Реферат на тему движение геометрия 11 класс

Обновлено: 07.07.2024

2. Подготовка учащихся к усвоению новых знаний.

(Презентация № 1-3)Учитель: Прочитайте слова, записанные на доске: соразмерность, пропорциональность, закономерность, упорядоченность, структурность, неизменность, стабильность, порядок, красота, гармония

Как вы думаете, какое геометрическое понятие можно охарактеризовать этими словами? (симметрия)

Симметрия. (презентация № 4)

Термин “симметрия” по-гречески означает “соразмерность, упорядоченность, закономерность, регулярная повторяемость”.

Уместно привести слова Германа Вейля, известного немецкого математика, о том, что “симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство” (цитата на слайде).

3. Изучение нового материала. (презентация № 5 – 16)

Современное представление о симметрии предполагает неизменность объекта, по отношению к каким-то преобразованиям, выполненным над ним.

Мы познакомимся с различными видами симметрии в пространстве и исследуем симметрию в окружающем мире

Сейчас я продемонстрирую вам презентацию своего исследования

4. Первичная проверка усвоения знаний. (презентация № 17 – 22)

Какие же виды симметрии встречаются в пространстве?

5. Первичное закрепление знаний.

Выполнение упражнения в печатной тетради № 31 с. 17

Далее учащиеся выполняют самостоятельно упражнение № 478 с. 125 (учебник).

Более подготовленные учащиеся выполняют задачи на доказательство в печатной тетради № 33, 34 с. 19 – 21.

6. Подведение итогов урока. (презентация № 23)

Итак, сегодня на уроке мы изучили виды симметрии в пространстве и провели исследование по теме: “Симметрия в окружающем мире”.

Была ли вам интересна исследовательская работа на уроке?

Что вам понравилось, запомнилось?

Я благодарю вас за работу. Желаю вам успехов в изучении геометрии.

Приложение (мультмедийная презентация)

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Как вы думаете, какое геометрическое понятие можно охарактеризовать этими словами? Соразмерность Пропорциональность Закономерность Упорядоченность Структурность Неизменность Стабильность Порядок Красота Гармония

Симметрия “ Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство” Герман Вейль

Виды движения Центральная симметрия Осевая симметрия Зеркальная симметрия Поворотная симметрия Параллельный перенос

Центральная симметрия Центральной симметрией называют отображение пространства на себя, при котором любая точка переходит в симметричную ей точку относительно данного центра О

Симметрия относительно точки – лучевая симметрия Присмотритесь внимательно и вы увидите, что лепестки каждого тела расходятся во все стороны, как лучи от источника света. В математике - это симметрия относительно точки (центральная симметрия), в биологии – лучевая симметрия.

Осевая симметрия Осевой симметрией называют отображение пространства на себя, при котором любая точка переходит в симметричную ей точку относительно оси а

Присмотритесь внимательно и вы увидите, что правая сторона – есть зеркальное отображение левой. В математике – это симметрия относительно прямой (осевая симметрия), в биологии – двусторонняя симметрия. Симметрия относительно прямой – двусторонняя симметрия

… обмерили 72 студента-добровольца. Данные подтвердили интуитивно предполагаемый факт: юноши с правильными лицами - те, у кого отклонения от симметрии не превышали 1 - 2 процентов, были найдены более привлекательными в целом, тогда как менее симметричные студенты - с отклонениями в 5 - 7 процентов - были признаны менее привлекательными, "некрасивыми" в обычном смысле. Однажды в Америке.

Зеркальная симметрия Фигура называется симметричной относительно плоскости, если преобразование симметрии переводит фигуру в себя. При этом плоскость называется плоскостью симметрии этой фигуры.

Поворотная симметрия Если n-число граней фигуры и n–натуральное число больше1-го, то говорят, что тело симметрично относительно некоторой оси, если при повороте на угол 360°/n вокруг этой оси, оно переходит само в себя. При этом ось вращения называется осью поворотной симметрии порядка n.

Параллельный перенос Параллельным переносом на вектор р называют отображение пространства на себя, при котором любая точка А переходит в такую точку В, что АВ = р

Задача 1 Назовите буквы алфавита, имеющих одну ось симметрии. ( Ответ: А В Д Е З К М П С Т Ш Э Ю ) Назовите буквы алфавита, имеющих две оси симметрии (вертикальную и горизонтальную). (Ответ: Н О Ф Х )

Задача 2 Выберите слова, имеющие ось симметрии (вертикальную или горизонтальную). КОКОС, НОС, СОК, ВОЗ, ЗОВ, ФОН, КОК, ПОП, ВЕНОК, СЕНО, НОЖ, ЭХО, ВОСК, ПОТОП, ВЕКО, ВЕК, МАДАМ, КОН, КОКС, ДОХОД.

Решение Горизонтальная ось симметрии Вертикальная ось симметрии Кокос, нос, сок, воз, зов, фон, кок, венок, сено, нож, эхо, воск, веко, кон, кокс. поп потоп мадам доход

Симметрия в литературе Слова "топот", "казак", "шалаш" называют палиндромами. Палиндромическими могут быть фразы, стихотворения, рассказы. Например. "Я иду с мечом судия" (Т. Державин), "А роза упала на лапу Азора" (А. Фет); "Аргентина манит негра" (Булгаков).

Симметрия в литературе Симметрией обладают так называемые фигурные стихи, текст которых имеет очертание какого-либо предмета-звезды, креста, треугольника, пирамиды… О, где же те мечты? Где радости, печали, Светившие нам столько долгих лет? От их огней в туманной дали Чуть виден слабый свет те пропали, Их нет". (А. Апухтин).

О какой симметрии можно говорить, глядя на эту картины? Кто является ее автором?

Симметрия в творчестве Орнамент (от лат. Ornamentum – украшения) – узор, состоящий из повторяющихся, ритмически упорядоченных элементов. Орнамент предназначен для украшения различных предметов (посуды, мебели, текстильных изделий, оружия) и архитектурных сооружений. Орнамент включает в себя листья и цветы растений, фантастических птиц и животных, фигуры людей и просто геометрические узоры. Весь рисунок подчинен строгим законам симметрии.

Виды орнамента Ленточный Сетчатый Розетчатый

Симметрия в технике

Симметрия в архитектуре

Определить есть ли симметрия на картинках. Если есть, то какая?

Вывод: Симметрия, проявляясь в самых различных объектах материального мира, несомненно, отражает наиболее общие, наиболее фундаментальные его свойства. Поэтому исследование симметрии разнообразных природных объектов и сопоставление его результатов является удобным и надежным инструментом познания основных закономерностей существования материи.

Спасибо за внимание

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

урок геометрии 8 класс "Признаки параллелограмма"

Урок геометрии 8 класс по теме:" Теорема Пифагора".

Разработан урок по геометрии в 8 классе по теме: "Теорема Пифагора" с презентацией.

урок геометрии 8 класс

"Первый признак подобия треугольников", урок геометрии в 8 классе по учебнику Л.С. Атанасяна.

Урок геометрии 7 класс

Что такое геометрия? Разделы геометрии,основные геометрические фигуры, из истории геометрии- это все вы узнаете на первом уроке геометрии.

Презентация к уроку геометрии. 8 класс. "Первые уроки. Вводное повторение"

Основная цель первых уроков - подготовить учащихся к изучению геометрии в 8 классе. При организации вводных уроков необходимо обратить внимание на решение наиболее типичных задач из курса геомет.

Урок геометрии 7 класс. Разработка, технологическая карта урока по теме " Прямоугольные треугольники и некоторые их свойства".

Разработка, технологическая карта урока по теме " Прямоугольные треугольники и некоторые их свойства".

Урок геометрии 7 класс. Разработка и технологическая карта урока по теме : "Прямоугольные треугольники. Решение задач".

Разработка и технологическая карта урока по теме : "Прямоугольные треугольники. Решение задач".

Собрала для вас похожие темы рефератов, посмотрите, почитайте:

Введение

Первым, кто начал доказывать некоторые геометрические положения, считается древнегреческий математик Фалес Милетский (625-547 гг. до н.э.).

Именно благодаря Фалесу геометрия из набора практических правил начала развиваться в настоящую науку. До Фалеса просто не было доказательств!

То, как Тейлз вел свои улики. Он использовал для этого движение.

Движение представляет собой преобразование формы, при котором сохраняются расстояния между точками. Если две цифры точно скомбинированы набором, то эти цифры равны, равны по значению.

Таким образом, Фалес доказал некоторые из первых наборов геометрии. Если плоскость в целом поворачивается на одну точку O около 1800, то пучок ОА изменяется на продолжение OA1. При таком вращении (также называемом центральной симметрией с центром O) каждая точка A перемещается в точку A1, которая O является центром отрезка AA1.

Пусть O будет полным пиком вертикальных углов AB и A1 AB1 . Но тогда понятно, что при повороте на 1800 граней один из двух вертикальных углов просто переходит в стороны другого, т.е. эти два угла совмещаются. Это означает, что вертикальные углы равны.

В качестве доказательства равенства углов в основании равнобедренного треугольника Фалес использовал аксиальную симметрию: он объединил две половинки равнобедренного треугольника, изогнув рисунок вдоль биссектрисы в верхней части. Точно так же Фалес доказал, что диаметр делит окружность на две половины.

Прикладные сланцы и еще одно движение параллельного переноса, при котором все точки фигуры на одной дорожке перемещаются в определенном направлении. С его помощью он доказал теорему, которая теперь носит его имя: Если с одной стороны угла отложить равные отрезки и провести параллельные линии через концы этих отрезков до пересечения со второй стороны угла, то равные отрезки создаются и с другой стороны угла.

В эпоху античной истории, идеей движения пользовался знаменитый Евклид, автор начал книгу, которая просуществовала более двух тысячелетий. Евклид был современником Птолемея 1, правившего 305-283 гг. до н.э. в Египте, Сирии и Македонии.

Дальнейшее развитие теории движения связано с именем французского математика и историка науки Мишеля Шаля (1793-1880). В 1837 году он опубликовал исторический обзор происхождения и развития геометрических методов в процессе собственных геометрических исследований Чал доказывает важнейшую теорему:

Любое движение плоскости, изменяющее ее ориентацию, является либо параллельным переносом, либо вращением.

Любое движение плоскости, изменяющее ее ориентацию, является либо аксиально симметричным, либо скользящим симметричным.

Важным обогащением, которому привержена геометрия в 19 веке, является создание теории геометрических преобразований, в частности математической теории движений. (движения).

На данном этапе необходимо классифицировать все существующие геометрические системы. Эта проблема была решена немецким математиком Кристианом Феликсом Кляйном (1849-1925).

В 1872 году Кляйн читал лекции в качестве профессора в Университете Эрлангена по сравнительному обзору последних геометрических исследований. Его идея переосмысления всей геометрии на основе теории движения была названа Эрлангенской программой.

По Клейну, для построения той или иной геометрии необходимо указать набор элементов и группу преобразований. Задача геометрии заключается в изучении тех отношений между элементами, которые остаются инвариантными для всех преобразований данной группы. Например, геометрия Евклида исследует те свойства фигур, которые остаются инвариантными во время движения. Другими словами, если фигура выходит из другого движения, то эти фигуры обладают теми же геометрическими свойствами.

В 1909 г. немецкий математик Фридрих Шур (1856-1932), следуя идеям Фалькса и Клейна, разработал другую систему аксиомной геометрии, основанную на учете движения. В его системе, в частности, вместо группы аксиом сходства Гильберта, предлагается группа из трех аксиом движения.

Равенство параллельных плоскостей

Движение — это нанесение плоскости на себя, с сохранением всех расстояний между точками. Движение имеет несколько важных свойств:

Три точки, расположенные на одной прямой, становятся тремя точками, расположенными на одной прямой, а три точки, не расположенные на одной прямой, становятся тремя точками, не расположенными на одной прямой.

Доказательство: Переведите движение A, B, C на A’, B’, C’. Тогда те же самые исполняются. A’V’=AV, A’S’=AS, V’S’=C.

Если точки A, B, C находятся на одной прямой, то одна из них, например, точка B, лежит между двумя другими. В этом случае AB+B’s=A’s, а из равенства(1) следует, что A’C’+B’C’=A’C. И из этого следует, что точка B’ находится между точками A’ и C’. Первое утверждение доказано. Второе утверждение доказывается обратным методом: Предположим, что точки A’, B’, C’ находятся на одной прямой, даже если точки A, B, C не находятся на одной прямой, т.е. на вершинах треугольника.

Тогда необходимо устранить неравенство в треугольнике:

Но из равенства следует, что одни и те же неравенства должны быть для точек A’, B’, C’, поэтому точки A’, B’, C’ должны быть вершинами треугольника, поэтому точки A’, B’, C’ не должны быть на одной прямой.

Сегмент движения переводится в сегмент.

Когда вы двигаетесь, луч превращается в бар, прямой в прямую линию.

Треугольник превращается в треугольник движением.

Движение поддерживает размер углов.

При их перемещении сохраняются поверхности полигональных фигур.

Движение обратимое. Дисплей, обратное движение — это движение.

Состав двух движений также является движением.

С помощью определения вы можете дать это определение равенству фигур: Две фигуры называются равными, если одна из них может быть переведена в другую движением.

Виды перемещения

На самолете есть четыре типа движений:

Параллельная передача
осевая симметрия
Повернитесь вокруг точки
Центральная симметрия.
Давайте посмотрим поближе на каждый вид.

Параллельно с передачей идет движение, при котором все точки на плоскости движутся в одном направлении и на одинаковом расстоянии.

Подробнее: параллельный перенос в любые точки плоскости X и U соответствует таким точкам X1 и U1, что XX1 = UU1 или можно сказать так: параллельный перенос — это отображение, при котором все точки плоскости перемещаются в один и тот же вектор — вектор переноса. Параллельное смещение определяется вектором смещения: Если вы знаете этот вектор, вы всегда можете сказать, к какой точке будет двигаться любая точка плоскости.

Параллельная передача — это движение, в котором соблюдаются направления. Пусть при параллельном перемещении точки X и U перемещаются к точкам X1 и U1 соответственно. Затем выполняется равенство ХХ1=УУ1, из которого мы получаем, во-первых, ХУ=Х1 У1, т.е. параллельная передача является движением, а во-вторых, ХУ=Х1 У1, т.е. направления сохраняются в параллельной передаче.

Это свойство параллельной передачи является ее характерным свойством, т.е. можно сказать, что направление, поддерживающее движение, является параллельной передачей.

Осевая симметрия

Точки X и X1 описываются как симметричные относительно прямой a, и каждая из них симметрична друг другу, если является центром перпендикулярным отрезку XX1. Каждая точка прямой a считается симметричной самой себе (относительно прямой a), если задана прямая a, то каждая точка X соответствует одной точке X1 , симметричной X относительно a.

Симметрия плоскости относительно прямой a называется отображением, где каждая точка плоскости располагается в соответствии с точкой, симметричной ей относительно прямой a.

Докажем, что осевая симметрия — это движение с помощью координатного метода: Давайте возьмем прямую линию и ось x-картезиан. Затем, в случае симметрии относительно нее, точка с координатами (x;y) преобразуется в точку с координатами (x,-y).

Если взять любые две точки A(x1, -u1) и B(x2, -u2) и считать симметричными AB и A1 B1, то получим AB =A1 B1.

Значит, осевая симметрия сохраняет расстояние, значит, это движение.

Центральная симметрия

Центральная симметрия с центром в точке O — это такое отображение плоскости, что каждая точка X сравнивается с такой точкой X1, что точка O является центром отрезка XX1.

Однако можно констатировать, что центральная симметрия — это особый случай вращения на 180 градусов. Действительно, даже если в центральной симметрии относительно точки О, точки Х, проходящей через Х1, угол XOX1=180 градусов, как повернутый, а XO=ОХ1, то такое преобразование представляет собой поворот на 180 градусов. Из этого следует, что центральная симметрия также является движением.

Вращение плоскости относительно центра O на заданный угол β в этом направлении определяется следующим образом: Каждая точка X плоскости приводится в соответствие с такой точкой X1, что, во-первых, OX=OX1, во-вторых, угол OX1 равен углу поворота β и, в-третьих, OX1 смещается пучком OX в заданном направлении. Точка Ox называется точкой вращения, а угол β — углом поворота. Поворот — это движение.

Заключение

На плоскости собственные движения среды выражаются аналитически в прямоугольной системе координат (x, y) по следующим формулам, X=X cos φ — Y sin φ + a, Y=X грех φ + cos φ + to.

Что совокупность всех правильных движений на уровне зависит от трех параметров a, b, φ. Первые два параметра характеризуют параллельный перенос плоскости в вектор (a, b ), а параметр φ — вращение плоскости вокруг начала координат. Eigenmovements — это произведение (композиция) вращения вокруг начала φ и параллельный перенос в вектор (a , b ). Каждое собственно движение может быть представлено как параллельная передача или вращение вокруг точки.

Непредставительные движения выражаются с помощью формул:

X=X cos φ + Y грех φ + a ,
Y= X грех φ -Y cos φ + bis.

Которые показывают, что непатентованное движение является продуктом собственного движения для преобразования симметрии относительно прямой линии. Любое непатентованное движение — это произведение параллельной передачи по заданному направлению и симметрии относительно прямой, имеющей такое же направление.

Список литературы

Образовательный сайт для студентов и школьников

Доказательство Фалесом равенства углов при основании равнобедренного треугольника. Развитие теории движений, определение равенства фигур. Виды движений: параллельный перенос, поворот вокруг точки и др. Аналитическое выражение движения на плоскости.

Рубрика	Математика
Вид	реферат
Язык	русский
Дата добавления	04.05.2016
Размер файла	19,3 K

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Подготовила: ученица 9А класса Лисина Карина

1. История развития движений

Первым, кто начал доказывать некоторые геометрические предложения, считается древнегреческий математик Фалес Милетский (625-547г. до н.э.).

Именно благодаря Фалесу геометрия начала превращаться из свода практических правил в подлинную науку. До Фалеса доказательств просто не существовало!

Каким же образом проводил Фалес свои доказательства. Для этой цели он использовал движение.

Движение это преобразования фигур, при котором сохраняются расстояния между точками. Если две фигуры точно совместить друг с другом посредством движения, то эти фигуры одинаковы, равны.

Именно таким путем Фалес доказал ряд первых теорем геометрии. Если плоскость повернуть как твердое целое вокруг некоторой точки О на 180 0 , то луч ОА перейдет в его продолжение ОА 1 . При таком повороте (его еще называют центральной симметрией с центром О) каждая точка А перемещается в такую точку А 1 , что О является серединой отрезка АА 1

Пусть О общая вершина вертикальных углов АОВ и А 1 ОВ 1 . Но тогда ясно, что при повороте на 180 0 стороны одного из двух вертикальных углов как раз перейдут в стороны другого, т. е. эти два угла совместятся. Значит, вертикальные углы равны.

Доказывая равенство углов при основании равнобедренного треугольника, Фалес воспользовался осевой симметрией: две половинки равнобедренного треугольника он совместил перегибанием чертежа по биссектрисе угла при вершине. Тем же способом Фалес доказал, что диаметр делит круг пополам.

Применял Фалес и еще одно движение параллельный перенос, при котором все точки фигуры смещаются в определенном направлении на одно и тоже расстояние. С его помощью он доказал теорему, которая сейчас носит его имя: если на одной стороне угла отложить равные отрезки и провести через концы этих отрезков параллельные прямые до пересечения со второй стороны угла, то на другой стороне угла также получатся равные отрезки.

Во времена античной истории идеей движения пользовался знаменитый Евклид, автор Начал книги, переживший более двух тысячелетий. Евклид был современником Птолемея 1, правившего в Египте, Сирии и Македонии в 305-283 до н.э.

Дальнейшее развитие теории движений связывают с именем французского математика и историка науки Мишеля Шаля (1793-1880). В 1837г. он выпускает труд исторический обзор происхождение и развитие геометрических методов в процессе собственных геометрических исследований Шаль доказывает важнейшую теорему:

Всякое меняющие ориентацию движение плоскости является либо параллельным переносом, либо поворотом.

Всякое меняющее ориентацию движение плоскости является либо осевой симметрией, либо скользящей симметрией.

Важным обогащением, которым геометрия обязана 19 веку, является создание теории геометрических преобразований, в частности, математической теорией движений. (перемещений).

К этому времени назрела необходимость дать классификаций всех существующих геометрических систем. Такую задачу решил немецкий математик Кристиан Феликс Клейн(1849 1925).

В 1872 г., выступая в должность профессора эрлангенского университета, Клейн прочитал лекцию сравнительное обозрение новейших геометрических исследований. Выдвинутая им идея переосмысления всей геометрии на основе теории движений получила название эрлангенская программа.

По Клейну, для построения той или иной геометрии нужно задать множество элементов и группу преобразований. Задача геометрии состоит в изучении тех отношений между элементами, которые остаются инвариантными при всех преобразованиях данной группы. Например, геометрия Евклида изучает те свойства фигур, которые остаются неизменными при движении. Иначе говоря, если одна фигура получается из другой движением, то у этих фигур одинаковые геометрические свойства.

В этом смысле движения составляют основу геометрии, а пять аксиом конгруэнтности выделенные самостоятельной группой в системе аксиом современной геометрии. Эту полную и достаточно строгую систему аксиом, подытожив все предыдущие исследования, предложил немецкий математик Давид гильберт(1862-1943). Его система из двадцати аксиом, разделенный на пять групп, была впервые опубликована в 1899 в книге Основание геометрии.

В 1909 г. немецкий математик Фридрих Шур (1856-1932), следуя идеям Фалкса и Клейна, разработал другую систему аксиом геометрии основанную на рассмотрении движений. В его системе, в частности, вместо группы аксиом конгруэнтности гильберта предлагается группа из трех аксиом движения.

движение параллельный плоскость равенство

2. Движения

Движением называется отображение плоскости на себя при котором сохраняются все расстояния между точками. Движение имеет ряд важных свойств:

Три точки, лежащие на одной прямой, при движении переходят в три точки, лежащие на одной прямой, и три точки, не лежащие на одной прямой, переходят в три точки, не лежащие на одной прямой.

Доказательство: пусть движение переводит точки А, В, С в токи А', В', С'. Тогда выполняются равенства

А'В'=АВ , А'С'=АС , В'С'=ВС (1)

Если точки А, В, С лежат на одной прямой, то одна из ни, например точка В лежит между двумя другими. В этом случае АВ+ВС=АС, и из равенства(1) следует, что А'С'+В'С'=А'С'. А из этого следует, что точка В' лежит между точками А' и С'. Первое утверждение доказано. Второе утверждение докажем методом от противного: Предположим, что точки А', В', С' лежат на одной прямой даже в том случае, если точки А,В,С не лежат на одной прямой, то есть являются вершинами треугольника. Тогда должны выполнятся неравенства треугольника:

но из равенства (1) следует что те же неравенства должны выполнятся и для точек А', В', С' следовательно точки А', В', С' должны быть вершинами треугольника, следовательно точки А', В', С' не должны лежать на одной прямой.

Отрезок движения переводится в отрезок.

При движении луч переходит в луч, прямая в прямую.

Треугольник движением переводится в треугольник.

Движение сохраняет величину углов.

При движении сохраняются площади многоугольных фигур.

Движение обратимо. Отображение, обратное движению является движением.

Композиция двух движений также является движением.

Используя определение можно дать такое определение равенства фигур: Две фигуры называются равными, если одну из них можно перевести в другую некоторым движением.

3. Виды движений

На плоскости существует четыре типа движений:

Поворот вокруг точки

Рассмотрим подробнее каждый вид.

3.1 Параллельный перенос

Параллельны переносом называется такое движение , при котором все точки плоскости перемещаются в одном и том же направлении на одинаковое расстояние.

Подробнее: параллельный перенос произвольным точкам плоскости Х и У ставит в соответствие такие точки Х 1 и У 1 , что ХХ 1 =УУ 1 или еще можно сказать так: параллельный перенос это отображение, при котором все точки плоскости перемещаются на один и тот же вектор - вектор переноса. Параллельный перенос задается вектором переноса: зная этот вектор всегда можно сказать, в какую точку перейдет любая точка плоскости.

Параллельный перенос является движением, сохраняющим направления. Действительно, пусть при параллельном переносе точки Х и У перешли в точки Х 1 и У 1 соответственно. Тогда выполняется равенство ХХ 1 =УУ 1 , откуда получаем, что во-первых ХУ=Х 1 У 1 , то есть параллельный перенос является движением, и во-вторых, ХУ=Х 1 У 1 , то есть при параллельном переносе сохраняются направления.

Это свойство параллельного переноса - его характерное свойство, то есть справедливо утверждении: движение, сохраняющее направление является параллельным переносом.

3.2 Осевая симметрия

Точки Х и Х 1 называются симметричными относительно прямой а, и каждая из них симметрична другой, если а является серединным перпендикуляра отрезка ХХ 1 . Каждая точка прямой а считается симметрично самой себе( относительно прямой а) если дана прямая а, то каждой точке Х соответствует единственная точка Х 1 , симметричная Х относительно а.

Симметрией плоскости относительно прямой а называется такое отображение, при котором каждой точке этой плоскости ставится в соответствии точка, симметричная ей относительно прямой а.

Докажем, что осевая симметрия является движением используя метод координат: примем прямую а за ось х декартовых координат. Тогда при симметрии относительно нее точка, имеющая координаты (х;у) будет преобразована в точку с координатами (х ,-у).

Возьмем любые две точки А(х1, -у1) и В(х2, -у2) и рассмотрим симметричные АВ и А 1 В 1 , получим АВ =А 1 В 1 .

Таким образом, осевая симметрия сохраняет расстояние, следовательно она является движением.

3.3 Центральная симметрия

Можно дать такое определение:

Центральная симметрия с центром в точке О это такое отображение плоскости, при котором любой точке Х сопоставляется такая точка Х 1 , что точка О является серединой отрезка ХХ 1 .

Однако можно заметить, что центральная симметрия является частным случаем поворота на 180 градусов. Действительно, пусть при центральной симметрии относительно точки О точка Х перешла в Х 1 . тогда угол ХОХ 1 = 180 градусов, как развернутый, и ХО = ОХ 1 , следовательно такое преобразование является поворотом на 180 градусов. Отсюда также следует, что центральная симметрия также является движением.

3.4 Поворот

Поворот плоскости относительно центра О на данный угол в в данном направлении определяется так: каждой точке Х плоскости ставится в соответствие такая точка Х 1 , что во-первых, ОХ=ОХ 1 , во-вторых угол ХОХ 1 равен углу поворота в и, в-третьих ОХ 1 откладывается от луча ОХ в заданном направлении. Точка О называется центром поворота, а угол в - углом поворота. Поворот является движением.

4. Аналитическое выражение движения на плоскости

На плоскости собственные движения выражаются аналитически в прямоугольной системе координат (х, у) при помощи следующих формул показывающих,

Х=Х cos ц - Y sin ц + а,

Y=X sin ц + cos ц + в ,

Что совокупность всех собственных движений на плоскости зависит от трех параметров а, b , ц. Первые два параметра характеризуют параллельный перенос плоскости на вектор (а, b ) , а параметр ц - вращение (поворот) плоскости вокруг начала координат. Собственные движения представляют собой произведение (композицию) вращения вокруг начала на угол ц и параллельного переноса на вектор (а , b ) . Всякое собственное движение может быть представлено либо как параллельный перенос, либо как вращение вокруг некоторой точки.

Несобственные движения выражаются при помощи формул

X=X cos ц + Y sin ц + а ,

Y= X sin ц -Y cos ц + в ,

показывающих, что несобственное движение есть произведение собственного движения на преобразование симметрии относительно некоторой прямой. Всякое несобственное движение представляет собой произведение параллельного переноса вдоль некоторого направления и симметрии относительно прямой, имеющей то же направление.

Подобные документы

Случай движения, при котором все точки пространства перемещаются в одном и том же пространстве и расстоянии. Параллельный перенос на координатной прямой и плоскости в направлении данного вектора на его длину. Построение трапеции параллельным переносом.

презентация [121,1 K], добавлен 15.02.2012

Понятие движения как преобразования одной фигуры в другую при сохранении расстояния между точками. Характеристика видов движения (центральная и осевая симметрия, поворот и параллельный перенос). Переход фигуры в равную ей фигуру, сохранение углов.

презентация [315,9 K], добавлен 09.03.2012

Понятие треугольника и его роль в геометрии. Сумма углов треугольника, вычисление площади, свойства различных видов фигур. Признаки равенства и подобия треугольников, теорема Пифагора. Медианы, биссектрисы и высоты, соотношение между сторонами и углами.

курс лекций [3,7 M], добавлен 23.04.2011

Теоретические сведения по теме "Признаки равенства треугольников". Методика изучения темы "Признаки равенства треугольников". Тема урока "Треугольник. Виды треугольников". "Свойства равнобедренного и равностороннего треугольников".

курсовая работа [30,5 K], добавлен 11.01.2004

Развитие вычислительных умений и навыков при решении задач. Закрепление формул для вычисления площадей геометрических фигур. Доказательства условий равенства пары треугольников. Определение соотношения прямых, заключающих равные углы у треугольников.

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Описание презентации по отдельным слайдам:

Движения Милюхина Ольга Ивановна МКОУ Лугавская СОШ №19

План Движения Центральная симметрия; Осевая симметрия; В живой природе; Зеркальная симметрия; Поворотная симметрия; Симметрия в природе и геометрии; Зеркальная симметрия в природе; Симметрия в химии; Симметрия в русском языке; Симметрия в архитектуре; Симметрия в технических объектах; Симметрия кристаллов;

Движение Преобразование одной фигуры в другую, при котором сохраняется расстояние между точками называется движением.

Движение Центральная симметрия Поворот Осевая симметрия Параллельный перенос

центральная симметрия О А В О Точки А и В называются симметричными относительно точки О , если О – середина отрезка АВ.

ДОКАЖЕМ ЧТО ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ, ЕСТЬ ДВИЖЕНИЕ А Х У Z В

Фигура называется центрально симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией. О О

Укажите координаты точек А1; В1; С1; К1 симметричных точкам А; В; С; К относительно начала координат, если: А(3; -7; 1) В(-4; 0; 8) С(1,3; -5; -0,7) К( -1; 5,6; 7,1) А1 (-3; 7; -1) В1 (4; 0; -8) С1 (-1,3; 5; 0,7) К1 (1; -5,6; -7,1)

Осевая симметрия Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если а серединный перпендикуляр к отрезку АА1 Осевая симметрия- отображение пространства на себя, при котором любая точка переходит в симметричную ей точку, относительно оси а. А А1

ДОКАЖЕМ ЧТО ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ, ЕСТЬ ДВИЖЕНИЕ А В Х У Z OZ

Укажите координаты точек А1;В1; С1; симметричных точкам А; В; С; относительно осей ОХ и ОУ если: ОХ ОУ А(3; -7; 1) В(-4; 0; 8) С(1,3; -5;-7) А1 (3; 7; -1) В1 (-4; 0; -8) С1 (1,3;5;7) А1 (-3; -7; -1) В1 (4; 0; -8) С1 (-1,3;-5;7)

Зеркальная симметрия Зеркальной симметрией называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей относительно плоскости α точку M1. М1 M α О а

ДОКАЖЕМ ЧТО ЗЕРКАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ, ЕСТЬ ДВИЖЕНИЕ А В Х У Z ХОУ

Зеркальная симметрия в природе План

Укажите координаты точек А1;В1; С1; симметричных точкам А; В; С; относительно осей ОХ и ОУ если: XО Z УОZ А(3; -7; 1) В(-4; 0; 8) С(1,3; -5;-7) А1 (3; 7; 1) В1 (-4; 0; 8) С1 (1,3;5;-7) А1 (-3; -7; 1) В1 (4; 0; 8) С1 (-1,3;-5;-7)

В О Р А Направленный отрезок ОР задает параллельный перенос Лучи АВ и ОР одинаково направлены АВ = ОР Параллельный перенос определяется как преобразование, при котором точки смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Параллельный перенос

Параллельный перенос Преобразование фигуры F, при котором ее произвольная точка (х; у) переходит в точку (х+а; у+в) называется параллельным переносом. Задается формулами Параллельный перенос задается формулами В какие точки при этом параллельном переносе переходят точки О(0;0), А(0;4), В(-4;1)?

n=3 Поворотная симметрия Поворотная симметрия- это такая симметрия при которой объект совмещается сам с собой при повороте вокруг некоторой оси на угол, равный 360°/n, где n = 2,3,4. 120° n = 4 90°

n = 2 180° n = 5 72°

Симметрия в природе и геометрии Подсолнух

СИММЕТРИЯ В ПРИРОДЕ Кристалл аметиста Кристаллы льда

СИММЕТРИЯ В ХИМИИ Симметрия обнаруживается также и на атомном уровне изучения вещества. Она проявляется в недоступных непосредственному наблюдению геометрически упорядоченных атомных структурах молекул. Ничто не изменится, если поменять местами парные атомы в молекуле; такой обмен эквивалентен операции зеркального отражения. Н Н О

СИММЕТРИЯ В РУССКОМ ЯЗЫКЕ Буквы А, М, Т, Ш, П имеют вертикальную ось симметрии. А М Т Ш П В, З, К, С, Э, Е – горизонтальную. в з к с э Ж Н О Ф Х А буквы Ж, Н, О, Ф, Х имеют по две оси симметрии. E

Симметрия в архитектуре Симметрия – царица архитектурного совершенства.

Кроме зеркальной симметрии в архитектуре встречается центральная и поворотная симметрия.

Церковь Покрова на Нерли

Церковь Вознесения в Коломенском

Храм Василия Блаженного в Москве

Исаакиевский собор в С.-Петербурге

Самолёты, автомашины, ракеты, молотки, гайки – практически все технические объекты обладают той или иной симметрией. Случайно ли это? В технике красота, соразмерность механизмов часто бывает связана с их надёжностью, устойчивостью в работе. Симметрия в технических объектах

Все знают, что наши самолеты летают, танки и машины ездят, корабли плавают. Но почему все симметрично? Разве не было экспериментов, что бы создать не симметричную технику? История знает много экспериментов. Нужно лишь поискать. Например советский И-16. Центр симметрии у него был сдвинут, из-за чего самолет постоянно норовил уйти в штопор. Эксперименты с симметрией

СИММЕТРИЯ В ИСКУССТВЕ Микеланджело. Гробница Джулиано Медичи

Самостоятельная работа Дана точка А(-2; 6; 1) укажите координаты точек в которые перейдёт точка А: При симметрии относительно начала координат При симметрии относительно оси ОУ При симметрии относительно плоскости ХОУ При параллельном переносе на вектор

Домашнее задание: n 54 – 57, № 478. 490.

Спасибо за внимание

подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
по всем предметам 1-11 классов

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Сейчас обучается 304 человека из 68 регионов

ЗП до 91 000 руб.
Гибкий график
Удаленная работа

Дистанционные курсы для педагогов

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 593 593 материала в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

25.10.2015 25267
PPTX 4.8 мбайт
982 скачивания
Рейтинг: 3 из 5
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Милюхина Ольга Ивановна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

40%

Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
Для учеников 1-11 классов

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Минобрнауки создаст для вузов рекомендации по поддержке молодых семей

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения упростит процедуру подачи документов в детский сад

Время чтения: 1 минута

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

В приграничных пунктах Брянской области на день приостановили занятия в школах

Время чтения: 0 минут

Курские власти перевели на дистант школьников в районах на границе с Украиной

Время чтения: 1 минута

В Швеции запретят использовать мобильные телефоны на уроках

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

№ слайда 1

Презентация на тему:движения. Выполнили: ученики 11кл. Дюгаев Дмитрий, Сундукова ВалентинаРуководитель: учитель по геометрии Е. Г. Сысоева

№ слайда 2

План Центральная симметрия;Осевая симметрия;Зеркальная симметрия;Поворотная симметрия;Симметрия в природе и геометрии;Зеркальная симметрия в природе;Список используемой литературы.

№ слайда 3

Центральная симметрия Центральная симметрия отображение пространства на себя, при котором любая точка переходит в симметричную ей точку, относительно центра О. Две точки А и А1 называются симметричными относительно точки О, если О - середина отрезка АА1. Точка О считается симметричной самой себе. На рисунке точки М и М1, N и N1 симметричны относительно точки О, а точки Р и Q не симметричны относительно этой точки.

№ слайда 4

Фигура называется симметричной относительно точки О если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией. Простейшими фигурами, обладающими центральной симметрией, является окружность и параллелограмм. Центром симметрии окружности является центр окружности, а центром симметрии параллелограмма точка пересечения его диагоналей.

№ слайда 5

Осевая симметрия Осевая симметрия отображение пространства на себя, при котором любая точка переходит в симметричную ей точку, относительно оси а. Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему. Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе.

№ слайда 6

Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией. У неразвёрнутого угла одна ось симметрии - прямая, на которой расположена биссектриса угла. Равнобедренный(но не равносторонний) треугольник имеет также одну ось симметрии, а равносторонний треугольник - три основные симметрии.

№ слайда 7

Прямоугольник и ромб, не являющиеся квадратами имеют по две оси симметрии, а квадрат - четыре оси симметрии.

№ слайда 8

У окружности их бесконечно много - любая прямая, проходящая через её центр, является осью симметрии. Имеются фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии. К таким фигурам относятся параллелограмм, отличный от прямоугольника, разносторонний треугольник.

№ слайда 9

Зеркальная симметрия Что может быть больше похоже на мою руку или мое ухо , чем их собственное отражение в зеркале ? И все же руку которую я вижу в зеркале , нельзя поставить на место настоящей руки. Иммануил Кант . Зеркальная симметрия отображение пространства на себя, при котором любая точка переходит в симметричную ей точку, относительно плоскости а.

№ слайда 10

Зеркально симметричные объекты Центральная симметрия Осевая симметрия Зеркальная симметрия

№ слайда 11

Напишем на листе бумаги заглавными печатными буквами два слова "КОФЕ" и "ЧАЙ" . Затем возьмем зеркало и поставим его вертикально так , чтобы линия пересечения плоскости зеркала с плоскостью листа делила эти слова по горизонтали .

№ слайда 12

№ слайда 13

№ слайда 14

Зеркало не подействовало на слово " КОФЕ " , тогда как слово " ЧАЙ " оно изменило до неузнаваемости . Этот " фокус " имеет простое обьяснение . Разумеется , зеркало одинакововым образом отражает нижнюю половину обеих слов . Однако в отличии от слова " ЧАЙ " слово " КОФЕ " обладает горизонтальной осью симметрии , именно поэтому оно не искажается при отражении в зеркале .

№ слайда 15

Поворотная симметрия Поворотная симметрия - это такая симметрия при которой объект совмещается сам с собой при повороте вокруг некоторой оси на угол, равный 360°/n, где n = 2,3,4.

№ слайда 16

№ слайда 17

№ слайда 18

№ слайда 19

№ слайда 20

Изображения на плоскости многих предметов окружающего нас мира имеют ось симметрии или центр симметрии.Многие листья деревьев и лепестки цветов симметричны относительно среднего стебля. С симметрией мы часто встречаемся в искусстве. архитектуре. технике. быту. Так, фасады многих зданиё обладают осевой симметрией. В большинстве случаев симметричны относительно оси или центра узоры на коврах, тканях, комнатных обоях. Симметрия переноса. Симметрия. Орнамент.

№ слайда 21

Многогранник. Зеркально-осевая симметрия. Куб. Симметрия третьего порядка.

№ слайда 22

Кувшин. Плоская симметричная фигура. Крапива. Винтовая симметрия. Звезда. Симметрия восьмого порядка.

№ слайда 23

Зеркальная симметрия в природе

№ слайда 24

№ слайда 25

Читайте также: