Реферат на тему затухающие колебания
Обновлено: 02.07.2024
В школьном курсе физики рассматривают идеальные модели явлений. При изучении параметров колебательного движения потери энергии на преодоление сопротивления (воздуха) не учитываются. Потенциальная энергия переходит в кинетическую и обратно в потенциальную. Полная механическая энергия остаётся постоянной. Такой вывод можно сделать из закона сохранения энергии. В этом случае амплитуда колебаний меняться не будет.
При переходе от идеальных замкнутых систем, в которых происходят гармонические колебания с постоянными амплитудой, частотой и периодом к реальным системам, мы должны учитывать рассеивание энергии на преодоление сопротивления воздуха, на увеличение внутренней энергии системы. В реальных системах амплитуда колебаний уменьшается с течением времени вплоть до полного прекращения колебаний — затухания .
Затухающими колебаниями называют свободные колебания, энергия которых уменьшается из-за воздействия сил сопротивления (трения) с течением времени.
Скорость затухания колебаний прямо пропорциональна силе сопротивления: чем больше сопротивление, тем быстрее уменьшается амплитуда колебаний.
на графике \(1\) колебания затухают, чем на графике \(2\), значит сила сопротивления первой колебательной системы больше.
Смысл, который вкладывался в понятие периода для незатухающих колебаний, не подходит для затухающих колебаний, так как колебательная система никогда не возвращается в исходное состояние из-за потерь колебательной энергии.
Периодом затухающих колебаний называется минимальный промежуток времени, за который система проходит дважды положение равновесия в одном направлении.
Амплитуда затухающих колебаний — величина не постоянная, а изменяющаяся со временем. Поэтому определение для амплитуды, данное ранее для незатухающих свободных колебаний, для затухающих колебаний надо изменить.
При небольших затуханиях амплитудой затухающих колебаний называется наибольшее отклонение от положения равновесия за период.
Общее решение уравнения затухающих колебаний. Свойства и характеристики затухающих колебаний. Апериодические колебания. Условие для прекращения колебаний. Логарифмический декремент затухания. Логарифм отношения амплитуд. Частота затухающих колебаний.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 16.10.2014 |
| Размер файла | 154,5 K |
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
HTML-версии работы пока нет.
Cкачать архив работы можно перейдя по ссылке, которая находятся ниже.
Подобные документы
Амплитуда и частота затухающих колебаний. Логарифмический декремент затухания. Скорость убывания энергии со временем. Амплитуда и частота затухающих колебаний. Логарифмический декремент затухания. Энергия затухающих колебаний и пружинный маятник.
презентация [587,6 K], добавлен 21.03.2014
Общие характеристики колебаний, их виды, декремент затухания, добротность колебательной системы. Уравнение собственных затухающих колебаний физического и пружинного маятников. Сущность периодического и непериодического механизма затухающих колебаний.
курсовая работа [190,0 K], добавлен 13.11.2009
Сложение взаимно перпендикулярных механических гармонических колебаний. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний и его решение; автоколебания. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Амплитуда и фаза колебаний; резонанс.
презентация [308,2 K], добавлен 28.06.2013
Механизм возникновения электрических колебаний, идеализированный контур. Активное сопротивление реального контура. График свободно затухающих колебаний в контуре. Логарифм декремента затухания. Вынужденные электрические колебания, компенсация потерь.
презентация [326,0 K], добавлен 24.09.2013
Законы изменения параметров свободных затухающих колебаний. Описание линейных систем дифференциальными уравнениями. Уравнение движения пружинного маятника. Графическое представление вынужденных колебаний. Резонанс и уравнение резонансной частоты.
Вначале рассмотрим затухающие колебания.
Во всякой реальной колебательной системе всегда имеется сила трения (для механической системы), или электрическое сопротивление (для колебательного контура), действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль этой энергии не восполняется, то колебания будут затухать.
Рассмотрим механические колебания. В большинстве случаев сила трения пропорциональна скорости.
Работа содержит 1 файл
Реферат''Вынужденные и затухающие колебания''.doc
Вынужденные и затухающие колебания
Вначале рассмотрим затухающие колебания.
Во всякой реальной колебательной системе всегда имеется сила трения (для механической системы), или электрическое сопротивление (для колебательного контура), действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль этой энергии не восполняется, то колебания будут затухать.
Рассмотрим механические колебания. В большинстве случаев сила трения пропорциональна скорости.
Где r — постоянная, которая называется коэффициентом трения. Знак минус обусловлен тем, что сила F и скорость v направлены в противоположные стороны.
Уравнение второго закона Ньютона при наличии силы трения имеет вид
Применим следующие обозначения
Где ω0 — собственная частота колебательной системы.
Будем искать решение уравнения в виде
Найдём первую и вторую производные
Подставим выражения в уравнение (1.5)
Решение уравнения (1.6) зависит от знака коэффициента, стоящего при и. Рассмотрим случай, когда этот коэффициент положителен (т. е. b
Решением этого уравнения будет функция
Подставляя это выражение в уравнение (1.5), имеем
Здесь A0 и α — постоянные, значения которых зависят от начальных условий, ω — величина, определяемая формулой
Скорость затухания колебаний определяется величиной , которую называют коэффициентом затухания.
Для характеристики колебательной системы употребляется также величина
называемая добротностью колебательной системы. Она пропорциональна числу колебаний Ne , совершаемых системой за то время t, за которое амплитуда колебаний уменьшается в e раз.
Вынужденные колебания.
Допустим, что механическая колебательная система подвергается действию внешней силы, изменяющейся со временем по гармоническому закону:
В этом случае уравнение второго закона Ньютона имеет вид
Введя обозначения (1.3), преобразуем уравнение приобретёт вид:
Здесь b — коэффициент затухания, ω0 — собственная частота колебательной системы, ω — частота вынуждающей силы.
Дифференциальное уравнение (2.2) описывает вынужденные колебания. Решение этого уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения уже найдено (1.7), оно имеет вид
Попробуем найти частное решение (2.2) в виде (2.4)
где — неизвестный пока сдвиг фаз между силой и вызываемыми ею колебаниями.
Развернем и по формулам для синуса и косинуса разности и подставим в формулу (2.2) :
Сгруппируем члены уравнения:
Уравнение (2.7) будет тождественно при любых значениях t тогда, когда коэффициенты при cosωt и sinωt в обеих частях уравнения будут одинаковыми.
Найдём значения A и при которых функция (2.4) удовлетворяет уравнению (2.2). Для этого возведём равенства (2.8) и (2.9) в квадрат и сложим их друг с другом
Из (2.9) следует, что
Подставим значения A и в (2.4) и получим частное решение неоднородного уравнения (2.2):
Общее решение имеет вид
Первое слагаемое играет заметную роль только в начальной стадии процесса, при установлении колебаний. С течением времени из-за экспоненциального множителя роль слагаемого уменьшается, и по прошествии достаточного времени им можно пренебречь, сохранив в решении только второе.
Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы (2.10) приводит к тому, что при некоторой частоте амплитуда достигает максимального значения. Колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие вынуждающей силы при данной частоте. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота — резонансной частотой.
Для того чтобы определить резонансную частоту ωрез, нужно найти максимум функции (2.10), т.е. продифференцировать это выражение по ω и приравняв производную нулю:
Решения этого уравнения ω=0 и , но два из них исключаются, т.к. решение, равное нулю, соответствует максимуму знаменателя, а не имеет физического смысла (частота не может быть отрицательной).
(2.13). Следовательно (2.14)
Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты колебаний показана графически на рисунке слева. Кривые на графике соответствуют различным значениям параметра b. Чем меньше b, тем выше и правее лежит максимум резонансной кривой. При очень большом затухании (таком, что b2 > ω0) выражение для резонансной частоты становится мнимым. Это означает, что резонанс в этом случае не наблюдается — с увеличением частоты амплитуда монотонно убывает.
Изображенная на рисунке совокупность графиков функции (2.10) называется резонансными кривыми.
Согласно формуле (2.14) при малом затухании (т. е. при b
Если разделить это выражение на смещение x0 из положения равновесия под действием постоянной силы F0, равное . В результате получим, что
где - логарифмический декремент затухания.
Следовательно, добротность Q показывает, во сколько раз амплитуда при резонансе превышает смещение системы из положения равновесия под действием постоянной силы, модуль которой равен амплитуде вынуждающей силы (это справедливо лишь при небольшом затухании).
Затухающие колебания — это колебания, амплитуда которых уменьшается с течением времени под действием внешних сил.
Причина затухания заключается в том, что во всякой колебательной системе, кроме возвращающей силы, всегда действуют разного рода силы трения, сопротивление воздуха
и т. п., которые тормозят движение. При каждом размахе часть полной колебательной энергии (потенциальной и кинетической) расходуется на работу против сил трения. В конечном итоге на эту работу уходит весь запас энергии, сообщенный колебательной системе первоначально.
Рассматривая свободные гармонические колебания, мы имели дело с идеальными, строго периодическими собственными колебаниями. Описывая при помощи такой модели реальные колебания, мы сознательно допускаем неточность в описании. Однако подобное упрощение является пригодным в силу того, что у многих колебательных систем затухания колебаний, вызванные трением, действительно малы: система успевает совершить много колебаний прежде, чем их амплитуда уменьшится заметным образом.
Графики затухающих колебаний
При наличии затухания собственное колебание (рис.1) перестает быть гармоническим. Более того, затухающее колебание перестает быть периодическим процессом — трение влияет не только на амплитуду колебаний (то есть является причиной затухания), но и на продолжительность размахов. С увеличением трения время, необходимое системе для совершения одного полного колебания, увеличивается. График затухающих колебаний представлен на рис. 2.
Рис.1. График свободных гармонических колебаний
Рис.2. График затухающих колебаний
Характерной чертой колебательных систем является то, что небольшое трение влияет на период колебаний в гораздо меньшей степени, чем на амплитуду. Это обстоятельство сыграло огромную роль в усовершенствовании часов. Первые часы с маятником построил голландский физик и математик Христиан Гюйгенс в 1673 г. Этот год можно считать датой рождения современных часовых механизмов. Ход часов с маятником мало чувствителен к изменениям, обусловленным трением, которые в общем случае зависят от многих факторов, в то время как скорость хода предшествующих безмаятниковых часов очень сильно зависела от трения.
На практике возникает потребность как в уменьшении, так и в увеличении затухания колебаний. К примеру, при конструировании часовых механизмов стремятся уменьшить затухание колебаний балансира часов. Для этого ось балансира снабжают острыми наконечниками, которые упираются в хорошо отполированные конические подпятники, выполненные из твердого камня (агата или рубина). Наоборот, во многих измерительных приборах очень желательно, чтобы подвижная часть устройства устанавливалась в процессе измерений быстро, но совершая большого числа колебаний. Для увеличения затухания в этом случае применяют различные демпферы – устройства, увеличивающие трение и, в общем случае, потерю энергии.
Затухающие колебания получаются, если взять систему со свободными колебаниями и добавить в неё сопротивление среды, например, взять пружинный маятник и поместить его в воду. У затухающих амплитуда на каждом периоде всё меньше и меньше, так как энергия рассеивается. Кроме того, у них частота несколько ниже, чем у свободных колебаний аналогичной системы.
На практике свободных колебаний без потерь энергии не существует, но если энергия рассеивается мало, то потерями можно пренебречь и не рассматривать колебания как затухающие.
Вынужденные колебания – это колебания, совершаемые телом под действием внешней периодически изменяющейся силы. Эта силы называется вынуждающей силой.
Если воздействовать на качели периодически изменяющейся силой, амплитуда из раскачивания станет увеличиваться, но вместе с тем станет увеличиваться и сила сопротивления. В определённый момент сила сопротивления скомпенсирует вынуждающую силу, и колебания станут установившимися, как показано на картинке.
Частота установившихся колебаний будет равна частоте вынуждающей силы. Вынужденным колебаниям могут подвергаться любые тела, необязательно колебательные системы.
Редактировать этот урок и/или добавить задание Добавить свой урок и/или задание
Добавить интересную новость
Добавить анкету репетитора и получать бесплатно заявки на обучение от учеников
user->isGuest) < echo (Html::a('Войдите', ['/user/security/login'], ['class' =>'']) . ' или ' . Html::a('зарегистрируйтесь', ['/user/registration/register'], ['class' => '']) . ' , чтобы получать деньги $$$ за каждый набранный балл!'); > else < if(!empty(\Yii::$app->user->identity->profile->first_name) || !empty(\Yii::$app->user->identity->profile->surname))< $name = \Yii::$app->user->identity->profile->first_name . ' ' . \Yii::$app->user->identity->profile->surname; > else < $name = ''; >echo 'Получайте деньги за каждый набранный балл!'; > ?>-->
При правильном ответе Вы получите 1 балл
Если запустить колебательную систему без трения в свободные колебания, а затем добавить в систему трение, что изменится?
Выберите те ответы, которые считаете верными.
При правильном ответе Вы получите 1 балл
Могут ли вынужденные колебания быть затухающими?
Выберите всего один правильный ответ.
При правильном ответе Вы получите 1 балл
Чему равна частота установившихся вынужденных колебаний?
Выберите всего один правильный ответ.
При правильном ответе Вы получите 1 балл
Могут ли происходить вынужденные колебания с телами, не являющимися колебательной системой?
Выберите всего один правильный ответ.
Lorem iorLorem ipsum dolor sit amet, sed do eiusmod tempbore et dolore maLorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempborgna aliquoLorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempbore et dLorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempborlore m mollit anim id est laborum.
28.01.17 / 22:14, Иван Иванович Ответить +5
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetu sed do eiusmod qui officia deserunt mollit anim id est laborum.
28.01.17 / 22:14, Иван ИвановичОтветить -2
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing sed do eiusmod tempboLorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod temLorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempborpborrum.
Читайте также: