Реферат на тему треугольные числа

Обновлено: 04.07.2024

4 ЦЕЛЬ : Убедиться в практической значимости фигурных чисел ЗАДАЧИ: Расширить круг знаний от теории чисел, об открытиях в мире чисел, сделанных Пифагором и его учениками. Изучить, какую роль играло число в древности. Заинтересовать волшебной силой чисел, основанной на их свойствах. Показать связь теории чисел с жизнью, потому что человечество только тогда вступило на путь истинного знания, когда во все свои рассуждения ввело понятие о счете, мере и порядке, т.е. понятие о числе.

5 Из истории: Еще задолго до нашей эры ученые, комбинируя натуральные числа, составили из них затейливые ряды, придавая элементам этих рядов то или иное геометрическое истолкование. Фигурные числа, по мнению пифагорейцев, играют важную роль в структуре мироздания. О них много говорится в пифагорейских учебниках арифметики, созданных Никомахом Геразским и Теоном Смирнским. Изучением фигурных чисел занимались многие математики античности: Эратосфен, Гипсикл, Диофант Александрийский и другие. Последний написал большое исследование о свойствах многоугольных чисел, фрагменты которого дошли до наших дней.

6 Фигурные числа – общее название чисел, связанных с той или иной геометрической фигурой. Это историческое понятие восходит к пифагорейцам. Виды фигурных чисел Линейные числа Плоские числа Телесные числа Многоугольные числа Треугольные числа Квадратные числа Пятиугольные числа Шестиугольные числа

7 Треугольные числа Треугольное число – это число кружков, которые могут быть расставлены в форме равностороннего треугольника. Последовательность треугольных чисел Tn для n = 0, 1, 2, … начинается так 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55…

8 Какой же вид имеют треугольные числа? Заметим, что 1 = 1 3 = = = = Эта закономерность сохраняется и дальше. Можно вывести формулу для получения треугольных чисел:Тn = n. На вид она довольно проста, но для вычислений не пригодна, поэтому представим ее в следующем виде: Схема последовательного вычисления треугольных чисел

9 Графическое правило получения треугольного числа: Каждое следующее число получается из предыдущего путем сложения 1+2=3 3+3=6 6+4= = = = = Треугольное число ………

10 Кроме треугольных чисел существуют также числа квадратные, пятиугольные, шестиугольные и т. п. Они связаны соответственно с квадратом, правильным пятиугольником, правильным шестиугольником и т. д. Квадратные числа - представляют собой произведение двух одинаковых натуральных чисел, то есть являются полными квадратами: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …, n², … Kn=n 2 Пятиугольные числа 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145… Шестиугольные числа 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, …, 2n 2 n, … Общая формула для вычисления многоугольных чисел имеет вид:

11 Решение примера! Чему равно треугольное число с номером 35? ½*35*(35+1)=1/2*35*36=630 Чему равно треугольное число с номером 50? ½*50*(50+1)=1/2*50*51=1275 Чему равно треугольное число с номером 1000? ½*1000*(1000+1)=1/2*1000*1001=500500

12 А вы решите? Задача: Шары уложили в равносторонний треугольник, в котором 25 рядов. Сколько потребовалось шаров?

13 Используемая литература 1.Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона Задачи на смекалку: Учебник для 5 класса под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина – М.: Просвещение, 2006г.

Из истории: Еще задолго до нашей эры ученые, комбинируя натуральные числа, составили из них затейливые ряды, придавая элементам этих рядов то или иное геометрическое истолкование.

Фигурные числа, по мнению пифагорейцев, играют важную роль в структуре мироздания. О них много говорится в пифагорейских учебниках арифметики, созданных Никомахом Геразским и Теоном Смирнским.

Изучением фигурных чисел занимались многие математики античности: Эратосфен, Гипсикл, Диофант Александрийский и другие. Последний написал большое исследование о свойствах многоугольных чисел, фрагменты которого дошли до наших дней.

Содержимое разработки

Треугольное число — это число кружков, которые могут быть расставлены в форме правильного треугольника (см. рисунок). Очевидно, с чисто арифметической точки зрения, n-е треугольное число — это сумма n первых натуральных чисел.

Последовательность треугольных чисел для начинается так:

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120 … (последовательность)

Формулы для n-го треугольного числа:

;

— биномиальный коэффициент.

Например, 2016 — это треугольное число: .

Рекуррентная формула для n-го треугольного числа:

Сумма двух последовательных треугольных чисел — это квадратное число, то есть

Каждое чётное совершенное число является треугольным.

Любое целое неотрицательное число представимо в виде суммы не более трёх треугольных чисел. Утверждение впервые сформулировано в 1638 году Пьером Ферма в письме к Мерсенну, а доказано в 1796 году К. Гауссом.

Целое число m является треугольным тогда и только тогда, когда число является квадратным.

-75%

Треугольное число — это число кружков, которые могут быть расставлены в форме равностороннего треугольника, см. рисунок. Очевидно, с чисто арифметической точки зрения, n-е треугольное число — это сумма n первых натуральных чисел.

Последовательность треугольных чисел для n = 0, 1, 2, … начинается так:

Содержание

Свойства

Формулы для n-го треугольного числа:
- ;
- ;
- " width="" height="" />
 — биномиальный коэффициент.
- Каждое чётноесовершенное число является треугольным.
- Любое число представимо в виде суммы не более трёх треугольных чисел. Утверждение впервые сформулировано в 1638 году Пьером Ферма в письме к Мерсенну, а доказано в 1796 году К. Гауссом.
- Целое число m является треугольным тогда и только тогда, когда число 8m+1 является квадратным.
Исторический анекдот о Гауссе

По широко распространённой [1] легенде школьный учитель Карла Фридриха Гаусса, когда последнему было 10 лет, предложил своим ученикам найти сумму всех натуральных чисел от одного до ста.

Маленький Карл удивил всех, практически мгновенно предложив правильный ответ. Он заметил, что сумма каждой пары слагаемых, одинаково отстоящих от концов ряда натуральных чисел [1..100], равна 101 (1+100, 2+99, 3+98,…, 50+51). А поскольку число таких пар равно 100 /₂, то есть 50, он посчитал в уме, что искомая сумма равна 101 × 50 = 5050. [2] [3]

Обобщения

Треугольные числа являются частным случаем многоугольных чисел.

Примечания
1. ↑Versions of the Gauss Schoolroom Anecdote
2. ↑Идеи гуманитаризации — на каждый урок математики!, 3. Учись учиться. Яковлева Татьяна Петровна, доцент кафедры прикладной математики
3. ↑А. Я. Котов Глава десятая. §1. Знаменитые математики и вычислители // Вечера занимательной арифметики. — Издание 2-е, исправленное и дополненное. — М .: Просвещение, 1967. — С. 131-132. — 184 с. — 150 тыс, экз.
См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое "Треугольное число" в других словарях:

ТРЕУГОЛЬНОЕ ЧИСЛО — см. Арифметический ряд … Математическая энциклопедия

Центрированное треугольное число — – это центрированное полигональное число, которое представляет треугольник с точкой в центре и все остальные окружающие точки находятся на треугольных слоях. Центрированное треугольное число для n задается формулой Следующая диаграмма показывает… … Википедия

Число 666 — 666 шестьсот шестьдесят шесть 663 · 664 · 665 · 666 · 667 · 668 · 669 Факторизация: 2⋅32⋅37 Римская запись: DCLXVI Двоичное: 1010011010 Восьмеричное: 1232 Шестнадцатеричное: 29A … Википедия

Треугольное озеро — Схематический вид с основного скального массива Массив Треугольного озера выступил на скалолазную арену России, когда выяснилось, что большинство других скальных районов уже облазано, а пытливые умы все еще жаждут новых открытий. Оказалось, что… … Энциклопедия туриста

4000 (число) — 4000 четыре тысячи 3997 · 3998 · 3999 · 4000 · 4001 · 4002 · 4003 3970 · 3980 · 3990 · 4000 · 4010 · 4020 · 4030 3700 · 3800 · 3900 · 4000 · 4100 · 4200 · 4300 1000 · 2000 · 3000 · 4000 · 5000 · 6000 · 7000 Факторизация: 25×53 Римская запи … Википедия

100 (число) — 100 сто 97 · 98 · 99 · 100 · 101 · 102 · 103 70 · 80 · 90 · 100 · 110 · 120 · 130 200 · 100 · 0 · 100 · 200 · 300 · 400 Факторизация: 2×2×5×5 … Википедия

200 (число) — 200 двести 197 · 198 · 199 · 200 · 201 · 202 · 203 170 · 180 · 190 · 200 · 210 · 220 · 230 100 · 0 · 100 · 200 · 300 · 400 · 500 … Википедия

10 (число) — У этого термина существуют и другие значения, см. 10 (значения). 10 десять 7 · 8 · 9 · 10 · 11 · 12 · 13 20 · 10 · 0 · 10 · 20 · 30 · 40 Факторизация: 2×5 Римская запись: X Двоичное … Википедия

20 (число) — 20 двадцать 17 · 18 · 19 · 20 · 21 · 22 · 23 10 · 0 · 10 · 20 · 30 · 40 · 50 Факторизация: 2×2×5 Римская запись: XX Двоичное: 1 0100 Восьмери … Википедия

Центрированное девятиугольное число — Центрированное девятиугольное число это центрированное фигурное число, которое представляет девятиугольник с точкой в середине и все окружающие точки лежат на девятиугольных слоях. Центрированное девятиугольное число для n задается формулой … Википедия

Виды фигурных чисел

Различают следующие виды фигурных чисел:
- Линейные числа — числа, не разлагающиеся на сомножители, то есть их ряд совпадает с рядом простых чисел, дополненным единицей: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …
- Плоские числа — числа, представимые в виде произведения двух сомножителей, то есть составные: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, …
- Телесные числа — числа, представимые произведением трёх сомножителей: 8, 12, 16, 18, 20, 24, 27, 28, …
n-е по порядку m-угольное число можно определить как сумму n членов арифметической прогрессии, у которой первый член есть 1, а разность равна . Например, треугольные числа получаются как частичные суммы ряда .

Основная статья: Треугольное число

Последовательность треугольных чисел:

$\frac<n(n+1)> 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, …,$
, …
- Сумма двух последовательных треугольных чисел даёт полный квадрат (квадратное число).
- Чётность элемента последовательности меняется с периодом 4: нечётное, нечётное, чётное, чётное.
Квадратные числа

1 4 9

Квадратные числа представляют собой произведение двух одинаковых натуральных чисел, то есть являются полными квадратами:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …, n², …

Пятиугольные числа

$\frac<n(3n-1)> 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, …,$
, …

Шестиугольные числа

1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, …, , …

Общий случай

Последовательность k-угольных чисел:

$n + (k - 2)\frac<n(n-1)> 1, k, 3k-3, 6k-8, 10k-15, 15k-24, 21k-35, 28k-48, 36k-63, 45k-80, …,$
, …

$\frac<n((k - 2)(n-1)+2)> Эквивалентный формат представления n-го элемента:$
.

Многомерные фигурные числа

Можно определить многомерные фигурные числа, частными случаями которых являются:

где e — число вершин многогранника, f — число его граней, k — число сторон каждой грани, m — число граней, примыкающих к каждой вершине. Примеры: последовательности A006566, A006564, A005900.

где E — число вершин, G — число граней — число многогранных углов вершины. Примеры: последовательности A092182, A092181, A092183.

Исторический очерк

Фигурные числа, по мнению пифагорейцев, играют важную роль в структуре мироздания. Поэтому их изучением занимались многие математики античности: Эратосфен,Гипсикл, Диофант Александрийский и другие. Гипсикл (II век до н. э.) дал общее определение m-угольного числа как суммы n членов арифметической прогрессии, у которой первый член есть 1, а разность равна . Диофант написал большое исследование о свойствах многоугольных чисел, фрагменты которого дошли до наших дней. О фигурных числах много говорится в пифагорейских учебниках арифметики, созданных Никомахом Геразским и Теоном Смирнским (II век), установившие ряд зависимостей между фигурными числами разных размерностей. Большой интерес к фигурным числам проявили индийские математики и первые математики средневековой Европы (Фибоначчи, Пачоли, Кардано и др.).

Читайте также: