Реферат высказывания и операции над ними

Обновлено: 02.07.2024

математика для педагогических специальностей

Логические операции над высказываниями и предикатами ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )

Операции над высказываниями — это способы получения сложных высказываний из простых с помощью различных связок. Поскольку в логике главное внимание уделяется значению истинности высказывания, то при рассмотрении операций мы должны определить, в каких случаях из простых высказываний (при каких значениях их истинности) получится истинное или ложное сложное высказывание с помощью каждой из логических связок.

Первая из логических операций называется отрицанием (или инверсией).

Соответствие значений истинности сложного высказывания значениям истинности простого высказывания (простых высказываний) изображается с помощью таблиц истинности. Согласно определению таблица истинности для —А выглядит так:

Отрицание является единственной операций, когда для получения сложного высказывания достаточно взять одно высказывание. В остальных операциях сложное высказывание получается из двух простых.

Таблица истинности конъюнкции следующая:

Таблица истинности импликации:

В импликации А —" В высказывание А называется посылкой (или условием), а высказывание В — следствием <заключением).

• дождь пошел ([Л] = 1), мы остались дома ([В| = 1) — случилось то, что должно было случиться;
• дождь пошел ([Л] = 1), но мы дома не остались ([В] = 1) — случилось то, что не должно было случиться при сформулированных условиях;
• дождь не пошел ([Л] = 0), но мы остались дома ([В] = 1) — результат для нас благоприятный, и в сложном высказывании не было ничего сказано, как поступить, если дождь не пойдет;
• дождь не пошел ([Л] = 0), и мы не остались дома (|В| = 0) — хотя для нас это не очень желательно, но объективно понятно, что правильно.

При этом в логике, как мы уже не раз подчеркивали, не предполагают содержательную связь высказываний. Важна только формальная связь, которая представлена в таблице истинности.

С импликацией вы также очень часто встречались при изучении математики в школе. Многие теоремы формулируются в виде импликации (или, говорят еще, в импликативной форме) 1 . Например, если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Признак подобия треугольников сформулирован в импликативной форме, но, конечно же, здесь между двумя высказываниями есть и содержательная связь.

Таблица истинности импликации:

Аналогично тому как определяются операции для высказываний, те же операции определяются для предикатов. Покажем это на операции конъюнкции.

Рассмотрим предикаты Р и Q. Пусть они зависят от одинаковых переменных [2] [3] .

Определение 4.9. Конъюнкцией предикатов Р (х_{, х₂, х_п)} и Q (x_{, х₂, х")} называется предикат, который зависит от тех же переменных и обращается в истинное высказывание при тех и только тех значениях переменных, когда одновременно оба данных предиката становятся истинными высказываниями. Обозначается конъюнкция предикатов Р л Q (x^ х₂,…, х_п).

По аналогии с конъюнкцией определяются и другие операции над предикатами.

Для тех, кто интересуется математикой, предлагаем выделить условия, при которых высказывания, описанные логическими конструкциями /хР (х) и ЗхР (х), являются истинными или ложными. Для этого используйте понятия тождества и противоречия.

Особо следует остановиться на выполнении операции отрицания над высказываниями, которые получаются из предикатов с помощью кванторов.

Другими словами, на этих примерах мы увидели, как строится отрицание высказывания с квантором: во-первых, нужно поменять квантор (с всеобщности на существование и наоборот); во-вторых, построить отрицание предложения, которое описывает соответствующий предикат.

Основные понятия алгебраической логики. Проведение отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквиваленции над высказываниями. Перевод текстов на язык предикатов, определение их истинности. Этапы формирования законов логики в трудах Аристотеля.

Рубрика	Математика
Вид	контрольная работа
Язык	русский
Дата добавления	01.02.2012
Размер файла	134,9 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

ВЫСКАЗЫВАНИЯ И ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ

1. Основные понятия алгебраической логики

логика алгебраический предикат истинность

При проведении любых рассуждений, в т.ч. математических, мы придерживаемся определенных логических правил, хотя иногда и не задумываемся об их существовании.

Логика как наука сформировалась в трудах Аристотеля. Он сформулировал три закона логики:

1) А является А - закон тождественности. Некоторая вещь всегда равна самой себе, суждение означает само себя.

2) А не является не А - закон противоречия. Вещь не может одновременно обладать и не обладать некоторым свойством; никакое суждение не является одновременно истинным и ложным.

3) Имеет место либо А, либо не А - закон исключенного третьего. Вещь либо обладает, либо не обладает некоторым свойством, любое суждение либо истинно, либо ложно.

Алгебра логики занимается законами построения правильных, истинных рассуждений. На основе этих законов можно определить, является ли предложение истинным или ложным.

Одно из основных понятий логики - понятие высказывания.

Определение: Высказывание - это любое утверждение, которое можно быть либо истинным, либо ложным.

1) Мы учимся в Москве. - ложь высказывание. 2) Земля - планета Солнечной системы. - истина 3) Математика - интересный предмет. Не существует единого мнения - истина или ложь фраза не является высказыванием.

4) В нашей Галактике есть и кроме земной разумные цивилизации. - высказывание, т.к. объективно оно либо истинно либо ложно

5) Все лето было дождливое. - не высказывание, т.к. не ясно , о каком лете идет речь, необходима конкретизация.

6) Они любят друг друга. - не высказывание, т.к. нет конкретности

7) Зеленый чай - полезный напиток. - истина

8) Зеленый чай - вкусный напиток. - не высказывание

Высказывания 5) и 6) не конкретные. Выделим в них неизвестные параметры: для 5) - это лето года Х имеем предложение: Все лето года Х было дождливое.; для 6) - У и Z любят друг друга.

Определение: Предложение, которое содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием при подстановке вместо переменных их значений, называется высказывательной формой.

Предложения 5) и 6) - высказывательные формы.

2. Логические операции над высказываниями

Над высказываниями можно проводить логические операции: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция.

2.1. Определение: Отрицанием высказывания А называется высказывание , которое истинно, если А ложно, и ложно, если А истинно.

Таблица истинности для

Здесь: 1 - истина, 0 - ложь.

1. Х: треугольник АВС - остроугольный. Х: неверно, что треугольник АВС - остроугольный. Это все равно, что: Х: треугольник АВС - прямоугольный или тупоугольный

2. А: Иванова М. На экзамене по математике получила 4. : Неверно, что Иванова М. по математике получила 4.

2.2 Определение: Дизъюнкцией высказывания А и В называется высказывание АВ, истинное при условии, что хотя бы одно из высказываний А или В истинно.

Высказывание — утверждение, относительно которого можно сказать истинно (1, истина, true) оно или ложно (0, ложь, false).

Высказывания обозначаются заглавными латинскими буквами %%A, B, C, . %% или буквами с индексами %%A_1, B^2, C', . %%.

Примеры

Следующие предложения являются высказываниями:

Причем высказывания %%A_1, A_3%% — ложные, а %%A_2, A_4%% — истинные.

Следующие предложения не являются высказываниями:

Мы не можем сказать о любом из высказываний %%B_1, B_2, B_3%% истинно оно или ложно. Например, в предложении %%B_3%% буква %%x%% — переменная. Если поставить какое либо значение вместо нее, например 8, то получим истинное высказывание.

Операции над высказываниями

Сложные высказывания построены из более простых, используя следующие логические знаки $$ \land, \lor, \rightarrow, \leftrightarrow, \overline<>, $$ которые имеют соответствующие названия: конъюнкция (логическое И), дизъюнкция (логическое ИЛИ), импликация (логические следование), эквиваленция (логическое равенство) и отрицание (логическое НЕ).

Пусть %%A%% и %%B%% — некоторые высказывания.

Конъюнкция

Конъюнкцией высказываний %%A%% и %%B%%

называется новое высказывание, обозначаемое %%A \land B%%, которое является истинным тогда и только тогда, когда высказывания %%A%% и %%B%% истины. Читается как %%A%% и %%B%%.

Рассмотрим произвольные высказывания %%A%% и %%B%% и полученное из них высказывание %%A \land B%%. Высказывания %%A, B%% могут быть как ложными, так и истинными. Возможны следующие варианты:

%%A%% ложно, %%B%% ложно;
%%A%% ложно, %%B%% истинно;
%%A%% истинно, %%B%% ложно;
%%A%% истинно, %%B%% истинно;

В каждом их этих случаев, вычислив значение конъюнкции высказываний %%A \land B%%, получим следующую таблицу, которая называется таблицей истинности.

%%A%%	%%B%%	%%A \land B%%
%%0%%	%%0%%	%%0%%
%%0%%	%%1%%	%%0%%
%%1%%	%%0%%	%%0%%
%%1%%	%%1%%	%%1%%

Где %%1%% обозначает истинное высказывание, %%0%% — ложное высказывание.

Операцию конъюникции можно распространить и на несколько высказываний. Пусть %%A_1, A_2, . A_n%% — высказывания. Тогда высказывание %%A_1 \land A_2 \land . \land A_n%%, являющееся конъюнкцией высказываний %%A_1, A_2, . A_n%%, будет истинным тогда и только тогда, когда все высказывания будут истинными.

Дизъюнкция

Дизъюнкцией высказываний %%A%% и %%B%%

называется новое высказывание, обозначаемое %%A \lor B%%, которое является ложным тогда и только тогда, когда высказывания %%A%% и %%B%% ложны. Читается как %%A%% или %%B%%.

Таблица истинности для дизъюнкции выглядит следующим образом.

%%A%%	%%B%%	%%A \lor B%%
%%0%%	%%0%%	%%0%%
%%0%%	%%1%%	%%1%%
%%1%%	%%0%%	%%1%%
%%1%%	%%1%%	%%1%%

Аналогично конъюнкции, операцию дизъюнкции можно распространить и на несколько высказываний. Пусть %%A_1, A_2, . A_n%% — высказывания. Тогда высказывание %%A_1 \lor A_2 \lor . \lor A_n%%, являющееся дизъюнкцией высказываний %%A_1, A_2, . A_n%%, будет ложным тогда и только тогда, когда все высказывания будут ложными.

Импликация

Импликацией высказываний %%A%% и %%B%% называется

Таблица истинности для импликации выглядит следующим образом.

%%A%%	%%B%%	%%A \rightarrow B%%
%%0%%	%%0%%	%%1%%
%%0%%	%%1%%	%%1%%
%%1%%	%%0%%	%%0%%
%%1%%	%%1%%	%%1%%

Эквиваленция

Эквиваленцией высказываний %%A%% и %%B%%

Таблица истинности для эквиваленции выглядит следующим образом.

%%A%%	%%B%%	%%A \leftrightarrow B%%
%%0%%	%%0%%	%%1%%
%%0%%	%%1%%	%%0%%
%%1%%	%%0%%	%%0%%
%%1%%	%%1%%	%%1%%

Также эквиваленцию можно выразить через импликацию и конъюнкцию, тогда

$$ A \leftrightarrow B = (A \rightarrow B) \land (B \rightarrow A) $$

Покажем это, используя таблицы истинности.

%%A%%	%%B%%	%%A \leftrightarrow B%%	%%A \rightarrow B%%	%%B \rightarrow A%%	%%(A \rightarrow B) \land (B \rightarrow A)%%
%%0%%	%%0%%	%%1%%	%%1%%	%%1%%	%%1%%
%%0%%	%%1%%	%%0%%	%%1%%	%%0%%	%%0%%
%%1%%	%%0%%	%%0%%	%%0%%	%%1%%	%%0%%
%%1%%	%%1%%	%%1%%	%%1%%	%%1%%	%%1%%

Как видно из таблицы истинности столбцы %%A \leftrightarrow B%% и %%(A \rightarrow B) \land (B \rightarrow A)%% имеют одни и те же значения при одинаковых наборах значений %%A%% и %%B%%, что говорит о равенстве этих двух формул.

Отрицание

Отрицанием высказывания %%A%%

Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение.

Выделяют следующие логические операции: инверсия; конъюнкция; дизъюнкция; импликация; эквиваленция.

1. Операция инверсия (отрицание):

Отрицание - это логическая операция, которая каждому простому высказыванию ставит в соответствие составное высказывание, заключающееся в том, что исходное высказывание отрицается.

Обозначается:

В естественном языке: соответствует словам "неверно, что. " и частице "не"

Диаграмма Эйлера-Венна:

Принимаемые значения:

Диаграмма Эйлера-Венна:

В алгебре множеств логическому отрицанию соответствует операция дополнения до универсального множества, т.е. множеству получившемуся в результате отрицания множества соответствует множество, дополняющее его до универсального множества.

Пример: Луна — спутник Земли (А) . Луна — не спутник Земли ( A)

2. Операция конъюнкция (лат. conjunctio — соединение) (логическое умножение):

Конъюнкция - это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.

Обозначается:

В естественном языке: соответствует союзу "и"

Принимаемые значения:

Диаграмма Эйлера-Венна:

В алгебре множеств конъюнкции соответствует операция пересечения множеств, т.е. множеству получившемуся в результате умножения множеств А и В соответствует множество, состоящее из элементов, принадлежащих одновременно двум множествам.

1. 10 делится на 2 (A - и) . 5 больше 3 (B - и) . 10 делится на 2 и 5 больше 3 (A B - и) .

2. 10 не делится на 2 (A - л) . 5 больше 3 (B - и) . 10 не делится на 2 и 5 больше 3 (A B - л) .

3. 10 делится на 2 (A - и) . 5 не больше 3 (B - л) . 10 делится на 2 и 5 не больше 3 (A B - л) .

4. 10 не делится на 2 (A - л) . 5 не больше 3 (B - л) . 10 делится на 2 и 5 больше 3 (A B - л) .

3. Операция дизъюнкция (лат. disjunctio — разделение) (логическое сложение):

Дизъюнкция - это логическая операция, которая каждым двум простым высказываниям ставит в соответствие составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны и истинным, когда хотя бы одно из двух образующих его высказываний истинно.

Обозначается:

В естественном языке: соответствует союзу "или"

Принимаемые значения:

Диаграмма Эйлера-Венна:

В алгебре множеств дизъюнкции соответствует операция объединения множеств, т.е. множеству получившемуся в результате сложения множеств А и В соответствует множество, состоящее из элементов, принадлежащих либо множеству А, либо множеству В.

1. 10 делится на 2 (A - и) . 5 больше 3 (B - и) . 10 делится на 2 или 5 больше 3 (A B - и) .

2. 10 не делится на 2 (A - л) . 5 больше 3 (B - и) . 10 не делится на 2 или 5 больше 3 (A B - и) .

3. 10 делится на 2 (A - и) . 5 не больше 3 (B - л) . 10 делится на 2 или 5 не больше 3 (A B - и) .

4. 10 не делится на 2 (A - л) . 5 не больше 3 (B - л) . 10 не делится на 2 или 5 не больше 3 (A B - л) .

4. Операция импликация (лат. лат. implico — тесно связаны) (логическое сложение):

Импликация - это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда условие (первое высказывание) истинно, а следствие (второе высказывание) ложно.

Обозначается: о

В естественном языке: соответствует обороту "если . то . "

Принимаемые значения: л

1. Данный четырёхугольник — квадрат (A - и) . Около данного четырёхугольника можно описать окружность (B - и) . Если данный четырёхугольник квадрат, то около него можно описать окружность (A B - и) .

2. Данный четырёхугольник — не квадрат (A - л) . Около данного четырёхугольника можно описать окружность (B - и) . Если данный четырёхугольник не квадрат, то около него можно описать окружность (A B - и) .

3. Данный четырёхугольник — квадрат (A - и) . Около данного четырёхугольника нельзя описать окружность (B - л) . Если данный четырёхугольник квадрат, то около него можно описать окружность (A B - л) .

4. Данный четырёхугольник — не квадрат (A - л) . Около данного четырёхугольника нельзя описать окружность (B - л) . Если данный четырёхугольник не квадрат, то около него нельзя описать окружность (A B - и) .

5. Операция эквиваленция (двойная импликация):

Эквиваленция – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.

Обозначается: о

В естественном языке: соответствует оборотам речи "тогда и только тогда" ; "в том и только в том случае"

Принимаемые значения:

1. 24 делится на 6 (A - и) . 24 делится на 3 (B - и) . 24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3 (A B - и) .

2. 24 не делится на 6 (A - л) . 24 делится на 3 (B - и) . 24 не делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3 (A B - л) .

3. 24 делится на 6 (A - и) . 24 не делится на 3 (B - л) . 24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3 (A B - л) .

4. 24 не делится на 6 (A - л) . 24 не делится на 3 (B - л) . 24 не делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 не делится на 3 (A B - и) .

Порядок выполнения логических операций задается круглыми скобками. Но для уменьшения числа скобок договорились считать, что сначала выполняется операция отрицания (“не”), затем конъюнкция (“и”), после конъюнкции — дизъюнкция (“или”) и в последнюю очередь — импликация и эквиваленция.

Логические формулы.

С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть заменить логической формулой.

Определение логической формулы:

1. Всякая логическая переменная и символы "истина" ("1" ) и "ложь" ("0" ) — формулы.
2. Если А и В — формулы, то , (А &В) , (А v В) , (А B) , (А В) — формулы.
3. Никаких других формул в алгебре логики нет.

В п. 1 определены элементарные формулы; в п. 2 даны правила образования из любых данных формул новых формул.

Рассмотрим высказывание "если я куплю яблоки или абрикосы, то приготовлю фруктовый пирог" .

Обозначим буквой A высказывание: "купить яблоки" , буквой B - высказывание: "купить абрикосы" , буквой C - высказывание: "испечь пирог".

Тогда высказывание "если я куплю яблоки или абрикосы, то приготовлю фруктовый пирог" формализуется в виде формулы:

(A v B) C

Формула выполнимая - если при определенных сочетаниях значений переменных она принимает значение "истина" ("1" ) или "ложь" ("0" ).

Как показывает анализ формулы (A v B) C , при определённых сочетаниях значений переменных A , B и C она принимает значение "истина" , а при некоторых других сочетаниях — значение "ложь" .

Некоторые формулы принимают значение “истина” при любых значениях истинности входящих в них переменных. Таковой будет, например, формула А v A , соответствующая высказыванию “Этот треугольник прямоугольный или косоугольный” . Эта формула истинна и тогда, когда треугольник прямоугольный, и тогда, когда треугольник не прямоугольный.

Тавтология - тождественно истинная формула, или формула принимающая значение "истина" ("1" ) при любых входящих в нее значениях переменных.

Логически истинные высказывания - высказывания, которые формализуются тавтологиями.

В качестве другого примера рассмотрим формулу А & A , которой соответствует, например, высказывание “Катя самая высокая девочка в классе, и в классе есть девочки выше Кати” . Очевидно, что эта формула ложна, так как либо А , либо A обязательно ложно.

Противоречие - тождественно ложная формула, или формула принимающая значение "ложь" ("0" ) при любых входящих в нее значениях переменных.

Логически ложные высказывания - высказывания, которые формализуются противоречиями.

Равносильные формулы - две формулы А и В принимающие одинаковые значения, при одинаковых наборах значений входящих в них переменных.

Равносильность двух формул алгебры логики обозначается символом .

Равносильное преобразование формулы - замена формулы другой, ей равносильной.

При проведении любых рассуждений, в т.ч. математических, мы придерживаемся определенных логических правил, хотя иногда и не задумываемся об их существовании.
Логика как наука сформировалась в трудах Аристотеля. Он сформулировал три закона логики:
1) А является А – закон тождественности. Некоторая вещь всегда равна самой себе, суждение означает само себя.
2) А не является не А – закон противоречия. Вещь не может одновременно обладать и не обладать некоторым свойством; никакое суждение не является одновременно истинным и ложным.
3) Имеет место либо А, либо не А – закон исключенного третьего. Вещь либо обладает, либо не обладает некоторым свойством, любое суждение либо истинно, либо ложно.
Алгебра логики занимается законами построения правильных, истинных рассуждений. На основе этих законов можно определить, является ли предложение истинным или ложным.

Файлы: 1 файл

реф высказывания и лог операции над ними.rtf

Подготовил студент 1 курса 4 группы - Джалилов Б.С

(с) Махачкала 2014

1. Основные понятия алгебраической логики

логика алгебраический предикат истинность

Логика как наука сформировалась в трудах Аристотеля. Он сформулировал три закона логики:

1) А является А - закон тождественности. Некоторая вещь всегда равна самой себе, суждение означает само себя.

Одно из основных понятий логики - понятие высказывания.

Определение: Высказывание - это любое утверждение, которое можно быть либо истинным, либо ложным.

5) Все лето было дождливое. - не высказывание, т.к. не ясно , о каком лете идет речь, необходима конкретизация.

6) Они любят друг друга. - не высказывание, т.к. нет конкретности

7) Зеленый чай - полезный напиток. - истина

8) Зеленый чай - вкусный напиток. - не высказывание

Предложения 5) и 6) - высказывательные формы.

2. Логические операции над высказываниями

Читайте также: