Реферат на тему квадрат
Обновлено: 02.07.2024
- Для учеников 1-11 классов и дошкольников
- Бесплатные сертификаты учителям и участникам
Квадрат, его свойства и признаки.
Определение. Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.
Для квадрата можно ввести несколько определений. Самое ёмкое мы уже привели. Но можно определить квадрат следующим образом:
Квадратом называется четырёхугольник, у которого все стороны равны, а углы прямые.
Квадратом называется параллелограмм, у которого все стороны и углы равны.
Квадратом называется ромб, у которого все углы прямые.
Поскольку квадрат является и параллелограммом, и прямоугольником, и ромбом, то он обладает теми же свойствами, что и все перечисленные четырёхугольники.
У квадрата диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
У квадрата диагонали взаимно перпендикулярны.
У квадрата диагонали являются биссектрисами его углов.
У квадрата диагонали равны.
У квадрата стороны являются высотами.
Каждая диагональ квадрата делит его на равные прямоугольные треугольники.
Теперь определим признаки квадрата.
ТЕОРЕМА ( I признак). Если в прямоугольнике две его смежные стороны равны, то он является квадратом.
Дано: – прямоугольник
Доказать: – квадрат.
Доказательство.
Так как – прямоугольник, то у него противолежащие стороны равны.
– квадрат (по определению), ч.т.д.
ТЕОРЕМА ( II признак). Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны, то этот прямоугольник является квадратом.
Дано: – прямоугольник
Доказать: – квадрат.
Доказательство.
Рассмотрим .
по свойству диагоналей прямоугольника, значит, – медиана (по опред-нию).
– высота , т.к. . Значит, в является и медианой и высотой, поэтому этот треугольник является равнобедренным (по признаку равнобедренного треугольника), т.е. . Согласно I признаку квадрата, прямоугольник является квадратом, ч.т.д.
ТЕОРЕМА ( III признак). Если в прямоугольнике одна из диагоналей является биссектрисой его угла, то такой прямоугольник является квадратом.
Дано: – прямоугольник
– биссектриса
Доказать: – квадрат.
Доказательство.
Так как – биссектриса , то .
по свойству внутренних накрест лежащих углов при параллельных прямых. Значит, , следовательно – равнобедренный, и . По I признаку квадрата, прямоугольник является квадратом, ч.т.д.
ТЕОРЕМА ( IV признак). Если в ромбе диагонали равны, то этот ромб является квадратом.
Доказать: – квадрат.
Доказательство.
Рассмотрим и .
по III признаку равенства треугольников. Значит, все соответствующие углы у этих треугольников равны, т.е. . Эти углы являются внутренними односторонними при параллельных прямых и , следовательно, их сумма равна , т.е. , а, значит, и . Так как в ромбе противолежащие углы равны, то и все остальные углы также равны по . Значит, такой ромб является квадратом, ч.т.д.
ТЕОРЕМА ( V признак). Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны и равны, то такой параллелограмм является квадратом.
Дано: – параллелограмм
Доказать: – квадрат.
Доказательство.
Так как , то по II признаку ромба, параллелограмм является ромбом.
Так как , то по IV признаку квадрата, ромб является квадратом, ч.т.д.
ТЕОРЕМА ( VI признак). Если в четырёхугольнике диагонали равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырёхугольник является квадратом.
Дано: – четырёхугольник
Доказать: – квадрат.
Доказательство.
1. Так как , то четырёхугольник является параллелограммом (по признаку параллелограмма).
2. Так как , то параллелограмм является квадратом (по V признаку квадрата), ч.т.д.
ТЕОРЕМА ( VII признак). Если в четырёхугольнике все стороны равны и среди внутренних углов есть один прямой угол, то такой четырёхугольник является квадратом.
Дано: – четырёхугольник
Доказать: – квадрат.
Доказательство.
1. Так как , то четырёхугольник является ромбом (по V признаку ромба).
2. Так как , то ромб, который по определению является параллелограммом, является прямоугольником (по III признаку прямоугольника), значит, все углы в этом четырёхугольнике прямые.
3. Итак, прямоугольник , у которого все стороны равны, является квадратом (по определению), ч.т.д.
Итак, признаки квадрата:
Если в прямоугольнике две его смежные стороны равны, то он является квадратом.
Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны, то этот прямоугольник является квадратом.
Если в прямоугольнике одна из диагоналей является биссектрисой его угла, то такой прямоугольник является квадратом.
Если в ромбе диагонали равны, то этот ромб является квадратом.
Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны и равны, то такой параллелограмм является квадратом.
Если в четырёхугольнике диагонали равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырёхугольник является квадратом.
Если в четырёхугольнике все стороны равны и среди внутренних углов есть один прямой угол, то такой четырёхугольник является квадратом.
Периметр квадрата равен см. Найдите сторону квадрата .
На рисунке четырёхугольник – квадрат, . Докажите, что выпуклый четырёхугольник также является квадратом.
На рисунке четырёхугольник – прямоугольник, . Докажите, что выпуклый четырёхугольник является квадратом.
В треугольнике . На сторонах и взяты точки и , а на стороне – точки и так, что четырёхугольник является квадратом, . Найдите .
В треугольнике . На сторонах отмечены точки соответственно так, что четырёхугольник является квадратом, . Найдите .
На сторонах и квадрата отмечены точки и соответственно, . Отрезки и пересекаются в точке . Найдите .
На сторонах квадрата отмечены соответственно точки . Сравните отрезки и .
На катетах и прямоугольного треугольника построены квадраты и . Докажите, что сумма расстояний от точек и до прямой равна .
На катетах и прямоугольного треугольника построены квадраты и . Прямые и пересекаются в точке . Докажите, что .
Длина проекции одной из сторон квадрата на его диагональ равна . Найдите длину диагонали.
В четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны.
Дан квадрат . Докажите, что – квадрат.
Дан квадрат . Докажите, что – ромб.
Дан квадрат . На стороне взята точка такая, что . Докажите, что точки – вершины равнобедренного треугольника.
Дан квадрат . Точки – середины его сторон соответственно. Докажите, что .
Дан квадрат . Точки и делят его стороны и так, что . Докажите, что .
Квадраты и имеют общую вершину . Докажите, что медиана треугольника перпендикулярна отрезку .
Внутри квадрата взята точка так, что . Докажите, что треугольник равносторонний.
На рисунке – квадрат, точка принадлежит , точка принадлежит , точка принадлежит , прямые и пересекаются в точке . Докажите, что .
В равнобедренный прямоугольный треугольник, каждый катет которого равен см, вписан квадрат, имеющий с ним один общий угол. Найдите периметр квадрата.
В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие – на катетах. Определите сторону квадрата, если известно, что гипотенуза равна 30 дм.
В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Определите стороны этого прямоугольника, зная, что одна из них втрое больше другой и что диагональ квадрата равна дм.
В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Определите стороны этого прямоугольника, зная, что одна из них вдвое больше другой и что диагональ квадрата равна см.
Точка расположена во внутренней области квадрата так, что расстояния от неё до сторон и пропорциональны соответственно числам и , а расстояние от до прямой равно см. Найдите периметр этого квадрата.
Точка расположена во внутренней области квадрата так, что расстояния от неё до сторон и пропорциональны соответственно числам и , а расстояние от до прямой равно м. Найдите периметр этого квадрата.
Точка лежит на стороне квадрата . Высоты треугольников и , проведённые из точки , равны соответственно и . Найдите произведение длин диагоналей этого квадрата.
Точка расположена во внутренней области квадрата так, что расстояния от неё до сторон и пропорциональны соответственно числам и , а расстояние от до прямой равно м. Найдите периметр этого квадрата.
Точка лежит на стороне квадрата . Высоты треугольников и , проведённые из точки , равны соответственно и . Найдите произведение длин диагоналей этого квадрата.
На сторонах и квадрата отмечены точки и соответственно так, что . Определите взаимное расположение прямых и .
В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат , имеющий с ним общий угол . Найдите периметр квадрата, если катет треугольника равен см.
Внутри квадрата отмечена такая точка , что треугольник равносторонний. Найдите угол .
В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат , имеющий с ним общий прямой угол. Найдите катет треугольника, если периметр квадрата равен см.
Внутри квадрата отмечена такая точка , что треугольник равносторонний. Найдите угол .
Через вершины квадрата проведены прямые, параллельные его диагоналям. Определите вид образованного ими четырёхугольника и вычислите его периметр, если диагональ квадрата равна см.
Через точку – точку пересечения диагоналей квадрата проведена прямая, параллельная стороне и пересекающая стороны и в точках и соответственно. Найдите периметр квадрата, если известно, что .
Читайте также: