Реферат вероятность вокруг нас

Обновлено: 05.07.2024

Проблема: Как теория вероятности помогает нам в жизни?

Цель исcледования: Выяснить ,действительно ли благодаря теории вероятности, мы можем предугадывать события.

Гипотеза: Теория вероятности всегда помогает нам, когда мы чего-то хотим или не знаем, как поступить в той или иной ситуации.

Задачи исследования:

Собрать информацию о теории вероятности
Узнать интересные факты
Рассмотреть теорию вероятности в азартных играх
Провести опрос студентов

Методы исследования:

Подбор литературы
Анализ источников информации по теме
Опрос
Анализ полученных результатов

Этапы исследования: Я собрала информацию об истории создания теории вероятности.На представленной хронологической ленте можно проследить процесс её развития. А также познакомиться с именами ученых, которые внесли вклад в представления по данной проблеме.

А более подробное описание теории вероятности, интересные факты и применение теории вероятности в жизни вы можете увидеть в моей презентации

Также я провела опрос среди студентов, в котором приняло 30 человек. Для наглядности результатов данные опроса представлены в виде диаграммы.

1) Выберите верное определение теории вероятности

1. Раздел математики, изучающий : случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

2. Затрудняюсь ответить.

3. Раздел математики, изучающий все вероятные события

Вывод: Большинство людей всё таки знает верное определение теории вероятности.

2) Как вы считаете, помогает ли теория вероятности вам в жизни?

Вывод: Мнения разделились, ровно половина людей думает , что теория вероятости никак не может помочь им в жизни.

3) Как вы думаете, с помощью формул теории вероятности можно точно рассчитать вероятность своего выигрыша(лотереи, кости, карты)?

2. Не всегда точно

3. Нет, это дело удачи и теория вероятности это определить не может.

Вывод: В основном, люди полагаются на удачу, нежели на объективные подсчеты.

4) Где впервые стала применяться теория вероятности?

1. В промышленности

3. В азартных играх

Вывод: Мало, кто из людей догадывается, что именно азартные игры стали двигателем процесса развития теории вероятности.

5) Как вы думаете, стоит ли уделять большее внимание изучению данной темы в школе?

1.Да, это поможет детям уметь определять вероятность наступления какого-либо события

2.Нет, это не обязательно

Вывод:Подавляющее большинство людей считают, что в школах нужно уделять большее внимание этой теме.

Выводы: В ходе исследования, моя гипотеза оказалась верна лишь частично, так как теория вероятности не может предсказывать исход абсолютно всех событий, а лишь некоторых. Но теория вероятности действительно может нам помочь, ведь, подсчитав по формуле, свои шансы, мы можем понять стоит ли делать что-то или нет. А без теории вероятности мы бы чаще ошибались, пробуя все подряд. Таким образом, зная теорию вероятности можно объяснить некоторые события нашей жизни. Благодаря теории вероятности, мы уменьшаем наши шансы на ошибку. И всегда лучше сначала узнать какова вероятность успеха, прежде чем делать.

Понятие теории вероятности, её формулы и правила. Применение теории вероятности в различных сферах жизнедеятельности человека. Определение вероятности получения положительной оценки при сдаче экзамена по математике путем угадывания правильного ответа.

Рубрика	Математика
Вид	доклад
Язык	русский
Дата добавления	15.11.2020
Размер файла	62,7 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

ВЕРОЯТНОСТЬ ВОКРУГ НАС

Захарова А.В., учащаяся 9 Б класса

Ференчук Л.В., учитель математики

МБОУ СОШ №12 с УИОП

Введение

Я считаю эту тему актуальной по ряду причин:

1. Случай, случайность - с ними мы встречаемся повседневно: случайная встреча, случайная поломка, случайная ошибка. Казалось бы, тут нет места для математики, - какие уж законы в царстве Случая? Но и здесь наука обнаружила интересные закономерности. Они позволяют человеку уверенно чувствовать себя при встрече со случайными событиями.

2. Теория вероятностей используется в области социально-экономических явлений, а так же необходима при решении многих технических задач.

3. Серьёзный шаг в жизни каждого выпускника основной школы - Государственная итоговая аттестация (ГИА), успешная его сдача - это дело случая? Или….

Цель моего исследования заключалась в следующем:

1) Знакомство с понятием теория вероятности, общими формулами и правилами; применении ее в различных сферах жизнедеятельности человека.

2) Исследование вероятности успешной сдачи учащимися 9 классов ГИА по математике.

Для этого я поставила перед собой задачи:

1) Воспользовавшись различными источниками информации собрать, изучить и систематизировать материал о теории вероятностей.

2) Рассмотреть использование теории вероятности в различных сферах жизнедеятельности.

3) Провести исследование по определению вероятности получения положительной оценки при сдаче ГИА путем угадывания правильного ответа там, где это возможно.

формула оценка вероятность экзамен математика

Теория вероятностей -- раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. Вероятность наступления достоверного события характеризуется как стопроцентная, а вероятность наступления невозможного события характеризуется как нулевая.

ь Достоверное событие - событие, которое в данном опыте обязательно наступит.

ь Случайное событие - событие, которое в данном опыте может наступить, а может и не наступить.

ь Невозможное событие - событие, которое в данном опыте наступить не может.

ь Равновероятные события - это события, которые при данных условиях имеют одинаковые шансы для наступления.

А как подсчитать вероятность случайного события? Ведь если случайное, значит, не подчиняется закономерностям, алгоритмам. Оказывается, и в мире случайного действуют определенные законы, позволяющие вычислять вероятности.

Формулы

Принято вероятность события обозначать буквой Р

1. Формула для вычисления вероятности записывается так: P=m/n

2. Формула Бернулли:

Правила

2) Для достоверного события m = n и P ( a )=1.

3) Для невозможного события m =0 и P ( a )=0.

Чтобы найти каковы шансы наступления события А в данной ситуации , необходимо:

ь найти общее количество исходов этой ситуации

ь найти количество возможных исходов, при которых произойдёт событие А

ь найти ,какую часть составляют возможные исходы от общего количества исходов.

Теория вероятностей -- сравнительно молодая ветвь математики. Ее развитие как самостоятельной науки началось с переписки Паскаля и Ферма в 1654 году, хотя значительно раньше этих ученых многие математики занимались задачами, относящимися к азартным играм. Настоящую научную основу теории вероятностей заложил великий математик Якоб Бернулли (1654-1705).

1. Теория вероятностей в жизни

Кости -- одна из древнейших игр. Инструментом для игры являются кубики (кости) в количестве от одного до пяти в зависимости от вида игры. Суть игры состоит в выбрасывании кубиков и дальнейшем подсчёте очков, количество которых и определяет победителя. Разновидности игры предполагают разный подсчёт очков.

- телефонные номера

- пароль в социальных сетях (агент, одноклассники и т.д.)

3. Лотереи

Лотерея - организованная игра, при которой распределение выгод и убытков зависит от случайного извлечения того или иного билета или номера (жребия, лота). Кто из нас не мечтал выиграть в лотерею миллион! Но все мы реалисты, и понимаем, что вероятность такого выигрыша очень мала. Ведь игра в лотерею - это игра с судьбой, попытка поймать удачу; и чем больше выигрыш стоит на кону - тем сильнее ощущения!

4. Карточные игры

Карточная игра -- игра с применением игральных карт, характеризуется случайным начальным состоянием, для определения которого используется набор (колода).

Важным принципом практически всех карточных игр является случайность порядка карт в колоде. Перед использовании той же колоды в следующей игре карты в ней перемешиваются (перетасовываются).

5. Игровые автоматы

Известно, что в игровых автоматах скорость вращения барабанов зависит от работы микропроцессора, повлиять на который нельзя. Но можно вычислить вероятность выигрыша на игровом автомате, в зависимости от количества символов на нем, числа барабанов и других условий. Однако выиграть это знание вряд ли поможет. Тут все решает Её величество фортуна.

2. Государственная итоговая аттестация

Математику многие любят за ее вечные истины: дважды два всегда четыре, сумма четных чисел четна, а площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. Реальная жизнь оказывается не такой простой и однозначной.

Вложение	Размер
Исследовательская работа по теории вероятности	228.16 КБ
Презентация к работе "Теория вероятностей вокруг нас"	1.42 МБ

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

пгт Троицко-Печорск Республики Коми

Исследовательская работа по теме

Теория вероятностей вокруг нас

обучающийся 9б класса

Цыбренкова Антонида Владимировна,

Глава I. Теория вероятностей – что это?………………..……………. …6

Глава II. Основные понятия теории вероятностей……………….…………. 7

2.2. Перестановки. Размещения. Сочетания…………………….…………..…9

Глава III. Теория вероятностей в жизни……………………………………..11

Глава IV. ОГЭ как пример использования теории вероятностей жизни. ..14

2.1. Основной государственный экзамен ………………………………….13-14 Заключение……………………………………………..……………………….16

Высшее назначение математики…состоит в том,

чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает.

Еще первобытный вождь понимал, что у десятка охотников вероятность поразить копьем зубра гораздо больше, чем у одного. Поэтому и охотились тогда коллективно. Неосновательно было бы думать, что такие древние полководцы, как Александр Македонский или Дмитрий Донской, готовясь к сражению, уповали только на доблесть и искусство воинов. Несомненно, они на основании наблюдений и опыта военного руководства умели как-то оценить вероятность своего возвращения со щитом или на щите, знали, когда принимать бой, когда уклоняться от него. Они не были робами случая, но вместе с тем они были очень далеки от теории вероятностей. Позднее, с опытом, человек все чаще стал взвешивать случайные события, классифицировать их исходы как невозможные, возможные и достоверные. Он заметил, что случайностями не так уж редко управляют объективные закономерности.

Случай, случайность - с ними мы встречаемся повседневно: случайная встреча, случайная поломка, случайная находки, случайная ошибка. Этот ряд можно продолжать бесконечно. Казалось бы, тут нет места для математики-какие уж законы в царстве Случая! Но и здесь наука обнаружила интересные закономерности - они позволяют человеку уверенно чувствовать себя при встречах со случайными событиями.

1) собрать, изучить и систематизировать материал о теории вероятностей, воспользовавшись различными источниками информации;

2) рассмотреть использование теории вероятности в различных сферах жизнедеятельности;

3) провести исследование по определению вероятности получения положительной оценки обучающимися 9-х классов нашей школы при сдаче ОГЭ по математике путем угадывания правильного ответа.

Я выдвинул гипотезу: с помощью теории вероятностей можно с большой степенью уверенности предсказать события, происходящие в нашей жизни.

Объект исследования – теория вероятностей.

Предмет исследования: практическое применение теории вероятностей. Методы исследования:1) анализ,2) синтез, 3) сбор информации, 4) работа с печатными материалами, 5) эксперимент.

Глава 1.Теория вероятностей.

Исходы многих явлений невозможно предсказать заранее, какой бы полной информацией мы о них не располагали Нельзя сказать наверняка, какой стороной упадет брошенная вверх монета, когда в следующем году выпадет первый снег или сколько человек в городе захотят в течение ближайшего часа позвонить по телефону. Такие непредсказуемые явления называются случайными.

Оказывается случай тоже имеет свои законы, которые начинают проявляться при многократном повторении случайных явлений. Именно такие закономерности изучаются в специальном разделе математики – Теории вероятностей.

Под случайными явлениями понимаются явления с определенным исходом, происходящие при неоднократном воспроизведении определенного комплекса условий.

Очевидно, что в природе, технике, экономике нет явлений, в которых не присутствовали бы элементы случайности.

Большой вклад в последующее развитие теории вероятностей внесли российские математики С.Н. Бернштейн, В. И. Романовский, А.Н. Колмогоров, Е. Нейман. Особо следует отметить неоценимый вклад академика А.Н. Колмогорова в становление теории вероятностей как математической науки.

Глава 2. Основные понятия теории вероятностей.

2.1 Случайные события.

Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие события.

Случайным событием (возможным событием или просто событием) называется любой факт, который в результате испытания может произойти или не произойти.

Событие называется достоверным , если в результате испытания оно обязательно должно произойти.

Событие называется невозможным, если в результате испытания оно вообще не может произойти.

События называются равновозможными, если в результате испытания по условиям симметрии ни одно из этих событий не является объективно более возможным. Например, извлечение туза, короля из колоды карт.

Для практической деятельности важно уметь сравнивать события по степени возможности их наступления. Численная мера степени объективной возможности наступления события называется вероятностью события .

Принято вероятность события А обозначать буквой Р(А), тогда формула для вычисления вероятности записывается так:

Р(А)= , где m ≤n (1)

Вероятностью Р(А) события А в испытании с равновозможными элементарными исходами называется отношение числа исходов m, благоприятствующих событию А, к числу исходов n всех исходов испытания.

где Р(А) - вероятность события А;

m – число случаев, благоприятствующих событию А;

n – общее число случаев.

Пример 1. Гена, Юра, Филипп, Вадим и Таня бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должна будет Таня.
Решение

Вероятность события равна отношению количества благоприятных случаев к количеству всех случаев. Благоприятными случаями являются 1 случай, когда игру начинает Таня, а количество всех случаев 5. Поэтому искомое отношение равно 0,2

Пример2. В среднем из 100 карманных фонариков, поступивших в продажу, восемь неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.
Решение

Из 100 фонариков 100 − 8 = 92 исправны. Значит, вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется одним из них равна 0,92

Данное определение принято называть классическим определением вероятности . Оно применяется, когда теоретически удается выявить все равновозможные исходы испытания и определить благоприятствующие исследуемому испытанию исходы. Решая экзаменационные КИМ, часто встречается именно этот вид вероятности. Вероятностные оценки широко используются в физике и биологии, в социологии и демографии, в экономике и политике, в спорте и в повседневной жизни каждого человека. Если, например, в прогнозе погоды сообщают, что завтра будет дождь с вероятностью 70%, это значит, что не обязательно будет дождь, но шансы велики и стоит, выходя из дома, захватить плащ или зонт.

Пример 1. При бросании игральной кости возможны шесть исходов – выпадение 1,2,3,4,5,6 очков. Какова вероятность появления четного числа очков?

2.2 Перестановки. Размещения. Сочетания

Некоторые комбинации объектов встречаются наиболее часто и имеют определённые названия: перестановки размещения и сочетания. Рассмотрим самые простейшие, именно те, которые встречаются в курсе математики 9 класса и необходимы при сдачи ОГЭ.

Если комбинации из n элементов отличаются только порядком расположения этих элементов, то их называют перестановками из n элементов. Число перестановок из n элементов равно

Пример 1. Порядок выступления 7 участников конкурса определяется жребием. Сколько различных вариантов жеребьевки при этом возможно?

Решение. Каждый вариант жеребьевки отличается только порядком участников конкурса, т.е. является перестановкой из 7 элементов. Их число равно

Однако на практике часто встречаются испытания, число возможных исходов которых очень велико

Пусть дано множество из n различных элементов. Из этого множества могут быть образованы подмножества из m элементов. ( 0 размещениями из n элементов по m. Число размещений из n элементов по m равно

Пример 2. Расписание одного дня состоит из 5 уроков. Определите число вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин.

Каждый вариант расписания представляет набор 5 дисциплин из 11, отличающихся от других вариантов как составом дисциплин, так и порядком их следования.

Если комбинации из n элементов по m отличаются только составом элементов, то их называют сочетаниями из n элементов по m. Число сочетаний из n элементов по m равно

Пример 3. В шахматном турнире участвуют 16 человек. Сколько партий должно быть сыграно в турнире, если между любыми двумя участниками должна быть сыграна одна партия?

Решение. Каждая партия играется двумя участниками из 16 и отличается от других только составом пар участников, т.е представляет собой сочетание из 16 элементов по 2. их число равно =120.

Глава 3. Теория вероятностей в жизни.

Связь теории вероятностей с действительной жизнью очень тесная. Еще в глубокой древности появились азартные игры. В Древней Греции и Риме широкое распространение получили игры в астрагалы (т.е. бросание костей из конечностей животных) и в игральные кости (кубики с нанесенными на гранях точками). В средневековой Европе азартные игры способствовали зарождению и становлению комбинаторики и теории вероятностей.

В развитии теории вероятностей весьма большую роль играли задачи, связанные с азартными играми, в первую очередь с игрой в кости.

Игры в кости

Инструментом для игры являются кубики (кости) в количестве от одного до пяти в зависимости от вида игры. Суть игры состоит в выбрасывании кубиков и дальнейшем подсчёте очков, количество которых и определяет победителя. Основной принцип игры в кости — каждый игрок по очереди бросает некоторое количество игральных костей (от одной до пяти), после чего результат броска (сумма выпавших очков; в некоторых вариантах используются очки каждой кости по отдельности) используется для определения победителя или проигравшего.

Лотерея - организованная игра, при которой распределение выгод и убытков зависит от случайного извлечения того или иного билета или номера (жребия, лота).

Карточная игра — игра с применением игральных карт, характеризуется случайным начальным состоянием, для определения которого используется набор (колода).

Важным принципом практически всех карточных игр является случайность порядка карт в колоде.

Кроме решения задач, связанных с различными играми и лотереями, Л. Эйлер решал задачи, связанные с проблемами страхового дела и демографии. Он сформулировал 6 важных задач демографии и указал формулы для их решения. Приведу две его задачи.

«Найти вероятность того, что лицо возраста m лет проживет еще n лет.

Его идея решения подобных задач, служит основой для демографических расчетов, и по сей день.

Вот пример задачи, где ясно прослеживается связь теории вероятности с экологией.

Из пруда было выловлено 90 рыб, которых пометили и выпустили обратно в пруд. Через неделю из пруда выловили 84 рыбы, из которых 5 оказались помеченными. Сколько примерно рыб в пруду?

Решение. Пусть в пруду х рыб. Из них 90 рыб помеченных, значит вероятность выловить помеченную рыбу составляет 90 : х. Выловили 84 рыбы, из них помеченных – 5. Значит, вероятность выловить помеченную рыбу – 5:84. Так как эти вероятности равны, то можно составить уравнение: 90 :х = 5:84.

Решим это уравнение: 5х = 90∙84;

х = (90∙84): 5 = 1512

Ответ: в пруду приблизительно 1512 рыб.

Итак, теория вероятностей объясняет и исследует различные закономерности, которым подчинены случайные события и случайные величины теория вероятности позволяет достоверно вычислить колебания спроса, предложения, цен и других экономических показателей. Также теория вероятности является основой такой науки как статистика. На формулах этого раздела математики построено так называемая теория игр.

Глава 4. ОГЭ как пример использования теории вероятностей жизни

Я обучаюсь в 9 классе, и мне в этом году предстоит сдавать экзамены.

Я решил проверить, правы ли они? Ответить на этот вопрос можно путем использования элементов теории вероятностей.

Также я познакомился с формулой Бернулли — это формула в теории вероятностей , позволяющая находить вероятность появления события A при независимых испытаниях. Названа в честь выдающегося швейцарского математика Якоба Бернулли , выведшего формулу:

Чтобы найти каковы шансы наступления события А в данной ситуации, необходимо :

найти общее количество исходов этой ситуации;
найти количество возможных исходов, при которых произойдёт событие А;
найти, какую часть составляют возможные исходы от общего количества исходов.

Схема Бернулли описывает эксперименты со случайным исходом, заключающиеся в следующем. Проводятся n последовательных независимых одинаковых экспериментов, в каждом из которых выделяется одно и тоже событие А, которое может наступить или не наступить в ходе эксперимента. Так как испытания одинаковы, то в любом из них событие А наступает с одинаковой вероятностью. Обозначим ее р = Р(А). Вероятность дополнительного события обозначим q. Тогда q = P(Ā) = 1-p

Пусть событие А – это правильно выбранный ответ из четырех предложенных в одном задании первой части. Вероятность события А определена как отношение числа случаев, благоприятствующих этому событию (т.е. правильно угаданный ответ, а таких случаев 1), к числу всех случаев (таких случаев 4). Решение: В данном случае

n = 4 всего варианта ответа

m = 1 правильно вариант ответа

Вычисление 4!/1!*(4-1)! *(1/4)*(1/3)^3=0,037

Таким образом, вероятность благополучного исхода примерно равна 0,037%!

На примере демонстрационного варианта теста ОГЭ 2017 года я предложил обучающимся 9б класса выбрать ответы путем угадывания. И вот, что у меня получилось. Средний балл по классу составил 1,81.

В результате проведенного эксперимента-исследования и применяя формулу Бернулли, я доказал, что сдать экзамены путем угадывания ответа невозможно. Только планомерная, вдумчивая и добросовестная учеба в школе позволит выпускнику хорошо подготовиться к участию в ОГЭ, и успешно решить судьбоносную проблему при переходе на более высокий уровень обучения.

В результате проделанной мной работы, я добился реализации поставленных перед собой задач:

во-первых , понял, что теория вероятностей - это огромный раздел науки математики и изучить его в один заход невозможно;

во-вторых , перебрав множество фактов из жизни, и проведя эксперименты, я понял, что действительно с помощью теории вероятностей можно предсказать события, происходящие в различных сферах жизнедеятельности;

в-третьих , исследовав вероятность успешной сдачи обучающимися 9б класса ОГЭ по математике, я пришел к выводу, что только планомерная, вдумчивая и добросовестная учеба в школе позволит выпускнику хорошо подготовиться к участию в ОГЭ. Таким образом, выдвинутая мной гипотеза подтвердилась: с помощью теории вероятностей можно с большой степенью уверенности предсказать события, происходящие в нашей жизни. Я доказал, что к экзаменам надо готовиться, а не рассчитывать на авось.

На примере моей работы можно сделать и более общие выводы: подальше держаться от всяких лотерей, казино, карт, азартных игр вообще. Всегда надо подумать, оценить степень риска, выбрать наилучший из возможных вариантов – это, я думаю, пригодится мне в дальнейшей жизни.

Теория вероятности вокруг нас

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Также эта тема позволяет углубить знания о важном разделе математики, связанном с вероятностями.

В этом исследовании я поставила перед собой следующую цель: узнать более подробно о теории вероятностей и о возможности её применения в современной жизни.

Данная цель будет решаться через следующие задачи:

- собрать и представить наиболее полную информацию по данной теме;

- определить применение теории вероятностей в практической жизни.

Гипотеза: теория вероятностей применяется в самых разных областях жизни.

Объект исследования: теория вероятностей.

Предмет исследования: применение теории вероятностей в современном мире.

Методы исследования: формально-догматический (сбор, обработка теоретического материала, описание, толкование, систематизация), логический (анализ и синтез, гипотеза).

Хронологические рамки проводимого исследования:

октябрь – ноябрь 2018 года.

Практическая значимость работы: данный материал можно использовать на уроках математики при изучении теории вероятностей, а также при подготовке к Государственной Итоговой Аттестации (ОГЭ и ЕГЭ).

Основная часть.

Математику многие любят за ее вечные истины: дважды два всегда четыре, сумма четных чисел четна, а площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. В любой задаче, которую мы решаем на уроках математики, у всех получается один и тот же ответ – нужно только не делать ошибок в решении.

Реальная жизнь оказывается не такой простой и однозначной. Исходы многих явлений невозможно предсказать заранее, какой бы полной информацией мы о них не располагали. Нельзя, например, сказать наверняка, какой стороной упадет брошенная вверх монета, когда в следующем году выпадет первый снег или сколько человек в городе захотят в течение ближайшего часа позвонить по телефону.

Такие непредсказуемые явления называются случайными. Однако случай тоже имеет свои законы, которые начинают проявляться при многократном повторении случайных явлений. Именно такие закономерности изучаются в специальном разделе математики – теории вероятностей.

Понятие и история теории вероятностей.

Теория вероятностей - математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных каким-либо образом с первыми.

Вероятность – это числовая характеристика возможности появления случайного события в конкретных условиях, которые могут быть воссозданы многократно.

Теория вероятностей возникла в середине 17 в. Первые работы по ней, принадлежащие французским учёным Б. Паскалю и П. Ферма и голландскому учёному X. Гюйгенсу. Теория появилась в связи с подсчётом различных вероятностей в азартных играх. В конце 18 – начале 19 века теория вероятности уже находит ряд весьма актуальных применений в естествознании и технике (главным образом в теории ошибок наблюдений в геодезии и астрономии, и в теории стрельбы). Развитие теории вероятности во второй половине 19 века связано в основном с именами русских математиков: П. Л. Чебышева, А. М. Ляпунова и А. А. Маркова.

Применение теории вероятностей.

В физике: Дело в том, что в любом опыте существует большое количество неучтенных факторов. В случае скорости света такими факторами могут быть непостоянство температуры, неточность в измерении длины волны и т. д., но они могут сказываться лишь в восьмом знаке после запятой. Степень достоверности этого утверждения и оценивается вероятностью. Теория вероятности очень важна при вычислении достоверных значений основных физических величин.

В метеорологии: На основе разных измерений, прошедшего опыта и знаний о природных явлениях специалисты-метеорологи составляют прогнозы: вероятности выпадения осадков, движения ветров и даже опасных природных явлений. Например, можно рассчитать вероятность извержений вулканов или вероятность того, что в вас попадет молния.

Какая вероятность извержения Йеллоустоунского супервулкана? Несмотря на то, что новое исследование подтверждает возможность возникновения в течение нескольких десятилетий благоприятных условий для извержения Йеллоустонского вулкана, вероятность того, что вы лично застанете взрыв такого масштаба, по-прежнему очень низкая. Согласно данным Геологической службы США, шансы извержения супервулкана в течение 2017 года составляли 1 на 730 000.

Пример: Одним из напрямую связанных с вероятностным подходом к прогнозированию является метод рассмотрения модельных ансамблей (см. Приложение 1) - не единовременных цифровых срезов модели на конкретное время, а целой совокупности данных с немного отличающихся друг от друга методов моделирования, описывающих одну и ту же величину. Например, модельный ансамбль GFS ( Global Ensemble Forecast System ) включает в себя 21 прогноз, создаваемый слегка отличающимися друг от друга по алгоритмам и исходным данным системами моделирования. Расхождения между прогнозами, обработанные статистическими методами, позволяют оценить качество полученного прогноза.

В сельском хозяйстве: При выведении новых пород животных и растений рассчитываются вероятности приобретения особями новых качеств и свойств (например, морозостойкости у некоторых видов злаковых).

Пример: ирландские сеттеры могут быть слепыми в результате действия рецессивного гена. Пара животных с нормальным зрением дала помёт из нескольких щенков, один из которых оказался слепым. Установить генотипы родителей. Какова вероятность рождения гетерозиготного щенка среди зрячих? (см. Приложение 2)

Аа - генотипы обоих родителей, при скрещивании получаем щенков : АА Аа Аа аа - первый - полностью зрячий (гомозиготный) второй и третий - зрячий (гетерозиготный) четвертый – слепой; соответственно вероятность рождения гетерозиготного щенка равна 2/4 или 0.5.

В экономике: Теория вероятностей – основа вероятностно-статистических методов принятия решений в управлении. Чтобы получить возможность использовать в них математический аппарат, нужно задачи принятия решений выразить в терминах вероятностно-статистических моделей. Применение конкретного вероятностно-статистического метода принятия решений состоит из трех этапов:

– переход от экономических, управленческих и технологических реалий к абстрактной математико-статистической схеме, т.е. создание вероятностной модели управления, технологического процесса, порядка принятия решений, в частности по результатам контроля, основанного на статистических данных.

– проведение расчетов и получение выводов математическими методами в рамках вероятностной модели;

– представление полученных ранее выводов применительно к имеющейся ситуации. Принятие соответствующего решения (например, о соответствии или несоответствии качества продукции и услуг имеющимся стандартам, потребности в корректировке технологического процесса и т.п.), в частности, заключения (о доле единиц продукции в партии, не соответствующих требованиям; о конкретном виде законов распределения контролируемых параметров технологического процесса и др.).

Пример: пусть банк выдает кредит размером 3 млн. рублей на 1 год. Вероятность не погашения ссуды 10%, соответственно вероятность погашения – 90%. Доход кредитной организации является случайно величиной, так как заёмщик может как вернуть кредит, так и нет. Закон распределения этой случайной величины таков: p=0,9; q=0,1. Найдем математическое ожидание: 0,9р-0,1. Решив неравенство 0,9p-0,1>0, мы придем к тому, что, р>0,1/0,9. Следовательно, ставка процента по кредиту должна быть выше 11%.

В археологии: Археологи и историки, изучая захоронения прошлого и события до нашей эры тоже используют теорию вероятности.

Пример: Шампольон - французский востоковед , основатель египтологии . Благодаря проведённой им расшифровке текста Розеттского камня 14 сентября 1822 года стало возможным чтение египетских иероглифов .

Пример: В покере вероятности рассчитываются по таблицам (см. Приложение 3) или в специальных программах. Например, вы входите в тоги с двумя карманными Королями против одного соперника. Посмотрев в таблицу, Вы поймете, что есть шанс в 15%, что у противника есть один Туз и меньше 1%, что он получил пару Тузов. Если на борд выпал Туз, Вам следует подумать – играть дальше или нет. Конечно, карманных Королей сбросить довольно непросто, но если это ответственная стадия турнира, Вы должны понимать, что есть риск примерно в 15%, что Вы проиграете.

Задача кавалера де Мере. При четырехкратном бросании игральной кости что происходит чаще: выпадет шестерка хотя бы один раз или же шестерка не появится ни разу? Эта одна из тех задач, с которыми кавалер де Мере обратился к Б. Паскалю в надежде узнать выигрышную стратегию.

На каждой из четырех костей может выпасть любое из шести чисел, независимо друг от друга. Всего вариантов 6 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 = 1296. Количество вариантов без шестерки будет, соответственно, 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 = 625. В остальных 1296 – 625 = 671 вариантах шестерка выпадет хотя бы один раз. Значит, появление шестерки хотя бы один раз при четырех бросаниях происходит чаще, чем ее не появление.

Задачи из ЕГЭ.

Задача 1: Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,96. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0, 87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение: Вероятность того, что чайник прослужит больше года (А) равна сумме вероятностей, что чайник прослужит больше года, но меньше двух лет (В) и что чайник прослужит больше двух лет (С). Получаем, А=В+С. Значения А и С нам известны: 0,96 и 0,87 соответственно. Значит, В=А-С=0,96-0,87=0,09.

Ответ: вероятность того, что чайник прослужить больше года, но меньше двух лет, равна 0,09.

Задача 2: Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 10, но не дойдя до отметки 1 час.

Решение: Всего на циферблате 12 секций, между отметками 10 часов и 1 час таких секций 3. Значит, по формуле теории вероятностей: Р=3/12=0,25.

Задача 3: Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Решение: Формула вероятности двух независимых одновременных событий равна Р=А*В. Значит, Р=0,52*0,3=0,156.

Задача 4: Какова вероятность того, что случайно выбранный телефонный номер оканчивается двумя чётными цифрами?

Решение: всего существует пять четных цифр: 0, 2, 4, 6, 8. Вероятность, что число окажется четным равна 5/10=0,5. По формуле, вероятность того, что номер оканчивается на две четных цифры равна 0,5*0,5=0,25.

Задача 5: Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение: Вероятность каждого из первых трех событий равна 0,8. Вероятности 4 и 5 события одинаковы и равны 1-0,8=0,2. Так как события одновременны и независимы, мы перемножаем вероятности: 0,8*0,8*0,8*0,2*0,2=0,02048. Округляя до сотых, получаем 0,02.

Задача 6: Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,01. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,96. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,05. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Решение: Система может забраковать как исправную, так и неисправную батарейку. Эти события несовместны, тогда вероятность их суммы равна сумме их вероятностей. Возможны два варианта: батарейка неисправна и система ее забраковала, вероятность этого события равна P1=0.01∗0.96=0.0096. Если батарейка исправна, то система тоже может ее забраковать, но с вероятностью P2=0.99∗0.05=0.0495. Тогда найдем искомую вероятность как P=P1+P2=0.0591.

Задача 7: В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,7 погода завтра будет такой же, как и сегодня. 15 июня погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 18 июня в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение: Так как нам надо найти вероятность того, что 18 июня будет отличная погода, то на погоду 16, 17 и 18 июня возможны следующие варианты (Х- хорошая погода, О - отличная погода): Х Х О, Х О О, О Х О, О О О. Найдем вероятности каждого из вариантов с учетом того, что 15 июня погода хорошая.

Так как эти события (варианты развития погоды) являются несовместными, то чтобы найти вероятность того, что 18 июня будет отличная погода, надо сложить получившиеся вероятности (вероятность суммы событий равна сумме вероятностей событий). P=P1+P2+P3+P4=0.468.

Решение: Капитан команды "Монтер" будет трижды кидать жребий: с капитаном команды "Ротор", затем с капитаном команды "Статор" и с капитаном команды "Мотор". В первом жребии вероятность начать игру равна 0.5. Далее вероятность не начинать игру со "Статором" и с "Мотором" равна также по 0.5. Таким образом, вероятность начать только первую игру равна P=0.5∗0.5∗0.5=0.125.

Задача 9: Какова вероятность того, что при бросании двух игральных кубиков выпадут числа, сумма которых делится на 5? Ответ округлите до сотых.

Решение: Всего при бросании двух кубиков возможны 6∗6=36 вариантов. Варианты, при которых выпадут числа, сумма которых кратна 5, следующие: 1 4, 4 1, 5 5, 2 3, 3 2, 6 4, 4 6. Итого имеем 7 таких вариантов. Тогда вероятность того, что сумма чисел будет кратна 5, равна (с учетом округления до сотых) P=7/36=0.19.

Задача 10: С 5 по 24 июня включительно в доме должны произвести проверку газовых счетчиков. Найдите вероятность того, что эта проверка осуществится в течение первой недели, т.е. в период с 5 по 11 июня.

Решение: Всего на проверку счетчиков заложено 24-5+1=20 дней. Вероятность того, что проверка произойдет в течение первой недели (7 дней) равна P=7/20=0.35.

Формула Бернулли. Закон больших чисел.

При введении понятия вероятности отмечалось, что если вероятность некоторого события А равна p , то вероятнее всего, что при повторении испытания много раз относительная частота благоприятных этому событию исходов будет мало отличаться от значения р. Это утверждение, называемое в теории вероятностей законом больших чисел, лежит в основе всех практических приложений этой теории – оно позволяет с помощью вычисленных вероятностей предсказывать частоту наступления данного события в длинной серии независимых испытаний.

Выведем формулу Бернулли, позволяющую вычислить вероятность того, что в серии из n независимых испытаний событие А, имеющее вероятность р, встретится m раз. Результат серии из n испытаний можно записать в виде кортежа из букв А и Ᾱ, имеющего длину n . Например, если проведено семь испытаний, причем событие А произошло во втором, третьем и пятом испытаниях, то запишем результат данной серии в виде ᾹААᾹАᾹᾹ. Условие, что испытания данной серии независимы друг от друга, означает, что для вычисления вероятности данного исхода испытаний надо заменить в записи этой серии каждую букву А её вероятностью р, а каждую букву Ᾱ ее вероятностью 1-р и перемножить эти числа.

Пример 1: Проводится серия из 8 независимых испытаний. Событие А имеет вероятность р=0,7. Чему равна вероятность того, что получится исход серии вида ААᾹААᾹАᾹ?

Решение: Заменяем каждую букву А на 0,7, а каждую букву Ᾱ на 1-0,7=0,3. Получаем произведение 0,7*0,7*0,3*0,7*0,7*0,3*0,7*0,3, которое можно записать короче в виде 0,7 5 *0,3 3 . Вычисляя, находим, что искомая вероятность равна 0,00453789≈0,005.

Вообще, если событие А имеет вероятность р, то вероятность появления конкретной серии из n независимых испытаний, в которой это событие произошло m раз, равна p m q n - m , где q =1- p .

Формула Бернулли:, где – вероятность того, что в серии из n независимых испытаний событие А, вероятность которого равна р, произойдет m раз; – биномиальный коэффициент, равный .

Пример 2: Какова вероятность того, что при десяти бросаниях игральной кости 3 очка выпадут ровно два раза?

Решение: Вероятность выпадения 3 очков при одном броске равна . Поэтому . Так как, кроме того, n =10 и m =2, то по формуле имеем:

Пример 3: Страховая компания заключила договор со спортсменом-теннисистом на 365 дней ( n =365) , предусматривающий выплату страхового возмещения клиенту в случае травмы специального вида. Из предыдущей практики известно, что вероятность получения такой травмы теннисистом в любой фиксированный день равна р =0,00037. Вычислить вероятность того, что в течение срока действия договора:

а) не произойдет ни одного страхового случая ( m =0 );

б) произойдет один страховой случай ( m =1 );

в) произойдут два страховых случая ( m =2 ).

Решение: q =1-0,00037=0,99963 . Подставляем все данные в формулу, имеем:

Ответ: а) ≈0,87365; б) ≈0,11803; в) ≈0,00795.

В ходе моей исследовательской работы я познакомилась с теорией вероятностей и некоторыми областями жизни, в которых она применяется. Я узнала много новых и интересных фактах, о которых не знала раньше. Я познакомилась с формулой Бернулли. В дальнейшем я продолжу работу по данной проблематике, но уже более углубленно.

Проанализировав собранную мной информацию, я поняла, что шанс выиграть в лотерею крайне мал, поэтому играть в них не стоит.

Создавая эту работу, я удивилась, насколько широко применяется теория вероятностей, и научилась решать задание 4 в ЕГЭ, связанное с ней. Данный материал можно использовать на уроках математики при изучении теории вероятностей, а также при подготовке к Государственной Итоговой Аттестации (ОГЭ и ЕГЭ).

Выдвинутая мной гипотеза подтвердилась: Теория вероятностей очень часто встречается в нашей жизни и играет в ней немалую роль.

Я считаю цель работы достигнутой.

Используемая литература.

Читайте также: