y) – (x – y) = 14 – 6
2y = 8
y = 8

Ответ: длина 8, ширина 6.

Для простых систем уравнений удобно было пользоваться стандартными способами, для более сложных – искали свои пути решения (это будет позднее).
Перенесемся теперь в Античный мир.

4. Античный мир (II век до н. э. – IV век н.э., Архимед, Евклид)

Метод решения квадратных уравнений разработал Евклид. Раньше уравнения решали по образцу, ничего не объясняя (существовало правило – делай как я).
В Античности появляется обязательное требования объяснять решение (почему что-то случилось, что произошло?). Геометрия в то время считалась наукой всех наук.
Поэтому теперь посмотрим на квадратное уравнение с точки зрения геометрии.

Задача 3.

Отрицательных чисел в те века еще не знали, приблизился к ним только Диофант. Поэтому рассматриваем решение, используя только положительные числа.

В этом уравнении коэффициенты р > 0, q > 0. x = .

Записанное выражение напоминает теорему Пифагора. Если рассматривать , то проводя параллель с теоремой Пифагора можно догадаться, что находим катет (т.к. стоит знак минус). В этом случае гипотенуза равна , катет .

Выполним построение прямоугольного треугольника с помощью циркуля:

С центром в точке Р построим полуокружность радиусом РА = (РА – гипотенуза). От точки Р отложим вправо отрезок РМ = (отрезок РМ – катет).

В этом случае расстояния СМ и КМ:

Для решения алгебраической задачи использовалась геометрия. В древности часто встречался синтез алгебры с геометрией.

Теперь отправимся на дальше.

5. Средневековый Восток (IX век н.э. аль-Хорезми)

В эти века все вычисления производились в уме, все объяснялось на словах, поэтому за решение очень сложно уследить, т.к. всё считается устно и вся информация держится в голове.
Задачи решались геометрическим способом. Мы знаем среднеазиатского математика аль-Хорезми, он дал классификацию линейных и квадратных уравнений и способы их решения. Общее решение квадратного уравнения он не рассматривал, т.к. его не интересовали уравнения, у которых не было ни одного положительного корня. Он старался записать уравнение так, чтобы все его члены выступали в качестве слагаемых, а не вычитаемых. Аль-Хорезми рассматривал пять типов квадратных уравнений:

ax 2 + bx = c ( квадраты и корни равны)
ax 2 + c = bx (квадраты и числа равны корням)
ax 2 = bx + c (корни и числа равны квадратам)
ax 2 = bx (квадраты равны корням)
ax 2 = c ( квадраты равны числу)

Почему? В то время еще не знали отрицательных чисел, Идея отрицательных чисел вносит общие методы решения, упрощает алгоритм. Кроме алгебраического способа нахождения корня уравнения аль-Хорезми обычно предлагал и геометрический.

Задача 4.

Квадрат и десять его корней равны 39. Рассмотрим геометрическое решение уравнения х 2 + 10х = 39.
Рисуем квадрат, сторона которого обозначается неизвестной величиной х.
x 2 – площадь квадрата со стороной x, 10x – площадь прямоугольника со сторонами 10 и x

6. Европа. Эпоха Возрождения (рассмотрим конкретное время – XVI век н. э. Франсуа Виет)

Задача 5.

Рассмотрим уравнение х 2 – 6х – 16 = 0. Вводим новую переменную (на первый взгляд усложняем уравнение, но посмотрим, к чему это приведёт).

Мы хотим получить неполное квадратное уравнение, при каком значении а это получится?

Подводя итоги, можно сделать вывод: квадратные уравнения играют огромную роль в развитии математики. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания вуза. Эти знания могут пригодиться нам на протяжении всей жизни. Алгебра и геометрия – взаимосвязаны.

Рассмотренные методы решения квадратных уравнений могут заинтересовать увлекающихся математикой учеников, дают возможность по-другому посмотреть на те задачи, которые ставит перед нами математика.

В качестве домашнего задания можно предложить учащимся решить следующие квадратные уравнения различными способами.

1. x 2 – 10x – 9 = 0 решить способом в стиле Виета, аль-Хорезми.
2. x 2 – 10x + 9 = 0 решить способом в стиле Евклида.
3. 2x 2 – x – 1 = 0 решить способом в стиле Виета.
4. x 2 – 4x + 3 = 0 подобрать способ решения в стиле Евклида.
5. x 2 – 10x = 16 подобрать способ решения в стиле аль-Хорезми.

Презентация на тему: " Квадратные уравнения. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне." — Транскрипт:

2 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

3 Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.

4 Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных и полные квадратные уравнения. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных и полные квадратные уравнения.

5 Правила решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Правила решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

6 Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

8 Квадратные уравнения в Индии

10 В уравнении коэффициенты, кроме а, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим. В уравнении коэффициенты, кроме а, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

13 Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений. Соответствующее этой задаче уравнение: (Х/8) + 12 = х, Бхаскара пишет под видом Х – 64Х = -768 и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 32, получая затем: Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений. Соответствующее этой задаче уравнение: (Х/8) + 12 = х, Бхаскара пишет под видом Х – 64Х = -768 и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 32, получая затем: Х - 64Х + 32 = Х - 64Х + 32 = (Х – 32) = 256 (Х – 32) = 256 Х1 = 16, Х2 =

15 Трактат ал – Хорезми является первой дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения. Трактат ал – Хорезми является первой дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения. Хорезмский математик аль – Хорезми разъясняет приёмы решения уравнений вида ax =bx, ax =c, ax=c, ax +c=bx, ax +bx=c, bx+c=ax, (буквами a, b и c обозначены лишь положительные числа) и отыскивает только положительные корни. Хорезмский математик аль – Хорезми разъясняет приёмы решения уравнений вида ax =bx, ax =c, ax=c, ax +c=bx, ax +bx=c, bx+c=ax, (буквами a, b и c обозначены лишь положительные числа) и отыскивает только положительные корни

19 Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVIв. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVIIв. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других учёных способ решения квадратных уравнений принимает современный вид. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVIв. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVIIв. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других учёных способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Читайте также: