Реферат по теме четные и нечетные функции

Обновлено: 04.07.2024

Чтобы узнать, является функция чётной или нечётной (или вообще общего вида), нужны две проверки:

Область определения. Если она не симметрична относительно нуля, то функция общего вида. Если симметрична — переходим ко второй проверке.
Зная $f\left( x \right)$, считаем $f\left( -x \right)$ и $-f\left( x \right)$. Если $f\left( -x \right)=-f\left( x \right)$, то функция нечётная. А если $f\left( -x \right)=f\left( x \right)$, то функция чётная.

Главное, чтобы функция была задана формулой, а не таблицей, графиком или ещё как. Тогда исследование на чётность занимает несколько секунд. Мы сейчас убедимся в этом, но сначала важное замечание.

Разберём несколько примеров. Для начала — стандартный:

Исследуйте на чётность / нечётность функцию

\[f\left( x \right)=^>-4x\]

Эта функция определена для всех действительных чисел: $x\in \mathbb$. Это симметричное относительно нуля множество. Пока всё хорошо.

Считаем $f\left( -x \right)$ и $-f\left( x \right)$:

\[\begin f\left( -x \right) & =<<\left( -x \right)>^>-4\cdot \left( -x \right)= \\ & =-^>+4x; \\ -f\left( x \right) & =-\left( ^>-4x \right)= \\ & =-^>+4x \end\]

Получили, что $f\left( -x \right)=-f\left( x \right)$. Значит, функция нечётная.

А вот более хитрый случай:

Исследуйте на чётность / нечётность функцию

\[f\left( x \right)=\frac\]

Область определения. Перед нами рациональная дробь. Её знаменатель должен быть отличен от нуля:

\[\begin 4-x & \ne 0 \\ x & \ne 4 \\ \end\]

Следовательно, область определения

\[M=\left( -\infty ;4 \right)\bigcup \left( 4;+\infty \right)\]

Это множество несимметрично, поскольку $x=-4$ принадлежит этому множеству, а $x=4$ не принадлежит. Всё: функция $f\left( x \right)$ — общего вида.

Дальше попробуйте сами:

Умение быстро определять чётность — чрезвычайно полезный навык. Особенно когда вы начнёте решать задачи с параметрами и всевозможные варианты ДВИ.

3. График чётной и нечётной функции

Всего два факта, которые нужно знать:

Теорема 1. График чётной функции $y=f\left( x \right)$ симметричен относительно оси $OY$.

Теорема 2. График нечётной функции $y=f\left( x \right)$ симметричен относительно начала координат.

Чтобы построить график чётной функции, достаточно построить его правую часть (для $x\ge 0$), а затем симметрично отразить относительно оси $OY$.

С нечётной функцией, на первый взгляд, всё то же самое. Сначала вновь строим правую часть графика (для $x\ge 0$), а затем отражаем её относительно начала координат. Однако практика показывает, что центральная симметрия даётся начинающим ученикам чуть сложнее, чем осевая.

Ниже приведены графики нескольких чётных функций. Попробуйте построить их самостоятельно.

Постройте график функции

\[y=3\left| x \right|-2\]

Функция чётная. Пусть $x\ge 0$. Тогда функция примет вид

\[y=3x-2\]

Это линейная функция. Её график — прямая. С учётом отражения относительно оси $OY$ получим:

Постройте график функции

\[y=^>-2\left| x \right|-1\]

Функция чётная. При $x\ge 0$ видим привычную квадратичную функцию

\[y=^>-2x-1\]

Её график — парабола с вершиной $_>=/\;=/\;=1$. После отражения получим

Постройте график функции

\[y=\frac<2\left| x \right|+6><\left| x \right|+1>\]

Функция чётная. При $x\ge 0$ получим привычную рациональную дробь. Выделим целую часть:

\[y=\frac+2\]

Это обычная гипербола, сдвинутая на 1 влево и на 2 вверх. Итого получим:

Обратите внимание на последний график. При всяком сдвиге и симметрии желательно показывать не только новое положение самого графика, но и положение всех ориентиров: вспомогательная система координат, вертикальные и горизонтальные асимптоты (особенно актуально для гипербол) и т.д.

Зачем всё это нужно? Исследование функции на чётность и нечётность незаменимо для решения сложных уравнений и задач с параметром:

Графический метод решения задач с параметром;
Метод мажорант;
Вместе с периодичностью используется в тригонометрии.

4. Дополнение. Задачи с параметром

Чётность функций редко встречается сама по себе. Прежде всего это инструмент для решения сложных задач.

И ещё одна задача. Попробуйте решить её самостоятельно:

Известно, что $f\left( x \right)=\frac^>+k^>>$ и $f\left( 3 \right)=15$. Найдите $f\left( -3 \right)$ и значение параметра $k$.

Решение. Функция чётная при любом $k\in \mathbb$ (докажите это!), поэтому

\[f\left( -3 \right)=-f\left( 3 \right)=-15\]

Поскольку $f\left( 3 \right)=15$, имеем:

\[\begin f\left( 3 \right) & =\frac<<^>+k\cdot <^>>=\frac \\ & . \\ k& =6 \end\]

Ответ: $f\left( -3 \right)=-15$; $k=6$.

А чтобы действительно разобраться с чётностью, обязательно изучите ещё две темы:

Сдвиги графиков вдоль осей;
Графики функций с модулем.

После этого половина задач с параметром перестанет казаться вам сложными.:)

ГОСТ

Четные функции

Функцию $y=f(x)$, которая имеет своей областью определения множество $X$, будем называть четной, если для всех точек из множества $X$ будет выполняться

Так как при выборе равных по модулю с обоими знаками значений независимых переменных для любой четной функции значения самой функции будет совпадать, то график этих функции будет подчиняться закону осевой симметрии по отношению к оси ординат (рис. 1).

Для исследования функции на четность необходимо в его аналитической записи заменить переменную $x$ на переменную $-x$, произвести, при необходимости элементарные преобразования, и проверить условие определения 1.

Нечетные функции

Функцию $y=f(x)$, которая имеет своей областью определения множество $X$, будем называть нечетной, если для всех точек из множества $X$ будет выполняться

Так как при выборе равных по модулю с обоими знаками значений независимых переменных для любой четной функции значения самой функции будут также совпадать по модулю и отрицательны по знакам, то график этих функции будет подчиняться закону центральной симметрии по отношению к началу координат (рис. 2).

Готовые работы на аналогичную тему

Для исследования функции на нечетность необходимо в его аналитической записи заменить переменную $x$ на переменную $-x$, произвести, при необходимости элементарные преобразования, и проверить условие определения 2.

Функция общего вида

Функцию $y=f(x)$, которая имеет своей областью определения множество $X$, будем называть функцией общего вида, если она не будет ни четной, ни нечетной.

Для того чтобы понять, что данная функция является функцией общего вида, необходимо в его аналитической записи заменить переменную $x$ на переменную $--x$, произвести, при необходимости элементарные преобразования, и проверить невыполнение условий определений 1 и 2.

Функция общего вида никогда не будет симметрична оси ординат и началу координат. Пример функции общего вида изображен на рисунке 3.

Пример задачи

Исследовать функцию на четность и нечетность и построить их графики.

$f\left(-x\right)=^2+3=x^2+3=f(x)$\textit< >следовательно, $f(x)$ -- четная функция.

Изобразим её на графике:

$f\left(-x\right)=+=cosx-sinx$ следовательно, $f\left(x\right)$ -- функция общего вида.

Анализ функции на четность и нечетность — распространенный тип задач. Однако операция требует определенных знаний, поскольку очень часто возникают ситуации, в которых трудно принять верное решение. Специалисты рекомендуют использовать специальный алгоритм, позволяющий без ошибок произвести исследование. Для его реализации следует приобрести соответствующие базовые знания.

Общие сведения

Теперь следует сформулировать список базовых знаний, которые необходимы для анализа выражений на четность. Если нужно выполнить другие процедуры исследования, то его следует расширить. Например, для нахождения максимума следует ознакомиться с производной. Необходимый минимум знаний о функциях следующий:

Область определения — D (f).
Виды.
Правила.
Свойства для четных и нечетных.
Классификация.

Первый элемент необходим для выявления аргумента, при котором можно узнать его недопустимые значения, а также определить симметричность. От свойств и вида также зависит четность. Первое рекомендуется применять в частных случаях, например, произведение двух нечетных тождеств. Результат следует проверять при помощи соответствующего программного обеспечения. Например, онлайн-калькулятор четности и нечетности функций позволяет следить за правильностью решения.

Область определения

D (z) записывается в виде множества. Например, D (z) = [1;8]. Запись значит ограниченность аргумента, принимающего значения от 1 включительно до 8 включительно, то есть следующие цифры: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8. Если указана запись в виде (1;4), то ее нужно трактовать таким образом: от 1 не включительно до 4 не включительно, то есть в интервал входят только числа 2 и 3.

Для определения величины D (z) необходимо решить неравенство, корнем которого являются все значения аргумента. Для этих целей можно использовать и специализированное программное обеспечение. Математики рекомендуют свести пользование решебниками и программами к минимуму, поскольку не всегда предоставится возможность воспользоваться ими на экзаменах или контрольных.

Основные виды

Исследование функции зависит от ее вида, который нужно правильно определять. Для начала следует обозначить сложность, поскольку от этого параметра зависят дальнейшие действия и свойства, которыми придется руководствоваться. Математики производят разделение таким образом:

Простые: алгебраические, трансцендентные и тригонометрические.
Составные или сложные.

Алгебраические делятся на рациональные (без корня) и иррациональные (наличие радикала). Первые состоят из целых и дробных. D (z) для этих типов — все множество действительных чисел. Если функция представлена в виде обыкновенной дроби, то значение аргумента, приводящее к пустому множеству (знаменатель равен нулю), нужно исключить. Когда аргумент находится под знаком радикала (корня), тогда она считается иррациональной. Однако следует проверить, чтобы под корнем четной степени не было отрицательного значения, которое приводит к неопределенности.

Все функции, содержащие sin, cos, tg и ctg, являются тригонометрическими. Кроме того, arcsin, arccos, arctg и arcctg — обратные тригонометрические. Трансцендентные можно разделить на такие три группы: показательные, степенные и логарифмические.

Второе отличается от первого формулой. Другой тип классификации основан на периодичности. В зависимость от этого параметра все функции делятся на периодические и непериодические. Параметр периодичности означает повторение ее поведения через определенный период Т.

Существует еще один критерий. Он называется монотонностью. В зависимости от него, функции бывают монотонными и немонотонными. Первая группа характеризуется постоянностью, то есть она либо убывает, либо возрастает. Все остальные могут убывать и возрастать на определенных промежутках. Примером является y = cos (x), поскольку она является убывающей и возрастающей через определенный период.

Правила для выявления

Для того чтобы исследовать на четность, существует два правила или теоремы, которые записываются в виде двух формул. Четная — функция вида w (x), для которой справедливо такое равенство: w (-x) = w (x). Для нечетной соотношение немного другое: w (-x) = w (x). Однако бывают выражения, к которым не применимы эти тождества. Они принадлежат общему виду.

Для оптимизации решения специалисты рекомендуют использовать некоторую последовательность действий или специальный алгоритм. Он позволяет определить четность за минимальный промежуток времени и без ошибок. Необходимо обратить внимание на пункты или шаги, по которым выполняется подробная оценка:

Разложить при необходимости на простые элементы.
Определить D (z). Если ее график симметричный, то нужно переходить к следующему шагу. В противном случае результатом является функция общего вида.
Проверить, подставив в выражение отрицательное значение аргумента w (-x).
Выполнить сравнение: w (-x) = w (x).
Сделать соответствующий вывод.

Если w (-x) = w (x), то это свидетельствует о четности. При выполнении тождества w (-x) = -w (x) функция является нечетной. Важно обратить внимание на D, поскольку в некоторых точках равенства и условия могут не выполняться. Это свидетельствует о том, что искомая функция принадлежит к общему виду, то есть не является четной и нечетной.

Одним интересным способом является графический метод (принцип). Для его реализации нужно выполнить построение графика. Если он будет симметричным относительно оси ординат ОУ, то равенство w (-x) = w (x) будет выполняться. В случае симметричности относительно начала системы координат (точка пересечения осей абсцисс и ординат), будет справедливым равенство w (-x) = -w (x).

Следствия из утверждений

Свойства или следствия из утверждений расчетов позволяют оптимизировать процесс решения, поскольку нет необходимости выполнять какие-либо действия. Очень часто приходится тратить много времени на задание, которое можно решить за несколько минут. Математики выделяют следующие свойства для таких функций:

Симметричность графика: четная — относительно ОУ, а нечетная — относительно начала координат.
Функция эквивалентна сумме четной и нечетной.
Результат комбинации четных эквивалентен четной, а нечетных — нечетной.
Результирующее произведение: 2 четных — четное, 2 нечетных — четная, а 2 разной четности — нечетной.
Композиция: 2 нечетных — нечетна, четная и нечетная — четна, любая с четной — четна (не наоборот).
При взятии производной от четной результирующая является нечетной, а от нечетной — четной.
Определенный интеграл вида ∫(g (x))dx с границами от -А до А равен двойным интегралам ∫(g (x))dx с границей от -А до 0 и от 0 до А: ∫(g (x))dx |(-A;A) = 2∫(g (x))dx |(-A;0) = 2∫(g (x))dx |(0;A).
Определенный интеграл нечетной функции с границами -А и А равен 0.
Ряд Маклорена: четные степени соответствуют четной и наоборот.
Ряд Фурье: четная содержит только выражения с cos, а нечетная — sin.

Второе свойство можно записать математически таким образом: z (x) = y (x) + w (x). Выражение y (x) можно выразить следующим образом: y (x) = [z (x) — z (-x)] /2. Тождество w (x) выражается через z (x) формулой: w (x) = [z (x) + z (-x)] /2.

Классификация по четности

Возведение в степень, показатель которой является целым и нечетным.
Сигнум (sgn) — кусочно-постоянный тип, который задан несколькими формулами, объединенными в систему.
Радикал положительной нечетной степени.
Тригонометрические: sin (x), tg (x), ctg (x) и cosec (x).
Обратные тригонометрические: arcsin (x), arcctg (x), arcsec (x) и arccosec (x).
Гиперболические и их обратные выражения: гиперболические синус и косинус, а также ареасинус, ареатангенс и ареакотангенс.
Гудермана и обратная ей: gd (x) = arctg (sh (x)) и arcgd (x) = arch (sec (x)).
Интегральный синус: Si (x).
Матье: se (x).

Кроме того, существуют еще составные выражения, элементами которых являются простые функции. Для анализа необходимо руководствоваться свойствами. Следующий класс, который объединяет все четные выражения, состоит из следующего перечня:

Возведение в четную и целую степень.
Модуль аргумента.
Константа.
Тригонометрические: cos (x) и sec (x).
Гиперболические: косинус и секанс.
Дельта-функция Дирака: z (x) = δ(x).
Гаусса: z (x) = a * exp[(-(x — b)^2) / 2c 2 ].
Кардинальный синус: sinc (x).

Остальные составляют класс общего вида, который не принадлежит к четным и нечетным. При решении задач необходимо иметь таблицу всех функций, которая должна быть составлена перед обучением. Следует учитывать, что на экзаменах и контрольных функции, используемые для описания каких-либо процессов, практически не исследуются. Зная алгоритм, не составит особого труда проверить выражение на четность. Следующим этапом, который поможет закрепить теоретические знания, считается практика.

Пример решения

Задачи исследования функции на четность встречаются редко, поскольку этот элемент входит в полный анализ ее поведения. Пусть дано тождество z (y) = (y 2 — y — 2) / (y 2 — 1). В этом случае следует действовать по алгоритму:

Состоит из двух элементов: g (y) = y 2 — y — 2 и h (y) = y 2 — 1.
Область значений: D (y 2 — y — 2) = (-бесконечность; +бесконечность) и D (y 2 — 1) = (-бесконечность; -1) U (-1;1) U (1; +бесконечность).
График функции является симметричным, поскольку задан параболой.
Выполнить анализ по формулам: g (-y) = (-y)^2 + y — 2 = y 2 + y — 2 и h (-y) = (-y)^2 — 1 = y 2 — 1.
В двух случаях функции являются нечетными: в первом — изменение знака, а во втором — от четной отнимается 1. Следовательно, искомое выражение является нечетной функцией.

Первое свойство свидетельствует о том, что функция является нечетной. Некоторые новички делают распространенную ошибку, считая, что отношение нечетных есть величина четная. Однако такое утверждение не применимо в этом случае. Если бы было произведение двух нечетных выражений, то результат являлся бы четным. Об этой особенности свидетельствует свойство под номером 4.

Таким образом, для исследования функции на предмет ее четности или нечетности нужно воспользоваться специальным алгоритмом, который рекомендуют математики. Он позволит выполнить операцию без ошибок и за короткий промежуток времени.

Определение: Функция y ( x ) называется четной, если область определения её симметрична относительно начала координат и выполняется

y (- x ) = y ( x )

для любого x из области определения этой функции. График четной функции симметричен относительно оси х.

y (- x ) = - y ( x )

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Чётные функции

Нечётные функции

y = x² -1

y = x ³

y = 1/х

y = | x |

Симметрия относительно

начала координат

Симметрия относительно оси О y

Алгоритм исследования функции на чётность или нечетность

Установить , симметрична ли область определения функции
Установить , симметрична ли область определения функции

3) Сравнить f(-x) и f(x)

Определение

Чётные функции

Нечётные функции

y ( - x) = y (x)

y ( - x) = - y (x)

Выяснить является ли функция чётной или нечётной.

y = 5 x² - | X |

y (- x ) = 5 • ( - x ) ² - |- x | =

= 5 x ² - | x |=

= y ( x ) - четная

y = 7x +x ³

y (- x ) = 7( - x) + (- x) ³ =

= - 7 x - x ³ = - ( 7x +x ³)=

= - y ( x )

Примеры: Определите, является ли функция четной или нечетной

1. f ( x ) =3 x 2 + x 4

2. f ( x ) = х(5 – x 2 )

3 . f ( x ) =4 x 6 – x 2

4. f ( x ) = x 7 +2 x 3

Чётные функции

Функция f( х) называется четной , если область её определения симметрична относительно начала координат и f(-x) = f(x) для любого х из области определения функции.

Графики чётных функций симметричны относительно оси ординат.

График четной функции симметричен относительно оси ординат

Укажите график четной функции.

Нечётные функции

Функция f( х) называется нечетной , если область её определения симметрична относительно начала координат и f(-x) = - f(x) для любого х из области определения функции.

Графики нечётных функций симметричны относительно начала координат.

График нечетной функции симметричен относительно начала координат

График нечетной функции симметричен относительно начала координат .

Читайте также: