Реферат на тему математические софизмы в алгебре

Обновлено: 07.07.2024

Цель : и зучение типичных ошибок, которые возникают у учащихся в процессе изучения математики, их причин и способов предупреждения на примере математических софизмов.

Гипотеза исследования: если в процессе обучения математике целенаправленно и систематически организовывать работу учащихся над типичными ошибками, на примере софизмов, то это будет способствовать повышению качества математической подготовки учащихся.

1.1. Софизм и софистика

Софизм в переводе с греческого означает дословно: уловка, выдумка или мастерство. Этим термином называют утверждение, являющееся ложным, но не лишенным элемента логики, за счет чего при поверхностном взгляде на него кажется верным. Софизмы основаны на сознательном и преднамеренном обмане, нарушении логики.

Софизм - преднамеренная ошибка, совершаемая с целью запутать противника и выдать ложное суждение за истинное.

1.2. Экскурс в историю

Чтобы выйти победителем в словесном поединке, софисты часто пользовались тем, что противник недостаточно глубоко знает предмет, о котором идет речь, недостаточно внимателен, и поэтому не в состоянии отличить ложь от истины. В результате словесного поединка противник должен был согласиться с доводами софиста и признать себя побежденным, хотя истина, казалось, была на его стороне. Софизмы существуют и обсуждаются более двух тысячелетий. Они существовали задолго до философов-софистов, а наиболее известные и интересные были сформулированы позднее в сложившихся под влиянием Сократа философских школах (Приложение 1. рис.2).

Современный софизм, основной задачей которого является манипуляция общественным сознанием, существует в многочисленных формах. Современные софисты, прежде всего, - специалисты по пиару. Работа, которых заключается в навязывании обществу тех или иных политических деятелей. В обычном и распространенном понимании софизм - это умышленный обман, основанный на нарушении правил. Но обман тонкий и завуалированный. Цель софизма – выдать ложь за истину.

2.1. Софизмы и типичные ошибки в них

Математический софизм - удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки.

История математики полна неожиданных и интересных софизмов, разрешение которых порой служило толчком к новым открытиям. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записи чертежей, за законностью математических операций. Поиск и нахождение ошибок в софизме способствует пониманию математики в целом и развивает логическое мышление.

Нередко, ошибки, допущенные в софизме, настолько умело скрыты, что даже опытный математик не сразу их выявит. Именно в этом и проявляется связь математики и философии в софизмах.

2.2. Математические софизмы

1. Арифметические софизмы - это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда.

Возьмем в качестве исходного соотношения следующее очевидное равенство: 4:4= 5:5. После вынесения за скобки общего множителя из каждой части равенства будем иметь: 4∙(1:1)=5∙(1:1) или(2∙2)(1:1)=5(1:1) Наконец, зная, что 1:1=1, из соотношения 4(1:1)=5(1:1) устанавливаем: 4=5, 2∙2=5.

Ошибка : Распределительный закон умножения применяется только для сложения и вычитания: ав + ас = а(в + с).

Алгебра — один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы алгебры отличаются от других отраслей математики.

Другими словами, если в левой части равенства + a > - a, то и в правой части равенства должно соблюдаться то же соотношение.

Ошибка : Чтобы получить из равенства +a>-a равенство –a>+a, нужно первое равенство умножить на -1, но при это нужно сменить знак неравенства (–a

3. Геометрические софизмы – это умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или противоречивое утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними.

Разделим стороны АВ и ВС пополам точками M и N. На этих сторонах, как на диаметрах, опишем окружности с центрами в точках M и N. Окружности пересекут сторону АС в точках D и E.

Следовательно, отрезки BD и BE, исходящие из точки В, будут перпендикулярны, стороне АС, следовательно, из точки В можно опустить два перпендикуляра на сторону АС.

Ошибка : Действительно, опустив из B перпендикуляр на AC , получим два прямоугольных треугольника, гипотенузами которых будут стороны BC и AB, и если вокруг этих треугольников описать окружности, их гипотенузы будут диаметрами. Неправильный чертеж. Известно, что окружности, построенные на двух сторонах треугольника как на диаметрах, пересекаются в одной точке, лежащей на третьей стороне.

2.3. Шесть основных ошибок в математических софизм ах

2.4. Логические софизмы

Полупустое есть то же, что и полуполное. Если равны половины, значит, равны и целые. Следовательно, пустое есть то же, что и полное

Ошибка : Полупустое не является половиной чего либо пустого, а является чем либо наполовину наполненным.

2.5. Источники софизмов

Источниками софизмов может выступать терминология, которая используется во время спора. Многие слова имеют несколько смыслов (доктор может быть врачом или же научным сотрудником, имеющим ученую степень), за счет чего и происходит нарушение логики. Софизмы в математике, например, основаны на изменении чисел путем перемножения их и последующего сравнения исходных и полученных данных. Неправильное ударение тоже может быть оружием софиста, ведь множество слов при изменении ударения меняют и смысл.

Исторические сведения о софистике и софистах помогли нам разобраться, откуда же все-таки началась история софизмов. Начав исследование в этой области, мы поняли, что софистика - это целая наука, а математические софизмы - это лишь часть большого течения.

Разбор софизмов развивает логическое мышление, помогает сознательному усвоению изучаемого материала, воспитывая вдумчивость, наблюдательность, критическое отношение к тому, что изучается. Кроме того, разбор софизмов увлекателен. Мы с большим интересом воспринимали софизмы, чем труднее софизм, тем большее удовлетворение доставляет его разбор. Порой сам попадаешься на уловки софиста.

Благодаря знанию софизмов можно научиться искать ошибки в рассуждениях других, научится грамотно строить свои рассуждения и логические объяснения. Когда ребенок раз притронется к горячему предмету, то впоследствии он постарается этого не делать. Он будет много осторожнее. Математические софизмы заставляют внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записей и чертежей, за допустимостью обобщений, за законностью выполняемых операций. Все это нужно и полезно. Только очень сухого человека не может увлечь интересный софизм. Как приятно бывает обнаружить ошибку в математическом софизме и тем как бы восстановить истину в ее правах. Математические софизмы показали нам, как важно строго соблюдать правила и формулировки теорем при логических умозаключениях.

Задания, предложенные нами в работе, можно использовать как на уроках алгебры и геометрии, так и на внеклассных мероприятиях.

1. Софизмы. Алгебра. Геометрия. Тригонометрия, под редакцией Т.Н. Михеевой. Издательство: Грамотей , 2007 .

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Администрация города Нижнего Новгорода

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

603124, город Нижний Новгород, улица Лесной городок, дом 6-а тел. 2218983

Математические софизмы

Выполнил: Мокрушенко Георгий

Научный руководитель: Грязева

1. Введение…. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. Что такое софизмы . . . . . . …. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3. Экскурс в историю. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4. Арифметические софизмы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

5. Алгебраические софизмы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

6. Геометрические софизмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

7. Прочие софизмы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

8. Исследовательская часть . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

9. Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

10. Список литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

11. Приложение 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

В процессе работы я выяснил, что существует великое множество софизмов, и с их помощью можно доказать практически что угодно: как равенство всех чисел между собой, так и то, что прямой угол равен тупому.

Эта тема сейчас актуальна, потому что софизм - это ложь, обряженная в одежды истины (как остроумно заметил писатель Даниил Гранин) , а так как не каждый может это распознать, то с помощью софизмов люди обманывают друг друга в наше время, как и тысячелетия назад.

Цель моего исследования – понять, что такое математические софизмы, научиться их разгадывать. Для достижения данной цели передо мной стояли следующие задачи:

узнать, как и откуда появились софизмы

привести примеры софизмов

разобрать несколько примеров

понять, как найти ошибку в них

проведя разбор софизмов, сделать вывод

Что такое софизмы

Определение софизма в различных толковых словарях и энциклопедиях подобны. Рассмотрим самые известные из них.

Софизм — логически порочное умозаключение, в котором ложные посылки выдаются за истинные или делается вывод с нарушением законов логики (Большая советская энциклопедия, том 40, стр.136).

Софизм — формально кажущееся правильным, но по существу ложное умозаключение, основанное на преднамеренно неправильном подборе исходных положений (Толковый словарь русского языка С. И. Ожегова).

Софизм — мудрствованье, ложный вывод, заключенье, сужденье, которому придан внешний вид истины. Софистическое рассуждение — ложное, ошибочное, под видом истинного (Толковый словарь В. И. Даля).

Софизм — формально правильное, но ложное по существу умозаключение, основанное на натяжке, на преднамеренно неправильном подборе исходных положений в цепи рассуждений (Толковый словарь русского языка Д. Н. Ушакова).

Таким образом, анализируя определения софизма из различных энциклопедий и толковых словарей, можно выделить основные существенные признаки:

это утверждение (умозаключение)

по существу — ложное

ошибка допущена и замаскирована намеренно.

Софизмы встречаются в различных областях знаний, но выделенные критерии всегда присутствуют. Поэтому определение математического софизма не будет существенно отличаться от всех вышеперечисленных. В математическом софизме замаскированная ошибка, в процессе вывода приводит к абсурдному результату, нарушающему все законы математики.

Экскурс в историю

Софисты считали, что истина субъективна, то есть у каждого человека своя истина, человек сам создает себе истину и сам же её оценивает, поэтому в суждениях об истине очень много личного. Справедливость, как и истина, у каждого человека тоже своя, а значит, о каждой вещи можно судить двояко, то есть о каждой вещи есть два противоположных мнения. Софисты учили людей оценивать одно и то же событие, как положительное и как отрицательное одновременно, таким образом, они приучали людей к широте взглядов.

Софисты в своих рассуждениях использовали разные ошибки, такие как:

В математических вопросах нельзя пренебрегать даже с самыми мелкими ошибками.

Именно эти вопросы я хочу рассмотреть в своей работе, название которой - математические софизмы. Неслучайно я выбрала именно математические софизмы (хотя бывают и логические, и словесные). Они, как мне кажется, более интересны, имеют четкое логическое объяснение, кроме того, с математическими софизмами мы встречаемся намного чаще, чем с обычными. Само понятие математических софизмов предполагает несколько видов софизмов, ведь в математические можно включить и алгебраические, и геометрические, и простейшие арифметические.

Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть - и далее подтвердить это, - что, следуя этому методу, мы достигнем цели.

Софизм - (от греческого sophisma – уловка, ухищрение, выдумка, головоломка), умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям. Каким бы ни был софизм, он всегда содержит одну или несколько замаскированных ошибок.

Что же такое математический софизм? Математический софизм - удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. История математики полна неожиданных и интересных софизмов, разрешение которых порой служило толчком к новым открытиям. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записи чертежей, за законностью математических операций. Очень часто понимание ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях. Софизмы не приносят пользы, если их не понимать.

Что касается типичных ошибок в софизмах, то они таковы: запрещенные действия, пренебрежение условиями теорем, формул и правил, ошибочный чертеж, опора на ошибочные умозаключения. Нередко, ошибки, допущенные в софизме, настолько умело скрыты, что даже опытный математик не сразу их выявит. Именно в этом и проявляется связь математики и философии в софизмах. На самом деле, софизм- гибрид не только математики и философии, но и логики с риторикой. Основные создатели софизмов – древнегреческие ученые-философы, но тем не менее, они создавали математические софизмы, основываясь на элементарных аксиомах, что еще раз подтверждает связь математики и философии в софизмах. Кроме того, очень важно правильно преподнести софизм, так, чтобы докладчику поверили, а значит, необходимо владеть даром красноречия и убеждения. Группа древнегреческих ученых, начавшая заниматься софизмами как отдельным математическим явлением, назвала себя софистами.

В истории развития математики софизмы играли существенную роль:

1) Они способствовали повышению строгости математических рассуждений и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики.

2) Роль софизмов в развитии математики сходна с той ролью, какую играют непреднамеренные ошибки в математических исследованиях, допускаемые даже выдающимися математиками.

3) Именно уяснение ошибок в математических рассуждениях часто содействовало развитию математики.

Чем полезны софизмы и что они дают?

Разбор софизмов прежде всего развивает логическое мышление, то есть прививает навыки правильного мышления. Обнаружить ошибку – это значит осознать её, а осознание ошибки предупреждает от повторения её в других математических рассуждениях. Что особенно важно, разбор софизмов помогает сознательному усвоению изучаемого материала, развивает наблюдательность, вдумчивость и критическое отношение к тому, что изучается. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперёд, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записей и чертежей, за допустимостью обобщений. Всё это нужно и важно.

Наконец, разбор софизмов увлекателен. Чем труднее софизм, тем большее удовлетворение доставляет его анализ.

Разбор и решение любого рода математических задач, а в особенности нестандартных, помогает развивать смекалку и логику. Математические софизмы относятся именно к таким задачам. В этом разделе работы я рассмотрю два типа математических софизмов: алгебраические и геометрические.

Возьмём верное равенство:

Возведём его по частям в квадрат.

Мы получим: 1 р. = 10 000 к.

Возведение в квадрат величин не имеет смысла. В квадрат возводятся только числа.

Попытаемся доказать, что 5 = 6. С этой целью возьмём числовое тождество:

35 + 10 – 45 = 42 + 12 – 54.

Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки. Получим:

5 (7 + 2 – 9) = 6 (7 + 2 – 9).

Разделим обе части этого равенства на общий множитель (заключённый в скобки).

Общий множитель (7 + 2 – 9) равен 0, а делить на 0 нельзя.

Имеем числовое равенство (верное): 4 : 4 = 5 : 5 .

Вынесем за скобки в каждой части его общий множитель.

Получим: 4 (1 : 1) = 5 (1 : 1).

Числа в скобках равны, поэтому 4 = 5, или 2 · 2 = 5.

Где здесь ошибка?

Ошибка допущена в вынесении общего множителя за скобки в левой и правой частях тождества 4 : 4 = 5 : 5.

Из чисел 5 и 1 по отдельности вычтем одно и то же число 3.

Получим числа 2 и – 2.

При возведении в квадрат этих чисел получаются равные числа

4 И 4. Значит, должны быть равны и исходные числа 5 и 1.

Из равенства квадратов двух чисел не следует, что сами эти числа равны.

Имеем числовое равенство (верное):

16 – 36 = 25 – 45; 16 – 36 + 20,25 = 25 – 45 + 20,25;

(4 – 4,5)2 = (5 – 4,5)2; 4 – 4,5 = 5 – 4,5;

(4 – 4,5)2 = (5 – 4,5)2 ↔ |4 – 4,5| = |5 – 4,5|.

7. Любое число равно его половине.

Возьмём два равных числа a и b, a = b. Обе части этого равенства умножим на a и затем вычтем из произведений по b2. Получим:

a2 – b2 = ab – b2, или (a + b) (a – b) = b (a – b).

Отсюда a + b = b, или a + a = a, так как b = a.

Значит, 2a = a, a = .

Нельзя делить на (a – b), так как (a – b) = 0.

8. Расстояние от Земли до Солнца равно толщине волоска .

Пусть a (м) – расстояние от Земли до Солнца, а b (м) – толщина волоска. Среднее арифметическое их обозначим через v. Имеем:

a + b = 2v, a = 2v – b, a – 2v = – b. Перемножив по частям два последних равенства, получаем:

a2 – 2av = b2 – 2bv. Прибавим к каждой части v2. Получим:

a2 – 2av + v2 = b2 – 2bv + v2, или (a – v)2 = (b – v)2, т.е.

(a – v) = (b – v), и, значит, a = b.

Где здесь ошибка?

Ошибка как в примере №6.

9. Любое число = 0.

Каково бы ни было число a, верны равенства:

(+a)2 = a2 и ( – a )2 = a2. Следовательно, (+a)2 = ( – a )2, а значит,

+a = – a, или 2a = 0, и поэтому a = 0.

Ошибка как в примере №6.

10. Из двух неравных чисел первое всегда больше второго.

Пусть a и b – произвольные числа и a ≠ b. Имеем:

(a – b)2 > 0, т.е. a2 – 2ab – b2 > 0, или a2 + b2 > 2ab.

К обеим частям этого неравенства прибавим – 2 b 2 . Получим:

a2 – b2 > 2ab – 2b2, или (a + b) (a – b) > 2b (a – b).

После деления обеих частей на (a – b) имеем:

a + b > 2b, откуда следует, что a > b.

Где допущена ошибка?

При делении обеих частей неравенства (a + b) (a – b) > 2b (a – b)

на (a – b) знак неравенства может измениться на противоположный (если a – b .

1. Загадочное исчезновение.

Куда исчезла 13-я линия?

13-я линия удлинила каждую из оставшихся на 1/12 своей длины .

2. Земля и апельсин

Вообразим, что земной шар обтянут по экватору обручем и что подобным же образом обтянут и апельсин по его большому кругу. Далее вообразим, что окружность каждого обруча удлинилась на 1м. Тогда обручи отстанут от поверхности тел и образуют некоторый зазор.

Где зазор будет больше: у апельсина или у Земли?

Пусть длина окружности земного шара = C, а апельсина с метрам. Тогда радиус Земли R = C/2p и радиус апельсина r = c/2 p. После прибавки к радиусам 1 метра окружность обруча у Земли будет C + 1, а у апельсина c + 1. Радиусы их соответственно будут: (C + 1)/2p и (c + 1)/2 p. Если из новых радиусов вычтем прежние, то получим в обоих случаях одно и то же.

(C + 1)/2p - C/2p = 1/2p - для Земли,

(c + 1)/2p - c/2p = 1/2p - для апельсина

Итак, у Земли и у апельсина получается один и тот же зазор

в 1/2p метра (примерно 16 см)

3. Искусная починка

В дне деревянного судна во время плавания случилась прямоугольная пробоина в 13 см длины и 5 см ширины, т.е. площадь пробоины = 65 см2. Судовой плотник взял квадратную дощечку со стороной квадрата 8 см (т.е. площадь = 64 см2), разрезал её прямыми линиями на четыре части A, B, C, D так, как показано на рисунке 2, а затем сложил их так, что получился прямоугольник, как раз соответствующий пробоине, см. рисунок 3. Этим прямоугольником он и заделал пробоину. Вышло, что плотник сумел квадрат в 64 см2 обратить в прямоугольник с площадью 65 см2.

Как такое могло получиться?

Легко видеть, что получившиеся при разрезании квадрата треугольники A и B равны между собой. Также равны и трапеции C, D. Меньшее основание трапеций и меньший катет треугольников равны 3 см и поэтому должны совпасть при совмещении треугольника A с трапецией C и треугольника B с трапецией D. В чём же секрет? Дело в том, что точки G, H, E не лежат на одной прямой, tg Ð EHK = 8/3 , а tg Ð HGJ = 5/2. Так как 8/3 – 5/2 = 1/6 > 0, то Ð EHK > Ð HGJ. Точно так же линия EFG – ломанная. Площадь полученного прямоугольника действительно равна 65 см2, но в нём имеется щель в виде параллелограмма, площадь которого в точности равна 1 см2. Наибольшая ширина щели равна 5 – 3 – (5·3)/8 = 1/8 см. Таким образом плотнику всё равно придётся замазывать небольшую щель.

4. Два перпендикуляра.

Рассуждения опирались на ошибочный чертёж. В действительности полуокружности пересекаются со стороной AC в одной точке, т.е. BE совпадает с BD.

Возьмём прямоугольный треугольник с катетами a и b, гипотенузой c и острым углом a, противолежащим катету a.

Имеем: a = c sin a, b = c cos a, откуда a2 = c2 sin2 a, b2 = c2 cos2 a.

Просуммировав по частям эти равенства, получаем:

a2 + b2 = c2 (sin2 a + cos2 a).

Но sin2 a + cos2 a = 1, и поэтому a2 + b2 = c2 .

Ошибки здесь нет. Но формула sin2 a + cos2 a = 1 сама выводится на основании теоремы Пифагора.

Холодинская Илона Александровна 7 класс г. Ошмяны гоу сош №2 Курьезное и серьезное в числах Гродненская Отклонена реферат

Результаты не превосходят результаты некоторых докладов Рыдзевский Григорий Русланович 11 класс ГУО “Речицкий государственный районный лицей” Числовые треугольники и черырехугольники Гомельская Отклонена Задача с XI РТЮМ.

Тема Рекомендуемые классы

План: Введение Iглава. Теоретические предпосылки развития продуктивного мышления учащихся старших классов на уроках математики продуктивное мышление как философская и психолого-педагогическая проблема,общий подход к понятию

Проблема развития продуктивного мышления учащихся актуальна во все времена существования и развития человечества. Это основа умственного воспитания и условие всестороннего развития личности.

Избранные главы

В.И. Игошин, доктор педагогических наук, кандидат физико-математических наук, профессор Саратовского государственного университета имени Н.Г. Чернышевского;

Функция "чтения" служит для ознакомления с работой. Разметка, таблицы и картинки документа могут отображаться неверно или не в полном объёме!

Выполнила: Овчинникова Влада

Руководитель: РезвановаЖ.Б Г. Пермь. 2007 годСОДЕРЖАНИЕ.

Софизм как понятие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Экскурс в историю. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Алгебраические софизмы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

Геометрические софизмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Арифметические софизмы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Список литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Читайте также: