Реферат на тему формула приведения

Обновлено: 05.07.2024

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Формулы приведения: просто, быстро, без заучивания.

Формулы приведения учить не надо !

Ведь главное — это понимать!

Понимать, что каждая задача индивидуальна. Что бездумное заучивание определений, формул, шаблонов решений – БЕСПОЛЕЗНО! Если задание перед вами будет хотя бы немного отличаться от стандартного, вы не справитесь. Поэтому, старайтесь понять, провести логические связи, запомнить основные моменты.

В этой статье мы поговорим о формулах приведения тригонометрических функций. Как Вы знаете, ряд заданий используют в своих решениях формулы приведения. Следовательно, их нужно знать и уметь применять. Но таких формул 32! Согласитесь, это очень большой объем. Давайте рассмотрим способ, позволяющий понять принцип нахождения результата по формулам приведения. Именно это избавит нас от необходимости их учить.

Для более подробного изучения данного способа разобьем его на несколько этапов.

Это позволит нам:

-проследить причинно-следственные связи;

-выделить ряд основных условий;

- сформулировать алгоритм действий;

-отработать навыки применения этого способа на практике.

Тригонометрические функции: sin , cos , tg , ctg .

Углы определенны по окружности в градусной или радианной величине.

Градусы: 0 ˚ , 90 ˚ , 180 ˚ , 270 ˚ ,360 ˚ . Радианы: 0, П/2, П, 3П/2, 2П.

Синус – положительные четверти (+) -1, 2 отрицательные четверти (-) – 3,4.

Расстановка знаков ориентирована на ось ординат (у).

Косинус – положительные четверти (+) -1, 4 отрицательные четверти (-) – 2,3.

Расстановка знаков ориентирована на ось абсцисс (х).

Тангенс и котангенс – положительные четверти (+) -1, 3 отрицательные четверти (-) – 2,4.

Расстановка знаков ориентирована на произведение знаков оси ординат (у) и оси абсцисс (х).

1. 90 ˚,270 ˚- меняют функцию ( sin ⇆ cos , а 180 ˚и 360 ˚- не меняют!

2. При определении знака ориентируемся на изначальную функцию.

Составим алгоритм наших действий:

1. Определить МЕНЯЕТЬСЯ функция или нет. (Исходя из градусных мер)

2. Установить четверть. (1,2,3,4?)

Попробуем применить наш способ на практике. Используем сформулированный нами алгоритм при решении заданий.

cos

1. 270 ˚ ---функция меняется---- sin ;

2. ---3 четверть---- cos --- - ;

3. Ответ : cos -sin .

1. 90 ˚ ---функция меняется---- cos ;

2. ---2 четверть---- sin --- + ;

3. Ответ : sin cos .

Итак, в этой статье:

- мы рассмотрели знаки тригонометрических функций в каждой четверти.

- увидели на что ориентироваться при расстановке знаков;

- запомнили два условия, помогающие самим выводить формулы приведения;

- сформулировали и отработали на практике алгоритм наших действий.

Зная этот простой способ и понимая принцип его действия, мы избавляемся от необходимости заучивать 32 формулы приведения.

ГОСТ

Формулы приведения — это закономерности, которые позволяют перейти от выражений вида $f(\frac ± α)$ и $f(πn ± α)$, где в качестве $f$ могут быть $sin, cos, tg$ или $ctg$ к закономерностям вида $f(α)$, в которых в качестве $f$ также выступают $sin, cos, tg$ или $ctg$.

Эти формулы называются тригонометрическими формулами приведения, так как они позволяют перейти от угла вида $\frac ± α$ и $πn ± α$ к просто углу $α$, то есть вычислять тригонометрические функции используя значения только от $-π$ до $π$. А так как функция синуса нечётная и косинуса чётная, достаточно знать значения этих функций на отрезке $\left[0;π\right]$.

Из анализа графиков тригонометрических функций получается, что так как $sin(π-α) = sinα$ и $cos(π-α)=-cos α$, можно помнить только значения этих функций на отрезке $\left[0;\frac\right]$, следовательно, остаётся определиться только со знаками для функций по четвертям.

Для выражений, где угол задан в виде $\frac ± α$, при этом $n$ — нечётное, необходимо сменить тригонометрическую функцию с синуса на косинус и с тангенса на котангенс и наоборот, тогда как в случае если угол задан как выражение вида $πn ± α$, где $n$ — целое, функция не меняется.

Знак перед значением тригонометрических функций

Знак конечного значения меняется в зависимости от того, в какой четверти находится угол, определить его можно соответственно рисунку:

Рисунок 1. Знаки тригонометрических функций по четвертям окружности

Для того чтобы понять, какой знак должен стоять у синуса или косинуса, достаточно помнить, что синусу соответствует координата $y$ на единичной окружности, тогда как косинусу — координата $x$. Соответственно, синус будет положительным, если угол находится в $I$ или $II$ четвертях, а косинус будет положительным для первой и четвёртой четверти.

Готовые работы на аналогичную тему

Чтобы определиться со знаком конечной полученной функции, достаточно посмотреть на знак той функции, которая была изначально, то есть на знак приводимой функции. То есть если изначальное угол такой, что значение приводимой тригонометрической функции отрицательное, то и перед приведённой функцией будет этот же знак.

Формулы приведения разработаны для углов, представленных в одном из следующих видов: $\frac<\pi>+a$, $\frac<\pi>-a$, $π+a$, $π-a$, $\frac<3\pi>+a$, $\frac<3\pi>-a$, $2π+a$ и $2π-a$. Аналогично их можно использовать для углов представленных в градусах: $90^°+a$, $90^°-a$, $180^°+a$, $180^°-a$, $270^°+a$, $270^°-a$, $180^°+a$, $180^°-a$. К счастью, учить наизусть формулы привидения вам не придется, потому что есть легкий и надежный способ вывести нужную за пару секунд.

Как быстро получить любую формулу приведения

Для начала обратите внимание, что все формулы имеют похожий вид:

Таким образом, например, синус при применении этих формул никогда не поменяется на тангенс или котангенс , он либо останется синусом, либо превратиться в косинус . А котангенс никогда не станет синусом или косинусом, он либо останется котангенсом, либо станет тангенсом. И так далее.

Едем дальше. Так как исходная функция и ее аргумент нам обычно даны, то весь вывод нужной формулы сводится к двум вопросам:
- как определить знак перед конечной функцией (плюс или минус)?
- как определить меняется ли функция на кофункцию или нет?

Как определить знак перед конечной функцией (плюс или минус)?

Какой знак был у исходной функции в исходной четверти, такой знак и нужно ставить перед конечной функцией.

Например, выводим формулу приведения для $⁡cos⁡(\frac<3\pi>-a) =. $ С исходной функцией понятно – косинус, а исходная четверт ь ?

Для того, чтобы ответить на этот вопрос, представим, что $a$ – угол от $0$ до $\frac<\pi>$, т.е. лежит в пределах $0°…90^°$ (хотя это может быть не так, но для определения знака данная условность необходима). В какой четверти тригонометрической окружности при таком условии будет находиться точка, обозначающая угол $\frac<3\pi>-a$?
Чтобы ответить на вопрос, надо от точки, обозначающей $\frac<3\pi>$, повернуть в отрицательную сторону на угол $a$.

В какой четверти мы окажемся? В третьей. А какой же знак имеет косинус в третьей четверти? Минус. Поэтому перед итоговой функцией будет стоят минус: $cos(\frac<3\pi>-a)=-. $

В этой статье приведены все тригонометрические формулы и тождества (сложения, приведения, двойного угла, половинного угла, разности функций и др.), при помощи которых решается наибольшая часть задач по тригонометрии. Сгруппируем эти формулы по назначению.

Основные тригонометрические формулы

Тригонометрические формулы – это самые незаменимые математические выражения, необходимые для тригонометрических функций. Они выполняются для всех значений аргумента.

Для начала напомним, что синус (sin), косинус (cos), тангенс (tg) и котангенс (ctg) – неразрывно связаны с понятием угла.

Синусом угла называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. Следуя из этого правило, легко запомнить, что косинус угла – отношение близкого катета (прилежащего) к гипотенузе.

А вот тангенс отличается от первых двух понятиях. Это отношение дальнего к близкому катету. Котангенс с точностью да наоборот от тангенса. Котангенс – отношение близкого к дальнему катету.

Теперь перейдём непосредственно к самим формулам. Эти формулы связывают синус, косинус, тангенс, котангенс одного угла. Каждая из них является следствием каких-то определений.

У вышеперечисленных тождеств соотношение между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного и того же угла. Благодаря им можно выразить одну тригонометрическую функцию через любую другую.

Нужна помощь в написании работы?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Формулы приведения

Формулы приведения – это формулы, при помощи которых значения тригонометрических функций аргументов выражаются через значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Любая из семи формул приведения может быть записана и для градусной меры угла. Чтобы использовать эти формулы, не заучивая их, нужно помнить всего лишь два правила формул приведения:

Правило знака: с правой части формулы ставится тот знак, который имеет значение выражения в левой части при условии, что угол принадлежит I четверти.
Правило названий: это тогда, когда в левой части формулы угол равен или . В этом случае синус меняется на косинус, а тангенс на котангенс. Так же и наоборот. Когда же угол равен или , тогда названия выражения сохраняется.

Формулы сложения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Формулы сложения нужны для того, чтобы выражать функции разности или же суммы двух углов при помощи тригонометрических функций этих углов.

Синус разности двух углов – .

Благодаря тригонометрическим формулам сложения мы можем понять, как тригонометрические функции суммы или разности двух углов выражаются через тригонометрические функции этих углов.

Формулы двойного угла

Формулы двойного угла – это такие формулы, которые связывают тригонометрические функции угла (синус, косинус, тангенс, котангенс) с тригонометрическими функциями угла .

Из формулы сложения для синуса при получим и после приведения подобных слагаемых получается первое тождество . Второе тождество получается аналогичным путём. Что касается двух последних тождеств (3 и 4), они получаются при , соответственно из формул:

Формулы половинного угла

Формулы половинного угла даны для квадратов тригонометрических функций.

Первые две формулы (синус и косинус) справедливы любому углу . Третья формула (тангенс) предназначается для любых углов , при которых определён . И четвёртая, формула котангенса половинного угла справедлива для всех углов альфа, но при которых определён котангенс половинного угла (

Формулы понижения степени

Формулы понижения степени – это такие тригонометрические формулы, которые позволяют перейти от степеней тригонометрических функций к функциям первой степени. Однако от кратного аргумента.

Формулы суммы и разности тригонометрических функций

Благодаря формулам суммы и разности можно легко упрощать тригонометрические выражения. Кроме того, они часто используются при решении тригонометрических уравнений. Рассмотрим формулы суммы и разности.

Формулы произведения косинусов, синусов и синуса на косинуса

При помощи этих формул можно перейти от произведения тригонометрических функций к разности или сумме.

Все формулы, которые переходят от произведения к сумме или разности осуществляется при помощи вышеописанных формул произведения косинусов, синусов и синус на косинус.

Универсальная тригонометрическая подстановка

Основные тригонометрические формулы завершаются такими формулами, которые выражают функции тригонометрии через тангенс половинного угла.Такая замена называется – универсальная тригонометрическая подстановка. Она очень удобно тем, что любая тригонометрическая функция выражается рационально через тангенс половинного угла без корней.

Эти формулы выражаются через тангенс половинного угла.

Итак, мы написали самые простые и самые основные формулы, которые необходимо знать каждому учащемуся. Ведь именно при их помощи изучается тригонометрия. Кроме того, многие формулы необходимо знать для более эффективной подготовки к ЕГЭ.

Читайте также: