Реферат по теме рациональные числа

Обновлено: 05.07.2024

Данная статья посвящена изучению темы "Рациональные числа". Ниже приведены определения рациональных чисел, даны примеры, рассказано о том, как определить, является ли число рациональным, или нет.

Рациональные числа. Определения

Прежде чем дать дефиницию рациональных чисел вспомним, какие еще есть множества чисел, и как они связаны между собой.

Натуральные числа, в совокупности с противоположными им и числом ноль образуют множество целых чисел. В свою очередь, совокупность целых дробных чисел образует множество рациональных чисел.

Определение 1. Рациональные числа

Рациональные числа - числа, которые можно представить в виде положительной обыкновенной дроби a b , отрицательной обыкновенной дроби - a b или числа ноль.

Таким образом, можно оставить ряд свойств рациональных чисел:

Любое натуральное число является рациональным числом. Очевидно, каждое натуральное число n можно представить в виде дроби 1 n .
Любое целое число, включая число 0 , является рациональным числом. Действительно, любое целое положительное и целое отрицательное число легко представляется в виде соответственно положительной или отрицательной обыкновенной дроби. Например, 15 = 15 1 , - 352 = - 352 1 .
Любая положительная или отрицательная обыкновенная дробь a b является рациональным числом. Это следует напрямую из данного выше определения.
Любое смешанное число является рациональным. Действительно, ведь смешанное число можно представить в виде обыкновенной неправильной дроби.
Любую конечную или периодическую десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной дроби. Поэтому, каждая периодическая или конечная десятичная дробь является рациональным числом.
Бесконечные и непериодическое десятичные дроби не являются рациональными числами. Их невозможно представить в форме обыкновенных дробей.

Приведем примеры рациональных чисел. Числа 5 , 105 , 358 , 1100055 являются натуральными, положительными и целыми. Сдедовательно, это рациональные числа. Числа - 2 , - 358 , - 936 представляют собой целые отрицательные числа, и они также рациональны в соответствии с определением. Обыкновенные дроби 3 5 , 8 7 , - 35 8 также являются примерами рациональных чисел.

Приведенное выше определение рациональных чисел можно сформулировать более кратко. Еще раз ответим на вопрос, что такое рациональное число.

Определение 2. Рациональные числа

Рациональные числа - это такие числа, которые можно представить в виде дроби ± z n , где z - целое число, n - натуральное число.

Можно показать, что данное определение равносильно предыдущему определению рациональных чисел. Чтобы сделать это, вспомним, что черта дроби равносильна знаку деления. С учетом правил и свойств деления целых чисел, можно записать следующие справедливые неравенства:

0 n = 0 ÷ n = 0 ; - m n = ( - m ) ÷ n = - m n .

Таким образом, можно записать:

z n = z n , п р и z > 0 0 , п р и z = 0 - z n , п р и z 0

Собственно, данная запись и является доказательством. Приведем примеры рациональных чисел, основываясь на втором определении. Рассмотрим числа - 3 , 0 , 5 , - 7 55 , 0 , 0125 и - 1 3 5 . Все эти числа являются рациональными, так как их можно записать в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем: - 3 1 , 0 1 , - 7 55 , 125 10000 , 8 5 .

Приведем еще одну эквивалентную форму определения рациональных чисел.

Определение 3. Рациональные числа

Рациональное число - это такое число, которое можно записать в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.

Данное определение напрямую следует из самого первого определения этого пункта.

Подведем итог и сформулируем резюме по данному пункту:

Положительные и отрицательные дробные и целые числа составляют множество рациональных чисел.
Каждое рациональное число можно представить в виде обыкновенной дроби, числитель которой является целым числом, а знаменатель - натуральным числом.
Каждое рациональное число можно также представить в виде десятичной дроби: конечной или бесконечной периодической.

Какое из чисел является рациональным?

Как мы уже выяснили, любое натуральное число, целое число, правильная и неправильная обыкновенная дробь, периодическая и конечная десятичная дробь являются рациональными числами. Вооружившись этими знаниями можно без труда определить, является ли какое-то число рациональным.

Однако на практике часто приходится иметь дело не с числами, а с числовыми выражениями, которые содержат корни, степени и логарифмы. В некоторых случаях ответ на вопрос "рационально ли число?" является далеко не очевидным. Рассмотрим методы ответа на этот вопрос.

Если число задано в виде выражения, содержащего только рациональные числа и арифметические действия между ними, то результат выражения - рациональное число.

Например, значение выражения 2 · 3 1 8 - 0 , 25 0 , ( 3 ) является рациональным числом и равно 18 .

Таким образом, упрощение сложного числового выражения позволяет определить, рационально ли заданное им число.

Теперь разберемся со знаком корня.

Оказывается, что число m n , заданное в видя корня степени n от числа m рационально лишь тогда, когда m является n -ой степенью какого-то натурального числа.

Обратимся к примеру. Число 2 не является рациональным. Тогда как 9 , 81 - рациональные числа. 9 и 81 - полные квадраты чисел 3 и 9 соответственно. Числа 199 , 28 , 15 1 не являются рациональными числами, так как числа под знаком корня не являются полными квадратами каких-либо натуральных чисел.

Теперь возьмем более сложный случай. Является ли рациональным число 243 5 ? Если возвести 3 в пятую степень, получается 243 , поэтому исходное выражение можно переписать так: 243 5 = 3 5 5 = 3 . Следовательно, данное число рационально. Теперь возьмем число 121 5 . Это число нерационально, так как не существует натурального числа, возведение которого в пятую степень даст 121 .

Для того, чтобы узнать, является ли логарифм какого-то числа a по основанию b рациональным числом необходимо применить метод от противного. К примеру, узнаем, рационально ли число log 2 5 . Предположим, что данное число рационально. Если это так, то его можно записать в виде обыкновенной дроби log 2 5 = m n .По свойствам логарифма и свойствам степени справедливы следующие равенства:

5 = 2 log 2 5 = 2 m n 5 n = 2 m

Очевидно, последнее равенство невозможно так как в левой и правой частях находятся соответственно нечетное и четное числа. Следовательно, сделанное предположение неверно, и число log 2 5 не является рациональным числом.

Стоит отметить, что при определении рациональности и иррациональности чисел не стоит принимать скоропостижных решений. Например, результат произведения иррациональных чисел не всегда является иррациональным числом. Наглядный пример: 2 · 2 = 2 .

Также существуют иррациональные числа, возведение которых в иррациональную степень дает рациональное число. В степени вида 2 log 2 3 основание и показатель степени являются иррациональными числами. Однако само число является рациональным: 2 log 2 3 = 3 .

Ардашева и др. Рабочая книга по математике

формат djvu
размер 3.6 МБ
добавлен 08 июля 2011 г.

Целые числа. Все действия с большими числами. Числа простые и составные. Десятичные дроби. Сложение и вычитание десятичных дробей. Умножение н деление десятичной дроби на целое число. Проценты. Измерение объемов. Простые дроби. Правильные и неправильные дроби. Сложение и вычитание простых дробей. Общее наименьшее кратное. Умножение и деление простых дробей. Изменение суммы и разности. Изменение произведения и частного. Умножение и депение целого.

Лекция - Математика в Европе в Средние века и в эпоху Возрождения

формат docx
размер 229.2 КБ
добавлен 24 октября 2011 г.

План: Первые университеты. Леонардо Пизанский. Николь Орем. Решение уравнений третьей и четвертой степеней. Мнимые величины. Алгебра Ф.Виета. Симметрические функции корней. Отрицательные числа. Теория перспективы.rn

Лекция - Математика Древнего Египта

формат docx
размер 237.31 КБ
добавлен 24 октября 2011 г.

План: Источники (Московский папирус, папирус Райнда). Иероглифическая нумерация. Действие над натуральными числами и дробями. Красные числа. Задачи, приводящие к линейным и двучленным квадратным уравнениям. Прогрессии. Геометрические знания. Значение математики древнего Египта.rn

Лекция - Математика народов Средней Азии, Ближнего и Среднего Востока

формат docx
размер 279.86 КБ
добавлен 24 октября 2011 г.

План: Арабская нумерация. Арифметические действия, дроби и задачи. Алгебра и квадратные уравнения. Геометрические построения. Тригонометрия. Теория отношений и действительные числа.rn

Лекция 5 - Математика Древнего и Средневекового Китая

формат docx
размер 313.78 КБ
добавлен 22 октября 2011 г.

План: Источники. Нумерация. Арифметические действия. Дроби. Математика в девяти книгах. Правило двух ложных положений. Системы линейных уравнений со многими неизвестными. Отрицательные числа. Начальные этапы развития тригонометрии. Квадратные уравнения. Теоретико-числовые задачи. Геометрические задачи. Значение математики древнего и средневекового Китая.rn

Лекция 6 - Математика Древней и Средневековой Индии

формат docx
размер 655.67 КБ
добавлен 22 октября 2011 г.

План: Источники: труды Ариабхаты, Брахмагупты, Бхаскары, Магавиры. Создание позиционной десятичной нумерации. Арифметика натуральных чисел и дробей. Задачи на пропорции. Алгебраическая символика. Отрицательные и иррациональные числа. Линейные и квадратные уравнения. Неопределенные уравнения. Теорема Пифагора. Площади и объемы. Тригонометрия. Числовые ряды. Комбинаторика. Значение математики древней и средневековой Индии.rn

Молодший В.Н. Основы учения о числе в XVIII веке

формат djvu
размер 3.47 МБ
добавлен 12 ноября 2010 г.

Работы по истории понятия числа нужны учителям математики средней школы и студентам физико-математических факультетов педагогических институтов. Некоторые материалы, вошедшие в эту книгу, были ранее опубликованы в "Историко-математических исследованиях", в „Трудах Института истории естествознания АН СССР" и в журнале "Математика в школе".

Презентация - Комплексные числа. История возникновения

формат ppt
размер 106 КБ
добавлен 03 июня 2011 г.

АлтГПА, 2011 год, 5 курс, предмет - История математики. Комплексные числа. История возникновения. Развитие понятия о числе. На пути к комплексным числам. Утверждение комплексных чисел в математике. Геометрическое представление комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа.

Реферат - История становления действительных чисел

формат rtf
размер 62.95 КБ
добавлен 12 апреля 2010 г.

Предмет- история математики, 30 страниц. содержание: Зарождение и развитие понятия числа. Проблема несоизмеримых или Первый кризис в основании математики. Следствия первого кризиса и попытки его преодоления. Становление теории предела. Создание теории действительного числа. Карл Вейерштрасс. Георг Кантор. Рихард Дедекинд.

Тихомиров В.М. Великие математики прошлого

формат pdf
размер 136.51 КБ
добавлен 23 мая 2009 г.

В брошюре доказываются замечательные теоремы великих математиков прошлого — Архимеда (теорема об объёме шара), Ферма (теорема о представлении простых чисел в виде суммы двух квадратов натуральных чисел), Эйлера (равенство e?i=?1), Лагранжа (теорема о представлении любого натурального числа в виде суммы четырёх квадратов целых чисел) и Гаусса (теорема о построении циркулем и линейкой правильного семнадцатиугольника).

О чем эта статья:

6 класс, 8 класс

Определение рациональных чисел

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде положительной или отрицательной обыкновенной дроби или числа ноль. Если число можно получить делением двух целых чисел, то это число рациональное.

Рациональные числа — это те, которые можно представить в виде

где числитель m — целое число, а знаменатель n — натуральное число.

Рациональные числа – это все натуральные, целые числа, обыкновенные дроби, бесконечные периодические дроби и конечные десятичные дроби.

Множество рациональных чисел принято обозначать латинской буквой Q.

Примеры рациональных чисел:

десятичная дробь 1,15 — это 115/100;
десятичная дробь 0,5 — это 1/2;
целое число 0 — это 0/1;
целое число 6 — это 6/1;
целое число 1 — это 1/1;
бесконечная периодическая дробь 0,33333. — это 1/3;
смешанное число — это 25/10;
отрицательная десятичная дробь -3,16 — это -316/100.

Свойства рациональных чисел

У рациональных чисел есть определенные законы и ряд свойств — рассмотрим каждый их них. Пусть а, b и c — любые рациональные числа.

Переместительное свойство сложения: a + b = b + a.
Сочетательное свойство сложения: (a + b) +c = a + (b + c).
Сложение рационального числа и нейтрального элемента (нуля) не изменяет это число: a + 0 = a.
У каждого рационального числа есть противоположное число, а их сумма всегда равна нулю: a + (-a) = 0.
Переместительное свойство умножения: ab = ba.
Сочетательное свойство умножения: (a * b) * c = a * (b * c).
Произведение рационального числа и едины не изменяет это число: a * 1 = a.
У каждого отличного от нуля рационального числа есть обратное число. Их произведение равно единице: a * a−1 = 1.
Распределительное свойство умножения относительно сложения: a * (b + c) = a * b + a * c.

Кроме основных перечисленных есть еще ряд свойств:

Мы знаем, что 0 = d + (-d) для любого рационального d, значит a * 0 = a * (d + (-d)).

Распределительный закон позволяет переписать выражение:

a * d + a * (−d), а так как a * (−d) = -ad, то a * d + a * (-d) = a * d + (-ad).

Мы перечислили только свойства сложения и умножения. На множестве рациональных чисел вычитание и деление можно записать, как обратные к сложению и умножению. То есть, разность (a - b) можно записать, как сумму a + (-b), а частное a/b равно произведению a * b−1, при b ≠ 0.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Определение иррационального числа

Иррациональное число — это действительное число, которое невозможно выразить в форме деления двух целых чисел, то есть в рациональной дроби

Оно может быть выражено в форме бесконечной непериодической десятичной дроби.

Бесконечная периодическая десятичная дробь — это такая дробь, десятичные знаки которой повторяются в виде группы цифр или одного и того же числа.

π = 3,1415926.
√2 = 1,41421356.
e = 2,71828182…
√8 = 2.828427.
-√11= -3.31662…

Обозначение множества иррациональных чисел: латинская буква I.

Действительные или вещественные числа — это все рациональные и иррациональные числа: положительные, отрицательные и нуль.

Свойства иррациональных чисел:

результат суммы иррационального числа и рационального равен иррациональному числу;
результат умножения иррационального числа на любое рациональное число (≠ 0) равен иррациональному числу;
результат вычитания двух иррациональных чисел равен иррациональному числу или рациональному;
результат суммы или произведения двух иррациональных чисел равен рациональному или иррациональному, например: √2 * √8 = √16 = 4).

Различие между целыми, натуральными и рациональными числами

Натуральные числа — это числа, которые мы используем, чтобы посчитать что-то конкретное, осязаемое: один банан, две тетрадки, десять стульев.

А вот, что точно не является натуральным числом:

Нуль — целое число, которое при сложении или вычитании с любыми числами в результате даст то же число. Умножение на ноль дает ноль.
Отрицательные числа: -1, -2, -3, -4.
Дроби: 1/2, 3/4, 5/6.

Целые числа — это натуральные числа, противоположные им и нуль.

Какие числа называются рациональными мы уже знаем из первой части статьи. Повторим еще раз.

Рациональные числа — это конечные дроби и бесконечные периодические дроби.

Любое рациональное число можно представить в виде дроби, у которой числитель принадлежит целым числам, а знаменатель — натуральным. Поэтому во множество рациональных чисел входит множество целых и натуральных чисел.

Но не все числа можно назвать рациональными. Например, бесконечные непериодические дроби не принадлежат множеству рациональных чисел. Так √3 или 𝜋 (число пи) нельзя назвать рациональными числами.