Реферат на тему интегрирование тригонометрических функций

Обновлено: 02.07.2024

Собрала для вас похожие темы рефератов, посмотрите, почитайте:

Введение

Я заинтересовался этой темой, потому что хотел узнать больше о тригонометрии и особенно о ее истории.

Я поставил перед собой цель: определить на основе отобранного материала, где тригонометрия, за исключением школьного курса, встречается в решении проблем и идентичностей.

Прочитав литературу, я узнал, что тригонометрические вычисления используются практически во всех областях геометрии, физики и технологии. Большое значение имеет метод триангуляции, который может быть использован для измерения расстояний до далеких звезд в астрономии, между географическими достопримечательностями для управления спутниковыми навигационными системами.

Также стоит отметить применение тригонометрии в таких областях, как теория музыки, акустика, оптика, анализ финансового рынка, электроника, теория вероятности, статистика, биология, медицина (в том числе ультразвук и компьютерная томография), фармация, химия, теория чисел (и), как следствие криптографии), сейсмологии, метеорологии, океанографии, картографии, многих областях физики, топографии и геодезии, архитектуры, фонетики, экономики, электротехники, машиностроения, компьютерной графики, кристаллографии, а также я узнал много нового, чего раньше не знал.

По истории тригонометрии

Тригонометрия — греческое слово и буквально означает измерение треугольников (Триггунон — треугольник и измерение Метрю).

В этом случае под измерением треугольников следует понимать треугольное решение, т.е. определение сторон, углов и других элементов треугольника, если даны некоторые из них. Большое количество практических задач, но также и задачи планаметрии, стереометрии, астрономии и другие даны задачам решения треугольников.

Появление тригонометрии связано с астрономией и строительством.

Хотя название науки появилось сравнительно недавно, многие понятия и факты, связанные с тригонометрией, были известны уже две тысячи лет назад.

Решения для треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были впервые найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (II в. до н.э.) и Клавдием Птолемеем (II в. н.э.). Позже отношения между сторонами треугольника и его углами стали называться тригонометрическими функциями.

В долгой истории существует понятие синуса. Фактически, различные соотношения сечений треугольника и круга (а по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в III в. до н.э. в трудах великих математиков Древней Греции — Евклида, Архимеда, Аполлонии Пергусской. В римский период эти отношения систематически изучались Менелаем (I в. н.э.), хотя конкретное название им не давалось. Современный синус a, например, изучался как полуаккорд, на котором центральный угол лежит в размере a, или как двухдуговой аккорд.

Уже в IV-V веке в астрономических трудах великого индийского ученого Ариабхаты, чье имя было дано первому индийскому спутнику Земли, существовал особый термин. Он назвал отрезок АМ (рис. 1) аргаджива (арга — половина, джива — луковая струна, которая напоминает аккорд). Позже появилось более короткое имя Джива. Арабские математики в IX в. заменили это слово на арабское слово jib (выпуклость). В переводе арабских математических текстов в этом столетии он был заменен на латинский синус (синус — кривизна, изгиб).

Касательные появились в связи с решением задачи определения длины тени. Тангент (как и кокангент) был введен в X. столетие арабский математик Абу-л-Вафа, который создал первые таблицы для нахождения тангенса и кокангента. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенты были заново открыты только в XIV веке немецким математиком и астрономом Реджимонтаном (1467 г.). Он доказал теорему о тангенте. Regimontan также сделал подробные тригонометрические таблицы, благодаря его работам плоские и сферические тригонометрии стали отдельной дисциплиной в Европе.

Дальнейшее развитие тригонометрии состоялось в трудах выдающегося астронома Николая Коперника (1473-1543) — создателя мировой гелиоцентрической системы Тихо Браге (1546-1601) и Иоганна Кеплера (1571-1630), а также в трудах математика Франсуа Виета (1540-1603), который полностью решил задачу определения всех элементов плоского или сферического треугольника на три даты.

Долгое время тригонометрия была чисто геометрической. Факты, которые мы сейчас формулируем в виде тригонометрических функций, были сформулированы и доказаны с помощью геометрических концепций и высказываний. Так было уже в средние века, хотя иногда использовались аналитические методы, особенно после появления логарифмов. Пожалуй, наибольший стимул для развития тригонометрии возник в связи с решением астрономических задач, представлявших большой практический интерес (например, для решения задач определения положения корабля, прогнозирования отключения электроэнергии и т.д.). Астрономов интересовали отношения между сторонами и углами сферических треугольников. И надо сказать, что математики древнего мира успешно справились с поставленными задачами.

С XVII века тригонометрические функции стали использоваться для решения уравнений, задач механики, оптики, электротехники, радиотехники, для описания колебательных процессов, распространения волн, движения различных механизмов, изучения переменного тока и др. Поэтому тригонометрические функции были всесторонне и глубоко исследованы и приобрели значение для всей математики.

Аналитическая теория тригонометрических функций была разработана в основном Леонардом Эйлером (1707-1783), выдающимся математиком XVIII века, членом Санкт-Петербургской Академии наук. Большое научное наследие Эйлера включает в себя блестящие результаты, связанные с математическим анализом, геометрией, теорией чисел, механикой и другими математическими приложениями. Именно Эйлер первым ввел известные определения тригонометрических функций, начал рассматривать функции любого угла, и получил формулы редукции. По словам Эйлера, тригонометрия получила форму расчета: различные факты стали доказываться формальным применением формул тригонометрии, доказательства стали намного компактнее.

Таким образом, тригонометрия, зародившаяся как наука о разрешении треугольников, со временем переросла в науку о тригонометрических функциях.

Тригонометрические функции

Элементарные функции, которые исторически возникали при взгляде на прямоугольные треугольники и выражают зависимость сторон этих треугольников от острых углов гипотенузы (или, эквивалентно, зависимость аккордов и высоты от центрального угла в круге). Эти функции нашли самое широкое применение в различных областях науки. В результате было расширено определение тригонометрических функций, и их аргументом теперь может быть любое реальное или даже сложное число.

Наука, изучающая свойства тригонометрических функций, называется тригонометрией.

Ссылка на тригонометрические функции:

Во-первых, прямые тригонометрические функции:

Во-вторых, противоположные тригонометрические функции:

В-третьих, производные тригонометрические функции:

В западной литературе загар х, кроватка х, цхх называются загаром, кроватка х, цхх.

В дополнение к этим шести, существуют также некоторые редко используемые тригонометрические функции (верна и т.д.) и обратные тригонометрические функции (арксин, аркозин и т.д.), которые рассматриваются в отдельных статьях.

Синусоидальный и косинусоидальный вещественные аргументы являются периодически непрерывными и бесконечно дифференцируемыми вещественными функциями.

Остальные четыре функции на реальной оси также являются материально значимыми, периодическими и бесконечно различимыми в областях определения, но не непрерывными.

Тангенты и секанты имеют паузы второго поколения на ±rp, в то время как катангенсы и секанты имеют паузы на ±rp.

Геометрическое определение

Обычно тригонометрические функции определяются геометрически. Укажем декартовую систему координат на плоскости и сформируем окружность радиусом R, центр которой находится в начале координат O. Измеряем углы как вращения от положительного направления оси абсциссы к акустическому пучку. Направление против часовой стрелки считается положительным, направление по часовой — отрицательным. Если мы обозначим абсциссой точку B с xB, то мы обозначим ординату с yB.

Понятно, что значения тригонометрических функций не зависят от радиуса окружности R из-за свойств подобных фигур.

Следует также отметить, что этот радиус часто принимается равным значению одного сечения.

Исходя из этого, синус является просто ординатой yB, а косинус — абсциссой xB.

Если b является вещественным числом, то в математическом анализе синус b называется угловым синусом, радиан которого равен b, аналогично другим тригонометрическим функциям.

Рассмотрим графическое изображение этого явления на рисунке 3.

Определение тригонометрических функций как решений дифференциальных уравнений, уравнений функций и по ряду

Во многих учебниках элементарной геометрии тригонометрические функции острого угла до сих пор определялись как отношения сторон прямоугольного треугольника. Пусть ОАБ будет треугольником с углом b.

Ну, тогда:

Синус угла b называется отношением AB/OB (отношение противоположного катетера к гипотенузе);
Козин угла b называется отношением OA/OB (отношение смежного катетера к гипотенузе);
Касательная угла b называется отношением AB/OA (отношение противоположного катетера к соседнему катетеру);
Катангензис угла b называется отношением OA/AB (отношение смежного катетера к противоположному катетеру);
Секанс угла b называется отношением ОВ/ОА (отношение гипотенузы к соседнему катетеру);
Угол cosecansome b называется отношением OV/AB (отношение гипотенузы к контркатетеру).

После того, как мы построили систему координат с началом в точке О, изменили направление оси абсциссы вдоль ОА и, при необходимости, ориентацию треугольника (перевернув его) так, чтобы он лежал в первой четверти системы координат, а затем построили окружность с радиусом, равным гипотенусе, сразу замечаем, что такое определение функций приводит к тому же результату, что и предыдущее.

На основании геометрии и свойств предельных значений можно доказать, что производная синуса равна косинусу, а производная косинуса равна минус синус. Затем можно использовать преимущества теории рядов Тейлора и представить синус и косинус как сумму степенных рядов.

Самые простые личности

Тригонометрические тождества — это математические выражения для тригонометрических функций, которые выполняются по всем значениям аргумента (из общего диапазона определений).

Поскольку синус и косинус являются ординатой и абсциссой точки, соответствующей единичной окружности впадин, то в соответствии с уравнением единичной окружности или пифагорейской теоремой.

Это соотношение называется базовой тригонометрической идентичностью.

Мы делим это уравнение на квадрат косинуса и синуса.

Синус и косинус являются непрерывными функциями. У тангентов и секантов есть точки перелома: катангенез и косекансы.

Где f — произвольная тригонометрическая функция, g — соответствующая ей кофункция (т.е. косинус для синуса, синус для косинуса и подобная для других функций), n — целое число. Полученной функции предшествует знак, который имеет начальную функцию в данной координатной четверти, при условии, что угол b острый.

Формулы для работы с касательными и катангами трех углов получены путем деления правой и левой частей соответствующих уравнений, представленных выше.

Вид одного параметра.

Все тригонометрические функции могут быть выражены полукруглым касательным.

Производные и интегралы

Все тригонометрические функции непрерывно и бесконечно дифференцируются по всему диапазону определения:

Интегралы тригонометрических функций в домене выражаются элементарными функциями следующим образом.

Большинство из вышеперечисленных свойств тригонометрических функций были сохранены даже в сложном случае.

Некоторые дополнительные свойства: тригонометрическое уравнение идентичности:

Сложные синусоидальные и косинусоидальные значения, в отличие от реальных, могут принимать любое количество значений модуля;
Все нули сложного синуса и косинуса лежат на оси материала.

Заключение

В данной работе были выполнены все задачи: получены более подробные сведения о тригонометрических функциях, приведены доказательства теорем косинуса и синуса, а также теоремы о площади треугольников, применены при решении задач по нахождению неизвестных элементов треугольника, научились применять эти теоремы при измерении работы на местности. Представленные проблемы представляют большой практический интерес, закрепляют полученные знания в области геометрии и могут быть использованы в практической работе.

Список литературы

Образовательный сайт для студентов и школьников

Последний интеграл вычислим, пользуясь рекуррентной формулой: Прибавим и вычтем из правой части последнего равенства. В сокращенной записи последнее равенство принимает вид: Применим метод интегрирования по частям, учитывая, что. Учтем также, что. Тогда интеграл преобразуется к виду: Воспользуемся методом подстановки. Пусть, тогда. Выполним подстановку, откуда, ,. Получаем: Вычислим каждый… Читать ещё >

Интегрирование тригонометрических функций ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )

Вначале рассмотрим два достаточно часто встречающихся интеграла.

В общем случае интегралы вида, где — рациональная функция вычисляются с помощью универсальной тригонометрической подстановки:, тогда,. Довольно часто такая подстановка приводит к очень громоздким рациональным функциям, поэтому существует множество частных случаев, когда замена зависит от степеней тригонометрических функций.

Преобразуем знаменатель подынтегральной дроби, используя формулы понижения степени.

Исходный интеграл примет вид:

Выполним замену переменной, тогда. Значит,, откуда. В итоге данный интеграл преобразуется следующим образом:

Представим подынтегральную дробь в виде суммы целого числа и дроби. Данный интеграл равен сумме двух интегралов, первый из которых найдем методом интегрирования по частям.

Применим метод интегрирования по частям, учитывая, что.

Воспользуемся методом подстановки. Пусть, тогда .

Выполним подстановку, откуда, ,. Получаем:

Воспользуемся еще одной заменой:

Упростим дробь под знаком интеграла:

Учтем также, что. Тогда интеграл преобразуется к виду:

11. Вывести формулу понижения для интеграла (n — натуральное число).

Учтем, что, тогда получим:

Заметим, что. Тогда, пользуясь методом интегрирования по частям, получим:

На практике часто приходится вычислять интегралы трансцендентных функций, которые содержат тригонометрические функции. В рамках этого материала мы опишем основные виды подынтегральных функций и покажем, какие методы можно использовать для их интегрирования.

Интегрирование синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Начнем с методов интегрирования основных тригонометрических функций – sin , cos , t g , c t g . Используя таблицу первообразных, сразу запишем, что ∫ sin x d x = - cos x + C , а ∫ cos x d x = sin x + C .

Для вычисления неопределенных интегралов функций t g и c t g можно воспользоваться подведением под знак дифференциала:

∫ t g x d x = ∫ sin x cos x d x = d ( cos x ) = - sin x d x = = - ∫ d ( cos x ) cos x = - ln cos x + C ∫ c t g x d x = ∫ cos x sin x d x = d ( sin x ) = cos x d x = = ∫ d ( sin x ) sin x = ln sin x + C

Как же у нас получились формулы ∫ d x sin x = ln 1 - cos x sin x + C и ∫ d x cos x = ln 1 + sin x cos x + C , взятые из таблицы первообразных? Поясним только один случай, поскольку второй будет понятен по аналогии.

Используя метод подстановки, запишем:

∫ d x sin x = sin x = t ⇒ x = a r c sin y ⇒ d x = d t 1 - t 2 = d t t 1 - t 2

Здесь нам нужно интегрировать иррациональную функцию. Берем тот же метод подстановки:

∫ d t t 1 - t 2 = 1 - t 2 = z 2 ⇒ t = 1 - z 2 ⇒ d t = - z d z 1 - z 2 = = ∫ - z d z z 1 - z 2 · 1 - z 2 = ∫ d z z 2 - 1 = ∫ d z ( z - 1 ) ( z + ) = = 1 2 ∫ d z z - 1 - 1 2 ∫ d z z + 1 = 1 2 ln z - 1 - 1 2 z + 1 + C = = 1 2 ln z - 1 z + 1 + C = ln z - 1 z + 1 + C

Теперь производим обратную замену z = 1 - t 2 и t = sin x :

∫ d x sin x = ∫ d t t 1 - t 2 = ln z - 1 z + 1 + C = = ln 1 - t 2 - 1 1 - t 2 + 1 + C = ln 1 - sin 2 x - 1 1 - sin 2 x + 1 + C = = ln cos x - 1 cos x + 1 + C = ln ( cos x - 1 ) 2 sin 2 x + C = = ln cos x - 1 sin x + C

Отдельно разберем случаи с интегралами, которые содержат степени тригонометрических функций, таких, как ∫ sin n x d x , ∫ cos n x d x , ∫ d x sin n x , ∫ d x cos n x .

О том, как их правильно вычислять, можно прочесть в статье об интегрировании с использованием рекуррентных формул. Если вы знаете, каким образом выведены эти формулы, то легко сможете брать интегралы вроде ∫ sin n x · cos m x d x с натуральными m и n .

Если у нас имеется комбинация тригонометрических функций с многочленами или показательными функциями, то их придется интегрировать по частям. Советуем прочесть статью, посвященную методам нахождения интегралов ∫ P n ( x ) · sin ( a x ) d x , ∫ P n ( x ) · cos ( a x ) d x , ∫ e a · x · sin ( a x ) d x , ∫ e a · x · cos ( a x ) d x .

Наиболее сложными являются задачи, в которых подынтегральная функция включает в себя тригонометрические функции с разными аргументами. Для этого нужно пользоваться основными формулами тригонометрии, так что желательно помнить их наизусть или держать запись под рукой.

Найдите множество первообразных функции y = sin ( 4 x ) + 2 cos 2 ( 2 x ) sin x · cos ( 3 x ) + 2 cos 2 x 2 - 1 · sin ( 3 x ) .

Решение

Воспользуемся формулами понижения степени и запишем, что cos 2 x 2 = 1 + cos x 2 , а cos 2 2 x = 1 + cos 4 x 2 . Значит,

y = sin ( 4 x ) + 2 cos 2 ( 2 x ) sin x · cos ( 3 x ) + 2 cos 2 x 2 - 1 · sin ( 3 x ) = sin ( 4 x ) + 2 · 1 + cos 4 x 2 sin x · cos ( 3 x ) + 2 · 1 + cos x 2 - 1 · sin ( 3 x ) = = sin ( 4 x ) + cos ( 4 x ) + 1 sin x · cos ( 3 x ) + cos x · sin ( 3 x )

В знаменателе у нас стоит формула синуса суммы. Тогда можно записать так:

y = sin ( 4 x ) + cos ( 4 x ) + 1 sin x · cos ( 3 x ) + cos x · sin ( 3 x ) = sin ( 4 x ) + cos ( 4 x ) + 1 sin ( 4 x ) = = 1 + cos ( 4 x ) sin ( 4 x )

У нас получилась сумма 3-х интегралов.

∫ sin ( 4 x ) + cos ( 4 x ) + 1 sin x · cos ( 3 x ) + cos x · sin ( 3 x ) d x = = ∫ d x + cos ( 4 x ) d x sin ( 4 x ) + ∫ d x sin ( 4 x ) = = x + 1 4 ln ∫ d ( sin ( 4 x ) ) sin ( 4 x ) + 1 4 ln cos ( 4 x ) - 1 sin ( 4 x ) = = 1 4 ln sin ( 4 x ) + 1 4 ln cos ( 4 x ) - 1 sin ( 4 x ) + C = x + 1 4 · ln cos 4 x - 1 + C

В некоторых случаях тригонометрические функции, находящиеся под интегралом, можно свести к дробно рациональным выражениям с использованием метода стандартной подстановки. Для начала возьмем формулы, которые выражают sin , cos и t g через тангенс половинного аргумента:

sin x = 2 t g x 2 1 + t g 2 x 2 , sin x = 1 - t g 2 x 2 1 + t g 2 x 2 , t g x = 2 t g x 2 1 - t g 2 x 2

Также нам нужно будет выразить дифференциал d x через тангенс половинного угла:

Поскольку d t g x 2 = t g x 2 ' d x = d x 2 cos 2 x 2 , то

d x = 2 cos 2 x 2 d t g x 2 = 2 d t g x 2 1 cos 2 x 2 = 2 d t g x 2 cos 2 x 2 + sin 2 x 2 cos 2 x 2 = 2 d t g x 2 1 + t g 2 x 2

Таким образом, sin x = 2 z 1 + z 2 , cos x 1 - z 2 1 + z 2 , t g x 2 z 1 - z 2 , d x = 2 d z 1 + z 2 при z = t g x 2 .

Найдите неопределенный интеграл ∫ d x 2 sin x + cos x + 2 .

Решение

Используем метод стандартной тригонометрической подстановки.

2 sin x + cos x + 2 = 2 2 z 1 + z 2 + 1 - z 2 1 + z 2 = z 2 + 4 z + 3 1 + z 2 ⇒ d x 2 sin x + cos x + 2 = 2 d z 1 + z 2 z 2 + 4 z + 3 1 + z 2 = 2 d z z 2 + 4 z + 3

Получим, что ∫ d x 2 sin x + cos x + 2 = 2 d z z 2 + 4 z + 3 .

Теперь мы можем разложить подынтегральную функцию на простейшие дроби и получить сумму двух интегралов:

∫ d x 2 sin x + cos x + 2 = 2 ∫ 2 d z z 2 + 4 z + 3 = 2 ∫ 1 2 1 z + 1 - 1 z + 3 d z = = ∫ d z z + 1 - ∫ C z + 3 = ln z + 1 - ln z + 3 + C = ln z + 1 z + 3 + C

Далее производим обратную замену z = t g x 2 :

∫ d x 2 sin x + cos x + 2 = ln z + 1 z + 3 + C = ln t g x 2 + 1 t g x 2 + 3 + C

Ответ: ∫ d x 2 sin x + cos x + 2 = ln t g x 2 + 1 t g x 2 + 3 + C

Важно отметить, что те формулы, которые выражают фукнции через тангенс половинного аргумента, не являются тождествами, следовательно, получившееся в итоге выражение ln t g x 2 + 1 t g x 2 + 3 + C – это множество первообразных функции y = 1 2 sin x + cos x + 2 только на области определения.

Для решения других типов задач можно использовать основные методы интегрирования.

Представлены основные тригонометрические формулы и основные подстановки. Изложены методы интегрирования тригонометрических функций – интегрирование рациональных функций, произведение степенных функций от sin x и cos x, произведение многочлена, экспоненты и синуса или косинуса, интегрирование обратных тригонометрических функций. Затронуты нестандартные методы.

Основные тригонометрические формулы

Ниже приведены некоторые тригонометрические формулы, которые могут понадобится при интегрировании тригонометрических функций.

sin 2 a + cos 2 a = 1

sin ( a+b ) = sin a cos b + cos a sin b
cos ( a+b ) = cos a cos b – sin a sin b
sin 2 a = 2 sin a cos a
cos 2 a = cos 2 a – sin 2 a = 2 cos 2 a – 1 = 1 – 2 sin 2 a

Стандартные подстановки при интегрировании тригонометрических функций

Здесь мы рассмотрим стандартные подстановки, с помощью которых, в большинстве случаев, выполняется интегрирование тригонометрических функций.

Подстановка t = sin x

Преобразование выполняется по формулам:

cos x dx = dt ;
sin x = t ; cos 2 x = 1 – t 2 ;
;

Подстановка t = cos x

sin x dx = – dt ;
cos x = t ; sin 2 x = 1 – t 2 ;
;

Подстановка t = tg x

Подстановка t = ctg x

Подстановка t = tg (x/2)

Интегрирование обратных тригонометрических функций

Интегралы, содержащие обратные тригонометрические функции
arcsin φ , arctg φ , и т.д., где φ – некоторая алгебраическая функция от x , нередко интегрируются по частям, полагая u = arcsin φ , u = arctg φ , и т.д.

Стандартные методы интегрирования тригонометрических функций

Общий подход

Вначале, если это необходимо, подынтегральное выражение нужно преобразовать, чтобы тригонометрические функции зависели от одного аргумента, который совпадал бы с переменной интегрирования.

Например, если подынтегральное выражение зависит от sin( x+a ) и cos( x+b ) , то следует выполнить преобразование:
cos ( x+b ) = cos ( x+a – ( a–b ) ) = cos ( x+a ) cos ( b–a ) + sin ( x+a ) sin ( b–a ) .
После чего сделать замену z = x+a . В результате, тригонометрические функции будут зависеть только от переменной интегрирования z .

Когда тригонометрические функции зависят от одного аргумента, совпадающим с переменной интегрирования (допустим это z ), то есть подынтегральное выражение состоит только из функций типа sin z , cos z , tg z , ctg z , то нужно сделать подстановку
.
Такая подстановка приводит к интегрированию рациональных или иррациональных функций (если есть корни) и позволяет вычислить интеграл, если он интегрируется в элементарных функциях.

Однако, часто можно найти другие методы, которые позволяют вычислить интеграл более коротким способом, основываясь на специфике подынтегрального выражения. Ниже дано изложение основных таких методов.

Методы интегрирования рациональных функций от sin x и cos x

Рациональные функции от sin x и cos x – это функции, образованные из sin x , cos x и любых постоянных с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целочисленную степень. Они обозначаются так: R (sin x, cos x ) . Сюда также могут входить тангенсы и котангенсы, поскольку они образованы делением синуса на косинус и наоборот.
Интегралы от рациональных функций имеют вид:
.

Методы интегрировании рациональных тригонометрических функций следующие.
1) Подстановка всегда приводит к интегралу от рациональной дроби. Однако, в некоторых случаях, существуют подстановки (они представлены ниже), которые приводят к более коротким вычислениям.
2) Если R (sin x, cos x ) умножается на –1 при замене cos x → – cos x , то выполняется подстановка t = sin x .
3) Если R (sin x, cos x ) умножается на –1 при замене sin x → – sin x , то выполняется подстановка t = cos x .
4) Если R (sin x, cos x ) не меняется как при одновременной замене cos x → – cos x , и sin x → – sin x , то применяется подстановка t = tg x или t = ctg x .

Произведение степенных функций от cos x и sin x

Интегралы вида

являются интегралами от рациональных тригонометрических функций. Поэтому к ним можно применить методы, изложенные в предыдущем разделе. Ниже рассмотрены методы, основанные на специфике таких интегралов.

Если m и n – рациональные числа, то одной из подстановок t = sin x или t = cos x интеграл сводится к интегралу от дифференциального бинома.

Если m и n – целые числа, то интегрирование выполняется с помощью формул приведения:

Интегралы от произведения многочлена и синуса или косинуса

Интегралы вида:
, ,
где P(x) – многочлен от x , интегрируются по частям. При этом получаются следующие формулы:

Интегралы от произведения многочлена, экспоненты и синуса или косинуса

Интегралы вида:
, ,
где P(x) – многочлен от x , интегрируются с помощью формулы Эйлера
e iax = cos ax + i sin ax (где i 2 = – 1 ).
Для этого методом, изложенном в предыдущем пункте, вычисляют интеграл
.
Выделив из результата действительную и мнимую часть, получают исходные интегралы.

Нестандартные методы интегрирования тригонометрических функций

Ниже приведены ряд нестандартных методов, которые позволяют выполнить или упростить интегрирование тригонометрических функций.

Зависимость от (a sin x + b cos x)

Если подынтегральное выражение зависит только от a sin x + b cos x , то полезно применить формулу:
,
где .

Разложение дроби из синусов и косинусов на более простые дроби

Рассмотрим интеграл
.
Наиболее простой способ интегрирования заключается в разложении дроби на более простые, применяя преобразование:
sin( a – b ) = sin( x + a – ( x + b ) ) = sin( x+a ) cos( x+b ) – cos( x+a ) sin( x+b )

Интегрирование дробей первой степени

При вычислении интеграла
,
удобно выделить целую часть дроби и производную знаменателя
a ₁sin x + b ₁cos x = A ( a sin x + b cos x ) + B ( a sin x + b cos x )′ .
Постоянные A и B находятся из сравнения левой и правой частей.

Читайте также: