Реферат на тему углы образованные пересечением двух параллельных прямых секущей
Обновлено: 05.07.2024
Презентация - подробное и наглядное изложение темы " Углы, образованные параллельными прямыми". В ней рассматриваются понятие обратной теоремы, метода от противного, теорем о свойствах углов, образованных параллельными прямыми и секущей, приведены задачи для закрепления рассматриваемой темы.
Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей
Геометрия, Глава III, 7 класс
К учебнику Л.С.Атанасяна
Автор: Софронова Наталия Андреевна,
учитель математики высшей категории
Оршанского района Республики Марий Эл
Теорема, обратная данной
Теорема: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны .
Теорема: Если треугольник – равнобедрен-ный, то в нём углы при основании равны .
Условие теоремы (Дано): треугольник - равнобедренный
Заключение теоремы (Доказать): углы при основании равны
Условие теоремы : углы при основании равны
Заключение теоремы : треугольник - равнобедренный
НОВОЕ УТВЕРЖДЕНИЕ
Обратная
теорема
Если в треугольнике два угла
равны, то он - равнобедренный .
Теорема, обратная данной
Всегда ли обратное утверждение верно?
Теорема
Обратная теорема
Если сумма двух углов равна 180 0 , то углы - смежные
Сумма смежных углов
равна 180 0 .
Если углы равны,
то они - вертикальные
Вертикальные углы равны
Если в треугольнике биссектриса, проведенная к одной из его сторон, является и медианой, проведенной к этой стороне, то этот треугольник -равнобедренный
В равнобедренном треугольнике, биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой
Если в треугольнике биссектриса, проведенная к одной из его сторон, является и высотой, проведенной к этой стороне, то этот треугольник -равнобедренный
Е сли треугольник - равнобедренный, то биссектриса, проведенная к основанию , является и медианой и высотой
Углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей
Всегда ли обратное утверждение верно?
Обратная теорема
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны
Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны то прямые параллельны .
Но это противоречит аксиоме параллельных , значит наше допущение неверно
Выдвигаем предположение, противоположное тому, что надо доказать
Путем рассуждений приходим к противоречию с известной аксиомой или теоремой
Делаем вывод о неверности нашего предположения и верности утверждения теоремы
Но это противоречит аксиоме параллельных
Следовательно, наше допущение неверно
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны
СЛЕДСТВИЕ ИЗ ТЕОРЕМЫ
Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой
Углы, образованные
двумя параллельными прямыми и секущей
Обратная теорема
Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны , то прямые параллельны .
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны
Углы, образованные
двумя параллельными прямыми и секущей
Обратная теорема
Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 0 , то прямые параллельны .
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180 0
Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Угол – геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки.
Стороны угла – лучи, которые образуют угол.
Вершина угла – точка, из которой выходят лучи.
Угол называют тремя заглавными латинскими буквами, которыми обозначены вершина и две точки, расположенные на сторонах угла.
Важно: в названии буква, обозначающая вершину угла, стоит между двумя буквами, обозначающими точки на сторонах угла. Так, угол, изображенный на рисунке, можно назвать: ∠ A O B или ∠ B O A , но ни в коем случае не ∠ O A B , ∠ O B A , ∠ A B O , ∠ B A O .
Величину угла измеряют в градусах. ∠ A O B = 24 ° .
Биссектриса угла – это луч с началом в вершине угла, делящий его на два равных угла.
Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.
O D – биссектриса угла ∠ A O B . Она делит этот угол на два равных угла.
∠ A O D = ∠ B O D = ∠ A O B 2
Точка D – произвольная точка на биссектрисе. Она равноудалена от сторон O A и O B угла ∠ A O B .
Вертикальные углы – пара углов, у которых стороны одного угла являются продолжением сторон второго.
Свойство: вертикальные углы равны.
Смежные углы – пара углов, у которых одна сторона общая, а две другие стороны расположены на одной прямой.
Свойство: сумма смежных углов равна 180 ° .
( 1 ) и ( 3 )
( 2 ) и ( 4 )
называются вертикальными .
По свойству вертикальных углов:
∠ C O D = ∠ A O B
∠ B O D = ∠ A O C
( 1 ) и ( 2 )
( 2 ) и ( 3 )
( 3 ) и ( 4 )
( 4 ) и ( 1 )
называются смежными .
По свойству смежных углов:
∠ C O D + ∠ D O B = 180 ° ∠ D O B + ∠ B O A = 180 ° ∠ B O A + ∠ A O C = 180 ° ∠ A O C + ∠ C O D = 180 °
Прямая, пересекающая две заданные прямые, называется секущей этих прямых.
Существует пять видов углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей.
( 1 ) и ( 5 )
( 2 ) и ( 6 )
( 3 ) и ( 7 )
( 4 ) и ( 8 )
называются соответственными .
(Легко запомнить: они соответствуют друг другу, похожи друг на друга).
( 3 ) и ( 5 )
( 4 ) и ( 6 )
называются внутренними односторонними .
(Легко запомнить: лежат по одну сторону от секущей, между двумя прямыми).
( 1 ) и ( 7 )
( 2 ) и ( 8 )
называются внешними односторонними .
(Легко запомнить: лежат по одну сторону от секущей по разные стороны от двух прямых).
( 3 ) и ( 6 )
( 4 ) и ( 5 )
называются внутренними накрест лежащими .
(Легко запомнить: лежат между двумя прямыми, расположены наискосок друг относительно друга).
( 1 ) и ( 8 )
( 2 ) и ( 7 )
называются внешними накрест лежащими .
(Легко запомнить: лежат по разные стороны от двух прямых, расположены наискосок друг относительно друга).
Если прямые, которые пересекает секущая, параллельны , то углы имеют следующие свойства:
- Соответственные углы равны.
- Внутренние накрест лежащие углы равны.
- Внешние накрест лежащие углы равны.
- Сумма внутренних односторонних углов равна 180 ° .
- Сумма внешних односторонних углов равна 180 ° .
Сумма углов произвольного n -угольника вычисляется по формуле:
S n = 180 ° ⋅ ( n − 2 )
где n – это количество углов в n -угольнике.
Пользуясь этой формулой, можно вычислить сумму углов для произвольного n -угольника.
Сумма углов треугольника: S 3 = 180 ° ⋅ ( 3 − 2 ) = 180 °
Сумма углов четырехугольника: S 4 = 180 ° ⋅ ( 4 − 2 ) = 360 °
Сумма углов пятиугольника: S 5 = 180 ° ⋅ ( 5 − 2 ) = 540 °
Так можно продолжать до бесконечности.
Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.
На рисунках изображены примеры правильных многоугольников:
Чтобы найти величину угла правильного n -угольника , необходимо сумму углов этого многоугольника разделить на количество углов.
При пересечении двух прямых образуются вертикальные и смежные углы.
Вертикальные углы — равны.
Сумма смежных углов равна 180°.
Параллельные прямые
Прямые называются параллельными, если они не пересекаются, сколько бы их не продолжать.
О параллельных прямых:
- Если одна из пары параллельных прямых параллельна третьей прямой, то все прямые параллельны между собой.
- На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.
- Если две прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны.
При пересечении двух параллельных прямых секущей образуются следующие углы:
- внутренние накрест лежащие (4 и 5, 3 и 6) — попарно равны;
- внешние накрест лежащие (1 и 8, 2 и 7) — попарно равны;
- соответственные (1 и 5, 2 и 6, 3 и 7, 4 и 8) — попарно равны;
- внутренние односторонние (3 и 5, 4 и 6) — сумма таких углов равна 180°;
- внешние односторонние (1 и 7, 2 и 8) — сумма таких углов равна 180°.
Часто для использования свойств углов, полученных при пересечении двух параллельных прямых секущей, необходимо применять дополнительные построения.
Пример: Даны углы с попарно параллельными сторонами. Что можно сказать об углах 1 и 2? Что можно сказать об углах 3 и 4?
Продолжим стороны углов до пересечения:
Получаем, что углы 1 и 2 равны, т. к. являются накрест лежащими при параллельных прямых.
Сумма углов 3 и 4 равна 180°, т. к. они являются односторонними при параллельных прямых.
Теорема Фалеса: При пересечении сторон угла параллельными прямыми стороны угла делятся на пропорциональные отрезки (образуются подобные треугольники).
Теорема 1. Если две паралленльные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
 |
Доказательство. Пусть параллельные прямые a и b пересечены секущей c (Рис. 1). Докажем,что . Предположим, что . Отложим от луча MN угол QMN, равной углу 2 так, чтобы углы QMN и 2 были накрест лежащие при пересечении прямых QM и b секущей MN. Поскольку , то . Получили, что через точку M проходят две прямые, параллельные прямой b, что противоречит аксиоме параллельных прямых (через точку не лежащую на данной прямой проходит только одна прямая, праллельная данной). Следовательно .
Следствие 1. Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.
 |
Доказательство. Пусть прямые a и b параллельны (Рис. 2) и пусть (т.е. ). Прямая a пересекает прямую b (поскольку ). Но углы 1 и 2 накрест лежащие, следовательно они равы. Т.е. . Следовательно прямые c и b перпендикулярны.
Теорема 2. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.
 |
Доказательство. Пусть параллельные прямые a и b пересечены секущей c (Рис.3). Тогда по теореме 1 накрест лежащие углы равны: . Углы 2 и 3 вертикальные, т.е. . Из и имеем . То есть при пересечении параллельных прямых секущей соответственные углы равны.
Теорема 3. Если две паралленльные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.
Доказательство. Пусть параллельные прямые a и b пересечены секущей c (Рис.3). Покажем, что . Накрест лежащие углы равны: . Углы 3 и 4 смежные. Поэтому . Тогда .
Читайте также: