Реферат на тему теорема ролля

Обновлено: 02.07.2024

Презентация на тему: " Размещено на. План работы Основная теоретическая часть - Теорема Ферма - Теорема Ролля - Теорема Коши - Теорема Лагранжа Практическая часть." — Транскрипт:

2 План работы Основная теоретическая часть - Теорема Ферма - Теорема Ролля - Теорема Коши - Теорема Лагранжа Практическая часть

3 Теорема Ферма Пусть функция f (x) определена в некотором промежутке [a;b] и во внутренней точке с этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение. Тогда если в этой точке существует конечная производная f '(c), то f '(c)=0. Формулировка

4 Доказательство теоремы Ферма: x>cx>c f '(c)0 x

5 Геометрический смысл теоремы Ферма f '(х 0 ) = tgα = k = 0

6 Теорема Ролля Пусть выполнены следующие условия: 1) функция f (x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a,b]; 2) существует конечная производная f '(x), по крайней мере, на интервале (а;b); 3) на концах промежутка функция имеет равные значения, т.е. f(a)=f(b). Тогда между а и b найдется такая точка с (a

7 Доказательство теоремы Ролля: M=mM=m f(x) =M=mf '(x)=0 M>mM>mf (a) = f(b) f '(x)=0 Воспользуемся второй теоремой Вейерштрасса.

8 Геометрический смысл теоремы Ролля Если крайние ординаты кривой y = f '(с) равны, то на кривой найдется точка, где касательная параллельна оси Ох.

9 Теорема Коши Пусть функции ƒ(x) и g(x): 1) непрерывны на отрезке [a;b]; 2) имеют производные в каждой точке интервала (a;b); 3) g'(x)0 во всех точках интервала (a;b). Тогда существует такая точка x, a

10 Доказательство теоремы Коши: F(a)=F(b)=0 F'(х)=0 По теореме Ролля

11 Так как F'(х)=0: По условию g'(x)0, значит

12 Теорема Лагранжа Пусть: 1) ƒ(x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке[a, b]; 2) существует конечная производная ƒ'(х), по крайней мере, в открытом промежутке (a;b). Тогда между a и b найдется такая точка x 0 (a

13 Доказательство теоремы Лагранжа: Данная функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля.

14 Если x=b, то Значит, F(a)=F(b)=0. По теореме Ролля, получим: Если x=а, то

15 Геометрический смысл теоремы Лагранжа Теорема Лагранжа означает, что в интервале (a;b) найдется точка х 0, в которой касательная к графику параллельна хорде АВ.

16 Практическая часть Задача 1 Доказать неравенство, если 0

18 Задача 2. Функция у = f(x) задана своим графиком на отрезке [a;b]. Определите количество точек графика, в которых касательные параллельны оси абсцисс. Из геометрического смысла теоремы Ферма, имеем, что касательная в точке с параллельна оси Ох, если f'(c)=0. Используя теорему Ферма, получим, что f'(c)=0,если: функция f(x) определена в некотором промежутке [a;b] и во внутренней точке с этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение. Ответ: 2

19 Задача 3 Объяснить, почему не верна формула Коши для функций и Проверим удовлетворяют ли всем условиям теоремы Коши данные функции: Во-первых, функции ƒ(x) и g(x) непрерывны на всей числовой прямой. Во-вторых, функции ƒ(x) и g(x) имеют производные. Но, не выполняется третье условие, поскольку при х = 0. Решение задачи окончено.

20 В работе рассмотрены: история развития дифференциального исчисления; различные вспомогательные теоремы; формулировка и доказательство важнейших теорем дифференциального исчисления: Ферма Ролля Коши Лагранжа применение выше перечисленных теорем к решению задач. Размещено на

Теорема Ролля и ее доказательство, структура и геометрический смысл. Сущность теоремы о среднем, принадлежащей Лагранжу, использование в ней результатов теоремы Ролля. Отражение и обобщение работы Лагранжа в теореме Коши, методика ее доказательства.

Рубрика	Математика
Вид	реферат
Язык	русский
Дата добавления	15.08.2009
Размер файла	208,2 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

на тему:

"Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя"

1. Теорема Ролля

Знание производной некоторой функции позволяет судить о характерных особенностях в поведении этой функции. В основе всех таких исследований лежат некоторые простые теоремы, называемые теоремами о среднем в дифференциальном исчислении.

Начнем рассмотрение таких теорем с теоремы, связываемой с именем французского математика Ролля (1652-1719).

Теорема 1.1. Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема во всех его внутренних точках, а на концах отрезка , обращается в ноль, то существует, по крайней мере, одна точка , в которой .

Доказательство. Так как функция непрерывна на отрезке , то, согласно свойству 11.1.1, она должна достигать хотя бы один раз на этом отрезке своего минимума и максимума (рис. 1.1).

Если , функция постоянна, то есть . Но в этом случае для любого .

В общем случае , и хотя бы одно из этих чисел не равно нулю. Предположим для определенности, что . Тогда существует точка , в которой .

Так как рассматриваемое значение является максимальным, то для него справедливо, что для и .

Так как оба предела равны производной функции в одной и той же точке , то они равны между собой. Значит, из одновременности и следует, что , что и требовалось доказать.

Следует отметить, что данная теорема справедлива и в том случае, когда на концах отрезка функция не обращается в ноль, но принимает равные значения . Доказательство проводится аналогично.

Геометрический смысл данной теоремы следующий: если непрерывная кривая пересекает ось в двух точках , или принимает в них равные значения, то, по крайней мере, в одной точке между и касательная к кривой параллельна оси .

Необходимо отметить, что если не во всех точках у рассматриваемой функции существует производная, то теорема может не выполняться. Это касается, например, функции (рис. 1.2):

Данная функция непрерывна на отрезке и обращается в ноль на его концах, но ни в одной точке внутри отрезка производная не равна нулю.

2. Теорема Лагранжа

Результаты теоремы Ролля используются при рассмотрении следующей теоремы о среднем, принадлежащей Лагранжу (1736-1813).

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех его внутренних точках, то существует, по крайней мере, одна точка , в которой .

Доказательство. Рассмотрим график функции (рис. 2.1).

Проведем хорду, соединяющую точки и , и запишем ее уравнение. Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две точки на плоскости, получим:

Составим теперь вспомогательную функцию, вычтя из уравнения кривой уравнение хорды:

Полученная функция непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех его внутренних точках. Кроме того, вычисление в точках и показывает, что . Значит, функция на отрезке удовлетворяет требованиям теоремы Ролля. Но в этом случае существует такая точка , в которой .

Вычислим производную функции :

Согласно теореме Ролля в точке производная , то есть и

что и требовалось доказать.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа следующий: внутри отрезка существует, по крайней мере, одна точка, в которой касательная параллельна хорде, стягивающей кривую на данном отрезке. В частности, при теорема переходит в теорему Ролля.

Теорему Лагранжа часто записывают в следующем виде:

то есть приращение функции равно приращению аргумента, умноженному на производную функции в некоторой внутренней точке. В связи с этим теорему Лагранжа называют также теоремой о конечных приращениях.

3. Теорема Коши

Рассмотрим, наконец, третью теорему о среднем, принадлежащей Коши (1789-1859), которая является обобщением теоремы Лагранжа.

Теорема. Если функции и непрерывны на отрезке и дифференцируемы во всех его внутренних точках, причем не обращается в ноль ни в одной из указанных точек, то существует, по крайней мере, одна точка , в которой .

Доказательство. Так как во всех точках , то отсюда следует, что . В противном случае, как следует из теоремы Ролля, существовала хотя бы одна точка , в которой .

Составим вспомогательную функцию

Данная функция непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех его внутренних точках. Кроме того, вычисление ее в точках и дает: . Значит, функция удовлетворяет требованиям теоремы Ролля, то есть существует хотя бы одна точка , в которой .

Из условия следует, что

что и требовалось доказать.

В случае, когда , теорема Коши переходит в формулировку теоремы Лагранжа.

4. Правило Лопиталя

На основании теоремы Коши о среднем можно получить удобный метод вычисления некоторых пределов, называемый правилом Лопиталя (1661-1704).

Теорема. Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы во всех точках полуинтервала и при совместно стремятся к нулю или бесконечности. Тогда, если отношение их производных имеет предел при , то этот же предел имеет отношение и самих функций, то есть .

Проведем доказательство данной теоремы только для случая, когда . Так как пределы у обеих функций одинаковы, то доопределим их на отрезке , положив, что при выполняется равенство .

Возьмем точку . Так как функции и удовлетворяют теореме Коши (п. 2.14), применим ее на отрезке :

Перейдем в данном равенстве к пределу:

Но если , то и , находящееся между точками и , будет стремится к , значит

Отсюда, если , то и , то есть

что и требовалось доказать.

Если при , то снова получается неопределенность вида и правило Лопиталя можно применять снова, то есть

Доказательство правила Лопиталя для случая проводится сложнее, и мы его рассматривать не будем.

При раскрытии неопределенностей типа , , , , правило Лопиталя применять непосредственно нельзя. Вначале все эти неопределенности необходимо преобразовать к виду или .

Правило Лопиталя может быть использовано при сравнении роста функций, в случае когда . Наибольший практический интерес здесь представляют функции , , . Для этого найдем пределы их отношений:

1) , значит, растет быстрее, чем ;

2) , значит, растет быстрее, чем ;

3) , значит, растет быстрее, чем .

Отсюда следует, что быстрее всего растет , затем и, наконец, .

Литература

2. Зайцев И.А. Высшая математика. ДРОФА, 2005. - 400 с.

3. Краснов М. Вся высшая математика т. 1 изд. 2. Едиториал УРСС, 2003. - 328 с.

4. Краснов М.Л., Макаренко Г.И., Киселев А.И., Шикин Е.В. Вся высшая математика Интегральное исчисление. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Дифференциальная геометрия Том 2.: Учебник - 3-е изд. ЛКИ, 2007.

5. Мироненко Е.С. Высшая математика. М: Высшая школа, 2002. - 109 с.

Подобные документы

Теорема Ферма: содержание, доказательство, геометрический смысл. Теорема Ролля: производная функции, отсутствие непрерывности Отсутствует и дифференцируемости. Доказательство теоремы Лагранжа, общий вид, геометрический смысл, содержание следствия.

презентация [199,4 K], добавлен 21.09.2013

Производные от функций, заданных параметрически. Геометрический смысл дифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Теоремы Коши, Лагранжа и Ролля о дифференцируемых функциях, их геометрическая интерпретация. Правило Лопиталя.

презентация [334,8 K], добавлен 14.11.2014

Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и их доказательство. Локальные экстремумы функции, исследование ее на выпуклость и вогнутость, понятие точки перегиба. Асимптоты и общая схема построения графика функции.

реферат [430,7 K], добавлен 12.06.2010

Понятие непрерывности функции. Понятие, физический и геометрический смысл производной. Локальный экстремум и теорема Ферма. Теорема Ролля о нулях производных. Формула конечных приращении Лагранжа. Обобщенная формула конечных приращении (формула Коши).

курсовая работа [812,7 K], добавлен 17.03.2015

Локальные экстремумы функции. Теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа. Достаточные условия экстремума функции. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба. Асимптоты графика функции. Схема построения графика.

курс лекций [445,7 K], добавлен 27.05.2010

Анализ роли математики в оценке количественных и пространственных взаимоотношений объектов реального мира. Трактовка и обоснование математических теорем Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши и Лопиталя. Обзор биографии, деятельности и трудов великих математиков.

курсовая работа [467,9 K], добавлен 08.04.2013

Доказательство теорем Силова о конечных группах, которые представляют собой неполный вариант обратной теоремы к теореме Лагранжа и для некоторых делителей порядка группы G гарантируют существование подгрупп такого порядка. Нахождение силовских р-подгрупп.

Начнем рассмотрение таких теорем с теоремы, связываемой с именем французского математика Ролля (1652–1719).

Теорема 1.1. Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема во всех его внутренних точках, а на концах отрезка , обращается в ноль, то существует, по крайней мере, одна точка , в которой .

Если , функция постоянна, то есть . Но в этом случае для любого .

Так как рассматриваемое значение является максимальным, то для него справедливо, что для и .

для

для .

2. Теорема Лагранжа

Результаты теоремы Ролля используются при рассмотрении следующей теоремы о среднем, принадлежащей Лагранжу (1736–1813).

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех его внутренних точках, то существует, по крайней мере, одна точка , в которой .

Доказательство. Рассмотрим график функции (рис. 2.1).

и .

Составим теперь вспомогательную функцию, вычтя из уравнения кривой уравнение хорды:

Вычислим производную функции :

Согласно теореме Ролля в точке производная , то есть и

что и требовалось доказать.

Теорему Лагранжа часто записывают в следующем виде:

3. Теорема Коши

Рассмотрим, наконец, третью теорему о среднем, принадлежащей Коши (1789–1859), которая является обобщением теоремы Лагранжа.

Теорема. Если функции и непрерывны на отрезке и дифференцируемы во всех его внутренних точках, причем не обращается в ноль ни в одной из указанных точек, то существует, по крайней мере, одна точка , в которой .

Составим вспомогательную функцию

Вычислим производную :

Из условия следует, что

и ,

что и требовалось доказать.

В случае, когда , теорема Коши переходит в формулировку теоремы Лагранжа.

4. Правило Лопиталя

На основании теоремы Коши о среднем можно получить удобный метод вычисления некоторых пределов, называемый правилом Лопиталя (1661–1704).

Теорема. Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы во всех точках полуинтервала и при совместно стремятся к нулю или бесконечности. Тогда, если отношение их производных имеет предел при , то этот же предел имеет отношение и самих функций, то есть .

Возьмем точку . Так как функции и удовлетворяют теореме Коши (п. 2.14), применим ее на отрезке :

, где .

Так как , то

Перейдем в данном равенстве к пределу:

Но если , то и , находящееся между точками и , будет стремится к , значит

Отсюда, если , то и , то есть

что и требовалось доказать.

Если при , то снова получается неопределенность вида и правило Лопиталя можно применять снова, то есть

Доказательство правила Лопиталя для случая проводится сложнее, и мы его рассматривать не будем.

1) , значит, растет быстрее, чем ;

2) , значит, растет быстрее, чем ;

3) , значит, растет быстрее, чем .

Отсюда следует, что быстрее всего растет , затем и, наконец, .

2. Зайцев И.А. Высшая математика. ДРОФА, 2005. – 400 с.

3. Краснов М. Вся высшая математика т. 1 изд. 2. Едиториал УРСС, 2003. – 328 с.

Пусть функция $y=f(x)$ удовлетворяет следующим условиям:

она дифференцируема на интервале $(a;b)$;
достигает наибольшего или наименьшего значения в точке $x_ \in(a ; b)$.

Тогда производная в этой точке равна нулю, то есть $f^<\prime>\left(x_\right)=0$.

Следствие. (Геометрический смысл теоремы Ферма)

В точке наибольшего и наименьшего значения, достигаемого внутри промежутка, касательная к графику функции параллельна оси абсцисс.

Теорема Ролля

Теорема Ролля. (О нуле производной функции, принимающей на концах отрезка равные значения)

Пусть функция $y=f(x)$

непрерывна на отрезке $[a;b]$;
дифференцируема на интервале $(a;b)$;
на концах отрезка $[a;b]$ принимает равные значения $f(a)=f(b)$.

Тогда на интервале $(a;b)$ найдется, по крайней мере, одна точка $x_$ , в которой $f^<\prime>\left(x_\right)=0$.

Следствие. (Геометрический смысл теоремы Ролля)

Найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс.

Следствие.

Если $f(a)=f(b)=0$, то теорему Ролля можно сформулировать следующим образом: между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется, хотя бы один, нуль производной.

Теорема Лагранжа

Теорема Лагранжа. (О конечных приращениях)

Пусть функция $y=f(x)$

непрерывна на отрезке $[a;b]$;
дифференцируема на интервале $(a;b)$.

Тогда на интервале $(a;b)$ найдется по крайней мере одна точка $x_$ , такая, что

Теорема Ролля есть частный случай теоремы Лагранжа, когда $f(a)=f(b)$.

Следствие. (Геометрический смысл теоремы Лагранжа)

На кривой $y=f(x)$ между точками $a$ и $b$ найдется точка $M(x_0;f(x_0))$, такая, что через эту точку можно провести касательную, параллельную хорде $AB$ (рис. 1).

Доказанная формула называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. Она может быть переписана в виде:

Теорема Коши

Теорема Коши. (Об отношении конечных приращений двух функций)

Если функции $y=f(x)$ и $y=g(x)$:

непрерывны на отрезке $[a;b]$;
дифференцируемы на интервале $(a;b)$;
производная $g^<\prime>(x) \neq 0$ на интервале $(a;b)$,

тогда на этом интервале найдется по крайней мере одна точка $x_$ , такая, что

Если производная функции равна нулю на некотором промежутке, то функция является постоянной на этом промежутке.

Если две функции имеют равные производные на некотором промежутке, то они на этом промежутке отличаются друг от друга на некоторое слагаемое.

Если функция f(x) определена в некотором промежутке, во внутренней точке этого промежутка принимает наибольшее или наименьшее значение и имеет в этой точке производную , то эта производная равна нулю = 0.

Доказать: = 0.

Доказательство:

т.к. f(c)>f(x), Þ для (рис. 1), , Рис. 1

Перейдем в неравенствах к пределу.

Знак неравенства при переходе к пределу ослабевает.

Получаем неравенство: и , следовательно = 0.

Теорема Ролля, Лагранжа и Коши.

Теорема Ролля[2]

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], дифференцируема внутри него и f(a) = f(b), то внутри промежутка [a; b] найдется хотя бы одна точка x = c, в которой производная данной функции равна 0.

Доказательство:

По свойству функций, непрерывных на отрезке, функция на отрезке [a; b] принимает наибольшее и наименьшее значения, которые обозначим соответственно и . Имеются две возможности: или , или . Рассмотрим их.

Пусть . Тогда функция на отрезке [a; b] сохраняет постоянное значение и, следовательно, в любой точке интервала (a; b) ее производная равна нулю. В этом случае за с можно взять любую точку интервала (a; b).

Пусть . Так как значения функции на концах отрезка равны, то хотя бы одно из значений или функция принимает внутри отрезка

[a; b] . Обозначим f(с) = M, , так как - наибольшее значение функции, то для всех выполняется неравенство Найдем производную в точке , .

Выполняется неравенство , так как

Если (т.е. справа от точки ), то и поэтому . Если (т.е. слева от точки ), то и . Следовательно, получаем .

В случае , доказательство аналогичное.

Геометрический смысл теоремы Ролля:

Если условия теоремы выполняются, то на интервале (a; b) существует такая точка c , что в соответствующей точке кривой касательная параллельна оси . (Рис.2)

Физическая интерпретация теоремы Ролля.

Пример. Проверим, применима ли теорема Ролля к функции на отрезке . Если окажется, что теорема применима, то найдем точку , в которой производная данной функции равна нулю.

Функция непрерывна на отрезке , ее производная определена всюду на интервале , выполняется условие . Значит, все три условия теоремы Ролля выполнены. В качестве точки можно выбрать , так как . Заметим, что можно было положить .

Пример. Покажем, что уравнение имеет только один действительный корень.

Рассмотрим функцию . Она непрерывна и дифференцируема на всей числовой прямой, причем .

Можно заметить, что при любом значении имеем . Но тогда уравнение может иметь не более одного действительного корня. В самом деле, если бы оно имело два корня и ( ), то, применив к функции на отрезке теорему Ролля, убедились что все условия теоремы Ролля здесь выполнены: непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и , получили бы, что между и существует точка такая, что . Последнее невозможно, значит, уравнение имеет не более одного действительного корня. Существование действительного корня следует из того, что -многочлен нечетной степени (корень в данном случае легко найти подбором).

Пример. Дана функция . Пусть . Тогда . Однако производная не обращается в нуль ни в одной точке интервала . Противоречит ли это теореме Ролля?

Нет, не противоречит,т.к. в точке интервала производная не существует, и условия теоремы нарушены.

Теорема Лагранжа[3]

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и дифференцируема внутри него, то существует хотя бы одна точка внутри промежутка [a; b] такая, в которой выполняется соотношение:

Доказательство:

Рассмотрим вспомогательную функцию

. Уравнение секущей (по точке и угловому коэффициенту) имеет вид: , при этом . Функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Действительно, она непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале . Подставляя и

в функцию нетрудно проверить что и , т.е. . По теореме Ролля существует по крайней мере одна такая точка , , что . Так как , то, следовательно, . Откуда получаем: , что и требовалось доказать.

Равенство , где называется формулой Лагранжа, или формулой конечных приращений.

Замечание.

формула Лагранжа (конечных приращений).

Геометрический смысл теоремы Лагранжа.

Отношение равно угловому коэффициенту секущей (Рис.3).

Если функция удовлетворяет условиям теоремы, то на интервале существует точка , такая, что в соответствующей точке кривой касательная параллельна секущей, соединяющей точки . Таких точек может быть и несколько, но, по крайней мере, одна всегда существует.

Физическая интерпретация теоремы Лагранжа.

Пусть - время, - координата точки, движущейся по прямой, в

момент времени . Запишем формулу Лагранжа в виде . Величина в правой части является средней скоростью

движения точки по прямой за промежуток времени от до . Формула Лагранжа показывает, что существует такой момент времени , в который мгновенная скорость равна средней скорости на временном отрезке .

Cледствие. Если функция непрерывна на отрезке и во всех

внутренних точках отрезка ее производная равна нулю, то функция

постоянна на этом отрезке.

Доказательство:

Пусть - точка из промежутка . Тогда по теореме

Лагранжа , где . Но по условию ,

следовательно, , откуда . Это и означает, что

рассматриваемая функция постоянна на данном отрезке.

Доказанное утверждение имеет простой физический смысл: если скорость

точки все время равна нулю, то точка покоится и ее координата не

меняется (постоянна).

Замечании.: Если , то из равенства следует . Это значит, что теорема Ролля есть частный случай теоремы Лагранжа.

Пример. Проверим, применима ли теорема Лагранжа к функции

на отрезке . Если окажется, что теорема

применима, то найдем точку , в которой выполняется равенство .

Функция непрерывна на отрезке и

дифференцируема в интервале . Значит, условия теоремы Лагранжа

выполнены. Из формулы получаем:

В данном случае , , .

Подставим полученные значения в формулу Лагранжа: . Из этого уравнения находим (второй корень уравнения не подходит, так как это число не принадлежит отрезку ).

Теорема Коши[4]

Þ .Т.е. отношение приращений функций на данном отрезке равно отношению их производных в точке

Замечание.Теорема Коши – обобщение теоремы Лагранжа, в случае

получаем теорему Лагранжа.

Доказательство:

Прежде чем перейти к доказательству теоремы Коши,

сначала докажем, что . Действительно, если допустить, что

или , то по теореме Ролля для функции

найдется точка , ( ), в которой . А это противоречит

условию, т.к. на интервале .

Для доказательства теоремы рассмотрим вспомогательную функцию

удовлетворяет всем условиям Ролля: непрерывна на отрезке и

дифференцируема на интервале , т.к. является линейной комбинацией

функций и ; на концах отрезка она принимает равные значения

, т.е. . По теореме Ролля для функции

существует точка , ( ), такая, что . Так как

Отсюда, учитывая, что , получаем: , что и

Пример. Пусть , , . Составим формулу Коши и

Функции и непрерывны на отрезке ,

дифференцируемы в интервале и в интервале .

Следовательно, условия теоремы Коши выполнены и, значит, существует

точка такая, что . Найдем эту точку. Имеем:

. Значит, . Из этого

Теорема Лопиталя

До сих пор при вычислении пределов функций применяли разнообразные приемы, зачастую весьма искусственные. Теорема Лопиталя определяет простой и единообразный метод вычисления пределов различных функций. Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей вида и , который основан на применении производных.

Теорема Лопиталя[5]

Пусть и – бесконечно малые при x ® a функции, , т.е. . Если функции и непрерывны в точке , дифференцируемы в некоторой окрестности точки а (за исключением быть может самой точки а) и при , то , в предположении, что предел отношения производных существует.

Предел отношения двух бесконечно больших (бесконечно малых)) функций равен пределу отношения их производных (если он существует)

Доказательство: Применяя формулу Коши, получим: , где между и . Или, учитывая, что , т.к. функции и - бесконечно малые, непрерывные в точке функции, получаем . Пусть при

отношение стремится к некоторому пределу. Так как лежит между и , то при получим , а следовательно, и отношение стремится к тому же пределу. Учитывая равенство , получим: если при существует предел отношения ,то , а это и требовалось доказать. Если же окажется, что и бесконечно малые при , то правило Лопиталя применяется повторно. Иногда приходится правило Лопиталя применять несколько раз.

Пример. Вычислить предел, применяя правило Лопиталя:

Теорема справедлива и в том случае, когда . Пусть - символ (рассуждения сохраняются и для символов ), положив , получим, что при , и поэтому если существует предел отношения функций при , то существует и предел отношения функций при и они равны. Тоже можно сказать и об отношении их производных. Функции , вблизи точки удовлетворяют условиям доказанной теоремы, поэтому на основании равенства имеем: = = , откуда получаем: .

Теорема Лопиталя

Пусть и – бесконечно,большие при x ® a функции, , т.е. . Если функции и дифференцируемы в некоторой окрестности точки а (за исключением быть может самой точки а) и при , то , в предположении, что предел отношения производных существует.

Пример 6. Вычислить

Решение: = = = = = = =0

Замечания.1) Теорему Лопиталя можно применять многократно.

2) С помощью теоремы Лопиталя раскрываются неопределенности вида: ; ; (0×¥); (¥-¥); (1 ¥ ); (0 0 ); (¥ 0 ).

3) Раскрытие неопределенностей вида и можно свести к рассмотренным выше случаям неопределенностей вида и .

Пусть, например, , при ( -число или один из символов: ), тогда неопределенность вида , или неопределенность вида .

Пример 7. Вычислить

Решение: = = = =0.

4) Неопределенности вида , , встречаются при нахождении предела функции при . Для нахождения предела такой функции при достаточно найти предел при функции . Действительно, если , то . При отыскании предела придется раскрывать неопределенность вида , которая приводится к виду или .

Для раскрытия неопределенности , , используем равенство:

(Справедливо для непрерывной и положительной функции )

Пример 9. Вычислить

Так как - эквивалентна при , то - эквивалентна и, следовательно, . Имеем неопределенность вида . Применив правило Лопиталя, получим:

Снова имеем неопределенность вида и вновь применим правило Лопиталя. Но прежде чем перейти к повторному дифференцированию,

воспользуемся тем, что . Получим: =

Пример 10. Вычислить

Решение: Данный предел представляет собой неопределенность вида .

Однако правило Лопиталя не может быть к нему применено, так как предел

отношения производных, т.е. не существует. Для вычисления предела разделим числитель почленно на знаменатель: . Так как , то

Читайте также: