Реферат на тему параллелограмм
Обновлено: 03.07.2024
Характеристика основных свойств геометрической фигуры – параллелограмма. Анализ теоретических определений параллелограмма - если противоположные стороны попарно параллельны, если противоположные стороны попарно равны, если противоположные углы равны.
Рубрика | Математика |
Вид | презентация |
Язык | русский |
Дата добавления | 12.05.2010 |
Размер файла | 136,3 K |
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
HTML-версии работы пока нет.
Cкачать архив работы можно перейдя по ссылке, которая находятся ниже.
Подобные документы
Независимость событий. Условная вероятность. Независимость событий и испытаний. События А и В называются независимыми, если Р(АВ) = Р(А). Если Р(В)>0, то независимость А и В эквивалентна равенству Р(А/В) = Р(А).
реферат [20,4 K], добавлен 31.03.2003
Вычисление площади Летнего сада Петра I и площади посадок, если она составляет 4/5 от площади сада. Расчет объема Летнего дворца, если известно, что он имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Расчет массы золота на одной занавеске во дворце.
презентация [1,3 M], добавлен 09.10.2011
Теорема Ферма, ее формулировка и доказательство в случаях, если показатель степени n - нечетное число и если n - четное число. Теорема о единственности факторизации. Дополнительные обоснования теоремы. Состав наибольшего составного числового множителя.
статья [26,6 K], добавлен 28.05.2009
Расчет площади равнобедренного и равностороннего треугольника. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы. Расчет размеров медианы, биссектрисы.
презентация [68,7 K], добавлен 16.04.2011
Написание уравнения прямой, проходящей через определенную точку и удаленной от начала координат на заданное расстояние. Расчет длины высот параллелограмма. Построение плоскости и прямой, определение точки пересечения прямой и плоскости и угла между ними.
контрольная работа [376,1 K], добавлен 16.06.2012
Развитие вычислительных умений и навыков при решении задач. Закрепление формул для вычисления площадей геометрических фигур. Доказательства условий равенства пары треугольников. Определение соотношения прямых, заключающих равные углы у треугольников.
презентация [214,6 K], добавлен 04.12.2014
Обратная матрица. Матричные уравнения. Некоторые свойства определителей. Решение квадратной системы. Фундаментальная система решений. Метод Крамера. Если D=0 и не все Dxj=0, то система несовместна.
Определение 1. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны.
На Рис.1 изображен параллелограмм поскольку \( \small AB \ || \ CD, \;\; AD \ || \ BC .\)
![]() |
Свойства параллелограмма
Свойство 1. В параллелограмме противоположные углы равны и противоположные стороны равны.
Доказательство. Рассмотрим параллелограмм ABCD (Рис.2).
![]() |
Диагональ AC разделяют параллелограмм на два треугольника ACB и ACD. \( \small \angle 1=\angle 2 \) поскольку эти углы накрест лежащие, при рассмотрении параллельных прямых AB и CD пересеченные секущей AC (см. теорему 1 статьи Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей). Аналогично \( \small \angle 3=\angle 4 \), если рассмотреть параллельные прямые AD и BC пересеченные секущей AC. Тогда треугольники ACB и ACD равны по одной стороне и двум прилежащим углам: AC общая, \( \small \angle 1=\angle 2 \), \( \small \angle 3=\angle 4 \) (см. статью Треугольники. Признаки равенства треугольников). Поэтому \( \small AB=CD, \;\; AD=BC, \;\; \angle B=\angle D. \)
Из рисунка Рис.2 имеем: \( \small \angle A=\angle 1+\angle 3, \;\; \angle C=\angle 2+\angle 4. \) Учитывая, что \( \small \angle 1=\angle 2 \) и \( \small \angle 3=\angle 4 \), получим: \( \small \angle A=\angle C. \)
Свойство 2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения разделяются пополам.
Доказательство. Рассмотрим параллелограмм ABCD (Рис.3) и пусть O точка пересечения диагоналей AC и BD. \( \small \angle 1=\angle 2 \) поскольку эти углы накрест лежащие, при рассмотрении параллельных прямых AB и CD пересеченные секущей AC. \( \small \angle 3=\angle 4 \), если рассмотреть параллельные прямые AB и CD пересеченные секущей BD. Поскольку в параллелограмме противоположные стороны равны: AB=CD (Свойство 1), то треугольники ABO и CDO равны по стороне и прилежашим двум углам. Тогда AO=OC и BO=OD.
![]() |
Признаки параллелограмма
Признак 1. Если в четырехугольнике две стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник является параллелограммом.
![]() |
Доказательство. Рассмотрим параллелограмм ABCD. Пусть AB=CD и AB || CD. Проведем диагональ AC (Рис.4). Поскольку AB || CD, то \( \small \angle 1=\angle 2 \) как накрест лежащие углы − при рассмотрении параллельных прямых AB и CD пересеченных секущей AC. Тогда треугольники ACB и ACD равны, по двум сторонам и углу между ними. Действительно, AB=CD, AC− общая сторона \( \small \angle 1=\angle 2 \). Но тогда \( \small \angle 3=\angle 4. \) Рассмотрим прямые AD и BC, пересеченные секущей AC. Поскольку \( \small \angle 3 \) и \( \small \angle 4 \) являются накрест лежашими углами, то по теореме 1 статьи Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых, эти прямые параллельны. Таким образом, в четырехугольнике противоположные стороны попарно параллельны (AB || CD, AD || BC) и, значит, данный четырехугольник параллелограмм.
Признак 2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник является параллелограммом.
Доказательство. Рассмотрим параллелограмм ABCD (Рис.4). Проведем диагональ AC (Рис.4). Рассмотрим треугольники ACB и ACD. Эти треугольники равны по трем сторонам (см. статью Треугольники. Признаки равенства треугольников). Действительно. AC − общая для этих треугольников и по условию AB = CD, AD = BC. Тогда \( \small \angle 1=\angle 2 \). Отсюда следует AB || CD. Имеем, AB = CD, AB || CD и по признаку 1 четырехугольник ABCD является параллелограммом.
Признак 3. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения разделяются пополам, то данный четырехугольник − параллелограмм.
![]() |
Доказательство. Рассмотрим четырехугольник ABCD (Рис.5). Пусть диагонали четырехугольника пересекаются в точке O и точкой пересечения делятся пополам:
![]() |
Углы AOB и COD вертикальные, следовательно \( \small \angle AOB=\angle COD \). Тогда треугольники AOB и COD равны по двум сторонам и углу меду ними:
![]() , ![]() |
Тогда AB = CD и \( \small \angle 1=\angle 2 \). Но по признаку параллельности прямых следует, что AB || CD (теорема 1 статьи Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых). Получили:
![]() |
и, по признаку 1 четырехугольник ABCD − параллелограмм.
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Выберите документ из архива для просмотра:
Выбранный для просмотра документ Параллелограмм и его свойства.pptm
Описание презентации по отдельным слайдам:
Выбранный для просмотра документ Реферат.doc
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
Савинская средняя общеобразовательная школа
Исследовательская работа
Параллелограмм и его новые свойства
Выполнила: ученица 8Б класса
МБОУ Савинская СОШ
Кузнецова Светлана,14 лет
Руководитель: учитель математики
Тульчевская Н.А.
Ивановская область, Россия
I . Введение __________________________________________________ стр 3
II . Из истории параллелограмма ___________________________________стр 4
III Дополнительные свойства параллелограмма ______________________стр 4
IV . Доказательство свойств _____________________________________ стр 5
V . Решение задач с использованием дополнительных свойств __________стр 8
VI . Применение свойств параллелограмма в жизни ___________________стр 11
VII . Заключение _________________________________________________стр 12
VIII . Литература _________________________________________________стр 13
"Среди равных умов
при одинаковости прочих условий
превосходит тот, кто знает геометрию"
У меня возник вопрос, а есть ли у параллелограмма еще свойства, и как они помогут при решении задач.
И я решила изучить дополнительные свойства параллелограмма и показать, как их можно применить для решения задач.
Предмет исследования: параллелограмм
Объект исследования: свойства параллелограмма
Цель работы:
формулировка и доказательство дополнительных свойств параллелограмма, которые не изучаются в школе;
применение этих свойств для решения задач.
Изучить историю возникновения параллелограмма и историю развития его свойств;
Найти дополнительную литературу по исследуемому вопросу;
Изучить дополнительные свойства параллелограмма и доказать их;
Показать применение этих свойств для решения задач;
Рассмотреть применение свойств параллелограмма в жизни.
Методы исследования:
Работа с учебной и научно – популярной литературой, ресурсами сети Интернет;
Изучение теоретического материала;
Выделение круга задач, которые можно решать с использованием дополнительных свойств параллелограмма;
Наблюдение, сравнение, анализ, аналогия.
Продолжительность исследования: 3 месяца: январь-март 2016г
Из истории параллелограмма
В учебнике геометрии мы читаем следующее определение параллелограмма: параллелограмм – это такой четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны
III Дополнительные свойства параллелограмма
В учебнике по геометрии даны только 2 свойства параллелограмма:
Противоположные углы и стороны равны
Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам
В различных источниках по геометрии можно встретить следующие дополнительные свойства:
Сумма соседних углов параллелограмма равна 180 0
Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник;
Биссектрисы противоположных углов параллелограмма лежат на параллельных прямых;
Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются под прямым углом;
Биссектрисы всех углов параллелограмма при пересечении образуют прямоугольник;
Расстояния от противоположных углов параллелограмма до одной и той же его диагонали равны.
Если в параллелограмме соединить противоположные вершины с серединами противоположных сторон, то получится еще один параллелограмм.
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его смежных сторон.
Если в параллелограмме из двух противоположных углов провести высоты, то получится прямоугольник.
IV Доказательство свойств параллелограмма
Сумма соседних углов параллелограмма равна 180 0
Доказательство:
А и B –внутренние односторонние углы при параллельных прямых ВС А D и секущей АВ, значит, A + B =
Дано: АBCD - параллелограмм,
АК -биссектриса А.
Доказать: АВК – равнобедренный
Доказательство:
1) 1=3 (накрест лежащие при ВС AD и секущей AK ),
2) 2=3 т. к. АК – биссектриса,
3) АВК – равнобедренный т. к. 2 угла треугольника равны
. Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник
Дано: АВСD – параллелограмм,
АК – биссектриса A,
СР - биссектриса C.
Доказать: АК ║ СР
Доказательство:
1) 1=2 т. к. АК-биссектриса
2) 4=5 т.к. СР – биссектриса
3) 3=1 (накрест лежащие углы при
ВС ║ А D и АК-секущей),
4) A = C (по свойству параллелограмма), значит2=3=4=5.
4) Из п. 3 и 4 следует, что 1=4, а эти углы соответственные при прямых АК и СР и секущей ВС,
значит, АК ║ СР ( по признаку параллельности прямых)
. Биссектрисы противоположных углов параллелограмма лежат на параллельных прямых
Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются под прямым углом
Дано: АВСD - параллелограмм,
Доказать: DР АК.
Доказательство:
1) 1=2, т.к. АК - биссектриса
Пусть, 1=2=x, тогда А=2x,
2) 3=4, т.к. D Р – биссектриса
Пусть, 3=4= у, тогда D =2 y
3) A + D =180 0 , т.к. сумма соседних углов параллелограмма равна 180
2) Рассмотрим A О D
1+3=90 0 , тогда 0 (сумма углов треугольников равна 180 0 )
5. Биссектрисы всех углов параллелограмма при пересечении образуют прямоугольник
Дано: АВСD - параллелограмм, АК-биссектриса A,
CM -биссектриса C ,
BF -биссектриса B .
Доказать: KRNS -прямоугольник
Доказательство:
Исходя из предыдущего свойства 8=7=6=5=90 0 ,
значит KRNS -прямоугольник.
Расстояния от противоположных углов параллелограмма до одной и той же его диагонали равны.
Дано: ABCD-параллелограмм, АС-диагональ.
Доказать: BК=DР
Доказательство: 1)DCР=КAB, как внутренние накрест лежащие при АВ ║ СD и секущей АС.
2) AКB=CDР (по стороне и двум прилежащим к ней углам АВ=С D CD Р= AB К).
А в равных треугольниках соответственные стороны равны, значит DР=BК.
Если в параллелограмме соединить противоположные вершины с серединами противоположных сторон, то получится еще один параллелограмм.
Дано: ABCD-параллелограмм.
Доказать: ВКDР – параллелограмм.
Доказательство:
1) BР=КD (AD=BC, точки К и Р
делят эти стороны пополам)
2) ВР ║ КD (лежат на АD BC)
Если в четырехугольнике противоположные стороны равны и параллельны, значит, этот четырехугольник - параллелограмм.
Если в параллелограмме из двух противоположных углов провести высоты, то получится прямоугольник.
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его смежных сторон.
Дано: ABCD – параллелограмм. BD и AC - диагонали.
Доказать: АС 2 +ВD 2 =2(AB 2 + AD 2 )
Доказательство: 1)АСК: AC ²= +
2) B Р D : BD 2 = B Р 2 + Р D 2 (по теореме Пифагора)
3) AC ²+ BD ²=СК²+ A К²+ B Р²+Р D ²
4) СК = ВР = Н (высота)
5) АС 2 +В D 2 = H 2 + A К 2 + H 2 +Р D 2
6) Пусть D К= A Р=х, тогда C К D : H 2 = CD 2 – х 2 по теореме Пифагора)
7) АС²+В D ² = С D 2 - х²+ АК1²+ CD 2 -х 2 +Р D 2 ,
АС²+В D ²=2С D 2 -2х 2 + A К 2 +Р D 2
8) A К =AD+ х , Р D=AD- х ,
АС²+В D ² =2 CD 2 -2х 2 +( AD +х) 2 +( AD -х) 2 ,
АС ²+ В D²=2 С D²-2 х ² +AD 2 +2AD х + х 2 +AD 2 -2AD х + х 2 ,
АС ²+ В D²=2CD 2 +2AD 2 =2(CD 2 +AD 2 ).
V . Решение задач с использованием этих свойств
Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5 . Найдите его большую сторону.
Дано: ABCD – параллелограмм,
АК – биссектриса А,
D К – биссектриса D , АВ=5
Найти: ВС
Т.к. АК - биссектриса А, то АВК – равнобедренный.
Т.к. D К – биссектриса D , то DCK - равнобедренный
Тогда, ВС=ВК+СК=5+5 = 10
2. Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7 см и 14 см.
Дано: ABCD – параллелограмм, АК – биссектриса А,
Найти: Р параллелограмма
Т.к. АК – биссектриса А, то АВК – равнобедренный.
Тогда Р=2 (14+21) =70 (см)
Дано: ABCD – параллелограмм,
D К – биссектриса D ,
Найти: Р параллелограмма
Т.к. D К – биссектриса D , то DCK - равнобедренный
Ответ: 70см или 56 см
3.Стороны параллелограмма равны 10 см и 3 см. Биссектрисы двух углов, прилежащих к большей стороне, делят противоположную сторону на три отрезка. Найдите эти отрезки.
1 случай: биссектрисы пересекаются вне параллелограмма
Дано: ABCD – параллелограмм, АК – биссектриса А,
D К – биссектриса D , АВ=3 см, ВС=10 см
Найти: ВМ, М N , NC
Т.к. АМ - биссектриса А, то АВМ – равнобедренный.
Т.к. DN – биссектриса D , то DCN - равнобедренный
Тогда, М N = 10 – ( BM + NC ) = 10 – (3+3)=4 см
2 случай: биссектрисы пересекаются внутри параллелограмма
Т.к. А N - биссектриса А, то АВ N – равнобедренный.
АВ=В N = 3
Т.к. DM – биссектриса D , то DCM - равнобедренный
DC = CM = 3
Тогда, BN =3 см, С N =10 – 3 = 7 см,
CM = 3 см, ВМ=10 – 3 =7 см, чего быть не может, т.к. В C =10 см
2 случай не возможен.
Ответ: 3см, 4 см, 3 см
4. (ЕГЭ-2010) В параллелограмме ABCD биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками М и N так, что BM : MN = 1:5. Найдите ВС, если АВ =3
В этой задаче также возможны два случая:
биссектрисы пересекаются вне параллелограмма и внутри параллелограмма.
1 случай: биссектрисы пересекаются вне параллелограмма
Дано: ABCD – параллелограмм, АМ – биссектриса А,
DN – биссектриса D , АВ=3 см, BM : MN = 1:5
Т.к. АМ - биссектриса А, то АВМ – равнобедренный.
Т.к. DN – биссектриса D , то DCN - равнобедренный
DC = CN = 3 см
Т.к. ВМ: М N =1:5, то на отрезок ВМ приходится 1 часть, а на отрезок MN – 5 частей,
Тогда, ВС= ВМ +М N + NC =3+15+3=21 см
2 случай: биссектрисы пересекаются внутри параллелограмма
Т.к. А N - биссектриса А, то АВ N – равнобедренный.
Т.к. DM – биссектриса D , то DCM - равнобедренный
Тогда, BN =3 см и BN = 6 частей, значит 1 часть = см
MN = 5 частей, значит, MN = см
Ответ: 21 см или 3,5 см
VI . Применение свойств параллелограмма в жизни
Параллелограмм не является жесткой фигурой. Эта особенность параллелограмма позволила инженерам применить свойства параллелограмма в практической жизни.
Благодаря его движимости лампу можно устанавливать в удобное для работы положение
А раздвижную решетку – отодвигать на необходимое расстояние в дверном проеме
Параллелограммный механизм — четырёхзвенный механизм, звенья которого составляют параллелограмм. Применяется для реализации поступательного движения шарнирными механизмами.
Параллелограмм с неподвижным звеном — одно звено неподвижно, противоположное совершает качательное движение, оставаясь параллельным неподвижному. Два параллелограмма, соединённых друг за другом, дают конечному звену две степени свободы, оставляя его параллельным неподвижному.
Примеры: стеклоочистители автобусов, погрузчики, штативы, подвесы, автомобильные подвески.
Параллелограмм с неподвижным шарниром — используется свойство параллелограмма сохранять постоянное соотношение расстояний между тремя точками. Пример: чертёжный пантограф — прибор для масштабирования чертежей.
Ромб — все звенья одинаковой длины, приближение (стягивание) пары противоположных шарниров приводит к раздвиганию двух других шарниров. Все звенья работают на сжатие.
Примеры — автомобильный ромбовидный домкрат, трамвайный пантограф.
Ножничный или X-образный механизм, также известный как Нюрнбергские ножницы — вариант ромба — два звена, соединённые посередине шарниром. Достоинства механизма — компактность и простота, недостаток — наличие двух пар скольжения. Два (и более) таких механизма, соединённые последовательно, образуют в середине ромб(ы). Применяется в подъёмниках, детских игрушках.
VII Заключение
Кто с детских лет занимается математикой,
тот развивает внимание, тренирует свой мозг,
свою волю, воспитывает в себе настойчивость
и упорство в достижении цели
А. Маркушевич
В ходе работы я доказала дополнительные свойства параллелограмма.
Я убедилась, что применяя эти свойства, можно решать задачи быстрее.
Я показала, как применяются эти свойства на примерах решения конкретных задач.
Я узнала много нового о параллелограмме, чего нет в нашем учебнике геометрии
Я убедилась в том, что знания геометрии очень важны в жизни на примерах применения свойств параллелограмма.
Цель моей исследовательской работы выполнена.
О том, насколько важны математические знания, говорит тот факт, что была учреждена премия тому, кто издаст книгу о человеке, который всю жизнь прожил без помощи математики. Эту премию до сих пор не получил ни один человек.
В данной публикации мы рассмотрим определение, свойства и признаки (с рисунками) одной из основных геометрических фигур – параллелограмма.
- Определение параллелограмма
- Свойства параллелограмма
- Свойство 1
- Свойство 2
- Свойство 3
- Свойство 4
- Свойство 5
- Свойство 6
- Свойство 7
- Свойство 8
- Свойство 9
- Свойство 10: тождество параллелограмма
Определение параллелограмма
Параллелограмм – это четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.
Обычно параллелограмм записывается путем перечисления четырех его вершин, например, ABCD. А пары параллельных сторон, чаще всего, обозначаются маленькими латинскими буквами, в нашем случае – a и b.
Частные случаи параллелограмма: квадрат, ромб и прямоугольник.
Свойства параллелограмма
Свойство 1
Противолежащие (или противоположные) стороны параллелограмма равны.
Свойство 2
Противолежащие углы параллелограмма равны.
Свойство 3
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равняется 180°.
Для рисунка выше: α + β = 180°.
Свойство 4
Любая из двух диагоналей параллелограмма делит его на два равных треугольника.
Свойство 5
Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.
Свойство 6
Точка пересечения диагоналей параллелограмма (также называется центром симметрии) одновременно является точкой пересечения его средних линий.
Средняя линия четырехугольника – это отрезок, который соединяет середины его противоположных сторон.
В данном случае средние лини – это отрезки FM и EN.
Свойство 7
Угол между двумя высотами в параллелограмме равен его острому углу.
- BL – высота, проведенная к стороне CD
- BK – высота, проеденная к стороне AD
- ∠KBL = ∠BAK
Свойство 8
Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, взаимно перпендикулярны (т.е. расположены под углом 90° друг к другу).
Свойство 9
Биссектрисы двух противолежащих углов параллелограмма параллельны.
Углы ABC и ADC противолежащие. Их биссектрисы параллельны, т.е. BR || DP.
Свойство 10: тождество параллелограмма
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равняется удвоенной сумме квадратов его смежных сторон.
Признаки параллелограмма
Четырехугольник ABCD без самопересечений является параллелограммом, если для него справедливо одно из утверждений ниже:
Читайте также: