Реферат на тему теория пределов
Обновлено: 05.07.2024
Операция взятия предела в математическом анализе называется предельным переходом. Интуитивное понятие о предельном переходе использовалось еще учеными Древней Греции при вычислении площадей и объёмов различных геометрических фигур. Методы решения таких задач в основном были развиты Архимедом .
Содержимое разработки
История предела функции
Студентка группы ТХ-41 Гурова Валерия
Предел числовой последовательности
Число a называется пределом последовательности , если для любого ϵ0существует номер n0=n0(ϵ) такой, что для любого nn0 выполняется неравенство |xn−a|ϵ:
Предел функции в точке
Число b называется пределом функции f(x) в точке a, если для ∀ϵ0∃δ0такое, что для ∀x∈(a−δ;a+δ)∩D[f] из того, что 0x−a|δ следует, что |f(x)−b|ϵ: limx→af(x)=b или f(x)→bf при x→a
Предел функции на бесконечности
Число b называется пределом функции y=f(x) на бесконечности или при x→∞, если для любого ∀ϵ0существует такое число δ=δ(ϵ)0 такое, что для всех x∈D(f) из того, что |x|M, выполняется неравенство |f(x)−b|ϵ.
История развития
Операция взятия предела в математическом анализе называется предельным переходом. Интуитивное понятие о предельном переходе использовалось еще учеными Древней Греции при вычислении площадей и объёмов различных геометрических фигур. Методы решения таких задач в основном были развиты Архимедом.
Лишь в XIX веке в работах Коши теория пределов была использована для строгого обоснования математического анализа. Дальнейшей разработкой теории пределов занимались Вейерштрасс и Больцано.
С помощью теории пределов в первой половине XIX века было, в частности, обосновано использование в анализе бесконечных рядов, которые явились удобным аппаратом для построения новых функций .
Это понятие на интуитивном уровне использовалось ещё во второй половине 17 века английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1642 - 1727), а также математиками 18 века - швейцарским, немецким и русским математиком Леонардом Эйлером (1707 - 1783) и французским математиком, астрономом и механиком Жозефом Луи Лагранжем (1736 - 1813). Это было связано с тем, что ученые того времени не ставили перед собой задачу построения теории пределов. Первые строгие определения предела последовательности дали в 1816 году чешский математик, философ, теолог Бернард Больцано (1781 - 1848) и французский математик Огустен Луи Коши (1789 - 1857) в 1821 году.
Применение пределов на практике
Теория пределов очень активно применяется в экономических расчетах, например, в доказательствах и расчетах, которые связаны с непрерывными процессами; в финансовых рентах. Пределы функции применяются для нахождения асимптот графика функции при ее исследовании.
Число А наз-ся пределом последоват-ти Xn если для любого числа Е>0, сколь угодно малого, $ N0 , такое что при всех n>N0 будет выполн-ся нер-во |Xn -A| A-E N0 попадают в Е-окрестность (.)А.
Св-ва послед-ти, имеющей предел:
1.если послед-ть имеет предел, то он единственный.
Док-во:предп, что пределы различны: lim Xn=a, lim Xn=b (n®¥), тогда |a-b|=|a-Xn+Xn-b|. Из lim Xn=a (n®¥) => " E/2 $ N1 "n>N1 |a-Xn| " E/2 $ N2 "n>N2 |Xn-и| N0 . |a-b|=|a-Xn+Xn-b|£|a-Xn|+|Xn-b| |a-b|=0 => a=b.
2.теорема о сжатой переменной. n>N1 Xn³Zn³Yn $ limXn = lim Yn = a (n®¥) => $ lim Zn=a (n®¥)
Док-во:1. из того, что $ lim Xn=a (n®¥) => n>N2 |Xn-a| n>N3 , a-E N0 Xn³Zn³Yn. a+E>Xn³Zn³Yn>a-E => lim Zn=a (n®¥)
Функция y=f(x) наз-ся ограниченной в данной обл-ти изменения аргумента Х, если сущ-ет положит число М такое, что для всех значений Х, принадлежащих рассматриваемой обл-ти, будет выполн-ся нер-во |f(x)|£M. Если же такого числа М не сущ-ет, то f(x) наз-ся неограниченной в данной обл-ти.
Бесконечно малая величина.
Величина Xn наз-ся бесконечно малой при n®¥, если lim Xn = 0 (n®¥). "E>0, N0 , n>N0 , |Xn| " E/2 $N1 , n>N1 |Xn| " E/2 $N2 , n>N2 |Yn| N0 ,|Xn±Yn|£|Xn|+|Yn| lim(Xn±Yn)=0 (n®¥). Теорема справедлива для любого конечного числа б.м. слагаемых.
2.Произведение ограниченной величины на б.м. величину есть величина б.м.
Док-во:Xn – огр. величина => $ K, |Xn| £ K,
Yn – б.м. => " E/K $N0 n>N0 |Yn| Xn=a+Yn, Yn – б.м.
Док-во:Из lim Xn=a (n®¥) => "E $N0 n>N0 |Xn-a| Xn=a+Yn. Справедливо и обратное: если переменную величину можно представить в виде суммы Xn=a+Yn (Yn – б.м.), то lim Xn=a (n®¥).
Бесконечно большая величина
Xn – бесконечно большая n®¥, если "M>0 $N0 , n>N0 , |Xn|>M => M "M $N1 , n>N1 |Xn|>M
2.Обратная величина б.м. есть б.б. Обратная величина б.б. есть б.м. lim Xn=¥ (n®¥) – б.б. Yn=1/Xn – б.м. Из lim Xn=¥ => M=1/E $N0 , n>N0 |Xn|>M =>n>N0 .
|Yn|=1/|Xn| Yn – б.м. => lim Yn=0 (n®¥).
3.Сумма б.б величины и ограниченной есть б.б. величина.
Основные теоремы о пределах:
1. lim Xn=a, lim Yn=b => lim (Xn±Yn)=a±b (n®¥)
Док-во:lim Xn=a => Xn=a+an ; lim Yn=b => Yn=b+bn ;
2. limXnYn = lim Xn * lim Yn (n®¥).
3. lim Xn=a, lim Yn=b (n®¥) => lim Xn/Yn =
(lim Xn)/(lim Yn) = a/b.
Пределы ф-ии непрерывного аргумента.
Число А наз-ся пределом ф-ии y=f(x) при х®x0 , если для любого Е>0 сколь угодно малого сущ-ет такое число d>0, что при "x будет выпол |x-x0 | A-E 0 сколь угодно большого $d>0, что "x |x-x0 | M, "x x0 -d f(x)>M.
Lim f(x)= ¥ (x ® x0 ).
Число А наз-ся пределом y=f(x) x ® ¥ , если для любого Е>0 можно найти число К, "x |x|>K |f(x)-A| (sinX)/x>cosX.
Lim cosX=1, lim 1=1 (x®0) =>lim (sinX)/x=1.
II замечательный предел.
Бином Ньютона: (a+b) n =a n +na n-1 b+(n(n-1)a n-2 b 2 )/2!+. +(n(n-1)(n-2)(n-3)a n-4 b 4 )/4!+. +b n .
(1+1/n) n =1+n1/n+n(n-1)/2!n 2 +n(n-1)(n-2)/3!n 3 +. +1/n n = =2+1/2!(1-1/n)+1/3!(1-1/n)(1-2/n)+1/4!(1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)+. +1/n n = 2 (1-1/n)(1-2/n)+1/2 3 (1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)+1/2 n 2 +1/2 3 +. +1/2 n =2+0.5(1-1/2 n )/(1-0.5)=2+1-1/2 n =3-1/2 n n $ limn ® ¥ (1+1/n) n =e.
-фун. y=f(x) наз. непрерывной в точке х0 , если сущ. предел фун. y=f(x) при х®х0 равный значению фун f(x0 ).limf(x)=f(x0 )
Если Х0 т-ка разрыва и выполн усл-ие 2, то Х0 – 1 род
Если Х0 – 1 род и выполн усл-ие 3, то разрыв устран.
Если Х0 т-ка разрыва и не вып усл-ие 2, то Х0 – 2род.
Св-ва непрерывности в точке:
1.Если фун f1 (x) и f2 (x) непрерывны в точке х0 , то сумма (разность) y(х)=f1 (x)±f2 (x), произведение у(х)=f1 (x)*f2 (x), а также отношение этих фун у(х)=f1 (x)/f2 (x), есть непрерывная фун в точке х0 .
2.Всякая непрерывная фун непрерывна в каждой точке, в которой она определена.
3.Если фун z=j(х) непрерывна в точке х=х0 , а фун y=f(z) непрерывна в соот-й точке z0 =j(х0 ), то фун y=f(j(х)) непрерывна в точке х0 .
Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в), где а Dy=Df(x0 )=f(x0 +Dx)-f(x0 ), Dy/Dx=(f(x0 +Dx)-f(x0 ))/Dx.
Если $ limDx ®0 Dy/Dx, то этот предел наз-ся производн ф-ии в т-ке Х0 . · Если f(x) имеет производ в кажд т-ке xÎX, то мы можем брать прозвол Х, считая его фиксир, х+DхÎХ. LimDх ®0 (f(x0 +Dx)-f(x0 ))/Dx= =f / (х)=df(x)/dx=dy/dx=y | (x).
2. Геометр смысл производ.
Производная фун f(x) в точке х0 равна угловому коэф-ту касательной к гр-ку фун f(x) в точке М (х0 ; f(x0 )).
Если т-ка М будет приближ-ся к т-ке М0 (при Dх®0), то секущая приближ-ся к касат.
3. Основ теоремы о производных.
2. y=uv, y | =u | v+uv | . Док-во: y+Dy=(u+Du)(v+Dv), Dy=(u+Du)(v+Dv)-uv=Duv+uDv+DuDv, Dy/Dx=Duv/Dx+Dvu/Dx+DuDv/Dx,
3. y=u/v, y | =(u | v-uv | )/v 2 . Док-во: y+Dy=(u+Du)/(v+Dv), Dy=(u+Du)/(v+Dv)-u/v=(vDu-uDv)/v(v+Dv)
4. y=a x , y | =a x ln a. Док-во: ln y=x ln a, y | /y=ln a, y | =yln a y | =a x ln a.
Неявно задан фун и нахождение ее производ.
Говорят, что соот-е F(x;y)=0 задается неявно, если сущ фун у=f(x), х принадлежит отрезку [а,в] и, если подстав-е в F(x;y)=0 соот-е обращает его в тождество(º)·
Правило нахождения: Если F(x;y)=0 задает фцн неявно, т.е это будет тождество, то тождественное равенство можно по членно продифференцировать.
Формула Лейбница.
y ( n ) =(uv) (n) =(u) (n) v+nu (n-1) v | +([n(n-1)]/[1*2])*n (n-2) v || +…+uv (n)
Дифференцирование ф-ии в точке.
Ф-ия y=f(x) наз-ся дифференцируемой в т-ке Х0 , если Dy=ADx+O(Dx), где А не зависит от DХ, О(DХ) – б.м., более высокого порядка малости, чем DХ, когда DХ®0, т.е. limD x ® 0 O(Dx)/Dx=0. АDХ – главная часть приращения.
Теорема : y=f(x) дифф-ма в т-ке Х0 т и тт, когда она в этой т-ке имеет конечную производную A=f \ (x0 ).
Необход усл-ие дифф-ти: если ф-ия дифф-ма, то она имеет кон производ. Дано: Dy=ADx+O(Dx)
Достат усл-ие дифф-ти: если ф-ия в заданной т-ке имеет кон производ, то она дифф-ма. Дано: $f \ (x0 ) – число, f \ (x0 )=limDx ®0 Dy/Dx => Dy/Dx=f \ (x0 )+a(Dx) , Dy=f \ (x0 )Dx+a(Dx)Dx => Dy=f \ (x0 )Dx+O(Dx), т.е. O(Dx)=a(Dx)Dx => limDx ®0 O(Dx)/Dx=limDx ®0 a(Dx)=0. Дифференциал ф-ии это главная часть приращения, линейная относит DХ.
Понятие предела последовательности или функции является одним из фундаментальных понятий математического анализа.
Основные определения
Предел числовой последовательности, подробнее →
Число $a$ называется пределом последовательности $\left\\right\>$ , если для любого $\epsilon>0$ существует номер $n_=n_(\epsilon)$ такой, что для любого $n>n_$ выполняется неравенство $\left|x_-a\right| \lt \epsilon$ :
$\lim _ x_=a \Leftrightarrow \forall \epsilon>0, \exists n_=n_(\epsilon) : \forall n>n_,\left|x_-a\right| \lt \epsilon$
Предел функции в точке, подробнее →
Число $b$ называется пределом функции $f(x)$ в точке $a$, если для $\forall \epsilon>0 \exists \delta>0$ такое, что для $\forall x \in(a-\delta ; a+\delta) \cap D[f]$ из того, что $0 \lt |x-a| \lt \delta$ следует, что $|f(x)-b| \lt \epsilon$ : $\lim _ f(x)=b$ или $f(x) \rightarrow b$ при $x \rightarrow a$ .
Предел функции на бесконечности, подробнее →
Число $b$ называется пределом функции $y=f(x)$ на бесконечности или при $x \rightarrow \infty$, если для любого $\forall \epsilon>0$ существует такое число $\delta=\delta(\epsilon)>0$ такое, что для всех $x \in D(f)$ из того, что $|x|>M$, выполняется неравенство $|f(x)-b| \lt \epsilon$.
История развития
Это понятие на интуитивном уровне использовалось ещё во второй половине 17 века английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1642 - 1727), а также математиками 18 века - швейцарским, немецким и русским математиком Леонардом Эйлером (1707 - 1783) и французским математиком, астрономом и механиком Жозефом Луи Лагранжем (1736 - 1813). Это было связано с тем, что ученые того времени не ставили перед собой задачу построения теории пределов. Первые строгие определения предела последовательности дали в 1816 году чешский математик, философ, теолог Бернард Больцано (1781 - 1848) и французский математик Огустен Луи Коши (1789 - 1857) в 1821 году.
Применение пределов на практике
Теория пределов очень активно применяется в экономических расчетах, например, в доказательствах и расчетах, которые связаны с непрерывными процессами; в финансовых рентах. Пределы функции применяются для нахождения асимптот графика функции при ее исследовании.
Величины постоянные и переменные
Понятие функции:
определение функции
область определения, значения
сложная функция
способы задания функции
Основные элементарные функции, их свойства, графики
Непрерывность функции. Предел функции
Бесконечно малые и бесконечно большие величины
Основные теоремы о пределах
Методы раскрытия неопределенностей
Прикрепленные файлы: 1 файл
08. dxqyqbawkjil 10 czcmshcteelniy. mluhqxehwviw. ppt
Функции. Теория пределов.
- Величины постоянные и переменн ые
- Понятие функции:
- определение функции
- область определения, значения
- сложная функция
- способы задания функции
- Def: Областью определения D функции называется множество значений х, для которых функция определена (имеет смысл)
- Def: Множеством значений Е функции называются все значения, которые принимает зависимая переменная
- Аналитический способ – это способ задания функций при
- Табличный способ – это способ задания функции при
- Графический способ – это способ задания функции при
I. Величины постоянные и переменн ые
При изучении закономерностей, встречающихся в природе, все
время приходится иметь дело с величинами постоянными и
Def1: Постоянной величиной называется величина, сохраняющая
одно и то же значение.
Def2: Переменной величиной называется величина, которая может
принимать различные числовые з начения.
Обозначение: переменная величина: x, y, z, v, u…
постоянная величина: a, b, c…
Def3: Множество всех числовых значений переменной величины называется областью изменения этой величины
Часто будем рассматривать случ ай, когда известна и
область изменения Х, и порядок, в котором она
принимает свои числовые значен ия. В этом случае будем
говорить об упорядоченной пере менной величине.
2) Арифметическая и геометрическа я прогрессии
Рассмотрим числовую бесконечну ю последовательность:
Def1: Если при , то говорят, что a – есть предел
II. Понятие функции
1. Определение функцииИзучая какое-нибудь явление, мы обычно имеем дело с
совокупностью переменных велич ин, которые связаны между
собой так, что значения одних величин пол ностью определяют
Пусть D и E – непустые числовые множества, а х и у –
соответственно их элементы. Если каждому ставиться
в соответствии по некоторому з акону только одно значение
, то говорят, что между переменными х и у су ществует
функциональная зависимость и называют х независимой
переменной (v-аргументом), а у – зависимой переменной
Символическая запись функции:
Функция f отображает множество D на множестве Е .
Для функций f и g, заданных на одном и том же мно жестве D,
можно определить их сумму, разность, произведение и частное.
Это новые функции:
Где в случае частного предпола гается, что на D.
2. Область определения, значения
множество D на множестве E, а функция F
отображает множество E на множестве G,
то функция z=F(f(x)) называется функцией
от функций f и F (или сложной функцией).
Она определена на множестве D и
отображает D на G.
3. Сложная функция
4. Способы задания функции
Например: у=2х; у=х+1; у=lgx.
Если уравнение, с помощью которого задана функ ция, не
разрешено относительно у, то функция называется неявной.
Например: 2х+3у-5=0 – уравнение неявно задающее фу нкцию.
Функция задана не одной, а несколькими переменными.
помощи таблицы. Примерами такого задания являю тся таблицы
логарифмов и т.п.
Недостатком табличного способа является то, что функция
задается не для всех значений аргумента.
помощи графика. Графиком функции у=f(x) называется
множество точек (х; у) плоскости (Х0У) координаты которых
связаны соотношением у=f(x). Само равенство у=f(x) называется
Уравнением это графика
III. Основные элементарные функции, их свойства, графики
1. Целая рациональная функция
Многочлен вида y=a0+a1x+a2х2+…amxm -целая рациональная функция. Пример: y=kx+b – линейная функция. Её график – прямая линия. При b=0 линейная функция y=kx выражает прямо пропорциональную зависимость у от х.
Эта функция определяется как отношение двух многочленов:
Пример: у=k/x – обратно пропорциональная
зависимость между х и у.
Её график – равносторонняя гип ербола.
3. Степенная функция
4. Показательная функция y=aх, а>0 и а≠1
5. Логарифмическая функция y=logax, а>0 и а≠0
6. Тригонометрические функции
y=cosx; y=sinx; y=tgx; y=ctgxПеременная x обычно выражается в радианах.
7. Обратные тригонометрические фу нкци
y=arсsin x; -π/2≤у≤π/2, -1≤х≤1; y=arсcos x |х|≤1, 0≤у≤π;
y=arсtg x |у| ом окрестности.В этом случае число называется радиусом
Понятие предела является одним из важнейших понятий, лежащих в
основе математического анализа . Каждая операция математическог о
анализа связана с соответствую щим предельным переходом.
Def: Число А называется пределом функции y=f(x) при стремлении х к а
(или в точке а), если для любого числа ε>0 существует такое число
δ= δ(ε) >0, что для всех х, удовлетворяющих условию 0 или f(x)→A при x →a
Читайте также: