Реферат на тему компланарные векторы

Обновлено: 05.07.2024

Векторы называются компланарными, если лежат в одной или параллельных плоскостях.

Это определение справедливо только для трех и более векторов, так как для двух направленных отрезков всегда можно найти плоскость, параллельную им.

Условия компланарности и линейная зависимость векторов

Среди условий компланарности векторов встречается понятие линейной зависимости, которое следует разобрать перед тем, как перейти непосредственно к условиям.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Линейная зависимость

Линейно зависимыми называются вектора $\overline,\;\overline,\;\dots\;,\;\overline\;$ , которые можно составить в линейную комбинацию, равную нулю: $\lambda_1\cdot\overline+\;\lambda_2\cdot\overline+\dots+\;\lambda_n\overline\;=0.$

Линейная комбинация — вектор, составленный из суммы векторов $\overline,\;\overline,\;\dots\;,\;\overline\;$ и коэффициентов разложения $\lambda_\;\lambda_2,\;\dots\;,\;\lambda_n.$

Существует пять критериев и свойств линейной зависимости векторов:

Хотя бы один из векторов можно представить в виде линейной комбинации других.
В n-мерном пространстве любые n+1 векторов линейно зависимы.
Хотя бы один из векторов — нулевой.
Если часть системы векторов линейно зависимы, то это справедливо и для остальных.
Если одна система векторов может быть выражена через другую и содержит больше векторов, то такая система линейно зависима.

Условия компланарности

Для неограниченного числа векторов справедливо следующее: если среди них есть не более двух линейно независимых векторов, то они компланарны.

На практике чаще всего встречаются задачи с тройками векторов. Для них существуют и другие условия компланарности:

Если три вектора линейно зависимы, то они компланарны.
Смешанное произведение компланарных векторов равняется нулю.

Теоремы, связанные с условием компланарности трех векторов

Правило, согласно которому три вектора компланарны, если их смешанное произведение равно нулю, проистекает из теоремы. Его также называют признаком и критерием компланарности векторов. Доказать данное утверждение можно следующим образом:

Пусть смешанное произведение $(\overline a\times\overline b)\cdot\overline c=0$ . Векторы $(\overline a\times\overline b)$ и $\overline c$ — перпендикулярны, так как их скалярное произведение равняется нулю.

В то же время, результатом векторного произведения является вектор, перпендикулярный перемножаемым. Таким образом, векторы \overline a,\overline b,\overline c перпендикулярны одному и тому же вектору (\overline a\times\overline b), то есть лежат в параллельных плоскостях. Значит, векторы компланарны.

Для проверки, к доказательству данной теоремы можно подойти с другой стороны:

Пусть векторы \overline a,\overline b,\overline c компланарны.

Необходимо доказать, что их смешанное произведение $(\overline a\times\overline b)\cdot\overline c$ равняется нулю. Так как данные вектора компланарны, то $(\overline a\times\overline b)$ перпендикулярен каждому из них.

Отсюда следует, что его скалярное произведение с вектором \overline c будет равняться нулю. Это, в свою очередь, означает, что смешанное произведение $(\overline a\times\overline b)\cdot\overline c=0.$

Пример задачи на компланарность векторов

Задача

Даны точки A(1, 2, -1), B(0, -1, 5), C(-1, 2, 1) и D(2, 1, 3). Проверить, принадлежат ли они одной плоскости.

Решение

Сперва необходимо построить на основе имеющихся точек векторы $\overline,\;\overline,\;\overline:$

Чтобы проверить, принадлежать ли точки одной плоскости, необходимо найти смешанное произведение полученных векторов. Если оно равняется нулю, то векторы компланарны, следовательно, точки лежат в одной плоскости. В противном случае ответ на поставленный в условии вопрос будет отрицательным.

Смешанное произведение рассчитывается по формуле нахождения определителя матрицы:

Полученное число не равно нулю, следовательно, векторы некомпланарны. Это значит, что точки не лежат в одной плоскости.

векторы, которые параллельны одной плоскости или лежат на одной плоскости, называются компланарными векторами .

три вектора называются компланарными , если они, будучи приведёнными к общему началу, лежат в одной плоскости.

Всегда возможно найти плоскость, параллельную двум произвольным векторам, поэтому любые два вектора всегда компланарные.

1. Любые два вектора находятся в одной плоскости, но в одной плоскости можно разместить и векторы AA 1 → , CC 1 → и AD → , то есть, эти векторы компланарны. Также компланарны векторы AA 1 → , AB → и CC 1 → , так как два из этих векторов параллельны. Легко представить, что если привести их к общему началу, то вектор CC 1 → совпадёт с вектором AA 1 → .

2. Например, векторы AB → , AD → и AA 1 → не компланарны, так как их нельзя разместить в одной и той же плоскости.

пусть векторы a → и b → не коллинеарны. Если для вектора c → существует единственная пара реальных чисел $x$ и $y$, такая, что c → = x ⋅ a → + y ⋅ b → , то векторы a → , b → и c → компланарны.

если три вектора a → , b → и c → компланарны и векторы a → и b → не коллинеарны, то вектор c → можно разложить по векторам a → и b → одним-единственным образом.

Если разложить вектор AC → по векторам AA 1 → и AA 2 → , то это можно сделать одним-единственным образом: AC → = AB → + AD → = x ⋅ AA 1 → + y ⋅ AA 2 → .

3. Диагональ параллелепипеда, которая выходит из этой же точки, изображает суммы векторов AB → , AD → и AA 1 → .

Теорема о разложении по базису в пространстве
Любой вектор d → можно разложить по трём данным некомпланарным векторам a → , b → и c → , причём реальные коэффициенты разложения $x$, $y$ и $z$ определяются единственным образом: A C 1 → = AD → + AB → + A A 1 → = x ⋅ AA 2 → + y ⋅ AA 3 → + z ⋅ AA 4 → .

ГОСТ

Понятие компланарности векторов

Для начала рассмотрим, какие вектора называются компланарными.

Два вектора, которые параллельны одной плоскости называются компланарными.

Рассмотри, компланарны ли векторы a, b и c на следующем примере. Пусть нам даны три вектора $\overrightarrow,\ \overrightarrow$ и $\overrightarrow$. Тогда

Пары векторов $\overrightarrow,\ и\ \overrightarrow$, $\overrightarrow$ и $\overrightarrow$ и $\overrightarrow$ и $\overrightarrow$ компланарны между собой.

Если два из этих векторов, к примеру $\overrightarrow,\ и\ \overrightarrow$, коллинеарны, то векторы $\overrightarrow,\ \overrightarrow$ и $\overrightarrow$ компланарны.

Если $\overrightarrow,\ \overrightarrow$ и $\overrightarrow$ лежат в одной плоскости, то они компланарны.

Для дальнейшего рассмотрения напомним следующую теорему.

Произвольный вектор $\overrightarrow

$ можно разложить по двум неколлинеарным векторам $\overrightarrow,\ $ и $\overrightarrow$ с единственными коэффициентами разложения, то есть

Теоремы, связанные с условием компланарности трех векторов

Если один из трех данных векторов можно разложить по двум другим векторам, то есть

Доказательство.

Здесь возможны два случая.

Теорема доказана.

Готовые работы на аналогичную тему

Доказательство.

\[\overrightarrow=\alpha \overrightarrow+\beta \ \overrightarrow\]

Причем это разложение единственно.

Которое также единственно.

Теорема доказана.

Признак и критерий компланарности векторов

Рисунок 1. Условие компланарности векторов. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример задачи

Пусть нам дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Разложите вектор $\overrightarrow$ по векторам $\overrightarrow\ и\ \overrightarrow$.

Рисунок 2. Разложение по векторам. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Решение.

Так как плоскости $(ABC)$ и $<(A>_1B_1C_1)$ параллельны, и векторы $\overrightarrow$, $\overrightarrow\ и\ \overrightarrow$ параллельны, следовательно, по определению являются компланарными. Тогда, по теореме 1, вектор $\overrightarrow$ можно разложить по векторам $\overrightarrow\ и\ \overrightarrow$ единственным образом.

Используя свойства сложения двух векторов, получим

Ответ: $\overrightarrow+\overrightarrow$.

Пусть нам дан параллелепипед. Найти тройки компланарных векторов, изображенных в параллелепипеде на рисунке ниже.

Рисунок 3. Параллелепипед. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Решение.

Так как векторы $\overrightarrow,\ \overrightarrow$ и $\overrightarrow$ лежат в плоскости $(BOA)$ то эти векторы являются компланарными.

Так как векторы $\overrightarrow,\ \overrightarrow$ и $\overrightarrow_1>$ лежат в плоскости $(BOC)$ то эти векторы являются компланарными.

Так как векторы $\overrightarrow,\ \overrightarrow$ и $\overrightarrow$ лежат в плоскости $(COE)$ то эти векторы являются компланарными.

Доказать, что векторы с координатами $\left(1,\ 13,\ 2\right),\ \left(3,\ -5,\ 2\right)и\ (5,-1,4)$ компланарны.

Решение.

Применим признак компланарности трех векторов.

Рисунок 4. Нахождение определителя. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Коллинеарные и компланарные векторы: основные определения

Сформулируем и запишем основные определения по данной теме.

Компланарные вектора - это вектор или несколько векторов, которые расположены на одной плоскости либо располагаются параллельно ей.

Компланарность характерна всегда двум любым, на выбор, векторам. Так как всегда можно вычистить плоскость, которой будет параллельны произвольные вектора.

Обратное утверждение компланарности.

Коллинеарность векторов - это принцип соотношения параллельности векторов. Два вектора с нулевым значением, будут иметь коллинеарность, при условии, что они находятся (лежат) на параллельной прямой или на одной плоскости с ней.

Главные условия и класс компланарности векторов

Если произведение трех векторов равно нулевому значению. Данные вектора можно характеризовать как компланарные.
Когда три любых вектора независимы друг от друга, то они будут компланарными.
Когда задано несколько векторов, выполняется условие: компланарность будет характерна, для двух любых векторов, если они линейно друг от друга зависимы.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Примеры решения задач, для определения компланарности заданных векторов

Для более лучшего восприятия материала, необходимо применить правила компланарности и коллинеарности при решении практических задач. Для этого решим, и подробно распишем три конкретных примера.

Пример №1:

В условии задачи даны три вектора со следующими числовыми значениями.

При условии, что произведение векторов будет равняться нулевому значению, можно сделать вывод о компланарности векторов.

Определяем произведение заданных значений.

Запишем все значения в виде матрицы и решим ее, применяя правила произведения и разности чисел.

Так как окончательный ответ не равен нулю, а равен значению два. Следует, что вектора не являются компланарными.

Пример №2:

Заданы три вектора с положительными и отрицательными значениями. Необходимо составить и решить матрицу чисел.

Для решения задачи, нужно вычислить произведение значений векторов.

Выполнив все действия по вычислению произведения данных, мы видим, что ответ уравнения равен нулю.

Согласно основному правило компланарности, можно сделать вывод, что вектора ему соответствую. То есть являются компланарными между собой.

Пример №3:

Запишем четыре вектора, со следующими значениями.

Начинаем решение примера с преобразования заданных значений и записи их в виде матрицы.

Далее находим разность между второй и первой строки. Первую умножаем на третью и находим разность полученных значений и четвертой строки.

Следующим шагом решения будет сумма третьей и второй строки матрицы.

Составим и запишем следующую матрицу:

(0+0 (-1)+1 1+(-1)) ( 0 0 0)

Проанализировав записанную матрицу, можно сказать, что в ней только две строки с нулевым значением. Следовательно, только два вектора будут компланарны, а остальные нет.

Читайте также: