Реферат на тему степени

Обновлено: 08.07.2024

В частности, в Древнем Египте, чьи ученые внесли заметный вклад как в развитие элементарной арифметики, так и в создание основ алгебры и геометрии, обратили внимание на то, что когда происходит умножение какого-либо числа на одно и то же число много раз, то на это тратится огромное количество ненужных усилий. Более того, такая операция вела к значительным финансовым затратам: согласно действовавшим тогда установкам на оформление любых записей, каждой действие с числом должно было подробно описываться. Если вспомнить, что даже самый простейший папирус стоил весьма внушительную сумму денег, то не стоит удивляться тем усилиям, которые египтяне приложили, чтобы найти выход из этой ситуации.

Решение нашел знаменитый Диофант Александрийский, который придумал специальный математический знак, который стал показывать, сколько раз необходимо умножить то или иное число на само себя. Впоследствии известный французский математик Р. Декарт усовершенствовал написание этого выражения, предложив при обозначении степени чисел просто приписывать ее в правом верхнем углу над основным числом.

Завершающим аккордом в письменном оформлении степени чисел стала деятельность небезызвестного Н. Шюке, который ввел в научный оборот сначала отрицательную, а затем и нулевую степень.

Степени чисел, как и большинство других математических элементов, обладают определенными свойствами:

1. При возведении в нулевую степень любого числа, отличного от нуля (как положительного, так и отрицательного) получится единица.

2. Степени чисел, где показатели имеют отрицательное значение, следует преобразовать в выражение с положительным показателем

3. Для того чтобы осуществить умножение чисел со степенями, следует помнить, что данная операция возможна только в том случае, если у них одинаковые основания. При этом умножение чисел со степенями осуществляется в соответствии со следующим правилом: основание остается без изменений, а к показателю одного прибавляется величина показателей остальных степеней.

4. В том случае, когда происходит деление степеней, необходимо придерживаться того же правила, только вместо суммы в показателе будет разность.

5. Еще одна важнейшее свойство степеней связано с теми ситуациями, когда требуется возвести в степень сам показатель степени. В этом случае необходимо перемножить оба эти показателя.

6. В ряде случаев есть необходимость расписать степень произведения через степень чисел. В этом случае необходимо иметь в виду, что степень произведения вычисляется в соответствии вот с этим правилом:

7. Если возникнет необходимость расписать степень частного, то первое, на что следует обратить внимание, это то, что основание знаменателя не может быть равно нулю. В остальном же необходимо придерживаться следующей формулы:

Определенные трудности встречаются тогда, когда требуется возвести в степень основание, выражение которого меньше нуля. Результат в этом случае может быть как отрицательным, так и положительным. Зависеть он будет от показателя степени, а именно от того, каким числом – нечетным или четным – этот показатель являлся.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Оборудование : интернет, компьютер, тетрадь, принтер.

Цель: узнать, что такое степень более подробно, изучить таблицу степеней и познакомиться с ее свойствами.

Простейшие математические выражения стали известны людям еще в глубокой древности. В то же время постоянно шло совершенствование как самих операций, так и их записи на том или ином носителе. В частности, в Древнем Египте, чьи ученые внесли заметный вклад как в развитие элементарной арифметики, так и в создание основ алгебры и геометрии, обратили внимание на то, что когда происходит умножение какого-либо числа на одно и то же число много раз, то на это тратится огромное количество ненужных усилий. Более того, такая операция вела к значительным финансовым затратам: согласно действовавшим тогда установкам на оформление любых записей, каждой действие с числом должно было подробно описываться. Если вспомнить, что даже самый простейший папирус стоил весьма внушительную сумму денег, то не стоит удивляться тем усилиям, которые египтяне приложили, чтобы найти выход из этой ситуации.

Определение

Степенью числа a n называется произведение n одинаковых множителей, каждый из которых равен a .

Свойства степени

Степени чисел, как и большинство других математических элементов, обладают определенными свойствами:

При возведении в нулевую степень любого числа, отличного от нуля (как положительного, так и отрицательного) получится единица. a 0= 1

Степени чисел, где показатели имеют отрицательное значение, следует преобразовать в выражение с положительным показателем.

Для того чтобы осуществить умножение чисел со степенями, следует помнить, что данная операция возможна только в том случае, если у них одинаковые основания. При этом умножение чисел со степенями осуществляется в соответствии со следующим правилом: основание остается без изменений, а к показателю одного прибавляется величина показателей остальных степеней. a m ∙ a n = a m + n

В том случае, когда происходит деление степеней, необходимо придерживаться того же правила, только вместо суммы в показателе будет разность. a m : a n = a m - n

Еще одна важнейшее свойство степеней связано с теми ситуациями, когда требуется возвести в степень сам показатель степени. В этом случае необходимо перемножить оба эти показателя. ( a n ) m = a n∙m

В ряде случаев есть необходимость расписать степень произведения через степень чисел. В этом случае необходимо иметь в виду, что степень произведения вычисляется в соответствии вот с этим правилом: ( ab ) n = a n ∙ b n

Если возникнет необходимость расписать степень частного, то первое, на что следует обратить внимание, это то, что основание знаменателя не может быть равно нулю. В остальном же необходимо придерживаться следующей формулы: ( a : b ) m = a m : b m

В этой статье разберем основные свойства степеней, а также какие операции со степенями возможны в математике. А еще изучим свойства степеней с разными и одинаковыми основаниями и, конечно, потренируемся на примерах.

О чем эта статья:

7 класс, 8 класс

Что такое степень числа

В учебниках по математике можно встретить такое определение:

a — основание степени;

n — показатель степени.

Читается такое выражение, как a в степени n

Если говорить проще то, степень, а точнее показатель степени (n), говорит нам о том, сколько раз следует умножить это число (основание степени) само на себя.

А значит, если у нас есть задачка, где спрашивают, как возвести число в степень, например, число 2 в третью степень, то она решается довольно просто:

2 — основание степени;

3 — показатель степени.

Если вам нужно быстро возвести число в степень, можно использовать наш онлайн-калькулятор. Но чтобы не упасть в грязь лицом на контрольной по математике, придется все-таки разобраться с теорией.

Рассмотрим пример из жизни, чтобы было понятно, для чего можно использовать возведение чисел в степень на практике.

Задачка про миллион: представьте, что у вас есть миллион рублей. За один год вы заработали на нем еще два. Еще через год каждый миллион принес еще два и т. д. Получается, что миллион каждый год утраивается. Был один, а стало три — и так каждый год. Здорово, правда? А теперь посчитаем, какая сумма у вас будет через 4 года.

Как решаем: один миллион умножаем на три (1·3), затем результат умножаем на три, потом еще на три. Наверное, вам уже стало стало скучно, потому что вы поняли, что три нужно умножить само на себя четыре раза. Так и сделаем:

3·3·3·3 = 81. То есть получается, что три в степени четыре равно 81.

Математики заскучали и решили все упростить:

Ответ: через четыре года у вас будет 81 миллион.

Таблица степеней

Здесь мы приведем результаты возведения в степень натуральных чисел от 1 до 10 в квадрат (показатель степени 2) и куб (показатель степени 3).

Зачем нужны степени? Где они тебе пригодятся? Почему тебе нужно тратить время на их изучение?

Как обычно — чтобы облегчить себе жизнь. Знание свойств степеней позволит тебе упрощать вычисления и считать быстрее, что пригодится и в жизни и на ОГЭ или ЕГЭ!

Чтобы узнать все о степенях и научиться пользоваться свойствами степеней, читай эту статью.

P.S Если ты хорошо знаешь степени и тебе надо только повторить, переходи сразу к продвинутому уровню.

НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

Степени. Коротко о главном

Определение степени:

Свойства степеней:

Произведение степеней с одинаковым основанием:	\( >\cdot >=>\)
Произведение степеней с одинаковыми показателями:	\( >\cdot ^>=<<\left( a\cdot b \right)>^>\)
Деление степеней с одинаковым основанием:	\( \frac<>><>>=>\)
Деление степеней с одинаковыми показателями:	\( \frac<>><^>>=<<\left( \frac \right)>^>\)
Возведение степени в степень:	\( <<\left( > \right)>^>=>\)
Дробная степень:	\( <^<\frac>>=\sqrt[m]<>>\)

Особенности степеней:

Отрицательное число, возведенное в четную степень, – число положительное;
Отрицательное число, возведенное в нечетную степень, – число отрицательное;
Положительное число в любой степени – число положительное;
Ноль в любой степени равен \( 0\);
Любое число в нулевой степени равно \( 1\);
Степень с целым показателем — это степень, показатель которой натуральное число (т.е. целое и положительное);
Степень с рациональным показателем — это степень, показатель которой отрицательные и дробные числа;
Степень с иррациональным показателем — это степень, показатель которой бесконечная десятичная дробь или корень.

Возведение в степень – это такая же математическая операция, как сложение, вычитание, умножение или деление.

Сейчас объясню все человеческим языком на очень простых примерах. Будь внимателен. Примеры элементарные, но объясняющий важные вещи. Начнем со сложения.

Сложение

Объяснять тут нечего. Ты и так все знаешь: нас восемь человек. У каждого по две бутылки колы. Сколько всего колы? Правильно – 16 бутылок. Теперь умножение.

Умножение

Тот же самый пример с колой можно записать по-другому: \(\displaystyle 2\cdot 8=16\).

В нашем случае они заметили, что у каждого из восьми человек одинаковое количество бутылок колы и придумали прием, который называется умножением.

Согласись, \(\displaystyle 2\cdot 8=16\) считается легче и быстрее, чем \(\displaystyle 2+2+2+2+2+2+2+2=16\).

И еще одна важная деталь. Ошибок при таком счете делается гораздо меньше. Математики из Стэнфорда, кстати, считают, что человек, знающий приемы счета, делает это в два раза легче и быстрее и совершает в два раза меньше ошибок. Работы меньше, а результат лучше.

Итак, чтобы считать быстрее, легче и без ошибок, нужно всего лишь запомнить таблицу умножения. Ты, конечно, можешь делать все медленнее, труднее и с ошибками, но лучше ее запомнить! Вот таблица умножения. Выучи ее наизусть.

И другая таблица, красивее:

А какие еще хитрые приемы счета придумали ленивые математики? Правильно – возведение числа в степень.

Возведение числа в степень

Если тебе нужно умножить число само на себя пять раз, то математики говорят, что тебе нужно возвести это число в пятую степень.

Например, \(\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=^>\). Математики помнят, что два в пятой степени – это \(\displaystyle 32\).

И решают такие задачки в уме – быстрее, легче и без ошибок.

Для этого нужно всего лишь запомнить то, что выделено цветом в таблице степеней чисел. Поверь, это сильно облегчит тебе жизнь.

Кстати, почему вторую степень называют квадратом числа, а третью — кубом? Что это значит? Очень хороший вопрос. Сейчас будут тебе и квадраты, и кубы.

Примеры из жизни

Начнем с квадрата или со второй степени числа.

Представь себе квадратный бассейн размером \( \displaystyle 3\) метра на \( \displaystyle 3\) метра. Бассейн стоит у тебя на даче. Жара и очень хочется купаться.

Но… бассейн без дна! Нужно застелить дно бассейна плиткой. Сколько тебе надо плитки? Для того чтобы это определить, тебе нужно узнать площадь дна бассейна.

Ты можешь просто посчитать, тыкая пальцем, что дно бассейна состоит из \( \displaystyle 9\) кубиков метр на метр. Если у тебя плитка метр на метр, тебе нужно будет \( \displaystyle 9\) кусков. Это легко…

Итак, по одной стороне дна бассейна у нас поместится \( \displaystyle 30\) плиток (\( \displaystyle \frac=30\) штук) и по другой тоже \( \displaystyle 30\) плиток.

Умножив \( \displaystyle 30\) на \( \displaystyle 30\) , ты получишь \( \displaystyle 900\) плиток (\( \displaystyle 30\cdot 30=900\) ).

Конечно, когда у тебя всего два числа, все равно перемножить их или возвести в степень. Но если у тебя их много, то возводить в степень значительно проще и ошибок при расчетах получается тоже меньше.

Итак, тридцать во второй степени будет \( \displaystyle 900\) (\( \displaystyle ^>=900\) ). Или же можно сказать, что тридцать в квадрате будет \( \displaystyle 900\) .

Иными словами, вторую степень числа всегда можно представить в виде квадрата. И наоборот, если ты видишь квадрат – это ВСЕГДА вторая степень какого-то числа.

Квадрат – это изображение второй степени числа.

Вот тебе задание, посчитать, сумму белых и черных квадратов на шахматной доске с помощью квадрата числа… По одной стороне \( \displaystyle 8\) клеток и по другой тоже \( \displaystyle 8\) .

Чтобы посчитать их количество, нужно восемь умножить на восемь или… если заметить, что шахматная доска – это квадрат со стороной \( \displaystyle 8\) , то можно возвести восемь в квадрат. Получится \( \displaystyle 64\) клетки (\( \displaystyle 8\cdot 8=^>=64\)). Так?

Теперь куб или третья степень числа. Тот же самый бассейн. Но теперь тебе нужно узнать, сколько воды придется залить в этот бассейн. Тебе нужно посчитать объем. (Объемы и жидкости, кстати, измеряются в кубических метрах. Неожиданно, правда?)

Нарисуй бассейн: дно размером \( \displaystyle 3\) на \( \displaystyle 3\) метра и глубиной \( \displaystyle 3\) метра и попробуй посчитать, сколько всего кубов размером метр на метр войдет в твой бассейн.

Прямо показывай пальцем и считай! Раз, два, три, четыре…двадцать два, двадцать три… Сколько получилось? Не сбился? Трудно пальцем считать?

Так-то! Бери пример с математиков. Они ленивы, поэтому заметили, что чтобы посчитать объем бассейна, надо перемножить друг на друга его длину, ширину и высоту.

В нашем случае объем бассейна будет равен \( \displaystyle 3\cdot 3\cdot 3=27\) кубов… Легче правда?

А теперь представь, насколько математики ленивы и хитры, если они и это упростили. Свели все к одному действию. Они заметили, что длина, ширина и высота равна и что одно и то же число перемножается само на себя…

А что это значит? Это значит, что можно воспользоваться степенью. Итак, то, что ты \( \displaystyle 27\) раз считал пальцем, они делают в одно действие: три в кубе равно \( \displaystyle 27\) . Записывается это так: \( \displaystyle ^>=27\) .

Остается только запомнить таблицу степеней. Если ты, конечно, такой же ленивый и хитрый как математики. Если любишь много работать и делать ошибки – можешь продолжать считать пальцем.

Ну и чтобы окончательно убедить тебя, что степени придумали лодыри и хитрюги для решения своих жизненных проблем, а не для того чтобы создать тебе проблемы, вот тебе еще пара примеров из жизни.

У тебя есть \( \displaystyle 2\) миллиона рублей. В начале каждого года ты зарабатываешь на каждом миллионе еще один миллион. То есть каждый твой миллион в начале каждого года удваивается. Сколько денег у тебя будет через \( \displaystyle 5\) лет?

Ты заметил, что число \( \displaystyle 2\) перемножается само на себя \( \displaystyle 6\) раз. Значит, два в шестой степени – \( \displaystyle 64\) миллиона! А теперь представь, что у вас соревнование и эти \( \displaystyle 64\) миллиона получит тот, кто быстрее посчитает…

Стоит запомнить степени чисел, как считаешь?

У тебя есть \( \displaystyle 1\) миллион. В начале каждого года ты зарабатываешь на каждом миллионе еще два. Здорово правда? Каждый миллион утраивается. Сколько денег у тебя будет через \( \displaystyle 4\) года?

Давай считать. Первый год — \( \displaystyle 1\) умножить на \( \displaystyle 3\) , потом результат еще на \( \displaystyle 3\) …

Уже скучно, потому что ты уже все понял: три умножается само на себя \( \displaystyle 4\) раза.

Значит \( \displaystyle 3\) в четвертой степени равно \( \displaystyle 81\) миллион. Надо просто помнить, что три в четвертой степени это \( \displaystyle 81\) или \( \displaystyle ^>=81\) .

Теперь ты знаешь, что с помощью возведения числа в степень ты здорово облегчишь себе жизнь. Давай дальше посмотрим на то, что можно делать со степенями и что тебе нужно знать о них.

Читайте также: