Реферат на тему монотонность функции
Обновлено: 03.07.2024
В этой статье мы строго определим понятия возрастающей и убывающей функций. Введем понятие монотонности и строгой монотонности, изучим ее свойства. Научимся применять монотонность для решения неравенств и поиска минимумов и максимумов.
Поведение функций
Начем издалека, с рассуждений, которые приведут нас к теме этой статьи. Надо ведь разобраться, как вообще люди пришли к идее возрастающих и убывающих функций, монотонности и почему.
Функция — правило, ставящее числу x в соответствие какое-то значение y . Зададимся вопросом, а как вообще может меняться функция?
Для проведения измерений нам нужно взять две разные точки x 1 и x 2 . Для удобства возьмем такие точки, чтобы x 1 x 2 , то есть мы как бы переходим от x 1 к x 2 (слева направо). Две точки есть. Теперь найдем все возможные варианты изменения функции для этой пары точек:
- f ( x 1 ) f ( x 2 ) — значение функции увеличилось
- f ( x 1 ) > f ( x 2 ) — значение функции уменьшилось
- f ( x 1 ) = f ( x 2 ) — значение функции не изменилось
Итак, в самом общем смысле на паре точек функция может измениться лишь тремя перечисленными выше способами. Ключевой момент — на паре точек x 1 и x 2 . Но поставленный в начале раздела вопрос более общий — нам нужно классифицировать поведение функции в общем на каком-то промежутке!
Судить о поведении функции на промежутке только по ее изменению на двух точках этого промежутка, конечно, нельзя. На иллюстрации ниже приведен наглядный пример, почему так делать нельзя: для пары точек x 1 , x 2 функция уменьшается, а для пары x 3 , x 4 увеличивается.
Как же тогда быть? А все просто! Нужно смотреть на изменение функции не на конкрентной паре точек, а на всех парах x 1 x 2 промежутка. Тогда, по аналогии со всеми возможными вариантами изменения функции на двух точках, можно выделить все возможные варианты поведения функции на промежутке:
- Возрастание (для всех пар увеличивается)
- Убывание (для всех пар уменьшается)
- Постоянство (для всех пар не меняется)
- Хаос (разные пары имеют разное изменение)
Теперь, когда у нас есть общее представление о типах поведения функций, приступим к подробному их анализу. Может, этот тернистый и полный опасностей путь выведет нас к интересным и полезным результатам? (спойлер: выведет)
Возрастающая функция
Функция f ( x ) на промежутке M ⊆ R называется возрастающей или неубывающей, когда для любых двух чисел x 1 , x 2 ∈ M этого промежутка, таких, что x 1 x 2 , выполняется неравенство f ( x 1 ) ≤ f ( x 2 ) .
∀ x 1 , x 2 ∈ M : x 1 x 2 ⇒ f ( x 1 ) ≤ f ( x 2 )
Функция f ( x ) на промежутке M ⊆ R называется строго возрастающей, когда для любых двух чисел x 1 , x 2 ∈ M этого промежутка, таких, что x 1 x 2 , выполняется неравенство f ( x 1 ) f ( x 2 ) .
∀ x 1 , x 2 ∈ M : x 1 x 2 ⇒ f ( x 1 ) f ( x 2 )
Выяснить, являются ли следующие функции неубывающими или строго возрастающими: а ) f ( x ) = x б ) f ( x ) = 2 в ) f ( x ) = x 2 г ) f ( x ) = x
Пункт а) Берем две произвольные точки x 1 и x 2 , такие что x 1 x 2 . Раз f ( x ) = x , то получаем следующую ситуацию:
x 1 = f ( x 1 ) x 2 = f ( x 2 )
f ( x 1 ) f ( x 2 )
Это по определению означает, что функция f ( x ) = x является строго возрастающей на всей своей области определения ( − ∞ , + ∞ ) .
Пункт б) Функция f ( x ) = 2 при любом x равна 2 . Значит, для любых пар x 1 и x 2 вида x 1 x 2 значения функции будут равны:
f ( x 1 ) = f ( x 2 ) = 2
Это по определению означает, что функция f ( x ) = 2 неубывает на всей области определения ( − ∞ , + ∞ ) .
Пункт в) Представляем график обычной параболы и замечаем, что функция x 2 не является возрастающей на всей своей области определения. Для доказательства этого достаточно взять x 1 = − 1 и x 2 = 0 . Найдем значения функции для этих точек:
f ( x 1 ) = x 1 2 = ( − 1 ) 2 = 1 f ( x 2 ) = x 2 2 = 0 2 = 0 f ( x 1 ) > f ( x 2 )
Итак, мы нашли такую пару точек, при которых значение функции уменьшилось. Значит, нельзя говорить, что f ( x ) = x 2 является неубывающей или строго возрастающей функцией на всей своей области определения ( − ∞ , + ∞ ) .
Попробуем для этой же функции рассмотреть только неотрицательные x . Вновь возьмем произвольную пару уже неотрицательных чисел 0 ≤ x 1 x 2 . Попробуем доказать, что:
f ( x 1 ) f ( x 2 ) x 1 2 x 2 2 0 x 2 2 − x 1 2 0 ( x 2 − x 1 ) ( x 2 + x 1 )
Первая скобка x 2 − x 1 будет положительной, так как по условию x 1 x 2 . Вторая скобка всегда положительная, так как в ней находится сумма двух положительных чисел. Произведение двух положительных чисел есть число положительное, поэтому последнее неравенство выполняется.
Итак, мы по определению доказали, что квадратичная функция x 2 строго возрастает на полуинтервале [ 0 , + ∞ ) .
Пункт г) Сразу напомню, что квадратный корень от отрицательных чисел мы взять не можем, поэтому областью определения функции x
является все неотрицательные числа, то есть [ 0 , + ∞ ) . Берем две произвольные точки x 1 x 2 из этой области. Для строгой монотонности нам нужно доказать, что
f ( x 1 ) f ( x 2 ) x 1
Выпишем последнее неравенство дважды. В первом обе части умножим на x 1
Монотонность функции. Исследование стационарных точек. Локальный и глобальный экстремум. Выпуклость и перегибы графика функции. Интерполяция и аппроксимация функций. Интерполяционный полином Лагранжа. Формула Тейлора. Понятие об эмпирических формулах.
| Рубрика | Математика |
| Предмет | Высшая математика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Прислал(а) | Елен@ |
| Дата добавления | 17.01.2011 |
| Размер файла | 90,5 K |
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Подобные документы
Локальные экстремумы функции. Теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа. Достаточные условия экстремума функции. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба. Асимптоты графика функции. Схема построения графика.
курс лекций [445,7 K], добавлен 27.05.2010
Общий обзор свойств функций, осмысление каждого свойства. Исследование функции на монотонность, ее наибольшее и наименьшее значения. Тестовое задание "Выпуклость функции". Примеры непрерывной функции D(f)=[-4; 6] и прерывной функции D(f)=(1; 7).
презентация [360,5 K], добавлен 13.01.2015
Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и их доказательство. Локальные экстремумы функции, исследование ее на выпуклость и вогнутость, понятие точки перегиба. Асимптоты и общая схема построения графика функции.
реферат [430,7 K], добавлен 12.06.2010
Непрерывная и точечная аппроксимация. Интерполяционные полиномы Лагранжа и Ньютона. Погрешность глобальной интерполяции, квадратичная зависимость. Метод наименьших квадратов. Подбор эмпирических формул. Кусочно-постоянная и кусочно-линейная интерполяции.
курсовая работа [434,5 K], добавлен 14.03.2014
Вычислительные методы линейной алгебры. Интерполяция функций. Интерполяционный многочлен Ньютона. Узлы интерполяции. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Интерполяция сплайнами. Коэффициенты кубических сплайнов.
лабораторная работа [70,5 K], добавлен 06.02.2004
Способы построения интерполяционных многочленов Лагранжа, основные этапы. Интерполирование функций многочленами Ньютона, способы построения графика. Постановка задачи аппроксимации функции одной переменной, предпосылки повышения точности расчетов.
презентация [204,5 K], добавлен 18.04.2013
Понятие непрерывности функции. Понятие, физический и геометрический смысл производной. Локальный экстремум и теорема Ферма. Теорема Ролля о нулях производных. Формула конечных приращении Лагранжа. Обобщенная формула конечных приращении (формула Коши).
Если, например, X х Y cz R х /?, то каждую пару (а, Ь), где b = f (a), можно считать координатами точки Р (а, Ь) в некоторой системе координат на плоскости. Поэтому можно говорить, что график Gty функции /: /?—"/? Еще раз подчеркнем, что график Gty функции f: X —>Y определяется только самой функцией, а множество Lf зависит от употребляемой для представления графика Grf системы координат. В этом… Читать ещё >
- высшая математика. альтернативная методология преподавания
Функция. График функции. Монотонность функции. Непрерывность функции ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )
Функция и ее график
В этом параграфе будем по умолчанию рассматривать функции f:X —> Y, заданные на X, т. е. будем считать, что D f = X .
Определение 3.15.Для функции /: X —>У множество
![назовем графиком функцииf а равенство y = f(x), х е Х9 назовем уравнением этого графика (ср. [2, с. 106]).](https://referat.bookap.info/img/s/8/01/1515901_1.jpg)
назовем графиком функцииf, а равенство y = f (x), х е Х9 назовем уравнением этого графика (ср. [2, с. 106]).
Если, например, X х Y cz R х /?, то каждую пару (а, Ь), где b = f (a), можно считать координатами точки Р (а, Ь) в некоторой системе координат на плоскости. Поэтому можно говорить, что график Gty функции /: /?—"/?
в каждой системе координат представляется некоторым множеством Lf точек плоскости. Это множество Lf мы будем называть представлением (изображением) графика Grf функции / в данной системе координат, а уравнение у = /(*), х е X R, графика Grf будет при этом и уравнением множества Lf точек P9b)9 b = f), в данной системе координат. Например, функция /:[0,2л)—>/?, где f (x) = ax + b, имеет график Grf — <(х, ял' + ft): хе[0, 2я)>(^RxR. Поэтому в декартовой системе координат этот график представлен отрезком прямой без одной концевой точки, а в полярной системе координат — частью спирали Архимеда [1] .
Еще раз подчеркнем, что график Gty функции f: X —>Y определяется только самой функцией, а множество Lf зависит от употребляемой для представления графика Grf системы координат.
Монотонность функции, основные понятия и определения
Функция $y=f(x)$ называется строго возрастающей на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции, т.е.
$f(x) \uparrow : x_ \lt x_ \Rightarrow f\left(x_\right) \lt f\left(x_\right)$
Функция $y=x^$ является возрастающей на промежутке $[0 ; 1]$, так как:
для $0 \lt 1 : f(0)=0^=0 \lt f(1)=1^=1$
Функция $f(x)$ называется строго убывающей на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции, т.е.
$f(x) \downarrow : x_ \lt x_ \Rightarrow f\left(x_\right)>f\left(x_\right)$
Мы помогли уже 4 372 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Функция $y=x^$ является строго убывающей на промежутке $[-1 ; 0]$, так как:
Функция $y=f(x)$ строго возрастающая или строго убывающая на промежутке называется монотонной на этом промежутке.
Функция $y=f(x)$ называется неубывающей на промежутке, если из неравенства $x_ \lt x_$ следует неравенство $f\left(x_\right) \leq f\left(x_\right)$.
Функция $y=f(x)$ называется невозрастающей на промежутке, если из неравенства $x_ \lt x_$ следует неравенство $f\left(x_\right) \geq f\left(x_\right)$.
Связь монотонности функции с ее производной
(Об условии возрастания/убывания монотонной функции)
Если производная функции $f^<\prime>(x)>0$ на некотором промежутке $X$, то функция $y=f(x)$ возрастает на этом промежутке; если же $f^<\prime>(x) \lt 0$ на промежутке $X$, то функция $y=f(x)$ убывает на этом промежутке.
Обратное утверждение формулируется несколько иначе. Если функция возрастает на промежутке, то $f^<\prime>\left(x_\right) \geq 0$ или не существует.
Задание. Исследовать функцию $y=x^$ на монотонность на всей числовой прямой.
Решение. Найдем производную заданной функции:
Для любого действительного $x$: $y^<\prime>(x)=3 x^ \geq 0$, а поэтому делаем вывод, что заданная функция возрастает на всей действительной оси.
Ответ. Функция $y=x^$ возрастает на всей действительной оси.
Читайте также: